二元一次方程和他的解

3．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.注意：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如 也是二元一次方程组.4．二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解. 注意：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成的形式．(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．题型1：二元一次方程【例1-1】已知下列方程，其中是二元一次方程的有________． (1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7； (6)；(7)；(8)；(9)；(10)．举一反三：下列各方程中，是二元一次方程的是（ ） A ．=y+5x B ．3x+2y=2x+2y C ．x=y 2+1 D ．题型2：二元一次方程的解【例2-1】下列数组中，是二元一次方程x+y=7的解的是（ ） A ．B ．C ．D ．【例2-2】已知二元一次方程． ⎩⎨⎧=-=+52013y x x x ay b =⎧⎨=⎩2526x y x y +=⎧⎨+=⎩1222x y x y +=-⎧⎨+=-⎩102x +=251x y+=132x y +=280x y -=462x y +=3142x y +=(1)用含有x 的代数式表示y ；(2)用含有y 的代数式表示x ； (3)用适当的数填空，使是方程的解．举一反三：1、若方程的一个解是，则a= .2、已知：2x +3y =7，用关于y 的代数式表示x ，用关于x 的代数式表示y ．题型3：二元一次方程组及方程组的解【例3-1】下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（ ） A ．B ．C ．D ．【例3-2】判断下列各组数是否是二元一次方程组的解．（1） （2）举一反三：2_______x y =-⎧⎨=⎩24ax y -=21x y =⎧⎨=⎩4221x y x y +=⎧⎨+=-⎩①②35x y =⎧⎨=-⎩21x y =-⎧⎨=⎩1、写出解为的二元一次方程组．知识点二：代入消元法1、消元法消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.消元的基本思路：未知数由多变少.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程. 2、代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为：用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的． (2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便； ③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数绝对值较小的方程变形比较简便．题型1：用代入法解二元一次方程组 【例1-1】用代入法解方程组：的解为 ．12x y =⎧⎨=-⎩【例1-2】用代入法解二元一次方程组：举一反三：1、若方程y ＝1－x 的解也是方程3x ＋2y ＝5的解，则x ＝____，y ＝____.2、与方程组有完全相同的解的是（ ）A ．x+y －2=0B ．x+2y=0C ．(x+y －2)(x+2y)=0D ．3、若∣x－2y ＋1∣＋(x ＋y －5)2＝0，则 x= ， y= .题型2：由解确定方程组中的相关量 【例2-1】已知关于x ，y 的二元一次方程组的解互为相反数，求k 的值．【例2-1】若方程组的解为，试求的值.举一反三：524050x y x y --=⎧⎨+-=⎩①②2020x y x y +-=⎧⎨+=⎩22(2)0x y x y +-++=ax+by=11(5-a)x-2by+14=0⎧⎨⎩14x y =⎧⎨=⎩a b 、1、已知是二元一次方程组的解，则m﹣n的值是．知识点三：加减消元法1、加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法．用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．2、选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．题型1：加减法解二元一次方程组【例1-1】直接加减：已知21xy=⎧⎨=⎩是二元一次方程组21mx nynx my+=⎧⎨-=⎩的解，则3m n+的值为．【例1-2】先变系数后加减：2521 4323x yx y-=-⎧⎨+=⎩①②【例1-3】建立新方程组后巧加减：解方程组2511 524x yx y+=⎧⎨+=-⎩①②【例1-4】先化简再加减：解方程组0.10.3 1.3123x yx y+=⎧⎪⎨-=⎪⎩①②举一反三：1、已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y=a，求该方程组的解．题型2：用适当方法解二元一次方程组【例2-1】（1）323112x yx y-=⎧⎨=-⎩（2）5(1)2(3)2(1)3(3)m nm n-=+⎧⎨+=-⎩举一反三：1、用两种方法解方程组29(1) 321(2) x yx y+=⎧⎨-=-⎩三、课堂练习一、选择题1．下列方程组是二元一次方程组的是（）A．53x yz x+=⎧⎨+=⎩B．1113xxyx⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩C．434x y xyx y-+=⎧⎨-=⎩D．