人教A版选修2-1第二章第7课时导学案§2.3.1 双曲线及其标准方程

课题：双曲线的定义及其标准方程渠县琅琊中学 阳红梅教学目标1．通过教学，使学生熟记双曲线的定义及其标准方程，理解双曲线的定义， 双曲线的标准方程的探索推导过程．2．在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，培养学生会合情猜想，进一步提高分析、归纳、推理的能力．3．培养学生浓厚的学习兴趣，独立思考、勇于探索精神及实事求是的科学态度． 教学重难点重点：双曲线的定义和标准方程，用待定系数法求标准方程。

难点：双曲线的探索推导过程，定义中的“差的绝对值”，a 与c 的关系的理解． 教学过程一．情景引入1. 通过音乐引入双曲线。

2. 通过图片展示感受双曲线。

二．合作探究探究1：类比椭圆的定义，你能给出双曲线的定义吗？定义应注意什么？结合几何画板动画展示发现双曲线的运行轨迹并形成定量关系，归纳得出双曲线的定义。

探究2：如何建立适当的坐标系求双曲线标准方程？通过求曲线的方程的方法步骤推导双曲线方程（学生分成两组，分别自主探究焦点在x 轴上和y 轴上的标准方程。

练习：判断下列方程是否表示双曲线？若是，求出 ,,a b c 及焦点坐标。

()()222211214242x y x y -=-=- 思考：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？焦点跟着正项走。

探究3: 双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何异同点?探究4: 如何求双曲线的标准方程?例1：已知两定点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足||PF 1|-|PF 2||=6，求动点P 的轨迹方程。

变一变1：已知两定点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足||PF 1|-|PF 2||=10，求动点P 的轨迹方程。

变一变2：已知两定点F 1(-5,0),F 2(5,0),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=6，求动点P 的轨迹方程。

