9年级数学--超经典圆的基本性质垂径定理弦切角定理切割线定理及相交弦定理

1.垂径定理及推论:如图：有五个元素，“知二可推三”；需记忆其中四个定理，即“垂径定理”“中径定理”“弧径定理”“中垂定理”.几何表达式举例：∵ CD过圆心∵CD⊥AB2.平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等.几何表达式举例：3.“角、弦、弧、距”定理：（同圆或等圆中）“等角对等弦”；“等弦对等角”；“等角对等弧”；“等弧对等角”；“等弧对等弦”；“等弦对等(优，劣)弧”；“等弦对等弦心距”；“等弦心距对等弦”.几何表达式举例：(1) ∵∠AOB=∠COD∴ AB = CD(2) ∵ AB = CD∴∠AOB=∠COD4．圆周角定理及推论:（1）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；(如图)（3）“等弧对等角”“等角对等弧”；（4）“直径对直角”“直角对直径”；(如图)（5）如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.(如图)（1）（2）（3）（4）几何表达式举例：（1）∵∠ACB=∠AOB∴……………（2）∵ AB是直径∴∠ACB=90°（3）∵∠ACB=90°∴ AB是直径（4）∵ CD=AD=BD∴ΔABC是RtΔ5．圆内接四边形性质定理:圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.几何表达式举例：∵ ABCD是圆内接四边形∴∠CDE =∠ABC∠C+∠A =180°6．切线的判定与性质定理:如图：有三个元素，“知二可推一”；需记忆其中四个定理.（1）经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（2）圆的切线垂直于经过切点的半径；※（3）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；※（4）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.几何表达式举例：（1）∵OC是半径∵OC⊥AB∴AB是切线（2）∵OC是半径∵AB是切线∴OC⊥AB（3）……………7．切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.几何表达式举例：∵ PA、PB是切线∴ PA=PB∵PO过圆心∴∠APO =∠BPO8．弦切角定理及其推论: 几何表达式举例：（1）弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；（2）如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等；（3）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半.（如图）（1）∵BD是切线，BC是弦∴∠CBD =∠CAB（2）∵ ED，BC是切线∴∠CBA =∠DEF9．相交弦定理及其推论:（1）圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等；（2）如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项. 几何表达式举例：（1）∵PA·PB=PC·PD∴………（2）∵AB是直径∵PC⊥AB∴PC2=PA·PB10．切割线定理及其推论:（1）从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项；（2）从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.几何表达式举例：（1）∵PC是切线，PB是割线∴PC2=PA·PB （2）∵PB、PD是割线∴PA·PB=PC·PD11．关于两圆的性质定理:（1）相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦；（2）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上.（1）（2）几何表达式举例：（1）∵O1，O2是圆心∴O1O2垂直平分AB （2）∵⊙1 、⊙2相切∴O1 、A、O2三点一线12．正多边形的有关计算:（1）中心角αn ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角βn ，边数n；（2）有关计算在RtΔAOC中进行. 公式举例：(1) αn =；(2)几何B级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：圆的几何定义和集合定义、弦、弦心距、弧、等弧、弓形、弓形高三角形的外接圆、三角形的外心、三角形的内切圆、三角形的内心、圆心角、圆周角、弦切角、圆的切线、圆的割线、两圆的内公切线、两圆的外公切线、两圆的内（外）公切线长、正多边形、正多边形的中心、正多边形的半径、正多边形的边心距、正多边形的中心角.二定理：1．不在一直线上的三个点确定一个圆.2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3．正n边形的半径和边心距把正n边形分为2n个全等的直角三角形.三公式：1.有关的计算：（1）圆的周长C=2πR；（2）弧长L=；（3）圆的面积S=πR2.（4）扇形面积S扇形=；（5）弓形面积S弓形=扇形面积S AOB±ΔAOB的面积.（如图）2.圆柱与圆锥的侧面展开图：（1）圆柱的侧面积：S圆柱侧 =2πrh； (r:底面半径；h:圆柱高)（2）圆锥的侧面积：S圆锥侧 =. （L=2πr，R是圆锥母线长；r是底面半径）四常识：1．圆是轴对称和中心对称图形.2．圆心角的度数等于它所对弧的度数.3．三角形的外心⇔两边中垂线的交点⇔三角形的外接圆的圆心；三角形的内心⇔两内角平分线的交点⇔三角形的内切圆的圆心.4．直线与圆的位置关系：（其中d表示圆心到直线的距离；其中r表示圆的半径）直线与圆相交⇔ d＜r ；直线与圆相切⇔ d=r ；直线与圆相离⇔ d＞r.5．圆与圆的位置关系：（其中d表示圆心到圆心的距离，其中R、r表示两个圆的半径且R≥r）两圆外离⇔ d＞R+r；两圆外切⇔ d=R+r；两圆相交⇔ R-r＜d＜R+r；两圆内切⇔ d=R-r；两圆内含⇔ d＜R-r.6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径”的方法加辅助线.7．关于圆的常见辅助线：已知弦构造弦心距.已知弦构造RtΔ. 已知直径构造直角.已知切线连半径，出垂直.圆外角转化为圆周角. 圆内角转化为圆周角. 构造垂径定理. 构造相似形.两圆内切，构造外公切线与垂直.两圆内切，构造外公切线与平行.两圆外切，构造内公切线与垂直.两圆外切，构造内公切线与平行.两圆同心，作弦心距，可证得AC=DB.两圆相交构造公共弦，连结圆心构造中垂线. PA、PB是切线，构造双垂图形和全等.相交弦出相似.一切一割出相似, 并且构造弦切角.两割出相似,并且构造圆周角.双垂出相似,并且构造直角.规则图形折叠出一对全等，一对相似.圆的外切四边形对边和相等. 若AD ∥BC都是切线，连结OA、OB可证∠AOB=180°，即A、O、B三点一线.等腰三角形底边上的的高必过内切圆的圆心和切点,并构造相似形.RtΔABC的内切圆半径：r=.补全半圆.AB=. AB=.PC过圆心，PA是切线，构造双垂、RtΔ.O是圆心，等弧出平行和相似. 作AN⊥BC，可证出:.。

垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB 是直径②AB CD⊥③CE DE=④弧BC =弧BD⑤弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。

此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④弧BA =弧BD 圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。

即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角∴C D∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧DBBBA是半圆，所对的弦是直径。

即：在⊙O 中，∵AB 是直径或∵90C ∠=°∴90C ∠=°∴AB 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

即：在△ABC 中，∵OC OA OB==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=°注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

九年级数学圆知识点总结初三圆的知识点总结：五个元素中，“知二可推三”，需要记忆其中的四个定理：垂径定理、中径定理、弧径定理和中垂定理。

平行线夹弧定理：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

角、弦、弧、距”定理：同圆或等圆中，有“等角对等弦”、“等弦对等角”、“等角对等弧”、“等弧对等角”、“等弧对等弦”、“等弦对等(优、劣)弧”、“等弦对等弦心距”和“等弦心距对等弦”。

圆周角定理及推论：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

圆内接四边形性质定理：圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

切线的判定与性质定理：有三个元素，“知二可推一”，需要记忆其中的四个定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

弦切角定理及其推论：从圆外一点引弦与切线相交，切点与弦的两个端点所成的角等于弦上与切点相对的圆周角的一半。

2.由于格式错误不明显，无法进行修改。

A在圆的几何中，有一些重要的定理和公式，可以帮助我们解决问题。

1.切线定理及其推论：1) 若直线AB是圆O的切线，点C在圆O上，那么∠CAB是直角。

2) 若PA、PB是圆O的切线，那么PA=PB。

3) 若PO是圆O的半径，那么∠APO=∠BPO。

2.XXX是圆O的切线，BC是圆O的弦，那么∠CBD=∠CAB。

3.若ED、BC是圆O的切线，那么∠CBA=∠DEF。

4.相交弦定理及其推论：1) 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

2) 若弦与圆的直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段长的比例中项。

5.切割线定理及其推论：1) 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

2) 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

九年级圆的定理总结如下：1.圆上三点确定一个圆，且确定一个唯一的圆心，该圆心是三点所连线段垂直平分线的交点。

2.垂径定理：垂直于弦的直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。

3.切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

5.弦心距定理：弦心距平分弦所对的弧。

6.相交弦定理：弦与直径垂直于弦的直径平分该弦，且平分该弦所对的两条弧。

7.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点和圆心的连线平分两条割线的夹角。

8.直径所对的圆周角等于90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

9.同圆或等圆的半径相等，直径等于半径的两倍。

10.圆是中心对称图形，对称中心是圆心。

11.如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（公共弦）垂直平分两圆的连心线。

12.如果两圆相切，那么两圆的半径之和等于圆心距，或两圆半径之差等于圆心距。

13.两圆的半径之比等于圆心距之比等于两圆周长之比。

14.圆内接四边形的对角互补，内角和等于360度。

15.弧长公式：l=nπr/18016.扇形面积公式：s=1/2lr=1/2nπr²17.圆锥侧面积公式：s=1/2rl=πrl18.点P在圆O内，PA切圆O于A，则OP<PA。