12132112(2)32x yx y x y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩2. 是方程ax﹣y=3的解，则a的取值是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．13. 方程组233x yx y-=⎧⎨+=⎩的解是（）A ．12x y =⎧⎨=⎩ B ．21x y =⎧⎨=⎩ C ．11x y =⎧⎨=⎩ D ．23x y =⎧⎨=⎩4.已知二元一次方程组6511327,x y y x +=⎧⎨-=⎩， ①②，下列说法正确的是（）A.适合②的,x y 的值是方程组的解①②B.适合①的,x y 的值是方程组的解C.同时适合①和②的,x y 的值不一定是方程组的解D.同时适合①和②的,x y 的值是方程组的解5．小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和★，则这两个数分别为（ ） A ．4和6 B ．6和4C ．2和8D ．8和﹣26．对于方程3x-2y-1＝0，用含y 的代数式表示x ，应是（ ）. A ．1(31)2y x =- B ．312x y += C ．1(21)3x y =- D ．213y x += 7．已知21x y =⎧⎨=⎩是二元一次方程组71ax by ax by +=⎧⎨-=⎩的解．则a-b 的值为（ ）.A ．-1B ．1C ．2D ．38．已知2|21|(27)0x y x y --++-=，则3x y -的值是（ ） A ．3 B ．1 C ．﹣6 D ．8 9．用加减消元法解二元一次方程组231543x y x y +=⎧⎨-=⎩①②，下列步骤可以消去未知数x 的是（ ）A ．①×4+②×3B ．①×2-②×5C ．①×5+②×2D ．①×5-②×2 10．解方程组①3759y x x y =-⎧⎨+=-⎩，②3512,215 6.x y x y +=⎧⎨-=-⎩比较简便的方法是（ ）A ．均用代入法B ．均用加减法C ．①用代入法，②用加减法D ．①用加减法，②用代入法 二、填空题11．已知方程2x+y ﹣5=0用含y 的代数式表示x 为：x= ．12.在二元一次方程组423x y x m y -=⎧⎨=-⎩中，有6x =，则_____,______.y m ==13.若（a ﹣3）x+y |a|﹣2=1是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值是 ．14．解方程组523,61,x y x y +=⎧⎨-=⎩①②若用代入法解，最好是对方程________变形，用含_______的代数式表示________．15.若方程3x-13y ＝12的解也是x-3y ＝2的解，则x ＝________，y ＝_______． 16.方程组的解是 ．17．用加减法解方程组3634x y x y -=⎧⎨+=-⎩①②时，①+②得________，即________；②－①得________，即________，所以原方程组的解为________． 18．若522325m n x y ++与632134m n x y ---的和是单项式，则m ＝_______，n ＝_______． 19．已知关于x ，y 的方程组271x y x y +=⎧⎨-=-⎩满足3x y +=，则k = ．三、解答题20.根据下列语句，分别设适当的未知数，列出二元一次方程或方程组． （1）甲数的13比乙数的2倍少7；（2）摩托车的时速是货车的32倍，它们的速度之和是200km/h ；（3）某种时装的价格是某种皮装价格的1.4倍，5件皮装比3件时装贵700元．21．用代入法解下列方程组：一、选择题1．下列各方程中，是二元一次方程的是（）A．=y+5x B．3x+1=2xy C．x=y2+1 D．x+y=12. 关于,m n的两个方程23321m n m n-=+=与的公共解是（）A.3mn=⎧⎨=-⎩B.11mn=⎧⎨=-⎩C.12mn=⎧⎪⎨=⎪⎩D.122mn⎧=⎪⎨⎪=-⎩3．利用代入消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．由①得x= B．由①得y=C．由②得y= D．由②得y=4．已知x+3y＝0，则3232y xy x+-的值为（）.A．13B．13- C．3 D．-35.一副三角板按如图摆放，∠1的度数比∠2的度数大50°，若设，，则可得到方程组为( ) .A. B. C. D.6．用加减消元法解二元一次方程组时，必须使这两个方程中（）A．某个未知数的系数是1 B．同一个未知数的系数相等C．同一个未知数的系数互为相反数 D．某一个未知数的系数的绝对值相等7．方程组231498x yx y+=-⎧⎨-=⎩的解是（）A．13xy=⎧⎪⎨=-⎪⎩B．2xy=⎧⎨=⎩C．1223xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩D．1223xy⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩8．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程2x+3y=6的解，则k的值为（）A．﹣B．C．D．﹣二、填空题9.若是二元一次方程的一个解，则的值是__________.10.已知，且，则___________.11.若方程ax-2y＝4的一个解是21xy=⎧⎨=⎩，则a的值是 .12．二元一次方程组的解是．13．方程组525x yx y=+⎧⎨-=⎩的解满足方程x+y-a＝0，那么a的值是________．14.已知二元一次方程组2728x yx y+=⎧⎨+=⎩，则x-y＝________，x+y＝________．三、解答题15．若方程组是二元一次方程组，求a的值．16．小明在解方程组时，遇到了困难，你能根据他的解题过程，帮他找出原因吗？并求出原方程组的解．。

