双曲线及其标准方程
一、学习目标
1、能口述：双曲线的定义和标准方程。
2、会利用双曲线的定义求双曲线的标准方程。会与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．
3、本节课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识．
4．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．
5．难点：双曲线的标准方程的推导．
二、情景导入，问题引领：
1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书)
2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)
老师：如果把椭圆的定义中的和变成差呢?同学们能求一下它的轨迹方程吗？
三、自主学习
1、类比椭圆得出双曲线的概念
2、类比椭圆得出双曲线的标准方程
四、合作探究
1、双曲线的定义
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
（1）、简单实验(边演示、边说明)
如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．
注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．（2）、类比椭圆设问
问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？
请学生回答：
问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？
请学生回答：
问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？
请学生回答：
问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？
请学生回答：
（3）．定义
在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义：
平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距．
教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记．
2、双曲线的标准方程
现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导：
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
教师指出：
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
五、典型例题
书上相关例题
六、练习及其巩固，布置作业。
1．求满足下列的双曲线的标准方程：
焦点F1(-3，0)、F2(3，0)，且2a=4；
3．已知两点F1(-5，0)、F2(5，0)，求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹方程．如果把这里的数字6改为12，其他条件不变，会出现什么情况？
由教师讲解：
按定义，所求点的轨迹是双曲线，因为c=5，a=3，所以b2=c2-a2=52-32=42．
因为2a=12，2c=10，且2a＞2c．
所以动点无轨迹
书上习题的相关作业
七、总结交流，归纳提升
1．知识与方法
2、你在本节学到了什么？
第9课时双曲线的几何性质（1） 【学习目标】1?了解双曲线的简单几何性质，如范围?对称性?顶点?渐近线和离心率等. 2 ?能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题. 【问题情境】 1?椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2?双曲线的两种标准方程是什么？ 【合作探究】 双曲线的几何性质 【展示点拨】 2 2 X y 例1 ?求双曲线1的实轴长和虚轴长?焦点的坐标?离心率.渐近线方程.
例2.已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16,离心率为-,求双曲线的方程. 3 变式：“焦点在y 轴上”变为“焦点在坐标轴上” 2 J 1有相同焦点且经过点(0,1)的双曲线的标准方程. 8 M,N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求该双曲线的离心率. 【学以致用】 1 ?说出下列双曲线的顶点，焦点，焦距，实轴长，虚轴长，离心率和渐近线方程: 2 2 2 2 /八 x y , y x . (1) 1 ; (2) 1 . 9 16 4 5 例3?求与椭圆 例4 ?过双曲线 X 2 a 2 2 ■y 2 1(a 0,b 0)的左焦点且垂直于 b 2 x 轴的直线与双曲线相交于
2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1) 实轴的长是10,虚轴长是8，焦点在x 轴上; (2) 焦距是10，虚轴长是8,焦点在y 轴上. 5 ，且与椭圆 —1 - 1有公共焦点，求此双曲线的标准方程. 3 40 15 5.已知F 1 , F 2是双曲线的两个焦点， 以线段F 1F 2为边作正 MF 1F 2，若边MR 的中点在此 双曲线上，求此双曲线的离心率. 第9课时双曲线的几何性质(1) 【基础训练】 2 2 1?双曲线— y 1的焦点坐标为 49 25 2 2 2?双曲线— 1的两条渐近线的方程 16 9 3?等轴双曲线的中心在原点， 它的一个焦点为F(0，2(2)则双曲线的标准方程是 ______________ 4?双曲线的两条渐近线线互相垂直，那么它的离心率是 3?已知双曲线的两条渐近线的方程是 y 方程. 4 -x ，焦点为(5,0), (5,0)，求此双曲线的标准 3 4.双曲线的离心率为
