江苏省宿迁市高中数学第2章圆锥曲线与方程第9课时双曲线的几何性质1导学案(无答案)苏教版选修1-1

2.3.1双曲线及其标准方程（3）班级 姓名教学目标：1.掌握双曲线的标准方程；2.掌握双曲线的定义。

任务1：预习课本4739P P -页，根据课本内容填空复习1：双曲线的定义是：双曲线的几何性质有哪些：复习2：双曲线的方程为221914x y -=， 其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程 ．探究1：椭圆22464x y +=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x =，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x +=，则双曲线的方程是？任务2：认真理解双曲线的定义完成下列例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例3过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30 的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB ？ 1AF B ∆的周长？《双曲线及其标准方程》练习反馈1若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为（ ）．A ．212B ．84C ．3D ．21 2．以椭圆2212516x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程（ ）． A. 2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或221927x y -= D. 以上都不对 3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）．1124．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，求双曲线的方程为？5．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，求k 的取值范围．6．若椭圆22214x ya+=与双曲线2212x ya-=的焦点相同，求a的值.7 ．若双曲线2214x ym-=的渐近线方程为y=，求双曲线的焦点坐标．8．已知双曲线的焦点在x轴上，方程为22221x ya b-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A，试求此双曲线的方程．。

第8课时 双曲线的标准方程（2）【学习目标】1．掌握双曲线的定义,标准方程； 2．根据已知条件求双曲线的标准方程． 【问题情境】焦点在x 轴上的双曲线标准方程为 ； 焦点在y 轴上的双曲线标准方程为．【合作探究】试比较双曲线与椭圆的异同：【展示点拨】例1．若双曲线k y x =-222的焦距为6，求实数k 的值．例2．若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为8，求点P 到它的左焦点的距离．例3．已知双曲线与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点)2,23(，求双曲线的方程．例4．已知方程422=+y kx ，其中k 为实数，对于不同的范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【学以致用】1．方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈____．2．已知双曲线2288kx ky -= 的一个焦点为(0,3)，则k = ．3．以椭圆221169144x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程是 ． 4．已知双曲线1366422=-y x 的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且02190=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．5．在△MNG 中，已知NG ＝4，当动点M 满足条件M N G sin 21sin sin =-时，求动点M 的轨迹方程．第8课时 双曲线的标准方程（2）【基础训练】1．椭圆2x 2－3y 2＝1焦点坐标为 ．2．已知方程2211x y k k-=-表示双曲线，则k 的取值范围是 ．3．焦距为(3,5)M -的双曲线的标准方程为 ．4．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是 ．5．已知焦点为12(4,0),(4,0)F F -，且经过点2)M 的双曲线的标准方程是 ．6．若椭圆14222=+my x 与双曲线1222=-y m x 有相同焦点，则实数m 的值为 ． 【思考应用】7．若表示何种变化时，方程则当1,,222222=-+-∈>λλλλb y a x R b a 曲线?它们是否有相同的焦点？8．求焦点的坐标轴上，且经过)523,2(1-P 和)4,734(2P 两点的双曲线的标准方程．9．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程；10．已知221,13x y k k -=---○1方程表示双曲线；○2表示焦点在x 轴上的双曲线；③表示焦点在y 轴上的双曲线【拓展提升】11．已在双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．12．在周长为48的390,tan =4o Rt MPN MPN PMN ∆∠=∠中，，求以M,N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．。