二元一次方程的概念与解法二元一次方程是数学中常见的问题类型，它由两个未知数和一次项构成。

解决这类方程需要运用代数的基础知识和解方程的技巧。

本文将介绍二元一次方程的概念以及一些解法方法。

一、二元一次方程的概念二元一次方程又称为二元一次方程组，可用以下形式表示：ax + by = cdx + ey = f其中，a、b、c、d、e、f为已知数，x、y为未知数。

二元一次方程是一类形式简单且较易解的方程，通常用代数的方法来解决。

解二元一次方程有两种方法：消元法和代入法。

二、消元法解二元一次方程消元法是常用的解二元一次方程的方法之一。

其基本思路是通过对方程组进行合理加减运算，将其中一个未知数消去，从而得到一个只含有另一个未知数的一元一次方程。

具体解法步骤如下：1. 根据方程组的特点，选择合适的乘法因子使得方程中的两个未知数的系数相等或互为相反数；2. 将两个方程的乘法因子应用到方程组的两个方程，并对两个方程进行相应的乘法运算；3. 将两个经过乘法运算的方程相加或相减，消去其中一个未知数；4. 解得消去后的一元一次方程，得到该未知数的值；5. 将求得的未知数的值代入方程组中的任意一个方程，求解另一个未知数。

消元法是一种简便且直观的解法，通过适当的运算可以得到方程组的解。

三、代入法解二元一次方程代入法是另一种解二元一次方程的常用方法。

它的基本思路是将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示，然后代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知数的一元一次方程。

具体解法步骤如下：1. 选择一个已知数比较方便求解的方程，将该方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示；2. 将代入得到的新方程代入另一个方程，从而得到只含有一个未知数的一元一次方程；3. 解得一元一次方程，求得一个未知数的值；4. 将求得的未知数的值代入原来的方程，求解另一个未知数。

代入法在解一些特殊的二元一次方程时，往往能够更快地得到解。

四、总结二元一次方程是数学中常见的问题类型，解决这类方程需要运用代数的基础知识和解方程的技巧。

《二元一次方程和它的解》讲义一、什么是二元一次方程在数学的世界里，二元一次方程是一个非常基础且重要的概念。

那到底什么是二元一次方程呢？简单来说，二元一次方程就是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。

我们可以用一般形式来表示二元一次方程，即：ax ＋ by ＝ c （其中 a、b 都不为 0）。

比如说，像 2x ＋ 3y ＝ 7 、5x 2y ＝ 9 这样的方程，都是二元一次方程。

这里的 x 和 y 就是两个未知数，a 和 b 分别是 x 和 y 的系数，c 是常数项。

需要注意的是，方程中的系数 a、b 以及常数项 c 都是实数。

二、二元一次方程的特点了解了二元一次方程的定义，我们再来看看它有哪些特点。

首先，二元一次方程有两个未知数。

这两个未知数在方程中地位是平等的，没有主次之分。

其次，方程中含未知数的项的次数都是 1。

这意味着 x 和 y 的指数都是 1，不会出现像 x²或者 y³这样的情况。

再者，二元一次方程是整式方程。

也就是说，方程的分母中不含未知数。

比如 2/（x ＋ y) ＝ 3 就不是二元一次方程，因为分母中含有未知数x 和 y 。

三、二元一次方程的解既然有方程，那就必然有解。

那什么是二元一次方程的解呢？对于一个二元一次方程，如果能找到一组未知数的值，使得方程左右两边相等，那么这组未知数的值就叫做这个二元一次方程的一个解。

比如对于方程 2x ＋ 3y ＝ 7 ，如果 x ＝ 1 ，y ＝ 1 ，代入方程左边得到：2×1 ＋ 3×1 ＝ 5 ，不等于右边的 7 ，所以 x ＝ 1 ，y ＝ 1 不是方程的解。

而如果 x ＝ 2 ，y ＝ 1 ，代入方程左边得到：2×2 ＋ 3×1 ＝ 7 ，等于右边的 7 ，所以 x ＝ 2 ，y ＝ 1 就是方程 2x ＋ 3y ＝ 7 的一个解。