例2：已知双曲线焦点在x 轴上，且经过两点 )2,315(),3,2(-- ，求它的标准方程。

变一变：已知双曲线且经过两点 )2,315(),3,2(--，求它的标准方程。

2.3.1双曲线及其标准方程●三维目标1.知识与技能理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决问题；了解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用方法．2．过程与方法通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力．3．情感、态度与价值观通过教师指导下学生的交流探索活动，激发学生的学习兴趣，培养学生用联系的观点认识问题．●重点难点重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程．难点：双曲线标准方程的推导．由于双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课用“启发探究”式的教学方式，重点突出以下两点：①以类比思维作为教学的主线；②以自主探究作为学生的学习方式，并结合多媒体辅助教学，进而实现重点、难点的突破．●教学建议在教法上，宜采用探究性教学法和启发式教学法．让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题．以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习．通过创设情境，充分调动学生已有的学习经验，让学生经历“观察——猜想——证明——应用”的过程，发现新的知识，把学生的潜意识状态的好奇心变为自觉求知的创新意识．又通过实际操作，使刚产生的数学知识得到完善，提高了学生动手动脑的能力和增强了研究探索的综合素质．●教学流程复习椭圆定义，提出问题：与两定点距离的差为常数的轨迹是什么？⇒引导学生结合试验分析，得出满足条件的曲线形状，给出双曲线定义并探究特殊情形.⇒通过引导学生类比椭圆标准方程得出的方法，推导双曲线的标准方程.⇒对比椭圆与双曲线定义的异同，完成例1及其互动探究，从而掌握双曲线定义的应用问题.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用待定系数法求双曲线的标准方程.⇒通过例3及其变式训练，使学生理解双曲线的定义及标准方程，并学会其在实际问题中的应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.了解双曲线的定义及焦距的概念．2．了解双曲线的几何图形、标准方程．(重点)3.能利用双曲线的定义和待定系数法去求双曲线的标准方程．(重点)双曲线的定义【问题导思】1．我们知道，与两个定点距离的和为非零常数(大于两定点间的距离)的点的轨迹是椭圆，那么与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？【提示】双曲线的一支．2．若定义中的常数大于或等于|F1F2|时，轨迹是什么？【提示】当常数等于|F1F2|时，轨迹为以F1，F2为端点，在直线F1F2上反向的两条射线F1A，F2B(包括端点)，如图所示．当常数大于|F1F2|时，轨迹不存在．把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．双曲线的标准方程【问题导思】类比椭圆标准方程的建立过程，你能说说怎样选择坐标系，建立双曲线的标准方程吗？【提示】 以经过两焦点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建坐标系．焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 标准 方程 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距|F 1F 2|＝2c ，c 2＝a 2＋b 2双曲线定义的应用已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【思路探究】 (1)在△PF 1F 2中，由余弦定理能得到|F 1F 2|、|PF 1|、|PF 2|三者满足怎样的关系式？(2)结合双曲线的定义，能否求出|PF 1|·|PF 2|的值进而求出△F 1PF 2的面积？【自主解答】 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.求双曲线中焦点三角形面积的方法：法一：(1)根据双曲线的定义求出||PF 1|－|PF 2||＝2a ；(2)利用余弦定理表示出|PF 1|、|PF 2|、|F 1F 2|之间满足的关系式；(3)通过配方，整体的思想求出|PF 1|·|PF 2|的值；(4)利用公式S △PF 1F 2＝12×|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求得面积．法二：利用公式S △PF 1F 2＝12×|F 1F 2|×|y P |求得面积．本例中若∠F 1PF 2＝90°，其他条件不变，求△F 1PF 2的面积． 【解】 由双曲线方程知a ＝3，b ＝4，c ＝5 由双曲线的定义，||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝6， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36①在Rt △F 1PF 2中，由勾股定理|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2＝100② 将②代入①得：|PF 1|·|PF 2|＝32， ∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝16.求双曲线的标准方程求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)a ＝4，且经过点A (1，4103)；(2)经过点P 1(－2，325)和P 2(437，4)两点．【思路探究】 (1)所求曲线的焦点位置确定吗？(2)如何求出a 2、b 2的值？ 【自主解答】 (1)①若所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则将a ＝4代入，得x 216－y 2b 2＝1.又∵点A (1，4103)在双曲线上，∴116－1609b 2＝1.由此得b 2＜0， ∴不合题意，舍去．②若所求双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则将a ＝4代入得y 216－x 2b 2＝1，代入点A (1，4103)，得b 2＝9，∴双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.(2)法一 当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵P 1、P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－(325)2b2＝1(437)2a 2－42b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝－1161b 2＝－19(不合题意舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵P 1、P 2在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(325)2a 2－4b2＝142a 2－(437)2b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝191b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.故所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.