19.点P在圆O上，PA切圆O于A，则OP=PA。

20.点P在圆O外，PA切圆O于A，则OP>PA。

21.从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

22.从圆外一点因圆的两条割线，这一点到割线与圆交点的两条线段长的积等于这一点到圆心的距离与圆的半径的积。

23.直线和圆相交，则有公共点；直线和椭圆相交，则有公共点；直线和双曲线相交，则有公共点；直线和抛物线相交，则有公共点；平面解析几何适用范围要熟记。

九年级圆知识点总结在数学中，圆是一个重要的几何概念，也是九年级数学课程中的重点内容之一。

掌握圆的基本性质和相关定理对于学好数学非常重要。

本文将对九年级圆的知识点进行总结和归纳，希望能够帮助同学们更好地理解和掌握圆。

一、圆的性质1. 定义：圆是由平面内所有离定点相等距离的点组成的集合。

这个定点叫做圆心，相等的距离叫做圆的半径。

2. 圆的要素：圆心、半径、直径、弦、弧、切线、相切等。

3. 圆的基本性质：在同一个圆或等圆中，以下性质成立。

- 圆心角相等：具有相同圆心的弧所对的圆心角相等。

- 弧长比：在同一圆或等圆中，弧长是半径的倍数。

- 弦长比：在同一圆或等圆中，弦长相等的弦所对的两条弧相等。

- 圆内任何一点到圆心的距离相等。

二、圆的重要定理和公式1. 弧度制：弧度是角度的补充单位，它是圆心角所对圆弧长度等于半径的角。

弧度与角度之间的换算关系是：弧度 = 角度× π / 180。

2. 圆周长：圆周长等于直径与π的乘积，即C = πd。

其中d为圆的直径。

3. 扇形面积：扇形面积等于圆心角所对弧所在圆的面积的比例，即S = (θ/360°) × πr²。

其中θ为圆心角的度数。

4. 弧长公式：弧长等于圆心角所对弧的弧度乘以半径，即L = θr。

5. 切线的性质：切线与半径的关系是垂直。

并且半径和切线在切点处相互垂直(T ⊥ R)。

6. 切线长：切线长等于半径与相切点到圆心的距离的乘积，即L = r × d。

三、圆的相关定理1. 内切圆定理：如果一个圆与一个三角形的三条边相切，则这个圆的圆心是这个三角形的内心。

2. 外切圆定理：如果一个圆与一个三角形的每一边都相切，则这个圆的圆心是这个三角形的外心。

3. 正切线定理：如果一条直线与一个圆相切，则这条直线垂直于半径，并且相切点处的切线与直线为垂直关系。

4. 弦弧定理：在同一个圆中，两条相交弦所对的弧相等。

综上所述，九年级圆的知识点包括圆的性质、圆的重要定理和公式，以及圆的相关定理。

【导语】学习中的困难莫过于⼀节⼀节的台阶，虽然台阶很陡，但只要⼀步⼀个脚印的踏，攀登⼀层⼀层的台阶，才能实现学习的理想。

祝你学习进步！下⾯是⽆忧考为您整理的《苏教版九年级上册数学知识点归纳》，仅供⼤家参考。

【篇⼀】 ⼀、圆的定义 1、以定点为圆⼼，定长为半径的点组成的图形。

2、在同⼀平⾯内，到⼀个定点的距离都相等的点组成的图形。

⼆、圆的各元素 1、半径：圆上⼀点与圆⼼的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆⼼的线段。

3、弦：连接圆上两点线段(直径也是弦)。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。

半圆周也是弧。

(1)劣弧：⼩于半圆周的弧。

(2)优弧：⼤于半圆周的弧。

5、圆⼼⾓：以圆⼼为顶点，半径为⾓的边。

6、圆周⾓：顶点在圆周上，圆周⾓的两边是弦。

7、弦⼼距：圆⼼到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质 1、圆的对称性 (1)圆是图形，它的对称轴是直径所在的直线。