一般来说，一个二元一次方程有无数个解。

第一课时二元一次方程及二元一次方程的解教学目标：1、理解二元一次方程和二元一次方程的解的概念，会解决相关问题；2、会把二元一次方程转化成用含一个未知数的的代数式表示另一个未知数的形式，体会转化思想的应用3、体会数学的应用价值教学重点：1、二元一次方程和它的解的概念2、将二元一次方程变形成汗一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式教学难点：将二元一次方程变形成汗一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式教学方法：观察法讨论法教学过程：一、问题引入：根据篮球的比赛规则，赢一场得2分，输一场得1分，在某次中学生比赛中，一支球队赛了若干场后积20分，问该队赢了多少场？输了多少场？这可以转化为数学上的问题，设该队赢了x场，输了y场，那么你能说出输赢的所有可能情况吗？x 5 …y 10 …根据以上数据，能列出一些方程吗？二、新授1、观察：前边所列的方程有哪些共同得特点？2、概括：像这含有两个未知数，并且所含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

适合二元一次方程的一对未知数的值称为这个二元一次方程的一个解。

三、知识运用例1 甲种物品每个4kg，乙种物品每个7kg.现有甲种物品x个，乙种物品y个，共76kg .(1) 列出关于x、y的二元一次方程;(2) 如果x=12，求y的值；(3) 请将关于x、y的二元一次方程写成用含x的代数式表示y的形式例2 写出一个二元一次方程，使x=-1 ,y=3为它的一个解，该二元一次方程可以是_______________四、巩固练习（1）判断下列方程哪些是二元一次方程，哪些不是？① 6x+3y=4z ②7xy+y =9 ③2x+y+1 ④ 2（x+y）= 8-x（2）把下列方程写成用含x的代数式表示y的形式① 2x+y=10 ② x+y=20 ③2x+3y=12五、当堂反馈1、方程mx－2y=x+5是二元一次方程时，m的取值为（）A、m≠0B、m≠1C、m≠－1D、m≠22、下列各组数，既是方程2x-y=3的解，同时又是方程3x+4y=10的解的是( )A x=1B x=2C x=4D x=-2y=-1 y=1 y=5y=43、已知 x=2 是方程2x+ay=5的解，则a=_______y=14、二元一次方程2x+y = 5中，当x=2时，y= ;第一课时二元一次方程组教案一、学习内容：教材P 93——94内容二、教学目标：1、认识二元一次方程组；2、了解二元一次方程组的解，会求二元一次方程的正整数解.教学重点：二元一次方程组的解的概念，教学难点：求二元一次方程组的正整数解三：教学过程：一、自学探究1、例题：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分.负一场得1分，某队为了争取较好的名次，想在全部22场比赛中得到40分，那么这个队胜负场数分别是多少？思考：这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件？设胜的场数是x，负的场数是y，你能用方程把这些条件表示出来吗？由问题知道，题中包含两个必须同时满足的条件：胜的场数＋负的场数＝总场数，胜场积分＋负场积分＝总积分.观察上面两个方程可看出，每个方程都含有___ 个未知数（x和y），并且未知数的______ 都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. （P 93）把两个方程合在一起，写成x＋y＝22 ①2x＋y＝40 ②像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. （P 94）2、探究讨论：满足方程①，且符合问题的实际意义的x、y的值有哪些？把它们填入表中.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 思考：上表中哪对x、y的值还满足方程②x=18y=4既满足方程①，又满足方程②，也就是说它们是方程①与方程②的公共解。

二元一次方程组及其解法 一、学法指引：本专题主要学习二元一次方程（组）的定义及其解法，理解二元一次方程的解的意义，二元一次方程组的解的意义，以及二元一次方程组的解的三种情况，形如，ax+by=c 的方程叫二元一次方程，它有无数个解，由几个二元一次方程够成，叫二元一次方程组，解有三种情况：1）唯一解，2）无数解，3)无解。

解方程组的思想是消元，但在解方程组时，要根据方程组的数据特点来确定解法 二、探究与思考1）探究二元一次方程的有关概念形如ax+by=c (a b ≠0)方程叫二元一次方程，满足方程的解有无数个。

例1、下列方程中，是二元一次方程的是（ ）（A ）1=xy （B ）21=+yx （C ）13-=x y （D ）032=--x x 例2、已知关于x,y 的方程（a －2）x |a －1|+(b+3)y|b+4|=6是二元一次方程，求a ，b讲中练下列各组数中①⎩⎨⎧==22y x ②⎩⎨⎧==12y x ③⎩⎨⎧-==22y x ④⎩⎨⎧==61y x 是方程104=+y x 的解的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2)探究二元一次方程组的定义及其解法 形如 a 1x+b 1y=c 1的方程组叫二元一次方程组 a 2x+b 2y=c 2①代入消元法例3、用代入法解下列方程组(1)⎩⎨⎧=+-=18050y x y x (2)⎩⎨⎧=-=+173x y y x (3)233511x y x y +=⎧⎨-=⎩归纳：用代入消元法解方程组时，首先将其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数，然后代入另一个方程。