4. 待定系数法求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求. 例4 已知抛物线y2=4x和以坐标轴为对称轴、实轴在y轴上的双曲曲线方程.分析：因为双曲线以坐标轴为对称轴，实轴在y轴上，所以可设双曲线方ax2-4b2x+a2b2=0•••抛物线和双曲线仅有两个公共点，根据它们的对称性，这两个点的横坐标应相等，因此方程ax2-4b 2x+a2b2=0 应有等根.•••△ =1664-4Q4b2=0,即卩a2=2b.(以下由学生完成)由弦长公式得：即a2b2=4b2-a 2.(三)巩固练习用十多分钟时间作一个小测验，检查一下教学效果•练习题用一小黑板给出.1 .△ ABC-边的两个端点是B(0 , 6)和C(0 , -6)，另两边斜率的2. 点P与一定点F(2 , 0)的距离和它到一定直线x=8的距离的比是1 : 2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3. 求抛物线y2=2px(p >0)上各点与焦点连线的中点的轨迹方程. 答案：义法)由中点坐标公式得:(四)小结求曲线的轨迹方程一般地有直接法、定义法、相关点法、待定系数法，还有参数法、复数法也是求曲线的轨迹方程的常见方法，这等到讲了参数方程、复数以后再作介绍.五、布置作业1. 两定点的距离为6,点M到这两个定点的距离的平方和为26,求点M的轨迹方程.2. 动点P到点F1(1 , 0)的距离比它到F2(3 , 0)的距离少2,求P点的轨迹.3. 已知圆x2+y2=4上有定点A(2 , 0)，过定点A作弦AB,并延长到点P,使3|AB|=2|AB|，求动点P的轨迹方程.作业答案：1. 以两定点A、B所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，得点M的轨迹方程x2+y2=4 2. v |PF2|-|PF|=2 ，且|F1F2| • P点只能在x轴上且x V 1，轨迹是一条射线六、板书设计教学反思：4斜率之积为4,9程.分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c .引导学生用其他方法来解.另解：设椭圆的标准方程为2 25 31 a b 0，因点一，一在椭圆上,a b2 225 9 则 4a 2 4b 22 2a b 4；10<6例2如图，在圆x 24上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段 PD , D 为垂足•当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析： 点P 在圆x 2 y 2 4上运动，由点 P 移动引起点 M 的运动，则称点 M 是点P 的伴随点，因点M 为线段 PD 的中点，则点 M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点 M 的轨迹方程.引申： 设定点2xA 6,2 , P 是椭圆x252y1上动点，求线段 AP 中点M 的轨迹方程.9解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设M x, y , P x 1,y 1 :②（点与伴随点的关系）： M为线段AP 的中点,X i y i2x 6;③（代入已知轨迹求出伴随轨迹）2y 22..X 1 '252y11 , •••点M9x的轨迹方程为一25④伴随轨迹表示的范围.例3如图，设A , B 的坐标分别为 5,0 , 5,0 .直线 AM , BM 相交于点M ，且它们的分析：若设点x, y ,则直线AM,BM 的斜率就可以用含 x, y 的式子表示，由于直线AM ,BM 的斜率之积是4 ，因此，可以求出9x, y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程.解法剖析：设点M x, y ,则 k AM-^― x 5 , k BMx 5 ；x 5x 5代入点M 的集合有4-，化简即可得点 M 的轨迹方程. 9引申：如图，设△ ABC 的两个顶点 A a,0 , B a,0，顶点C 在移动，且k AC k BC k , 且k 0,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当 色也是从椭圆的长轴T 圆的直径T 椭圆的短轴.练习：第45页1、2、3、4、 作业：第53页2、3、k 值在变化时，线段 AB 的角求点M 的轨迹方程.分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能 力.实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对 椭圆的标准方程的讨论， 研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先 定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过 题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 1. 2椭圆的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质. 提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、 从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )椭圆的简单几何性质2x一2 0，进一步得：a xax 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究椭圆的标准 y 轴为对称轴，原点为对称中心；即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆 锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较 短的叫做短轴；c④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比e 叫做椭圆的离心率(0 e 1 ),a当 e1 时，c a ,,b0.； 椭圆图形越扁(iii )例题讲解与引申、扩展400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出a,b,c •弓I 导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、 焦点和顶点的定义即可求相关量.确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探 究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1)(3) (4)大小和位置.要巳8的思考冋①范围：由椭圆的标准方程可得,y 2 b 2b y b ，即椭圆位于直线x② 对称性：由以 x 代x ，以 方程发生变化没有，从而得到椭圆是以③ 顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，y 代y 和 x 轴和 a ，同理可得:b 所围成的矩当 e 0 时，c 0,b a 椭圆越接近于圆例4求椭圆I6x 225y 2/Tn扩展：已知椭圆血5y2 5m m 0的离心率为e—，求m的值.解法剖析：依题意，m0,m 5，但椭圆的焦点位置没有确定, 应分类讨论: ①当焦点在x轴上，即0 m 5时，有a品 b 丽,c 75 ~m，二_—:得m 3；②当焦点在y轴上，即m例5如图,応b 岳c J m 5 , ••• J：5V m一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口5时，有a105253BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上, 由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2.已知BC F1F2，RB 2.8cm，F1F24.5cm .建立适当的坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程.解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为1，算出a,b,c的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于a,b,c的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，“神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心F2为一个焦点的椭圆，近地点A距地面200km，远地点B距地面350km，已知地球的半径R 6371km •建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程.例6如图，设M x, y与定点F 4,0的距离和它到直线I : 兰的距离的比是常数4点M的轨迹方程./ 2 2 「亠「■25匚亠2MF(x 4 y ,到直线I:x 的距离d x44分析：若设点M x, y，则则容易得点M的轨迹方程.引申：（用《几何画板》探究）若点M x, y与定点F c,0的距离和它到定直线l :c距离比是常数e aac 0 ,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点F c,0是焦点,2x —相应于F的准线;c由椭圆的对称性, 另一焦点F c,0 ,相应于F的准线l :练习：第52页1、作业：第53页4、教学反思：2、3、4、5、6、75ac4，求52a的c定直线l :类比椭圆：设参量b的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的几何意义.2 类比：写出焦点在y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程召b (iii )例题讲解、引申与补充例1已知双曲线两个焦点分别为F15,0 , F25,0，双曲线上一点绝对值等于6，求双曲线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出a,b,c的关系有明显P到R , F2距离差的2x2a1 a 0,b 0 . a,b, c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与O C :2 22 y 2内切，且过点 A 2,0 :②与O C 1 : x 2 y 12 21 和O C2 : x y 4都外切；③与O C i :2 y 9外切，且与O C 2: x 223 y 1内切.解题剖析 半径为r :这表面上看是圆与圆相切的问题， 实际上是双曲线的定义问题•具体解: 设动圆•/ O C 与O M 内切，点A 在O C 外,• MC| r /2 MA,因此有MA 2x 2 •••点 MC 2，•点M 的轨迹是以C 、 A 为焦点的双曲线的左支，即M 的轨迹方程是MC i •••O M 与O c 1、O C 2 均外切，•••|MC 1| r 1, MC 2 r 2,因此有的轨迹是以C 2、C i 为焦点的双曲线的上支，• M 的轨迹方程是4y••• e M MC 2MC 24x 2 3MC i 1 ,与eG 外切，且e M 与e C 2内切，•- MC j4，•点M 的轨迹是以C i 、C 2为焦点的双曲线的右支，• MC 2r 1，因此M 的轨迹方程是例2已知A , B 两地相距800m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚2s ，且声速为340m / s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 A , B 两地听到爆炸声的时间差，即可知A , B 两地与爆炸点的距离差为定值•由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程. 扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听 到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 4s .已知各观察点到该中心的 距离都是1020m •试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 340m/s ;相关点均在 同一平面内）• 解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 4s ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上. 如图，以接报中心为原点 0，正东、正北方向分别为 x 轴、y 轴方向，建立直角坐标系，设 B 、C 分别是西、东、北观察点，则 A 1020,0 , B 1020,0 , C 0,1020 • 设P x,y 为巨响发生点，•/ A 、C 同时听到巨响，•OP 所在直线为y x ……①，又因B 点比A 点晚4s 听到巨响声，• PB PA 4 340 1360 m •由双曲线定义知，a 680 ,2 2c 1020 ,••• b 340^5 ,••• P点在双曲线方程为X 2y2 1 x 680……②.联立680 5 340①、②求出P点坐标为P 680 ;5,680 ,'5 •即巨响在正西北方向680、、10m处.探究：如图，设A，B的坐标分别为5,0，5,0 •直线AM，BM相交于点M，且它们4的斜率之积为，求点M的轨迹方程，并与§ 2. 1.例3比较，有什么发现？9探究方法：若设点M x,y，则直线AM , BM的斜率就可以用含x, y的式子表示，由于直线AM , BM的斜率之积是4，因此，可以求出x, y之间的关系式，即得到点M的轨迹方程.9练习：第60页1、2、3、作业：第66页1、2、2 . 3. 2双曲线的简单几何性质♦知识与技能目标了解平面解析几何研究的主要问题：(1)根据条件，求出表示曲线的方程；(2 )通过方程，研究曲线的性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义♦过程与方法目标(1 )复习与引入过程引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.①由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围；②由方程的性质得到双曲线的对称性；③由圆锥曲线顶点的统一定义，容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念；④应用信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问题；⑤类比椭圆通过F56的思考问题，探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率. 〖板书〗§ 2. 2. 2双曲线的简单几何性质.(2) 新课讲授过程(i )通过复习和预习，对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质.提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质.(ii )双曲线的简单几何性质2 2①范围：由双曲线的标准方程得， 1 0，进一步得：x a ，或xa .这说b a明双曲线在不等式 x a ，或x a 所表示的区域；② 对称性：由以 x 代x ，以y 代y 和 x 代x ，且以 y 代y 这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③ 顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点.因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴， 焦点不在的对称轴叫做虚轴；c⑤ 离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 e —叫做双曲线的离心率(e 1).a④渐近线：直线ybx 2x 叫做双曲线一 aa 2yb 2 1的渐近线;y 轴上的渐近线是扩展：求与双曲线x 2 162y —1共渐近线，2. 3, 3点的双曲线的标准方及离心率.解法剖析 :双曲线2x16291的渐近4x .①焦点在x 轴上时，设所求的双曲2线为X 216k 2 2 y 9k 2A 2；3, 3点在双曲线上，••• k 21，无解;4②焦点在y 轴上时，设所求的双曲线2x 16k 229：2 1，―A2 3, 3点在双曲线上，• k21，因此，所求双曲线42的标准方程为y9 41，离心率e5.这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上, 3可直接设所求的双曲线的方程为2x162y一 mm R,m 0 .9(iii )例题讲解与引申、扩展例3求双曲线9y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程.分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出a,b,c.引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在例4双曲线型冷却塔的外形，半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高为55m .试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程(各长度量精确到1m).是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图(1),它的最小解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为2 2七七 1，算出a,b,c的值;a b此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于 精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定.引申：如图所示，在 P 处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路 PA 或PB 送到呈矩形的足球场 ABCD 中去铺垫，已知|Ap 150m ，|Bp 100m，| BC| 60m ， APB 60o •能否在足球场上画一条 “等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由.解题剖析：设M 为“等距离”线上任意一点，则|PA |AM点M 的轨迹方程.♦情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教 学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生 创新.必须让学生认同和掌握：双曲线的简单几何性质，能由双曲线的标准方程能直接得到双曲线 的范围、对称性、顶点、渐近线和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系 的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取 近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要 求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并 掌握利用信息技术探究点的轨迹问题， 培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.♦能力目标(1) 分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究 ，培养学生的分析问题和解决 问题的能力.(2)思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问 题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能MF I 1 ^2 2 .16 ,16 J X 5y ,到直线l:x 一的距离dx — 15 5分析：若设点M x, y ，则a,b,c 的近似值，原则上在没有注意PB BM ,即BM | |AM | |Ap |Bp 50 （定值），“等距离”线是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的2部分，容易“等距离”线方程为x y1 35 x 625 375025,0 y 60 .理由略.例5如图，设M x, y 与定点F 5,0的距离和它到直线 15的距离的比是常数5，求4则容易得点M 的轨迹方程. 引申：《几何画板》探究点的轨迹：双曲线x, y 与定点 F c,0 的距离和它到定直线2a——的距离 c比是常数0，则点M 的轨迹方程是双曲线. 其中定点F c,02是焦点，定直线l : x —相c应于F 的准线; 另一焦点 F c,0，相应于F 的准线I : xx2力.(3) 实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的 一般的思想、方法和途径.练习：第66页1、2、3、4、5 作业：第3、4、6补充：3.课题:双曲线第二定义教学目标：1•知识目标：掌握双曲线第二定义与准线的概念，并会简单的应用。