1. 1.3双曲线及其标准方程 课前预习学案 一、预习目标 ①双曲线及其焦点,焦距的定义。 ②双曲线的标准方程及其求法。 ③双曲线中a，b，c的关系。 ④双曲线与椭圆定义及标准方程的异同。 二、预习内容 ①双曲线的定义。 ②利用定义推导双曲线的标准方程并与椭圆的定义、标准方程和推导过程进行李类 比。 ③掌握a，b，c之间的关系。 三、提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、教学过程 前面我们学习过椭圆，知道“平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆”。 下面我们来考虑这样一个问题？ 平面内与两定点F1，F2的距离差为常数的点的轨迹是什么？ 我们在平面上固定两个点F1，F2，平面上任意一点为M，假设|F1F2|=100,|MF1|＞|MF2|且|MF1|－|MF2|=50不断变化|MF1|和|MF2|的长度，我们可以得出它的轨迹为一条曲线。 若我们交换一下长度，|MF1|＜|MF2|且|MF1|－|MF2|=－50时，可知它的轨迹也是一条曲线 那么由这个实验我们得出一个结论： “平面内两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数的点的轨迹是双曲线。” 但大家思考一下这个结论对不对呢？ 我们知道在椭圆定义里，到两定点的距离和为一个常数，这个常数（必须大于|F1F2|）那么这里差的绝对值为一个常数，这个常数和|F1F2|有什么关系呢？ 下面我们来看一个试验，当|MF1|－|MF2|=0时，M点的轨迹为F1，F2的中垂线； 随着|MF1|-|MF2|的不断变化，呈现出一系列不同形状的双曲线； 当|F1F2|即和|F1F2|长度相等时，点的轨迹为以F1，F2为端点的两条射线； 若|MF1|-|MF2|＞100 时，就不存在点M。 那么由以上的一些试验我们可以得出双曲线的准确定义： 定义：平面内与两定点F1，F2的距离差的绝对值为非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹是双曲线。定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫双曲线的焦距。
9-6 A 组 专项基础训练 (时间：45分钟) 1．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A.5 B ．2 C. 3 D. 2 【解析】 结合图形，用a 表示出点M 的坐标，代入双曲线方程得出a ，b 的关系，进而求出离心率． 不妨取点M 在第一象限，如图所示， 设双曲线方程为x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBx ＝180°－120°＝60°， ∴M 点的坐标为()2a ，3a . ∵M 点在双曲线上， ∴4a 2a 2－3a 2 b 2＝1，a ＝b ， ∴ c ＝2a ，e ＝c a ＝ 2.故选D. 【答案】 D 2．(2015·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221 ＝1
C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23 ＝1 【解析】 利用渐近线过已知点以及双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，列出方程组求解． 由双曲线的渐近线y ＝b a x 过点(2，3)， 可得3＝b a ×2.① 由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上， 可得a 2＋b 2＝7.② 由①②解得a ＝2，b ＝3， 所以双曲线的方程为x 24－y 23 ＝1. 【答案】 D 3．(2015·湖南)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73 B.54 C.43 D.53 【解析】 由渐近线过点(3，－4)可得b a 的值，利用a ，b ，c 之间的关系a 2＋b 2＝c 2可消去b 得a ，c 之间的关系，求出离心率e . 由双曲线的渐近线过点(3，－4)知b a ＝43，∴b 2a 2＝169 . 又b 2＝c 2－a 2 ，∴c 2－a 2a 2＝169， 即e 2－1＝169，∴e 2＝259，∴e ＝53 . 【答案】 D 4．(2014·江西)过双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 2 9 ＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 2 4 ＝1
双曲线及其标准方程 学习目标：掌握双曲线的定义及标准方程，进一步理解坐标法的思想； 学习重点：了解双曲线的定义； 学习难点：双曲线标准方程的推导过程； 学习过程： 一、复习与问题： 1、复习：椭圆的定义 椭圆的标准方程： 2、问题：平面内与两定点的距离的和等于常数（大于两定点之间的距离）的点的轨迹叫做椭圆，平面内与两定点的距离的差为非零常数的点的轨迹是怎样的曲线呢？ 二、双曲线的定义： 双曲线的定义：把平面内 的点的轨迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 合作探究：试说明在下列条件下动点M 的轨迹各是什么图形？ ),,2,2,(212121都为正常数是两定点，c a c F F a MF MF F F ==- （1）当21MF MF -=2a 时，点M 的轨迹 （2）当12MF MF -=2a 时，点M 的轨迹 （3）当2a =2c 时，动点M 的轨迹 （4）当2a >2c 时，动点M 的轨迹
（5）当2a =0时，动点M 的是轨迹 三、双曲线的标准方程： 1、焦点在x 轴上的双曲线的标准方程 建系： 设点： 若焦距为2c (c >0),则1F ，2F ，又设点M 与两焦点的距离差的绝对值等于常数2a ，由双曲线的定义得： （整理过程） 由曲线与方程的关系知所求方程为双曲线的标准方程， 双曲线的标准方程 它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为 2、焦点在y 轴上的双曲线的标准方程 焦点在y 轴上的双曲线的标准方程为 ，
