教案：24.2.2圆的基本性质之二：垂径定理(一)

24.2圆的基本性质（垂径定理）一、教学目标（一）知识目标：使学生理解圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，理解垂径定理的内容和意义。

（二）能力目标：能较熟练地运用弦、弧、直径之间的特定关系和勾股定理，解决有关问题二、教学重点、难点：垂径定理及运用三、教学过程（一）导入新课1、请同学们观察几幅图片，看些图形，看他们有什么共同特点？【这些图形都是轴对称图形】2、我们学过图形中轴对称图形有哪些吗？每人说出一种即可。

【等腰三角形，等边三角形，矩形，菱形，正方形，等腰三角形，圆】（二）共同探究新知：1、老师要求同学们拿出你的圆形纸片，首先把这个圆形纸片沿着任意一条直径对折。

2、然后观察折叠后的两个半圆有何关系？最后得出什么结论【圆是轴对称图形，对称轴是直径所在的直线】3、现在我们知道了圆是轴对称图形，直径所在的直线就是它的对称轴。

那么折叠后，用针在半圆上刺个小孔，得到重合点A、B，如下图把它摊平，那么折痕CD是⊙O的直径，而A、B是一对对应点，如图连接AB,得到弦AB，思考弦AB与直径CD之间有什么位置关系？【CD垂直平分于弦AB，并且平分弦劣AB和优弧AB】4这就是我们这一节课所要讲的一个重要定理——垂径定理。

5、教师板书垂径定理。

【垂直于弦的直径平分弦和弦所对的弧】（三）例题讲解：1、例1：如图，已知在⊙O的半径是5cm，弦AB为6cm，求⊙O的的圆心到弦AB的距离。

【解题过程略】l）2 】【根据勾股定理总结半径、圆心的弦的距离及弦长三者 r2=d2+（22、例2：1300 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离，也叫拱形高）为7.2米，求桥拱的半径（精确到0.1米）解：AB 表示桥拱，AB 的圆心为O ，半径为R 米。

经过圆心O 作弦AB 的垂线OD ，D 为垂足，与AB 相交于点C ，根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB 的中点，CD 就是拱高。

《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标：让学生掌握垂径定理的内容及其应用。

1.2 过程与方法目标：通过观察、分析、推理等方法，引导学生发现垂径定理。

1.3 情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，培养学生的观察能力和思考能力。

第二章：教学内容2.1 教材分析：本节课主要通过探究圆中的性质，引导学生发现垂径定理。

2.2 学情分析：学生在学习本节课之前，已经掌握了圆的基本性质和几何图形的观察分析能力。

第三章：教学过程3.1 导入：通过展示一些与圆有关的实际问题，引发学生对圆的性质的思考。

3.2 新课导入：引导学生观察圆中的垂径关系，引导学生发现垂径定理。

3.3 讲解与演示：通过几何画板或实物模型，讲解垂径定理的内容，并展示其应用。

3.4 练习与讨论：设计一些练习题，让学生巩固垂径定理的理解，并进行小组讨论。

第四章：教学策略4.1 教学方法：采用问题驱动法、观察分析法、小组合作法等教学方法。

4.2 教学媒体：几何画板、实物模型、PPT等。

第五章：教学评价5.1 评价标准：学生能够正确理解垂径定理，能够运用垂径定理解决实际问题。

5.2 评价方式：课堂问答、练习题、小组讨论等。

第六章：教学资源6.1 教具准备：几何画板、实物模型、PPT、练习题等。

6.2 教学环境：教室环境舒适，学生座位有序，教学设备齐全。

第七章：教学步骤7.1 回顾圆的性质：回顾已学过的圆的性质，如圆的周长、直径等。

7.2 观察垂径关系：引导学生观察圆中的垂径关系，发现垂径定理。

7.3 讲解垂径定理：详细讲解垂径定理的内容，解释其含义和应用。

7.4 演示应用实例：通过几何画板或实物模型，展示垂径定理的应用实例。

7.5 练习与巩固：设计一些练习题，让学生运用垂径定理解决问题，巩固所学知识。

第八章：作业布置8.1 设计一些相关的练习题，让学生巩固垂径定理的理解。

8.2 鼓励学生自主探究，寻找生活中的圆的性质应用，增强对数学的应用意识。

《垂径定理》教学设计圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。

该节内容分为2课时。

本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。

其对称轴是任一条过圆心的直线。

【知识与能力目标】1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。

【过程与方法目标】经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。

【情感态度价值观目标】1． 培养学生独立探索，相互合作交流的精神。

2． 通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。

【教学重点】利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。

【教学难点】和圆有关的相关概念的辨析理解。

（提前一天布置）1. 每人制作两张圆纸片（最好用16K 打印纸）2. 预习课本P 74~P 76内容 第一环节 复习提问1、什么是轴对称图形？我们在学过哪些轴对称图形？如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。