讲中练用代入法解下列(1)⎩⎨⎧=+=+7222y x y x (2) (3)②加减消元法例4、用加减法解下列方程组：(1)⎩⎨⎧=-=+534734y x y x （2）3216,31;m n m n +=⎧⎨-=⎩ （3）234,443;x y x y +=⎧⎨-=⎩归纳：用加减法解方程组时，首先将方程组中的某个未知数的系数化相等或互为相反数，然后将两个方程相加或相减。

第4讲 二元一次方程（组）的概念与解法一、知识回顾：一、二元一次方程组的相关概念 1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（一般用x 和y ），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程. 2.二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 特别说明：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为⎩⎨⎧ba＝＝y x 的形式.3. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.4. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.二、二元一次方程组的解法 1.解二元一次方程组的思想2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法 （1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x （或y ）的代数式表示y （或x ），即变成b ax y +=（或b ay x +=）的形式；②将b ax y +=（或b ay x +=）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y （或x ），得到一个关于x （或y ）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出x （或y ）的值；转化消元一元一次方程二元一次方程组④把x （或y ）的值代入b ax y +=（或b ay x +=）中，求y （或x ）的值； ⑤用“{”联立两个未知数的值，就是方程组的解. （2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程； ③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值； ⑤将两个未知数的值用“{”联立在一起即可.二、经典例题：知识点一、二元一次方程（组）的概念【例1】若(a −2)x |a−1|−3y =5是关于x 、y 的二元一次方程，则a 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．0或2 D ．1或2 【例2】下列各组数中，是二元一次方程3x −5y =8的解的是（ ）A ．{x =1y =1B ．{x =−1y =1C ．{x =−1y =−1D ．{x =1y =−1【例3】若{x =−1y =2是关于x ，y 的二元一次方程3x+ay=5的一个解，则a 的值为 【例4】如果{x =1，y =2是关于x ，y 的方程mx +2y =6的解，那么m 的值为（） A ．−2 B ．−1 C ．1 D ．2【例5】下列方程中：①xy =1 ；②3x +2y =4 ；③2x +3y =0 ；④x 4+y3=7 ，二元一次方程有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【例6】下列方程组是二元一次方程组的是（ ）A ．{mn =2m +n =3 B ．{5m −2n =01m+n =3C ．{m +n =03m +2a =16D ．{m =8m 3−n 2=1知识点二、二元一次方程组的解法【例7】用代入消元法解方程组 {y =x −13x −2y =5正确的化简结果是（ ） A ．3x −2x −2=5 B ．3x −2x +2=5 C ．3x −2x −1=5 D ．3x −2x +1=5【例8】用代入法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是（ ）A ．由（1），得x=2−4y 3B ．由（1），得y=2−3x 4C ．由（2），得x=y+52D ．由（2），得y=2x ﹣5【例9】解方程组。

《二元一次方程和它的解》讲义在数学的世界里，方程就像是一把神奇的钥匙，帮助我们解开各种各样的谜题。

今天，咱们就来聊聊二元一次方程以及它的解。

首先，什么是二元一次方程呢？简单来说，二元一次方程就是含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的整式方程。

一般形式可以写成：ax ＋ by ＝ c，其中 a、b、c 是常数，而且 a 和 b 都不能等于 0。

比如说，2x ＋ 3y ＝ 8 就是一个二元一次方程。

这里的 x 和 y 就是两个未知数，2 和 3 分别是 x 和 y 的系数。

那二元一次方程的解又是什么呢？二元一次方程的解是指使方程左右两边相等的一对未知数的值。

咱们还是以 2x ＋ 3y ＝ 8 为例。

如果 x ＝ 1，y ＝ 2，把它们代入方程中，左边＝ 2×1 ＋ 3×2 ＝ 2 ＋ 6 ＝ 8，右边也是 8，左边等于右边，所以 x ＝ 1，y ＝ 2 就是这个方程的一组解。