它所表示的双曲线的焦点在 ，焦点坐标为 思考:如何根据双曲线的标准方程确定焦点的位置？ 四、典例剖析 例1、已知双曲线的焦点为F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于8，则求双曲线的标准方程. 变式1、已知双曲线的焦点为F1(0,-5), F2(0,5)，双曲线上一点P 到F1、F2的距离的差等于6，求双曲线的方程. 例2、求适合下列条件的双曲线的标准方程 1、焦点为（0，--6）,（0，6）,且经过点（2，5） 2、焦点在x 轴上， 3、经过两点 ），（），， （372B 267A --）， （经过点25A ,52-=a
§2.3.1双曲线及其标准方程 海南华侨中学王芳文 1．教学背景 1.1 学生特征分析 我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。 知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 1.2教师特点分析 自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。 不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。 1.3 学习内容分析 1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 2、例题分析： 温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。 探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；
§2.3.1 双曲线及其标准方程 学习目标 1．掌握双曲线的定义； 2．掌握双曲线的标准方程． 学习过程 一、课前准备 复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ 复习2：在椭圆的标准方程22 221x y a b +=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c = 二、新课导学 ※ 学习探究 问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？ 新知1：双曲线的定义： 平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。 两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ． 反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？ 2a =12F F 时，轨迹是 ； 2a >12F F 时，轨迹 ． 试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ． 新知2：双曲线的标准方程： 22 22222 1,(0,0,)x y a b c a b a b -=>>=+（焦点在x 轴）其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ． 思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？
※ 典型例题 例1已知双曲线的两焦点为1(5,0)F -，2(5,0)F ，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程． 变式：已知双曲线22 1169 x y -=的左支上一点P 到左焦点的距离为10，则点P 到右焦点的距离为 . 例2 已知,A B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2s ，且声速为340/m s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程． 变式：如果,A B 两处同时听到爆炸声，那么爆炸点在什么曲线上？为什么？
双_曲_线 [知识能否忆起] 1．双曲线的定义 平面内与定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 2．双曲线的标准方程和几何性质 [小题能否全取] 1．(教材习题改编)若双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的左焦点的坐标为( ) A.? ?? ? － 22，0 B.? ?? ? － 52，0
C.? ?? ?－ 62，0 D.()－3，0 解析：选C ∵双曲线方程可化为x 2 －y 2 12＝1， ∴a 2＝1，b 2＝12.∴c 2＝a 2＋b 2＝32，c ＝6 2. ∴左焦点坐标为? ?? ? － 62，0. 2．(教材习题改编)若双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为( ) A.255 B.32 C.233 D ．2 解析：选C 依题意得a 2＋1＝4，a 2＝3， 故e ＝ 2a 2＝23 ＝233. 3．设F 1，F 2是双曲线x 2 －y 2 24＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|， 则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48 解析：选C 由P 是双曲线上的一点和3|PF 1|＝4|PF 2|可知，|PF 1|－|PF 2|＝2，解得|PF 1|＝8，|PF 2|＝6.又|F 1F 2|＝2c ＝10，所以△PF 1F 2为直角三角形，所以△PF 1F 2的面积S ＝1 2×6×8 ＝24. 4．双曲线x 2a 2－y 2 ＝1(a ＞0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________________． 解析：由题意知a 2＋1 a ＝ 1＋????1a 2＝2，解得a ＝33 ，故该双曲线的渐近线方程是3x ±y ＝0，即y ＝±3x . 答案：y ＝±3x 5．已知F 1(0，－5)，F 2(0,5)，一曲线上任意一点M 满足|MF 1|－|MF 2|＝8，若该曲线的一条渐近线的斜率为k ，该曲线的离心率为e ，则|k |·e ＝________. 解析：根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y 轴上的双曲线的上支， ∵c ＝5，a ＝4，∴b ＝3，e ＝c a ＝54，|k |＝4 3 .