第9课时双曲线的几何性质（1）【学习目标】1．了解双曲线的简单几何性质，如范围．对称性．顶点．渐近线和离心率等．2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．【问题情境】1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？【合作探究】双曲线的几何性质【展示点拨】例1．求双曲线22143x y-=的实轴长和虚轴长．焦点的坐标．离心率．渐近线方程．例2．已知双曲线的中心在原点,焦点在y 轴上,焦距为16,离心率为34,求双曲线的方程．变式：“焦点在y 轴上”变为“焦点在坐标轴上”．例3．求与椭圆18522=+y x 有相同焦点且经过点)1,0(的双曲线的标准方程．例4．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于,M N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，求该双曲线的离心率．【学以致用】1．说出下列双曲线的顶点,焦点,焦距,实轴长,虚轴长,离心率和渐近线方程：（1）221916x y -=；（2）22145y x -=.2．求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x 轴上； （2）焦距是10，虚轴长是8，焦点在y 轴上．3．已知双曲线的两条渐近线的方程是x y 34±=，焦点为)0,5(),0,5(-，求此双曲线的标准方程．4．双曲线的离心率为53，且与椭圆2214015x y +=有公共焦点，求此双曲线的标准方程．5．已知1F ,2F 是双曲线的两个焦点，以线段12F F 为边作正12MF F ∆，若边1MF 的中点在此双曲线上,求此双曲线的离心率．第9课时 双曲线的几何性质（1）【基础训练】1．双曲线1254922=-y x 的焦点坐标为 ． 2．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 3．等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为F(0，22)则双曲线的标准方程是________． 4．双曲线的两条渐近线线互相垂直，那么它的离心率是 ．5．双曲线1322=-y x 的两条渐近线所成的锐角是 ． 6．已知双曲线1422=-ky x 的离心率)2,1(∈e ，实数k 的取值范围是 ． 【思考应用】7．求满足下列条件的双曲线的标准方程． （1）两焦点的距离为14，两顶点间的距离为12； （2）一焦点坐标为（0，-4），一条渐近线为320y x -=．8．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点且垂直于实轴的弦与另一焦点的连线所成角为90o ，求此双曲线的离心率．9．已知双曲线的离心率为53，且与椭圆2214015x y +=有公共焦点，求此双曲线的标准方程．10．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左．右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1=4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值．【拓展提升】11．焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为03=±y x ，焦点到渐近线的距离为3，求此双曲线的方程．12．已知双曲线2212515x y -=，焦点为1F ,2F ,P 为双曲线上一点，,且012120F PF ∠=，求12F PF ∆的面积．。