如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。

2、我们所学的圆是不是轴对称图形呢？如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?归纳：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。

第二环节讲授新课活动内容：（一）探索垂径定理。

做一做1．在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折使圆的两半部分重合。

2．得到一条折痕CD。

3．在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。

4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如右图问题：（1）观察右图，它是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些等量关系？说一说你的理由。

在⊙O中，AB为弦，CD为直径,CD⊥AB提问：你在图中能找到哪些相等的量？并证明你猜想的结论。

《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。

2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。

教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。

2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。

2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。

教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。

第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。

2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。

教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。

2. 引导学生验证垂径定理的正确性。

教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。

2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。

教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。

第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。

2. 培养学生解决实际问题的能力。

教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。

2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。

教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。

2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。

教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。

第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。

2. 提高学生解决实际问题的能力。

教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。

2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。

教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。

2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。

教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。

2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。

第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。

《垂径定理》教案教学目标知识目标：1.通过观察实验，使学生理解圆的轴对称性；2.掌握垂径定理，理解其证明，并会用它解决有关的证明与计算问题；3.掌握辅助线的作法——过圆心作一条与弦垂直的线段.能力目标：1.通过定理探究，培养学生观察、分析、逻辑思维和归纳概括能力；2.向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法.情感目标：1.结合课本教学特点，向学生进行爱国主义教育和美育渗透；2.激发学生探究、发现数学问题的兴趣和欲望.教学重点与难点1.重点：垂径定理及其逆定理．2.难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．教法与学法指导指导探索法．在老师的启发引导下,究出新知.通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣．教学准备多媒体课件教学过程一、创设情境，引入新课师：前面我们已学过了圆中的关于圆心角、弧、弦的定理，哪位同学能叙述一下.生：1.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.练一练：如图，完成下列各题：（1）∵ »AB =¼''A B ∴∠AOB =＿＿＿＿，AB =＿＿＿＿. （2）∵ AB =A ′B ′ ∴∠AOB =＿＿＿＿，»AB =＿＿＿＿. （3）∵ ∠AOB =∠'''A B C ∴AB =__________，»AB =＿＿＿＿. 二、师生合作，探究新知师：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？生：如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．师：我们是用什么方法研究了轴对称图形？生：折叠．师：今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．(说明：由学生熟悉的知识，以问题形式引出课题，回顾旧知的同时明确新知，激发学生的学习热情，引导学生充分体会新旧知识间的联系.)下面我们一起来做一做：按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如图．师：老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)师：通过第一步，我们可以得到什么？学生齐声：可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．师：很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？生：我发现了，AM =BM ，»»AC BC =，»»AD BD =． 师：为什么呢？生：因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．师：还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析：如下图示，连接OA 、OB 得到等腰△OAB ，即OA =OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM =BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合， »AC 与»BC 重合，»AD 与»BD 重合．因此AM =BM ，»AC =»BC ，»AD =»BD ．师：在上述操作过程中，你会得出什么结论？ 生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．师：同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．下面，我们一起看一下定理的证明：(教师边板书，边叙述)如上图，连结OA 、OB ，则OA =OB ．在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵OA =OB ，OM =OM ，∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ，∴AM =BM ．∴点A 和点B 关于CD 对称．∵⊙O 关于直径CD 对称，∴当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，»AC 与»BC 重合，»AD 与»BD 重合． ∴»AC =»BC ，»AD =»BD ． 师：为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足（1）过圆心；（2）垂直于弦，那么可推出：平分弦.即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：在⊙O 中，»»»AM BM CD AD BD CD AB M AC BC =⎧⎪⎫⎪⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎪⎩，是直径，于．下面，我们通过求解例1，来熟悉垂径定理：例：如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中»CD，点O 是»CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为»CD上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ，求这段弯路的半径．师生共析：要求弯路的半径，连结OC ，只要求出OC 的长便可以了．因为已知OE ⊥CD ，所以CF =12CD =300cm ，OF =OE -EF ，此时就得到了一个Rt △CFO ，哪位同学能口述一下如何求解？生:连结OC ，设弯路的半径为R m ，则OF =(R -90)m ，∵OE ⊥CD ，∴CF =12CD =12×600=300(m )． 据勾股定理，得OC 2=CF 2+OF 2，即R 2=3002+(R -90)2解这个方程，得R =545．∴这段弯路的半径为545m ．师：在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用．下面我们来想一想如下图示，AB 是⊙O 的弦(不是直径)，作一条平分AB 的直径CD ，交AB 于点M ．师:上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？生:它是轴对称图形，其对称轴是直径CD 所在的直线．师:很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？ 生:通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O ，作一条不是直径的弦AB ，将圆对折，使点A 与点B 重合，便得到一条折痕CD 与弦AB 交于点M．CD就是⊙O的对称轴，A点、B点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥CD，»AC=»BC，»AD=»BD．师：大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下．生：如上图．连接OA、OB便可得到一个等腰△OAB，即OA=OB，又AM=MB，即M 点为等腰△OAB底边上的中线．由等腰三角形三线合一的性质可知CD⊥AB，又CD是⊙O 的对称轴，当圆沿CD对折时，点A与点B重合，»AC与»BC重合，»AD与»BD重合．师:在上述的探讨中，你会得出什么结论？生：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．师：为什么上述条件要强调“弦不是直径”？生：因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．师：我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．师：同学们，你能写出它的证明过程吗？生：如上图，连结OA、OB，则OA=OB．在等腰△OAB中，∵AM=MB，∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．∵⊙O关于直径CD对称．∴当圆沿着直径CD对折时，点A与点B重合，»AC与»BC重合，»AD与»BD重合．∴»AC=»BC，»AD=»BD．(通过这一过程培养学生思维的灵活，从而达到巩固双基，举一反三的目的．)三、随堂练习，巩固提高如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？答：相等．理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设»AF=»BF，»CF=»DF，用等量减等量差相等，得»AF-»CF=»BF-»DF，即»AC=»BD，故结论成立．符合条件的图形有三种情况：（1）圆心在平行弦外，（2）在其中一条线弦上，（3）在平行弦内，但理由相同．（通过这一训练，让学生多层次，多角度认识问题，多种策略考虑问题，发展其创新意识和实践．）四、课堂小结，反思提高1．本节课我们探索了圆的对称性．2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．（组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思.有困惑的学生，课后和老师交流）.五、达标检测，反馈矫正银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备内径多大的管道？[过程]:让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发展学生的思维．如下图示，连结OA，过O作OE⊥AB，垂足为E，交圆于F，则AE=12AB=30cm．令⊙O的半径为R，则OA=R，OE=OF-EF=R-10．在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．解得R=50cm．修理人员应准备内径为100cm的管道．(学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．)课堂小结1.对自己说，你有什么收获？2.对同学说，你有什么温馨提示？3.对老师说，你还有哪些困惑？。