高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅： 第二讲 双曲线（2课时） 班级 姓名 【考试说明】1.了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2. 理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用. 【知识聚焦】（必须清楚、必须牢记） 1．双曲线定义 平面内与两个定点F 1，F 2的____________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做_____________，两焦点间的距离叫做_______________.集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)当______________时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当_____________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当_____________时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 3实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率e ＝2是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0). 4.巧设双曲线方程 (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2 b 2＝t (t ≠0)． (2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2 n ＝1 (mn <0)．
【链接教材】（打好基础，奠基成长） 1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2 －y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2 －y 2 2 ＝1 D.x 22 －y 2 ＝1 高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅： 3．(2014·广东)若实数k 满足0
§221双曲线及其标准方程（1） 、【学习且标L （1）了解双曲线的实际背景，体会双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）了解双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念. （3）了解双曲线的标准方程，能根据已知条件求出双曲线的基本量. 【重点、难点】 重点：双曲线定义、焦点、焦距等基本概念难点：双曲线的标准方程 【学习方法】类比、合作探究、讨论、归纳 r【知识链接】 （1）.椭圆的定义：； （2）椭圆标准方程的推导过程：建系、设点、写动点的满足的儿何条件、儿何条件坐标化、化简整理 ⑶椭圆的标准方程：①焦点在工上 ;焦点坐标; ②焦点在了上；焦点坐标； （其中 / _b2 +。2） 一、【新知探究】 探究一、双曲线定义 教材导读（预习教材P45）尝试回答下列问题： （1）把椭圆定义中的“距离的和（大于伊1旦|）"改为“距离的差（小于旧已|）”，那么点的轨迹会怎样? 如 图定点匕E点心移动时，是常数，这样就画出一条曲线；由\MF2\-\MF.\是同一常数, 可以画出另一支. （2）双曲线定义中动点归到两定点F”气满足几何条件 （3）在椭圆的定义中，强调了2a<2c；若2a = 2c动点的轨迹是什么？若2a>2c呢？ 设动点归，两定点F l9F2满足||"]|一\MF^ = 2a（2。常数），时气| = 2。⑵为常数） |MFj-\MF2\ = 2a<2c时轨迹是；\MF2\-\MF1\ = 2a<2c轨迹是 \MF V\-\MF2\ = 2a = 2c时，轨迹是；|MF2|-|MFj = 2a = 2c 轨迹是 ||MF I|-|MF2|| = 2a> 2c时，轨迹是. 尝试：动点户到点中-2,0）及点灼（2,0）的距离之差为2,则点P的轨迹是（）. A.双曲线 B.双曲羸的一支 C.两条射线 D. 一条射线 探究二、双曲线标准方程 教材导读，预习课本P46的内容，并思考下列问题 （1）在双曲线中如何建立适当的直角坐标系求动点轨迹？依据什么建立直角坐标系？ （2）设双曲线上任意一点M（x9y）满足儿何条件\MF^-\MF^2a（V时尤| = 2。） ,仲①尤、旦坐标为— ②几何条件坐标形式为
2.3.2双曲线的简单性质导学案 学习目标: 1.了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）通过方程，研究曲线的性质． 2.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念； 3.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念． 重点、难点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念； 掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题 自主学习 复习旧知 1.把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值等于＿＿＿（小于12F F ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）．其中这两个定点叫做双曲线的＿＿＿，两定点间的距离叫做双曲线的＿＿＿．即当动点设为M 时，双曲线即为点集P ={} 122M MF MF a -= 2. 写出焦点在x 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿, 3.写出焦点在Y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 合作探究 通过图像研究双曲线的简单性质： ①范围：由双曲线的标准方程得，22 2210y x b a =-≥，进一步得：x a ≤-，或x a ≥．这说明双曲线在不等式x a ≤-，或x a ≥所表示的区域； ②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴
双曲线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程. 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】 本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程. 【知识要点】 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2 探究点一 双曲线的定义 问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|? 问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1） 6)5()5(2222=+--++y x y x ； （2）6)4()4(2 222=+--++y x y x （3）方程x ＝3y 2 －1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程 问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？ 问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？ 问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？ 例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和???? 94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2 4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 跟踪训练1 （1）过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是 ( ) A ．12 122 =-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2 －y 212＝1 D ．x 212－y 2＝1或y 2 12 －x 2＝1 （2）若双曲线以椭圆x 216＋y 2 9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______ 探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 例2 已知双曲线的方程是x 216－y 2 8＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的 中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 2 5＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A ． 3 B ． 5 C ．5－ 3 D ．5＋ 3 例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 【当堂检测】 1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 2 9 ＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【课堂小结】 1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.