但是要注意哦，二元一次方程往往有无数组解。

为什么呢？因为我们可以通过变形来找到不同的解。

比如从 2x ＋ 3y ＝ 8 中解出 y，得到：y ＝（8 2x) ／ 3 。

然后我们可以给 x 取不同的值，计算出对应的 y 值，这样就能得到一组一组的解。

比如当 x ＝ 2 时，y ＝（8 2×2) ／ 3 ＝（8 4) ／ 3 ＝ 4 ／ 3 。

当 x ＝－1 时，y ＝（8 2×（－1)）／ 3 ＝（8 ＋ 2) ／ 3 ＝ 10 ／3 。

所以，只要给定一个 x 的值，按照方程就能算出一个对应的 y 值，从而得到一组解。

那怎么求二元一次方程的解呢？通常有两种方法，一种是代入消元法，另一种是加减消元法。

咱们先来说说代入消元法。

还是以这个方程为例：2x ＋ 3y ＝ 8 ①，x y ＝ 1 ②。

从方程②可以得到 x ＝ y ＋ 1 ，然后把 x ＝ y ＋ 1 代入方程①中，得到：2(y ＋ 1) ＋ 3y ＝ 8 ，展开括号：2y ＋ 2 ＋ 3y ＝ 8 ，合并同类项：5y ＋ 2 ＝ 8 ，移项：5y ＝ 6 ，解得：y ＝ 6 ／ 5 。

1．基本概念二元一次方程：方程中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程． 二元一次方程的一个解：适合一个二元一次方程的一组未知数的值．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解．2．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法（简称“代入法” ）：代入法的主要步骤：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元二次方程．（2）加减消元法（简称“加减法” ）：加减法的主要步骤：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，让二元一次方程组为一元一次方程求解．3．二元一次方程组的应用：利用二元一次方程组解决实际问题的过程：主要分为“鸡兔同笼”问题、“增收节支”问题、“数字问题”．列方程组解应用题的步骤：（1）设出未知数；（2）找出相等关系；（3）根据相等关系列方程组；（4）解方程组；（5）作答．一、选择题1．方程x+y=5的解有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个2．下列方程组中，不是二元一次方程组的是( )A ．112x y =⎧⎨-=⎩，B ．13x y x y +=⎧⎨-=⎩，C ．2104x y xy +=⎧⎨=⎩，D ．21x y x y =⎧⎨-=⎩，3．解二元一次方程组的基本思路是( )A ．代入法B ．加减法C ．代入法和加减法D ．将二元一次方程组转化为一元一次方程4．方程5x+4y=17的一个解是( )A ．13x y =⎧⎨=⎩， B ．21x y =⎧⎨=⎩， C ．32x y =⎧⎨=⎩， D ．41x y =⎧⎨=⎩， 5．方程组5(1)210(2)x y x y +=⎧⎨+=⎩，，由②—①得 ( )A ．3x=10B ．x=5C ．3x =－5D ．x=－56．若关于x 、y 的方程2211a b a b x y -++-=是二元一次方程，那么a 、b 的值分别是( )A ．1、0B ．0、－1C ．2、1D ．2、－37．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为5，则符合条件的两位数有 ( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个8．若x ：y=3：2，且3x+2y=13，则x 、y 的值分别为( )A ．3、2B ．2、3C ．4、1D ．1、49．若二元一次方程3x －y=7，2x+3y=1，y=kx －9有公共解，则k 的值为( )A ．3B ．－3C ．－4D ．410．某班共有学生49人．一天，该班某男生因事请假，当天的男生人数恰为女生人数的一半．若设该班男生人数为x ，女生人数为y ，则下列方程组中，能正确计算出x 、y 的是( )A ．()4921x y y x -=⎧⎪⎨=+⎪⎩，B ．