圆对称性垂径定理逆定理

可推得
D
① CD是直径, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
垂径定理的逆定理二
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分
弦所对的两条弧
C
A
┗
●
B O 由 ② CD⊥AB于M ③ AM=BM
可推得
M
●
D
① CD是直径, ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD.
A B D O
C
例2、 若D是BC的中点AD⊥BC,BC=24,AD=9, 求⊙O的半径。
例3、 如图所示， C是AB的中点， OC交AB于点D ，AB=6cm, CD=1cm
求⊙O的半径长
C A B
D
O
练习一、判断正误： （1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。 （2）平分弦的直线，必定过圆心。 （3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。
A C O D A C O B A C O B

(1) B
(2) D
(3) D
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。

（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。 （6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
B O O D A (5)
C
A
C (4)
B
C
A
O E D (6)
B
练习二、
• 已知⊙o的半径为2cm，弦AB的长为2 3cm • 求这弦中点到这弦所对的劣弧的中点的距离。
平分弦不是直径的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧垂径定理再梳理一下
垂径定理
垂直于弦的直径平分 这条弦，并且平分弦 所对的两条弧。

O
F E G
B D
延伸提高
1.过⊙O内一点A的最长弦为10㎝，最短弦为8㎝，则 OA= ㎝ 2.已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E。已 知AE=1㎝，EB=5㎝，∠DEB=60，求CD的长 3. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上 的一点,且OE⊥CD垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半 径. C D E
圆的对称性
——垂径定理
3.1
圆的对称性
复习提问：
1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪 些轴对称图形？ 如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部 分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如 线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、 正方形
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多 少条对称轴？ 你是用什么方法解决上述问题的?
A
E
B
O
·
AO OE AE
2 2
2
AO OE2 AE2 = 32 +42 =5cm
答：⊙O的半径为5cm.
1.在⊙O中，若CD ⊥AB于M，AB为直径， A 则下列结论不正确的是（ ）C C M└ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ A、AC=AD B、BC=BD O C、AM=OM D、CM=DM
●
3、在涉及圆的弦的问题时通常通过做过圆心的弦的垂线从而利用 垂径定理与勾股定理来解决问题。 a
⑴d + h = r ⑵
2
h
d O
AO 2 OM 2 AM 2 根据勾股定理，得：
∴ AM AO2 OM 2 102 62 8 ∴ AB = 2AM = 2 x 8 = 16

教学过程复习导入1、我们已经学习了圆怎样的对称性质？（中心对称）2、实验：探究圆的轴对称性。

如图（1），若将⊙O沿直径AB 对折，观察两部分是否重合？让学生用自己准备好的圆形纸片亲自实验，教师引导学生努力发现：圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线（或直径所在的直线）都是它的对称轴。

B （1）一、复习预习引入新知：如图（2），左图中AB 是⊙O 的弦，直径CD 与弦AB 相交，那么沿直径CD 所在的直线折叠之后，图形可以重合吗？右图中，AB 是⊙O 的弦，直径CD ⊥AB,垂足为E 。

此时再沿直径CD所在直线折叠，图形可以重合吗？（重合，说明此图也是轴对称图形，称这种处于特殊位置的直径称为垂直于弦的直径），引出本节课研究的内容。

（一）猜想，证明，形成垂径定理1、提问：继续观察图（2）的右图，根据圆的对称性，把圆沿直径CD 所在的直线折叠之后，圆中的线段和弧会出现怎样的位置关系？同时出现怎样的数量关系？2、猜想：可能出现的位置关系是：（2）线段AE 和线段BE 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合。

可能出现的数量关系是：,,AE BE AC BC AD BD===))))二、知识讲解考点11、证明：利用等腰三角形三线合一的性质或者三角形全等的知识来证明线段AE 与线段BD 相等，利用圆的对称性证明对应弧相等。

O CD AB,E AE BDCD AC BCAD BD=⎧⎫⎪⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩))))是圆的直径垂足为2、引导学生归纳总结垂径定理的文字表述：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

考点2 练习：在下列图形中，能使用垂径定理的图形有哪些？引申定理：定理中垂直于弦的直径可以是直径、半径，也可以是过圆心的直线或线段。

考点3已知：如图（3），在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm。

求：⊙O的半径。

变式（1）：如图（3），在⊙O中，圆心O到弦AB的距离为3cm，⊙O的半径为5cm。

圆的知识点总结高中
定义与性质：
圆是由平面上到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点组成的图形。

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

基本定理：
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

圆心角、圆周角与弧的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两组弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

直径所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径。

点与圆的位置关系：
点在圆外，则点到圆心的距离大于半径；点在圆上，则点到圆心的距离等于半径；点在圆内，则点到圆心的距离小于半径。

圆的方程：
在直角坐标系中，圆的标准方程为 (x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中 (a, b) 是圆心坐标，r 是半径。

圆的一般方程为 x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0，其中圆心坐标为 (-D/2, -E/2)，半径为sqrt((D^2 + E^2 - 4F)/4)。

圆的应用：
圆在实际生活中有着广泛的应用，如杯子、轮胎、电风扇等的设计都涉及到了圆的知识。

以上就是高中数学中关于圆的一些主要知识点。

掌握这些知识点，不仅有助于理解圆的基本性质和定理，还能更好地应用圆的知识解决实际问题。