双曲线的几何性质（1） 【学习目标】 1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等。 2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题。 【自主学习】关于椭圆与双曲线性质的表格 渐近线 ①我们把两条直线y=±x a b 叫做双曲线的渐近线； ②双曲线12222=-b y a x 的各支向外延伸时，与直线y =±x a b 逐渐接近。 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比e =a c ，叫双曲线的离心率； 说明：①由c >a >0可得e >1；②双曲线的离心率越大，它的开口越阔。
【活动探究】 例1双曲线22169144x y -=的实轴长是 ，虚轴的长是 ，离心率是 ，顶点坐标是 ，渐近线方程是 . 例2求双曲线13 42 2=-y x 的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程． 例3 已知双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为16，离心率为 43 ，求双曲线的标准方程。 【目标检测】 1.比较下列双曲线的形状， ①22 936x y -=；②2211612x y -= ； ③2213664x y -=；④22 1106y x -= 其中开口最大的是 ，开口最小的是 。 2. 离心率是椭圆16x 2＋25y 2=400的离心率的倒数，焦点是此椭圆长轴端点的双曲线的标准方程是___________________。 3.．中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 3，焦距等于10的双曲线方程为______________________。 4．过双曲线的一个焦点F 2作垂直于实轴的弦PQ ，F 1是另一焦点，∠PF 1Q =π2 ，则这条双曲线的离心率等于_________。 5.渐近线方程是3x 02=±y ，一个焦点为F(-4,0)的双曲线方程为 。 6. 双曲线的离心率为 5 13，坐标轴为对称轴，且焦点在y 轴上，则此双曲线的渐近线方程是__________。
《双曲线及其标准方程》教学设计
《双曲线及其标准方程》教学设计 一、设计理念 1.课标解读： 《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：（1）高中数学课程应设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的 条件，以激发学生的数学学习兴趣。（2）高中数学课程应注重提高学生的数学思 维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、 归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生 对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数学课程实施 应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的 难题和过分强调细枝末节的内容。（3）高中数学课程提倡实现信息技术与课程内 容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技 术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合。（4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等 过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流 的意识的评价。 基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究、练习为主、以讲授法辅。教学过程侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。 2.高考解读： 解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题是解析几何的基本特点和性质。因此，在解题的过程中计算占了很大的比例，对 运算能力有较高的要求，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础。解析几何试题除考查概念与定义、基本元 素与基本关系外，还突出考查函数与方程的思想、数形结合的思想等思想方法。 3.教材解读： 本节课的教学内容是《数学选修2-1》第二章《圆锥曲线与方程》§ 3.1“双曲线及其标准方程”，教学课时为1课时。圆锥曲线是一个重要的 几何模型，有许多几何性质，这些性质在日常生活、生产和科学技术中有 着广泛的应用，同时，圆锥曲线也是体现数形结合思想的重要素材，而双 曲线是三种圆锥曲线中最复杂的一种，作为最后一种圆锥曲线来学习充分 考虑到了知识学习由易到难的教学要求。双曲线可以与椭圆类比学习，主 要内容是：①探求轨迹（双曲线）；②学习双曲线概念；③推导双曲线标准