垂径定理公开课优秀教案第一章：导入教学目标：1. 引导学生回顾圆的相关知识，为新课的学习做好铺垫。

2. 激发学生对垂径定理的好奇心，提高学习兴趣。

教学内容：1. 回顾圆的定义、性质及圆的基本运算。

2. 提问：你们知道什么是垂径定理吗？它有什么作用？教学方法：1. 采用提问、讨论的方式，引导学生回顾圆的知识。

2. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。

教学步骤：1. 复习圆的定义、性质及基本运算。

2. 提问：什么是垂径定理？它有什么作用？3. 引导学生讨论，总结垂径定理的含义。

4. 利用多媒体展示圆的图片，引导学生观察和思考。

教学评价：1. 检查学生对圆的知识的掌握情况。

2. 观察学生在讨论中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。

第二章：探究垂径定理教学目标：1. 让学生通过实验、观察和推理，探究并证明垂径定理。

2. 培养学生的观察能力、动手能力和逻辑思维能力。

教学内容：1. 实验：用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。

2. 观察：观察垂线与圆的关系。

3. 推理：引导学生总结垂径定理的证明过程。

教学方法：1. 实验法：让学生亲自动手作垂线，观察垂线与圆的关系。

2. 引导法：引导学生通过观察、思考，总结垂径定理的证明过程。

教学步骤：1. 让学生用圆规、直尺和铅笔在圆上作垂线。

2. 观察垂线与圆的关系，引导学生发现垂径定理的规律。

3. 引导学生总结垂径定理的证明过程。

教学评价：1. 检查学生对垂径定理的理解程度。

2. 观察学生在实验和推理过程中的表现，了解他们的动手能力和逻辑思维能力。

第三章：应用垂径定理教学目标：1. 让学生学会运用垂径定理解决实际问题。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学内容：1. 运用垂径定理解决实际问题。

2. 练习题：巩固垂径定理的应用。

1. 引导法：引导学生运用垂径定理解决实际问题。

2. 练习法：让学生通过练习题，巩固垂径定理的应用。

教学步骤：1. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。