(2)圆是中⼼对称图形，它的对称中⼼是圆⼼。

(3)圆是对称图形。

2、垂径定理。

(1)垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。

(2)推论： 平分弦(⾮直径)的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆⼼⾓的度数等于它所对弧的度数。

圆周⾓的度数等于它所对弧度数的⼀半。

(1)同弧所对的圆周⾓相等。

(2)直径所对的圆周⾓是直⾓;圆周⾓为直⾓，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周⾓、两个圆⼼⾓、两条弦⼼距五对量中只要有⼀对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平⾏线间的两条弧相等。

6、设⊙O的半径为r，OP=d。

7、(1)过两点的圆的圆⼼⼀定在两点间连线段的中垂线上。

(2)不在同⼀直线上的三点确定⼀个圆，圆⼼是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。

(直⾓的外⼼就是斜边的中点。

) 8、直线与圆的位置关系。

d表⽰圆⼼到直线的距离，r表⽰圆的半径。

4圆是定点的距离等于定长的点的集合5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12 ①直线L和⊙O相交 d＜r②直线L和⊙O相切 d=r③直线L和⊙O相离 d＞r13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35 ①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37 定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长42正三角形面积√3a／4 a表示边长43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=444弧长计算公式：L=n兀R／18045扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／246内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1.切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

九年级数学下册圆的知识点整理圆的应用在数学领域中非常的广泛且常见，下面是小编给大家带来的九年级数学下册《圆》知识点整理，希望能够帮助到大家!九年级数学下册《圆》知识点整理第十章圆重点①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

☆ 内容提要☆一、圆的基本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论5. 与圆有关的角：⑴圆心角定义(等对等定理)⑵圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)⑶弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.三种位置及判定与性质：初中数学复习提纲2.切线的性质(重点)3.切线的判定定理(重点)。

圆的切线的判定有⑴…⑵…4.切线长定理三、圆换圆的位置关系初中数学复习提纲1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：⑴定义⑵性质四、与圆有关的比例线段初中数学复习提纲1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲 (右图)(解Rt△OAM可求出相关元素, 初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式初中数学复习提纲4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面展开图及相关计算七、点的轨迹六条基本轨迹八、有关作图1.作三角形的外接圆、内切圆2.平分已知弧3.作已知两线段的比例中项4.等分圆周：4、8;6、3等分九、基本图形十、重要辅助线1.作半径2.见弦往往作弦心距3.见直径往往作直径上的圆周角4.切点圆心莫忘连5.两圆相切公切线(连心线)6.两圆相交公共弦。

1、有关圆的基本性质与定理⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。

2、圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

3、圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

4、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

5、逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

6、⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

7、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

8、直径所对的圆周角是直角。

9、90度的圆周角所对的弦是直径。

10、如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

11、⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

12、外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

13、③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长）④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

14、（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

15、（5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

16、（6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

17、（7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

18、（8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

19、（9）圆外角的度数等于这个等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

20、〖有关切线的性质和定理〗圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

初中数学九年级 一、圆1、 圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形（1）区分点在圆内，圆外和圆上的判定方法：点到圆心的距离与半径的比较 2、圆是轴对称（对称轴是任意一条过圆心的直线）和中心对称（对称中心是圆 心）（1）圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（区分优弧和劣弧） （2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦（3）直径：经过圆心的弦叫直径（直径是弦，但弦不一定是直径） 3、（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

推理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （2）两条平行的弦所夹的弧相等（3）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧、弦、弦心距都相等，（4）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有 一组向量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等 4、圆心角和圆周角的关系：圆心角=2倍圆周角（同一条弧） （1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角，090的圆周角所对的弦是直径 5、圆的确定：不在同一直线的三点确定一个圆 （1）证明四点共圆的方法思路一：先从四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上。

思路二：四点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．思路三：运用有关定理或结论（1）共底边的两个直角三角形，则四个顶点共圆，且直角三角形的斜边为圆的直径．（2）共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆． （3）对于凸四边形ABCD ，对角互补⇔四点共圆。