双曲线及其标准方程 一、学习目标 1、能口述：双曲线的定义和标准方程。 2、会利用双曲线的定义求双曲线的标准方程。会与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力． 3、本节课注意发挥类比和设想的作用，与椭圆进行类比、设想，使学生得到关于双曲线的定义、标准方程一个比较深刻的认识． 4．重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程． 5．难点：双曲线的标准方程的推导． 二、情景导入，问题引领： 1．椭圆的定义是什么？(学生回答，教师板书) 2．椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书) 老师：如果把椭圆的定义中的和变成差呢?同学们能求一下它的轨迹方程吗？ 三、自主学习 1、类比椭圆得出双曲线的概念 2、类比椭圆得出双曲线的标准方程 四、合作探究 1、双曲线的定义 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？ （1）、简单实验(边演示、边说明) 如图2-23，定点F1、F2是两个按钉，MN是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M移动时，|MF1|-|MF2|是常数，这样就画出曲线的一支；由|MF2|-|MF1|是同一常数，可以画出另一支．
注意：常数要小于|F1F2|，否则作不出图形．这样作出的曲线就叫做双曲线．（2）、类比椭圆设问 问题1：定点F1、F2与动点M不在平面上，能否得到双曲线？ 请学生回答： 问题2：|MF1|与|MF2|哪个大？ 请学生回答： 问题3：点M与定点F1、F2距离的差是否就是|MF1|-|MF2|？ 请学生回答： 问题4：这个常数是否会大于等于|F1F2|？ 请学生回答： （3）．定义 在上述基础上，引导学生概括双曲线的定义： 平面内与两定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距． 教师指出：双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆，不要死记． 2、双曲线的标准方程 现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导． 标准方程的推导：
2.2.1双曲线及其标准方程 【教学目标】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程. 2.掌握双曲线的标准方程及其求法. 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题． 【教学过程】 一、创设情景 教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.2.1双曲线及其标准方程》课件“新课导入”部分，通过一首有趣而形象的诗歌及几幅美观的图片，引入本节课要学习的双曲线及其标准方程的知识. 二、自主学习 知识点一双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距； (2)关于“小于|F1F2|”：①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在； (3)若将“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支； (4)若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线． 知识点二双曲线的标准方程 (1)两种形式标准方程 焦点所在的坐标轴x轴y轴 标准方程x2 a2－ y2 b2＝1 (a>0，b>0) y2 a2－ x2 b2＝1 (a>0，b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)， F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)
a 、 b 、 c 的关系式 a 2＋ b 2＝ c 2 (2)如果含x 2项的系数为正数，那么焦点在x 轴上，如果含y 2项的系数是正数，那么焦点在y 轴上．对于双曲线，a 与b 无截然的大小关系，因而不能像椭圆那样，通过比较a 与b 的大小来确定其焦点位置． 三、合作探究 问题1 若取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开或闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，那么曲线上的点应满足怎样的几何条件？ 答案 如图，曲线上的点满足条件：|MF 1|－|MF 2|＝常数；如果改变一下笔尖位置，使|MF 2|－|MF 1|＝常数，可得到另一条曲线． 问题2 双曲线的标准方程的推导过程是什么？ 答案 (1)建系：以直线F 1F 2为x 轴，F 1F 2的中点为原点建立平面直角坐标系． (2)设点：设M (x ，y )是双曲线上任意一点，且双曲线的焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)． (3)列式：由|MF 1|－|MF 2|＝±2a ， 可得 x ＋c 2＋y 2－ x －c 2＋y 2＝±2a .① (4)化简：移项，平方后可得(c 2－a 2)x 2－a 2y 2＝a 2(c 2－a 2)． 令 c 2－a 2＝b 2，得双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2 b 2 ＝1(a ＞0，b ＞0)．② (5)验证：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程②；以方程②的解(x ，y )为坐标的点到双曲线两个焦点(－c,0)，(c,0)的距离之差的绝对值为2a ，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上，这样，就把方程②叫做双曲线的标准方程．(此步骤可省略) 问题3 双曲线中a ，b ，c 的关系如何？与椭圆中a 、b 、c 的关系有何不同？ 答案 双曲线标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，即c 2＝a 2＋b 2，其中c >a ，c >b ，a 与b 的大小关系不确定；而在椭圆中b 2＝a 2－c 2，即a 2＝b 2＋c 2，其中a >b >0，a >c ，c 与b 大小不确定． 探究点1 双曲线定义的理解及应用 例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，在平面内满足下列条件的动点P 的轨迹中为双曲线的是( ) A ．|PF 1|－|PF 2|＝±3 B ．|PF 1|－|PF 2|＝±4 C ．|PF 1|－|PF 2|＝±5 D ．|PF 1|2－|PF 2|2＝±4 (2)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________． 答案 (1)A (2)x 2－ y 2 8 ＝1(x ≤－1)