江苏省宿迁市沭阳县潼阳中学高中数学教案：《2.3.2 双曲线的几何性质》（苏教版选修2-1）中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

一、教材分析：本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。

书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。

早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。

1、教学目标：使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。

2、教学重点与难点：（一）教学重点了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。

（二）教学难点：如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。

3、教具准备：粉笔，钢笔，书写纸等。

4、课时：一课时二、教学方法：要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。

（1）欣赏法：通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

（2）讲授法：讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！（3）练习法：为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。

三、教学过程：（一）组织教学让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。

（二）引入新课，通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！（三）讲授新课1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。

第8课时 双曲线的标准方程（2）【学习目标】1．掌握双曲线的定义,标准方程； 2．根据已知条件求双曲线的标准方程． 【问题情境】焦点在x 轴上的双曲线标准方程为 ； 焦点在y 轴上的双曲线标准方程为．【合作探究】试比较双曲线与椭圆的异同：【展示点拨】例1．若双曲线k y x =-222的焦距为6，求实数k 的值．例2．若双曲线112422=-y x 上的一点P 到它的右焦点的距离为8，求点P 到它的左焦点的距离．例3．已知双曲线与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点)2,23(，求双曲线的方程．例4．已知方程422=+y kx ，其中k 为实数，对于不同的范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【学以致用】1．方程22115x y k k =-++表示双曲线的充要条件是k ∈____． 2．已知双曲线2288kx ky -= 的一个焦点为(0,3)，则k = ．3．以椭圆221169144x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程是 ． 4．已知双曲线1366422=-y x 的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线上，且02190=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．5．在△MNG 中，已知NG ＝4，当动点M 满足条件M N G sin 21sin sin =-时，求动点M 的轨迹方程．第8课时 双曲线的标准方程（2）【基础训练】1．椭圆2x 2－3y 2＝1焦点坐标为 ．2．已知方程2211x y k k-=-表示双曲线，则k 的取值范围是 ．3．焦距为(3,5)M -的双曲线的标准方程为 ．4．设双曲线191622=-y x 上的点P 到点)0,5(的距离为15，则P 点到)0,5(-的距离是 ．5．已知焦点为12(4,0),(4,0)F F -，且经过点M 的双曲线的标准方程是 ．6．若椭圆14222=+my x 与双曲线1222=-y m x 有相同焦点，则实数m 的值为 ． 【思考应用】7．若表示何种变化时，方程则当1,,222222=-+-∈>λλλλb y a x R b a 曲线?它们是否有相同的焦点？8．求焦点的坐标轴上，且经过)523,2(1-P 和)4,734(2P 两点的双曲线的标准方程．9．求以椭圆22185x y +=的焦点为顶点，而以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程；10．已知221,13x y k k -=---○1方程表示双曲线；○2表示焦点在x 轴上的双曲线；③表示焦点在y 轴上的双曲线【拓展提升】11．已在双曲线与椭圆1362722=+y x 有相同的焦点且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，求双曲线的方程．12．在周长为48的390,tan =4oRt MPN MPN PMN ∆∠=∠中，，求以M,N 为焦点，且过点P 的双曲线方程．。