()4921x y y x +=⎧⎪⎨=+⎪⎩，C ．()4921x y y x -=⎧⎪⎨=-⎪⎩，D ．()4921x y y x +=⎧⎪⎨=-⎪⎩， 11．“五一”黄金周，某人民商场“女装部”推出“全部服装八折”．男装部推出“全部服装八五折”的优惠活动，某顾客在女装部购买了原价x 元、男装部购买了原价为y 元的服装各一套，优惠前需付700元，而他实际付款580元，则可列方程组为 ( )A ．5800.80.85700x y x y +=⎧⎨+=⎩，B ．7000.850.8580x y x y +=⎧⎨+=⎩， C ．7000.80.85700580x y x y +=⎧⎨+=-⎩， D ．7000.80.85580x y x y +=⎧⎨+=⎩， 12．某校春季运动会比赛中，八年级(1)班、(5)班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：“(1)班与(5)班得分比为6：5．”乙同学说：“(1)班得分比(5)班得分的2倍少40分．”若设(1)班得x 分，(5)班得y 分，根据题意所列的方程组应为( )A ．65240x y x y =⎧⎨=-⎩，B ．65240x y x y =⎧⎨=+⎩，C ．56240x y x y =⎧⎨=+⎩，D ．56240x y x y =⎧⎨=-⎩， 二、填空题13．在方程2x －y=1中，若x=－4，则y=________；若y=－3，则x=________．14．写出满足二元一次方程x+2y=9的一对整数解_____________．15．已知12x y =⎧⎨=⎩，是方程a x －3y=5的一个解，则a =____________．16．若x －y=5，则14－3x+3y=______________．17．若一个二元一次方程的一个解为21x y =⎧⎨=-⎩，，则这个方程可以是_______．(只要求写出一个)18．方程组3520x y x y +=⎧⎨-=⎩，的解是____________． 19．若二元一次方程组23521x y x y +=⎧⎨-=⎩，的解是方程8x －2y=k 的解，则k=___________．20．若12x y =⎧⎨=⎩，和24x y =-⎧⎨=-⎩，都是某二元一次方程的解，则这个二元一次方程是_______．21．在y=kx+b 中，当x=1时，y=4：当x=2时，y=10，则k=______，b=________．22．有一个两位数，它的两个数字之和为11，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，所得的新数比原数大63，设原两位数的个位数字为x ，十位数字为y ，则用代数式表示原两位数为_________，根据题意得方程组____________________________.⎧⎨⎩， 三、解答题23．解下列方程组：(1)4519323m n m n +=-⎧⎨-=⎩，； (2)32123x y x y ++==24．已知二元一次方程：(1)x+y=4；(2)2x －y=2；(3)x －2y=1．请从这三个方程中选择你喜欢的两个方程，组成一个方程组，并求出这方程组的解．25．若关于x 、y 的二元一次方程组3522718x y x y m +=⎧⎨+=-⎩，的解x 、y 互为相反数，求m 的值．26．已知方程组44ax y -=⎧⎨⎩，(1)2x+by=14，(2)由于甲看错了方程①中的a 得到方程组的解为26x y =-⎧⎨=⎩，， 乙看错了方程②中的b 得到方程组的解为44.x y =-⎧⎨=-⎩，若按正确的a 、b 计算，求原方程组的解．二元一次方程组解应用题题型一、列二元一次方程组解决生产中的配套问题1、某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每2米的某种布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只，贤计划用132米这样布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套题型二、列二元一次方程组解决行程问题2、甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。