（4）相交弦定理的逆定理：对于凸四边形ABCD 其对角线AC 、BD 交于P ，PD BP PC AP ⋅=⋅⇔四点共圆。

（5）割线定理：对于凸四边形ABCD 其边的延长线AB 、CD 交于P ，PD PC PB PA ⋅=⋅⇔四点共圆。

图（3） 图（4） 图（5）A B C D A B CD P ABCDP6、三角形的外接圆——三角形任意两条边的垂直平分线的交点是三角形外接圆 的圆心，叫外心锐角、直角和钝角三角形的外接圆的圆心的位置要区分 注意：（1）直角三角形的外心即为斜边中心，因此直角三角形外接圆的直径 即为斜边边长 （2）直角三角形的外接圆是以斜边中心为圆心的，斜边长的一半为半 径的圆二、直线与圆的位置关系——相离、相交、相切1、判定方法：圆心到直线的距离与半径的比较或者直线与圆的交点个数 （1）圆的切线垂直于过切点的直径（2）经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是切线 （3）拓展知识：① 弦切角定理：弦切角等于他所夹的弧所对的圆周角。

圆的性质定理一．定理：1.垂径定理：垂直于弦的直径均分这条弦，并均分弦所对的两条弧。

2.垂径定理的推论： (1) 均分弦 (不是直径 )的直径垂直于弦； (2) 弦的垂直均分线经过圆心，而且均分弦所对的两条弧；(3) 均分弦所对的一条弧的直径，垂直均分弦，而且均分弦所对的另一条弧。

（5 个条件：①直径②垂直于弦③均分弦④均分弦所对的优弧⑤均分弦所对的劣弧，知足此中两个，其余三个也建立。

注：当具备① ③时，需对另一条弦增添它不是直径的3.圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

4．圆周角定理的推论：(1) 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等； (2) 半圆或直径所对的圆周角是直角， 90 °的圆周角所对的弦是直径 .5.切线长定理：从圆外一点引两条切线，它们的切线长相等圆心与这一点的连线均分两条切线的夹角。

5.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

6.弦切角定理的推论：假如两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

7.订交弦定理：圆内的两条订交弦，被交点分红的两条线段长的积相等。

8.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线这限制。

）一点到每条割线与园的交点的两条线段长的积相等。

8.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比率中项。

二．性质：1.在同圆或等圆中，假如两个圆心角、两条弧，两条弦，两个弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量分别相等。

2.确立圆的条件：定理：不在同一条直线上的三个点确立（有且只有）一个圆。

（作法：连结随意两点并作此中垂线，以这两条中垂线的交点为圆心，以这一点到已知三点中随意一点的距离为半径作圆）3.切线性质概括：（ 1）垂直于切线（ 2 ）过切点（ 3）过圆心，假如一条直线知足这三个条件中随意 2 个，那么就知足第 3 个。

（碰到切点连半径）增补 3：切线五大性质：（1 ）切线与圆只有一个公共点（2）圆心到切线的距离等于半径（ 3）切线垂直于过切点的半径（4 ）经过圆心垂直于切线的直线必经过切点（5）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

初中圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

4、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长。

9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。

11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

13、定理：把圆分成n（n≥3），依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形。

14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n 个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

18、(d是圆心距，R、r是半径)①两圆外离d>R+r；②两圆外切d=R+r；③两圆相交R-r<dr；④两圆内切d=R-r （R>r）；⑤两圆内含dr。

圆的知识点归纳总结大全
一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线。
2、直径：连接圆上两点且经过圆心的线段。
3、弦：连接圆上两点的线段（注：直径也是弦）。
4、弧：圆上两点之间的曲线部分。（注：半圆周也是弧。）
（2）△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O切△ABC三边于点D、E、F。
求：AD、BE、CF的长。
（3）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。求内切圆的半径r。
（4）S△ABC=
14、（补充）
（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。（2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。
6、圆周角：顶点在圆周上，两边与圆相交的角（注：圆周角的两边是弦。）
7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。
（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。
（2）直径所对的圆周角是直角。
（3）若圆周角为直角，那么它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6、设⊙O的半径为r，OP=d
7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
2)、
9、平面直角坐标系中，A（x1，y1）、B（x2，y2）。 则AB=

4圆是定点的距离等于定长的点的集合5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角12 ①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上35 ①两圆外离d＞R+r ②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r(R＞r)④两圆内切d=R-r(R＞r) ⑤两圆内含d＜R-r(R＞r)36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37 定理把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆39 正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41正n边形的面积Sn=pnrn／2 p表示正n边形的周长42正三角形面积√3a／4 a表示边长43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×(n-2)180°／n=360°化为（n-2）(k-2)=444弧长计算公式：L=n兀R／18045扇形面积公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／246内公切线长= d-(R-r) 外公切线长= d-(R+r)47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等49推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径50正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径51余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角52圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标53圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>054弧长公式l=a*r a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2*l*r。