§2.2.2双曲线的简单几何性质(2)一、 学习目标及学法指导1.进一步掌握双曲线的基本几何性质,对给定的双曲线标准方程能熟练说出其几何性质,并画出图形.2.能根据给定条件用待定系数法求双曲线的标准方程.3.能根据双曲线的几何性质,解决有关问题.二、预习案（预习教材理P 58~ P 60，文P 51~ P 53找出疑惑之处）复习1：说出双曲线的几何性质?复习2：双曲线的方程为221914x y -=，其顶点坐标是( )，( )；渐近线方程 ．二、新课导学※ 学习探究探究1：椭圆22464x y +=的焦点是？探究2：双曲线的一条渐近线方程是0x +=，则可设双曲线方程为？问题：若双曲线与22464x y +=有相同的焦点，它的一条渐近线方程是0x +=，则双曲线的方程是？三、课中案※ 典型例题例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m ，上口半径为13m ，下口半径为25m ，高为55m ，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．例2点(,)M x y 到定点(5,0)F 的距离和它到定直线l :165x =的距离的比是常数54，求点M 的轨迹．例3过双曲线22136x y -=的右焦点，倾斜角为30的直线交双曲线于,A B 两点，求,A B 两点的坐标．变式：求AB ？思考：1AF B ∆的周长？※ 动手试试练1．若椭圆22214x y a +=与双曲线2212x y a -=的焦点相同，求a 的值.练2 ．若双曲线2214x y m-=的渐近线方程为y =，求双曲线的焦点坐标．三、总结提升※ 学习小结1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；2．直线与双曲线的位置关系．四、课后案※ 当堂检测1．若椭圆2212516x y +=和双曲线22145x y -=的共同焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个交点，则12PF PF ∙的值为 （ ）A ．212B ．84C ．3D ．212．以椭圆2212516x y +=的焦点为顶点，离心率为2的双曲线的方程 （ ） A. 2211648x y -= B. 221927x y -= C. 2211648x y -=或221927x y -= D. 以上都不对3．过双曲线的一个焦点2F 作垂直于实轴的直线，交双曲线于P 、Q ，1F 是另一焦点，若∠12PFQ π=，则双曲线的离心率e 等于（ ）1124．双曲线的渐近线方程为20x y ±=，焦距为10，这双曲线的方程为_______________________.5．方程22141x y k k+=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围 ．※ 夯基达标1.( ) A.221y x -= B.22142y x -= C.22146y x -= D.221410y x -=2.已知双曲线C :22221y x a b-=的焦距为10,点P (2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为 ( )A.221205y x -= B.221520y x -= C.2218020y x -= D.2212080y x -=3.已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好分别是椭圆2212516y x +=的长轴端点、焦点,则双曲线C 的渐近线方程为 ( )A.430x y ±=B.340x y ±=C.450x y ±=D.540x y ±=4.若双曲线实轴的长度、虚轴的长度和焦距成等差数列,则该双曲线的离心率是( ) A.35 B.45 C.53 D.545.设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为 ( )C.2D.36.若0<k <a ,则双曲线22221y x a k b k -=-+与双曲线22221y x a b -=有 ( )A.相同的实轴B.相同的虚轴C.相同的焦点D.相同的渐近线7.求适合下列条件的双曲线的标准方程:(1)虚轴长为16,(2)顶点间距离为6,渐近线方程为32y x=±;(3)求与双曲线2212x y-=有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.8．已知双曲线的焦点在x轴上，方程为22221x ya b-=，两顶点的距离为8，一渐近线上有点(8,6)A，试求此双曲线的方程．※ 能力提升9.设12F F ,分别为双曲线22221(0y x a a b-=>,b >0)在左、右焦点,若在双曲线右支上存在点P ,满足|2PF |=|12F F |,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )A.340x y ±=B.350x y ±=C.430x y ±=D.540x y ±=10.已知12F F ,分别是双曲线22221y x a b-= (00)a b >,>的左、右焦点,过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ,B 两点,若△2ABF 是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是( )A.(1)B.(11,C.(1D.11.设圆过双曲线221y x -=的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，求圆心到双曲线中心的距离。