河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.2.1双曲线及其标准方程学 案 新人教A 版选修1-1 【学习目标】 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程； 2.掌握双曲线的标准方程； 3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【重点难点】双曲线定义及其标准方程 【学习过程】 一、问题情景导入： 1.太空中飞过太阳系的彗星，其轨道就是双曲线，彗星从无穷处飞来，又飞到无穷远处，双曲线是不封闭的圆锥曲线，它不同于抛物线，也不是两个抛物线构成双曲线的两支，最明显的差别是双曲线有渐近线，而抛物线没有.初中学过的反比例函数图象是双曲线，它以坐标轴为渐近线. 2.我们知道，与两个定点距离的和为非零常数（大于两个定点间的距离）的点的轨迹是椭圆，那么，与两个定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？ 3.你能类比椭圆的标准方程的推导过程推导出双曲线的标准方程吗？ 二、自学探究：（阅读课本第45-47页，完成下面知识点的梳理） 1.双曲线的定义：把平面内与两个定点21,F F 的距离的 等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 . 双曲线的定义用集合语言表示为{} 21212,2F F a a MF MF M P <=-= 思考:双曲线定义中212F F a <,如果212F F a =轨迹是什么图形呢？能否有212F F a <的轨迹图形呢？ 2. 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图象 标准方程 焦点坐标
c b a ,,的关系 思考：⑴方程13222=-y x 与13 22 2=-x y 分别表示焦点在哪个坐标轴上的双曲线？焦点坐标分别是什么？ ⑵方程12 2=+n y m x ，当参数n m ,的取值怎样时，方程分别表示焦点在x 轴上与焦点在y 轴上的双曲线？ 三、例题演练： 例 1.若一个动点()y x P ,到两个定点()()0,1,0,1B A -的距离之差的绝对值为定值()0≥a a 时，讨论点P 的轨迹. 例 2.已知双曲线两个焦点分别为()()0,5,0,521F F -,双曲线上一点P 到21,F F 距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程. 变式：求适合下列条件的双曲线的标准方程： ⑴5,4==c a ，焦点在x 轴上； ⑵4=a ，经过点??? ? ??3104,1A ; ⑶求与双曲线14162 2=-y x 有共同的焦点，且过点() 2,23的双曲线的标准方程.
主备人：审核人：班组：姓名： 双曲线及其标准方程导学案 【学习目标】1.了解双曲线的定义，图像和标准方程。 2.能用定义法或待定系数法求双曲线的标准方程。 3.能用坐标法解决一些与双曲有关的简单几何问题和实际问题。 【学习重点】双曲线的定义，求双曲线的标准方程。 【学习难点】推导双曲线的标准方程。 【使用说明与学法指导】 | 1.通过阅读教材，自主学习，思考，交流，讨论和概括，完成本节课的 学习目标 2.用红笔勾勒出疑点，合作学习后寻求解决方案 3.带*号的为选做题。 【自主探究】 1.平面内到两个顶点F1，F2___________________________的点的集合叫做双曲线，定 点F1，F2叫作_______，F1，F2之间的距离叫作_______。 2.双曲线的标准方程 焦点在Ｘ轴上的双曲线的标准方程为__________________________ 焦点在Ｙ轴上的双曲线的标准方程为__________________________ 【 以上两个标准方程中a,b,c之间的关系是__________________________ 【合作探究】 1.知两点 1(5,0) F ， 2(5,0) F,求与它们的距离的差的绝对值是6的点的轨迹。 2. 求经过点 1516 (3,)(,5) 43 P Q ，两点的双曲线的标准方程。 3.—
4. 11 4222=+--m y m x 表示交点在y 轴的双曲线，求m 的取值范围。 【巩固提高】 1.已知定圆C 1：0241022=+++x y x ，C 2：()16522 =+-y x ，动圆M 与定圆C 1、C 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程。 2. 《 3. 设12,F F 为双曲线2214 x y -=的两个焦点，点P 在双曲线上且满足01290,F PF ∠=求12F PF ?的面积 3.过双曲线22 13y x -=的左焦点1F ，作倾斜角为6π的弦AB ，求： （1）__________;AB = （2）2F AB ?的周长；（2F 为双曲线的右焦点） ★4. .判断方程22 193 x y k k +=--表示的曲线。 - ★5.已知双曲线的方程为2 2 12y x -=，试问：是否存在被(1,1)B 平分的弦如果存在，求