二元一次方程组的概念和解法要点精析二元一次方程组是初中代数的重要内容之一，它的应用很广泛.一方面在进一步学习高中数学如平面解析几何时要用它们；另一方面在国防、科技、工、农、商业和生活的实际问题中也要用到它们.同学们必须把它学好，在学习时要注意以下几个问题：一、正确理解四个概念1. 二元一次方程 含有两个未知数，并且未知项的次数是1的方程叫做二元一次方程.如x + y =6.必须注意：同时具备下列三个条件的方程才能叫做二元一次方程.（1）二元一次方程必须是整式方程.即等号两边的代数式必须是整式（单项式，多项式）.如x+ 1y =1, 14x+ 2y = 6都不是二元一次方程，而是分式方程（分母中含有未知数）. （2）二元一次方程中必须含有两个未知数.如2x+3=0含有一个未知数，x+4y+z=5含有三个未知数，因而，它们都不是二元一次方程.（3）二元一次方程中的“一次”指的是含未知数的项的次数，而不是指某个未知数的次数.即未知项的次数必须是“一次”.如xy+3=0就不是二元一次方程，尽管x 、y 的次数都是一次，但单项式xy 的次数为二，所以，它不是二元一次方程，而是二元二次方程. 例1.下列方程中，二元一次方程是（ ）.(A)xy=1 (B)y=3x － 1 (C)x+1y=2 (D)x 2＋y －3=0 （上海市中考题）解析：本题可利用二元一次方程的概念进行检验.显然，方程xy=1,x 2＋y －3=0都不满足“未知项的次数是1的条件”，而方程 x ＋1y =2的左边 x +1y 不是整式.故只有方程y=3x －1符合二元一次方程的概念.选(B).例2.若220a b a b x y -+--=是二元一次方程，那么a 、b 的值分别是（ ）.(A)1,0 (B)0,－1 (C) (D)2,－3（陕西省中考题）解析：根据二元一次方程的意义，即含未知数的项的次数是1，得12 1.a b a b -=⎧⎨+-=⎩， 即 13.a b a b -=⎧⎨+=⎩， 解得21.a b =⎧⎨=⎩，故选(C). 2. 二元一次方程的解 能使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做二元一次方程的解.如11.x y =⎧⎨=⎩， 能使方程x+y=2的左右两边的值相等，所以11.x y =⎧⎨=⎩，就叫做方程x+y=2的一个解.但是，能使该方程的左右两边的值相等的未知数的值有无数对，如20.xy=⎧⎨=⎩，31.xy=⎧⎨=-⎩，……所以，任何一个二元一次方程都有无数个解.例3.二元一次方程x －2y=1有______个解.（上海市中考题）解：无数.例4.已知12.xy=⎧⎨=⎩，是方程ax－3y=5的一个解，则a=___.（苏州市中考题）解析：根据二元一次方程的解的意义，将12.xy=⎧⎨=⎩，代入方程，解关于a的一元一次方程.得a=11.3. 二元一次方程组两个含有相同未知数的二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.二元一次方程组必须具备以下三个条件：（1）有两个或两个以上的整式方程组成，常用“{”把这些方程联合在一起.（2）方程组中含有两个不同未知数，且方程组中，同一未知数代表同一数量.（3）方程组中每个方程经过整理后，都是一次方程.但要注意：二元一次方程组里一共含有两个未知数，而不是一定要每个方程都含有两个未知数.例如，211.x yy+=⎧⎨=⎩，也是二元一次方程组.同样，方程组21062.x yx yy x+=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，，，虽然是由三个二元一次方程组成，但整个方程组中只有两个未知数，所以它仍然是二元一次方程组,而方程组3050.x zx y+=⎧⎨+=⎩，中，虽然，每个方程中都只含有两个未知数，但整个方程组中却有三个未知数，因此它不是二元一次方程组，而是三元一次方程组.4. 二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程的左、右两边的值都相等的两个未知数的值，即方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.如12.xy=-⎧⎨=⎩，是方程组31.y xx y-=⎧⎨+=⎩，的一个解（其实是一对数），但不能叫两个解.要注意：解方程组时，原方程组中每个方程都至少要用到一次.方程组的解满足方程组中的每个方程，反之，方程组中任何一个方程的解不一定是方程组的解.例5.已知12xy=⎧⎨=⎩是方程组120.ax yx by+=-⎧⎨-=⎩，的解，则a+b=( ).(A)2 (B)-2 (C)4 (D) - 4（浙江省绍兴市中考题）解析：根据二元一次方程组的解的概念.12xy=⎧⎨=⎩满足方程组120.ax yx by+=-⎧⎨-=⎩，于是代入得21,220.ab+=-⎧⎨-=⎩解得3,1ab=-⎧⎨=⎩所以a+b=-3+1=－2.故选(B).二、注意领会一个思想有一位著名数学家曾经指出：“解题就是把习题归结为已经解过的问题”.由此可知，解数学题时，要自觉地把题目变型转化，归结为“已经解过的问题”来处理，这种关于解题的思想称为“化归”，它体现了“在一定条件下，不同的事物可以互相转化”的唯物辨证观点，是解数学题的一盏指路名灯.在本章内容中，蕴涵的一个重要化归思想就是“消元”.即把“三元”通过消去一个未知数转化为“二元”，“二元”再通过消去一个未知数转化为“一元”.转化为一元一次方程就会解了，化“未知”为“已知”，化“复杂”为“简单”，充满了辨证思维，希望同学们好好领会.三、熟练掌握两种方法代入消元法和加减消元法是二元一次方程组的常规解法.1.代入消元法的主要步骤；（1）求表达式从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数，例如y,用含另一个未知数(x)的代数式表示出来，写成y=ax+b的形式；（2）代入消元将表达式y=ax+b代入另一个方程中，消去y,得到一个关于x一元一次方程；（3）解方程解这个一元一次方程，求出x的值；（4）回代得解把求得的x的值代入y=ax+b中，求出y的值，从而得到方程组的解.2.加减消元法的主要步骤：（1）变换系数方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，使一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）加减消元把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解方程解这个一元一次方程；（4）回代得解将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数，从而得到方程组的解.在解方程组时，应根据题中的系数构成情况灵活选用两种方法，一般说来：①当方程组中有一个方程的某一个未知数的系数绝对值是1；②当方程组中有一个方程的常数项是0，此时用代入法较简捷.又，①当方程组中两个方程的某一个未知数的系数绝对值相等；②当方程组中两个方程的某一个未知数的系数成整数倍，此时用加减法较简捷.。