第10课时 双曲线的几何性质（2）【学习目标】能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 【问题情境】1．回顾双曲线的范围．对称轴．顶点．离心率．渐近线；2．已知双曲线的方程为221914x y -=，写出顶点和焦点坐标． 实半轴长．虚半轴长．离心率．渐近线方程． 【合作探究】试比较椭圆与双曲线的几何性质的异同【展示点拨】例1．设双曲线22221x y a b-=的半焦距为c ，直线l 过( , 0) (0 , )a b 、两点，且原点到直线l ，求双曲线的离心率．例2．求与双曲线221169x y -=共渐近线，且经过()3A -点的双曲线的标准方程．例3．焦点在坐标轴上的双曲线，它的两条渐近线方程为02=±y x ，焦点在渐近线的距离为8，求此双曲线方程．例4．若21,F F 是双曲线116922=-y x 的左右焦点，点P 在双曲线上，且3221=⋅PF PF ,求21PF F ∠的大小．【学以致用】1．双曲线1253622=-y x 的渐近线方程是 ．2．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为 ．3．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是（10，0），则双曲线的方程是 ．4．与椭圆1492422=+y x 共焦点，而与双曲线1643622=-y x 共渐近线的双曲线的方程为 ．5．求满足下列条件的双曲线的标准方程．（1）离心率e =()5,3M -；（2）两条渐近线的方程是23y x =±，经过点9,12M ⎛⎫- ⎪⎝⎭． （3）双曲线的一个焦点是)0,3(1-F ,过右焦点2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点,P 且1230PF F ∠=︒．第10课时 双曲线的几何性质（2）【基础训练】1．双曲线2x 2-y 2=8的实轴长是 ．2．当817k <<时,双曲线221178x y k k+=--的焦距为__________________． 3．设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为__________________．4．已知双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,则该双曲线的标准方程为______ __．5．圆1)(22=+-y a x 与双曲线122=-y x 的渐近线相切，则a 的值为 ．6．双曲线C 1：)0,0(12222>>=-b m b y m x 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有相同的焦点，双曲线C 1的离心率为1e ，椭圆C 2的离心率为2e ，则222111e e += ． 【思考应用】7．根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）已知双曲线的渐近线方程为x y 21±=，焦距为10； （2）已知双曲线的渐近线方程为x y 32±=，且过点M （1,29-）；（3）与椭圆1244922=+y x 有公共焦点，且离心率45=e ．8．求满足下列条件的双曲线的离心率： （1）双曲线的渐近线方程为32y x =±；（2）过焦点且垂直于实轴的弦与另一焦点的连线所成角为90o ．9．双曲线)0,1(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c, 直线l 过点）且点（，和（,01),0)0,(b a 到直线l 的距离与点)0,1(-到直线l 的距离之和,54c s ≥求双曲线的离心率e 的取值范围．10．一炮弹在某处爆炸，在F 1（-5000,0）处听到爆炸声的时间比在F 2（5000,0）处晚s 17300，已知坐标轴的单位长度为1m ，声速为340m/s ，爆炸点应在什么样的曲线上？并求爆炸点所在的曲线方程．【拓展提升】11．双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为15m,高为55m,试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．12．连结双曲线22221x y a b-=和22221x y a b -=-的四个顶点的四边形的面积为1S ，连结四个焦点的四边形的面积为2S ，求12S S 的最大值．。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2双曲线的几何性质学案新人教B版选修2、2、2 双曲线的几何性质1、了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)、2、理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程、(重点)3、能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题、(难点)[基础初探]教材整理双曲线的简单几何性质阅读教材P51～P52例1以上部分，完成下列问题、1、双曲线的简单几何性质标准方程－＝1(a＞0，b＞0)－＝1(a＞0，b＞0)图形性质范围x≥a 或x≤－ay≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴，对称中心：原点顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝且e＞1渐近线y＝xy＝x2、等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线、其方程的一般形式为x2－y2＝λ(λ≠0)、(2)性质：①渐近线方程为：y＝x、②离心率为：e＝、判断(正确的打“√”，错误的打“”)(1)双曲线是中心对称图形、( )(2)双曲线方程中a，b分别为实、虚轴长、()(3)方程－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝x、()(4)离心率e越大，双曲线－＝1的渐近线的斜率绝对值越大、()【答案】(1)√(2) (3) (4)√[质疑手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问2：_____________________________________________________解惑：______________________________________________________疑问3：_____________________________________________________解惑：_______________________________________________________[小组合作型]双曲线的几何性质(1)双曲线x2－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于()A、B、C、1D、(2)(xx广东高考)若实数k满足0<k<5，则曲线－＝1与曲线－＝1的()A、实半轴长相等B、虚半轴长相等C、离心率相等D、焦距相等(3)已知F1，F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为()【导学号：】A、＋1B、＋1C、2D、2【自主解答】(1)双曲线x2－y2＝1的顶点坐标为(1,0)，渐近线为y＝x，∴xy＝0，∴顶点到渐近线的距离为d＝＝、(2)因为0<k<5，所以两曲线都表示双曲线，在－＝1中a2＝16，b2＝5－k；在－＝1中a2＝16－k，b2＝5、由c2＝a2＋b2知两双曲线的焦距相等，故选D、(3)不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a、∵△PF1F2是等腰直角三角形，∴只能是∠PF2F1＝90，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c，∴|PF1|＝2a＋|PF2|＝2a＋2c，∴(2a＋2c)2＝2(2c)2，即c2－2ac－a2＝0，两边同除以a2，得e2－2e－1＝0、∵e＞1，∴e＝＋1、【答案】(1)B (2)D (3)B由双曲线的标准方程求几何性质的四个步骤[再练一题]1、(1)已知双曲线x2－＝1(b>0)的一条渐近线的方程为y＝2x，则b＝________、【解析】由双曲线x2－＝1，得a＝1，∴＝2，b＝2、【答案】2(2)求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程、【导学号：】【解】将原方程转化为－＝1，即－＝1，∴a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标为A1(－3,0)，A2(3,0)，焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程y＝x、利用双曲线的几何性质求其标准方程分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝x；(3)与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)、【精彩点拨】用待定系数法求双曲线的标准方程时，注意先定位再定量，充分利用题中所给出的双曲线的几何性质、【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)、由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8、∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1、(2)当焦点在x轴上时，由＝且a＝3得b＝、∴所求双曲线的标准方程为－＝1、当焦点在y轴上时，由＝且a＝3得b＝2、∴所求双曲线的标准方程为－＝1、(3)设与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为－y2＝k，将点(2，－2)代入得k＝－(－2)2＝－2、∴双曲线的标准方程为－＝1、1、一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得、再结合c2＝a2＋b2及e＝列关于a，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程、2、如果已知双曲线的渐近线方程为y＝x，那么此双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)、[再练一题]2、求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：【导学号：】(1)双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)；(2)双曲线过点(3,9)，离心率e＝、【解】(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)、由已知得a＝，c＝2，再由a2＋b2＝c2，得b2＝1、故双曲线C的方程为－y2＝1、(2)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k、于是，设所求双曲线方程为－＝1，①或－＝1，②把(3,9)代入①，得k＝－161与k>0矛盾；把(3,9)代入②，得k＝9，故所求双曲线方程为－＝1、[探究共研型]直线与双曲线的位置关系探究1 怎样判断直线与双曲线的位置关系？【提示】判断直线与双曲线的位置关系，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程，再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系、这时首先要看二次项的系数是否等于0、当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解、这时直线与双曲线相交只有一个交点、当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系、探究2 直线和双曲线只有一个公共点，直线和双曲线一定相切吗？【提示】直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点、已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1、(1)如果直线与双曲线有两个公共点，求a的取值范围；(2)如果直线与双曲线只有一个公共点，求a的取值范围；(3)如果直线与双曲线没有公共点，求a的取值范围、【精彩点拨】将直线与双曲线方程联立用判别式Δ判断方程组解的个数，并注意对二次项系数的讨论、【自主解答】把y＝ax＋1代入3x2－y2＝1，整理得(3－a2)x2－2ax－2＝0、(1)∵直线与双曲线有两个公共点，∴判别式Δ＝4a2＋8(3－a2)＝24－4a2＞0，且3－a2≠0，得－＜a＜，且a≠、故当－＜a ＜，且a≠时，直线与双曲线有两个公共点、(2)∵直线与双曲线只有一个公共点，∴或3－a2＝0，∴a＝或a＝、故当a＝或a＝时，直线与双曲线只有一个公共点、(3)∵直线与双曲线没有公共点，∴3－a2≠0，且Δ＝24－4a2＜0、∴a＞或a＜－、故当a＞或a＜－时，直线与双曲线没有公共点、1、研究直线与双曲线位置关系的一般解法仍然是联立二者方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解、2、直线与双曲线有三种位置关系(1)无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线、(2)有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点、(3)有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点、[再练一题]3、(1)已知过点P(1,1)的直线l与双曲线x2－＝1只有一个公共点，则直线l的斜率k的取值为________、【解析】设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)＋1，代入双曲线方程，得到(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0、若4－k2＝0，即k＝2，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；若4－k2≠0，则Δ＝[－(2k－2k2)]2－4(4－k2)(－k2＋2k－5)＝0，解得k＝、综上可得，直线l的斜率k的取值为或2、【答案】或2【解】①当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，联立消去y得3x2＋2x－2＝0、设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)、则x1＋x2＝－，x1x2＝－，于是|AB|＝＝＝＝＝、②将y＝－x＋1代入双曲线－y2＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，∴解得0＜a＜且a≠1、又双曲线的离心率e＝＝，∴e＞且e≠，即离心率e的取值范围是∪(，＋∞)、[构建体系]1、双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A、2B、2C、4D、4【解析】双曲线标准方程为－＝1，故实轴长为4、【答案】 C2、下列双曲线中离心率为的是()A、－＝1B、－＝1C、－＝1D、－＝1【解析】双曲线－＝1中a＝2，b＝，∴c＝，e＝、【答案】 B3、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________、【解析】由题意得双曲线的焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4，解得c＝5，b＝4，∴双曲线的标准方程为－＝1、【答案】－＝14、已知双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝________，b ＝________、【解析】由题意得解得a2＝1，b2＝4、又a＞0，b＞0，故a＝1，b＝2、【答案】 125、求中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，经过点(3，－2)，且一条渐近线的倾斜角为的双曲线的方程、【导学号：】【解】渐近线方程为y＝x，设双曲线方程为x2－3y2＝λ、将(3，－2)代入求得λ＝－3，所以双曲线方程为y2－＝1、。

