条件概率(公开课)

在原样本空间 的概率
称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。 一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率。 注意： （1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A) ≤1 （2）如果B和C是互斥事件，则 P(B∪C |A)= P(B|A)+ P(C|A)
反思
求解条件概率的一般步骤：
（1）用字母表示有关事件
由古典概型可知，最后一名同学抽到中奖奖券的 n( B ) 1 概率为：P ( B ) n( ) 3
一般地，我们用来 表示所有基本事件 的集合，叫做基本 事件空间（或样本 空间）
如果已经知道第一名同学没有抽到中奖 奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券 的概率又是多少？ “第一名同学没有抽到中奖奖券”为事件A “最后一名同学抽到中奖奖券”为事件B 第一名同学没有抽到中奖奖券的条件下，最后 一名同学抽到中奖奖券的概率记为P(B|A）
超几何分布: 一般地, 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任 取 n 件,其中恰有 X 件次品数, 则事件 X k 发
k n k CM CN M 生的概率为 P ( X k ) (k 0,1, 2, , m ) n CN
其中 m min M , n ,且 n ≤ N , M ≤ N , n, M , N N * . 称随机变量 X 的分布列为超几何分布列,且称随机 变量 X 服从超几何分布 注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样 ⑵超几何分布中的参数是 M,N,n
引例:
掷红、蓝两颗骰子,设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”
事件B=“两颗骰子点数之和大于8”
求(1)P(A)，P(B)，P(AB)
(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发生的概率？
(3)比较(2)中结果与P(AB)的大小及三者概率之间关系
P(A)=12/36=1/3 P(B)=10/36=5/18
首先用相应的字母A、B表示出相应的事件，然 后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件 的概率。
当A B时，P(AB)=P(A)
例 2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从
0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘 记了密码的最后一位数字，求：
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；
n( AB) 5 P( B | A) n( A) 12
5 P( AB) 36 5 P( B | A) 1 12 P( A) 3
P(AB)=5/36
思 考
对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概 率有什么关系呢？
n( AB ) n( AB ) P ( AB ) n ( ) P ( B | A) n( A) n( A) P ( A) n ( )
练习、
设“取出的是黄球”为事件B，“取出的是黑球”为事件C， 1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不 10 10 15 5 放回的取两次，求： 则P（C）= ，（ P C）=1- ，（ P B）= 25 25 25 25 3/5 （1）第一次取到新球的概率； 5 B C， P （BC）=P（B）= 3/5 （2）第二次取到新球的概率； 25 P（BC） 1 （3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。 1/2 所求概率（ P B|C）= P（ C） 3
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回
的依次抽取2道题 （1）第一次抽到理科题的概率 （2）第一次与第二次都抽到理科题的概率 （3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科 题的概率.
练习：设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二 等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件， 求 (1) 取得一等品的概率； (2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．
设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则 70 P( B) 0.7 （1）因为100 件产品中有 70 件一等品， 100 （2）方法1：因为95 件合格品中有 70 件一等品，所以 B A AB B
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就 按对的概率。
1 9 1 1 (1) P( A) P( A1 ) P( A1 A2 ) 10 10 9 5 1 4 1 2 (2) P( A | B) P( A1 | B) P( A1 A2 | B ) 5 54 5
事件概率加法公式：
若事件A与B互斥，则.
P( A B) P( A) P( B)
三张奖券中只有一张能中奖，现分 别由3名同学无放回地抽取，问最后 一名同学抽到中奖奖券的概率是否比 前两位小？
解：记“最后一名同学中奖”为事件B Ω 为所有结果组成的全体

B
一般地，n(B)表示 事件B包含的基本 事件的个数
ห้องสมุดไป่ตู้
解
P( AB) 70 100 P( B A) 0.7368 P( A) 95 100
70 P ( B A) 0.7368 95 方法2：

5
B
70
95
A
例题2 在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益 而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一 颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再 出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中 方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？ 解1： 设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ B={出现的点数是奇数} ＝｛１，３，５｝
例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字
（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对 的概率；
都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款 机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：
（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超 过2次就按对的概率。
1 9 1 1 (1) P( A) P( A1 ) P( A1 A2 ) 10 10 9 5 1 4 1 2 (2) P( A | B) P( A1 | B) P( A1 A2 | B ) 5 54 5
二、内涵理解:
为什么上述例中P(B|A) ≠ P(B)？
样本空间不一样
P(B)以试验为条件,样本空间是
P(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为A
Ω
B A
P(B |A)相当于把Ａ看作 新的样本空间求AB发生 的概率
条件概率的定义：
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则
P ( AB ) P ( B A) P ( A)
B
A
基本概念 3.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系
P( AB) 表示在样本空间 中, 计算 AB发生 的概率, 而 P(B A ) 表示在缩小的样本空间 A 中, 计算 B 发生的概率.用古典概率公式, 则 AB 中样本点数 P( B A ) , A 中样本点数 AB 中样本点数 P( AB) 中样本点数 一般来说, P(B A ) 比 P( AB) 大.
法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题 的条件下，第二次抽到理科题的概率为
3 P( AB) 10 1 P( B A) 3 2 P( A) 5
法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以
n( AB) 6 1 P( B A) n( A) 12 2
法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、 两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为1/2
只需求事件 A 发生的条件下， 事件 B 的概率即Ｐ（B｜A） 5 1 3
n( AB) 2 P( B | A) n( A) 3
B
2 4,6
A
解法一（减缩样本空间法）
例 2 考虑恰有两个小孩的家庭.
（1）若已知 某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩 的概率； （2）若已知 某家第一个是男孩，求这家有两个男孩 （相当于第二个也是男孩）的概率 （假定生男生女为等可能）
2.2.1 条件概率
浙江省富阳市新登中学高二数学备课组
2013-3-17
复习引入：
1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的 和事件,记为 A B (或 A B ); 2. 事件 A与 B都发生的事件叫做 A与 B的积事件 , 记为 A B (或 AB );
3.若 AB 为不可能事件,则说事件A与B互斥.
例 3 甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象 记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20% 和18%，两地同时下雨的比例为12%，问： （1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？
（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？
解：设A=“甲地为雨天”， B=“乙地为雨天”， 则 P（A）=0.20，P（B ） =0.18 ， P （ AB ） =0.12 P( AB) 0.12 (1) P( A | B) 0.67 P( B) 0.18 P( AB) 0.12 (2) P( B | A) 0.60 P( A) 0.20
1 3 1 4
例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回 地依次抽取2道题，求： （1）第一次抽取到理科题的概率； （2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；
解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题 为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.
（2） n( AB) A 6
1 1 例 3 设P(A|B)=P(B|A)= ,P(A)= ,求P(B). 2 3
探究：
三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学 无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率 是否比前两名同学小。
思考1？