教学案科目: 数学 主备人： 备课日期：课 题第 1 课时 计划上课日期：教学目标知识与技能1．了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线和离心率等．2．能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题．过程与方法 情感态度 与价值观教学重难点双曲线的几何性质及初步运用教学流程\内容\板书关键点拨 加工润色一、复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？ 2．双曲线的两种标准方程是什么？下面我们类比椭圆的几何性质来研究它的几何性质．双曲线的范围在以直线b y x a =和by x a=-为边界的平面区域内，那么从x ，y 的变化趋势看，双曲线22221x y a b -=与直线by x a=±具有怎样的关系呢？根据对称性，可以先研究双曲线在第一象限的部分与直线by x a=的关系．双曲线在第一象限的部分可写成：()22b y x a x a a =->．设(),M x y 是它上面的点，设点N 是直线by x a=上与M 有相同横坐标的点，则N by x a =．设MQ 是点M 到直线by x a=的距离，则有||||MQ M N <． 当x 逐渐增大，并趋向于无穷大时，MN 趋向于0，这说明，双曲线在射线ON 的下方，并无限接近于射线ON ．在其他象限内也可以证明类似的情况． 我们把两条直线by x a=±叫做双曲线的渐近线． 定义：直线b y x a =±叫做双曲线22221x y a b -=的渐近线；直线ay x b =±叫做双曲线22221y x a b -=的渐近线． 四、离心率由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：1．双曲线的焦距与实轴的比ce a=叫做双曲线的离心率，且1e >． 2．由于22222211b c a c e a a a -==-=-，所以e 越大，也越大，即渐近线b y x a=±的斜率绝对值越大．这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，从而得出：双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．这时，指出：焦点在y 轴上的双曲线的几何性质可以类似得出，双曲线的几何性质与坐标系的选择无关，即不随坐标系的改变而改变．五、例题讲解例1 求双曲线22143x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析 由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ，引导学生用双曲线的实轴长、虚轴。

2.2.2 双曲线的几何性质课堂导学三点剖析一、双曲线的渐近线【例1】 求双曲线16x 2-9y 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标、渐近线方程.解析：把方程16x 2-9y 2=-144化为标准方程222234x y -=1.因此可知，实半轴长a =4,虚半轴长b =3;c =22b a +=5, 焦点坐标为(0，-5)，(0，5)； 离心率e =45=a c ; 顶点坐标为(0，-4)，(0，4)； 渐近线方程为y =±34x . 温馨提示双曲线2222b y a x -=1(a ＞0,b ＞0)的渐近线为y =±abx ,双曲线2222b x a y -=1的渐近线为x =±a by ，即y =±ba x ,应仔细区分两双曲线的渐近线的异同点. 二、双曲线的离心率【例2】 双曲线2222by a x -=1(a ＞1,b ＞0)的焦距为2c ,直线l 过点(a ,0)和(0,b ),且点(1，0)到直线l 的距离与点(-1，0)到直线l 的距离之和s ≥54c .求双曲线的离心率e 的取值范围.解：直线l 的方程为bya x +=1,即bx +ay -ab =0. 由点到直线的距离公式，且a ＞1,得到点(1，0)到直线l 的距离d 1=22)1(ba ab +-.同理得到点(-1，0)到直线l 的距离：d 2=22)1(b a a b ++,s =d 1+d 2=cabb a ab 2222=+. 由s ≥５４c ,得,542c c ab ≥ 即5a 22a c -≥2c 2.于是得512-e ≥2e 2,即4e 4-25e 2+25≤0. 解不等式，得45≤e 2≤5. 由于e ＞1＞0, 所以e 的取值范围是25≤e ≤5. 温馨提示本题通过构造法来求离心率的取值范围，考查了不等式的数学思想，点到直线的距离公式，双曲线的基本性质，以及综合运算能力. 三、直线与双曲线的位置关系【例3】 已知直线y =ax +1与双曲线3x 2-y 2=1交于A 、B 两点 (1)若以AB 为直径的圆过坐标原点，求实数a 的值； (2)是否存在这样的实数a ，使A 、B 两点关于直线y =21x 对称？若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.解析：(1)由⎩⎨⎧=-+=13,122y x ax y 消去y ，得 (3-a 2)x 2-2ax -2=0.①依题意⎩⎨⎧>∆≠-,0,032a即-6＜a ＜6且a ≠±3.②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=+④③ .32 ,32221221a x x a a x x ∵以AB 为直径的圆过原点，∴OA ⊥OB . ∴x 1x 2+y 1y 2=0.但y 1y 2=a 2x 1x 2+a (x 1+x 2)+1,由③④，x 1+x 2=232a a -,x 1x 2=232a --. ∴(a 2+1)·232a --+a ·232aa -+1=0. 解得a =±1且满足②.(2)假设存在实数a ，使A 、B 关于y =21x 对称，则直线y =ax +1与y =21x 垂直， ∴a ·21=-1，即a =-2. 直线l 的方程为y =-2x +1.将a =-2代入③得x 1+x 2=4. ∴AB 中点横坐标为2， 纵坐标为y =-2×2+1=-3.但AB 中点(2，-3)不在直线y =21x 上, 即不存在实数a ，使A 、B 关于直线y =21x 对称.各个击破 类题演练1求满足下列条件的双曲线方程(1)以2x ±3y =0为渐近线，且经过点(1，2)；(2)与椭圆x 2+5y 2=5共焦点且一条渐近线方程为y -3x =0.解：(1)设所求双曲线方程为4x 2-9y 2=λ,点(1，2)在双曲线上,点的坐标代入方程可得λ=-32,∴所求双曲线方程为4x 2-9y 2=-32,即.1832922=-x y (2)由已知得椭圆x 2+5y 2=5的焦点为(±2，0)，又双曲线的一条渐近线方程为y -3x =0,则另一条渐近线方程为y +3x =0.设所求双曲线方程为3x 2-y 2=λ(λ＞0),则a 2=3λ,b 2=λ. ∴c 2=a 2+b 2=34λ=4,即λ=3, 故所求的双曲线方程为x 2-32y =1.变式提升1设P 是双曲线9222y ax -=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x -2y =0,F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点.若｜PF 1｜=3，则｜PF 2｜=( )A.1或5B.6C.7D.9解：由双曲线方程19222=-y a x ,得b =3.∵渐近线方程为y =±abx ,已知其渐近线方程为3x -2y =0,即y =23x ∴23=a b ∴a =2. 由双曲线定义｜｜PF 1｜-｜PF 2｜｜=2a ∵｜PF 1｜=3∴｜PF 2｜=7或｜PF 2｜=-1(舍) ∴｜PF 2｜=7，故正确答案为C.类题演练2已知双曲线2222y a x -=1(a ＞2)的两条渐近线的夹角为3π,则双曲线的离心率为( )A.2B.3C.362 D.332 解析：双曲线2222y ax -=1(a ＞2).∴渐近线斜率分别为k 1=a2,k 2=-a 2. ∴tan ,2.|2122|3π2a t aa =-设 ∴3t 2+2t -3=0.解之，得t =33或-3(舍去). ∴a =6.∴e =.33222=+=a a ac 答案：D变式提升2已知双曲线2222by a x -=1(a ＞0,b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且｜PF 1｜=4｜PF 2｜，则此双曲线的离心率e 的最大值为( ) A.34 B.35 C.2D.37 解：由双曲线的第二定义可得｜PF 1｜=e (x 0+ca 2)=ex 0+a ,｜PF 2｜=e (x 0-ca 2)=ex 0-a ∵｜PF 1｜=4｜PF 2｜ ∴ex 0+a =4(ex 0-a ) 解得e =0·35x a ∵x 0≥a ＞0 ∴当且仅当x 0=a 时，e 取最大值35.故正确答案为B.类题演练3已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为2且过点(4，-10). (1)求双曲线的标准方程；(2)直线x =3与双曲线交于M 、N 两点，求证：F 1M ⊥F 2M .(1)解：由双曲线的离心率为2，即222,2ab a ac +=则=2, ∴a =b ,即双曲线为等轴双曲线.可设其方程为x 2-y 2=λ(λ≠0). 由于双曲线过点(4，-10). 则42-(-10)2=λ.∴λ=6.∴双曲线方程为.16622=-y x (2)证明：由(1)可得F 1、F 2的坐标分别为(-23，0)、(23，0)，M 、N 的坐标分别为(3，3)、(3，-3).∴k F 1M =.3233,32332-=+M F k故k F 1M ·k F 2M =.13233·3233-=-+∴F 1M ⊥F 2M .变式提升3已知直线y =kx -1与双曲线x 2-y 2=1的左支交于A 、B 两点，若另一条直线l 过点P (-2，0)及线段AB 的中点Q ，求直线l 在y 轴上的截距的取值范围.解析：由方程,1122⎩⎨⎧=--=y x kx y 消去y ,整理得 (1-k 2)x 2+2kx -2=0.由题设得120120120)1(8401222222222-<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>--=<--=+>-+=∆≠-k k x x k k x x k k k 解得：设A 、B 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)则).11,1(121222221221--∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=+k k k Q k y y k k x x ∴直线l 的方程为y =),2(2212+-+x k k令x =0,得直线l 在y 轴上截距b =.2222-+k k ∵-2＜k ＜-1,∴截距b 的取值范围是：(-∞,-2)∪(2+2,+∞).。