法二 因为双曲线的焦点位置不确定，所以设曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为P 1、P 2在双曲线上，所以有⎩⎨⎧4m ＋454n ＝1169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－116n ＝19.所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.1．求双曲线标准方程的两个关注点：(1)定位：是指确定与坐标系的相对位置，在标准方程的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以确定方程的形式．(2)定量：是指确定a 2、b 2的数值，常由条件列方程求解．2．若焦点的位置不明确，应注意分类讨论，也可以设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1的形式，为简单起见，常标明条件mn ＜0.求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A (－5,6)； (2)a ＝5，c ＝7.【解】 (1)由已知c ＝6，且焦点在y 轴上，另一焦点为(0,6)． 由双曲线定义2a ＝|(－5－0)2＋(6＋6)2－(－5－0)2＋(6－6)2|＝8. ∴a ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝20.∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 220＝1.(2)由已知a ＝5，c ＝7，∴b 2＝c 2－a 2＝24，焦点不确定 ∴所求双曲线的标准方程为x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1.双曲线的定义与标准方程的实际应用“神舟”九号飞船返回仓顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回仓预计到达区域安排了三个救援中心(记为A ，B ，C )，A 在B 的正东方向，相距6千米，C 在B 的北偏西30°方向，相距4千米，P 为航天员着陆点．某一时刻，A 接收到P 的求救信号，由于B ，C 两地比A 距P 远，在此4秒后，B ，C 两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒．求在A 处发现P 的方位角．【思路探究】 由“A 接收到P 的求救信号的时间比其他两个救援中心早4 s ”能否得到|PB |与|P A |的差为定值？是否说明点P 在以A 、B 为焦点的双曲线的一支上？【自主解答】 因为|PC |＝|PB |，所以P 在线段BC 的垂直平分线上．又因为|PB |－|P A |＝4，所以P 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上．以线段AB 的中点为坐标原点，AB 的垂直平分线所在直线为y 轴，正东方向为x 轴正方向建立直角坐标系，如图所示．则A (3,0)，B (－3,0)， C (－5，23)．所以双曲线方程为x 24－y 25＝1(x ＞0)，BC 的垂直平分线方程为x －3y ＋7＝0. 联立两方程解得 x ＝8，y ＝53， 所以P (8,53)，k P A ＝tan ∠P Ax ＝3，所以∠P Ax ＝60°. 所以P 点在A 点的北偏东30°方向．解答此类题首先应建立平面直角坐标系，取两定点所在的直线为x 轴，以两定点为端点的线段的中点为坐标原点；然后根据双曲线的定义求出标准方程，再由标准方程解有关问题．本题的解法主要运用了数形结合思想和函数与方程思想．某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP ，BP 运到P 处(如图2－3－1所示)，|P A |＝100 m ，|PB |＝150 m ，∠APB ＝60°，试说明怎样运土才能最省工．图2－3－1【解】 设M 是分界线上的任意一点，则有： |MA |＋|P A |＝|MB |＋|PB |，于是|MA |－|MB |＝|PB |－|P A |＝150－100＝50. 在△P AB 中，由余弦定理得， |AB |2＝|P A |2＋|PB |2－2|P A |·|PB |· cos 60° ＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500.∴以AB 所在直线为x 轴，AB 中点为原点建立平面直角坐标系，则分界线是双曲线，即x 2625－y 23 750＝1(x ≥25)． 故运土时，将此双曲线左侧的土沿AP 运到P 处，右侧的土沿BP 运到P 处最省工.混淆a 、b 、c 的关系致误双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点坐标为(0,3)，求k 的值． 【错解】 将双曲线的方程化成标准形式为 x 21k －y 28k＝1. 因为双曲线的焦点在y 轴上，所以a 2＝8k ，b 2＝1k .所以c ＝a 2－b 2＝8k －1k ＝3，即7k ＝9，所以k ＝79. 【错因分析】 上述解法有两处错误：一是a 2，b 2值确定错误，应该是a 2＝－8k ，b 2＝－1k；二是基本量a 、b 、c 的关系错误，在双曲线中基本量a 、b 、c 的关系应该是c 2＝a 2＋b 2.【防范措施】 在椭圆中，a 、b 、c 的关系是c 2＝a 2－b 2；而在双曲线中，a 、b 、c 的关系是c 2＝a 2＋b 2，二者极易混淆，要注意区分，以防错误．【正解】 将双曲线的方程化成kx 2－k8y 2＝1.因为双曲线的一个焦点坐标是(0,3)，所以焦点在y 轴上，且c ＝3. 所以a 2＝－8k ，b 2＝－1k .所以－8k －1k ＝9，解得k ＝－1.1．理解双曲线定义应注意以下三点：①定义中的动点与定点在同一平面内；②距离的差要加绝对值，否则只表示双曲线的一支；③距离差的绝对值必须小于焦距，否则不是双曲线，而是两条射线或无轨迹．2．利用待定系数法可以求双曲线的标准方程，求解步骤包括“定位”与“定量 ”两步.1．动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线【解析】 ∵||PM |－|PN ||＝2＝|MN |，∴点P 的轨迹是两条射线． 【答案】 C2．(2013·徐州高二检测)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( ) A ．(22，0) B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)【解析】 将双曲线方程化为标准形式x 2－y 212＝1， 所以a 2＝1，b 2＝12，∴c ＝a 2＋b 2＝62，∴右焦点坐标为(62，0)． 【答案】 C3．满足条件a ＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 24－y 216＝1 D.x 216－y 24＝1 【解析】 由a ＝2，c ＝4，得b 2＝c 2－a 2＝12，又一焦点(4,0)在x 轴上， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1.【答案】 A4．已知双曲线x 216－y 29＝1的左支上一点M 到其左焦点F 1的距离为10，求点M 到该曲线左焦点F 2的距离．【解】 由x 216－y 29＝1得a ＝4，∵点M 在双曲线的左支上∴|MF 2|＞|MF 1|，∴|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝8， 又∵|MF 1|＝10，∴|MF 2|＝18.一、选择题1．(2013·东营高二检测)方程x 22＋m －y 22－m ＝1表示双曲线，则m 的取值范围( ) A ．－2＜m ＜2B ．m ＞0C ．m ≥0D ．|m |≥2【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m )(2－m )＞0.∴－2＜m ＜2.【答案】 A 2．设动点P 到A (－5,0)的距离与它到B (5,0)距离的差等于6，则P 点的轨迹方程是( ) A.x 29－y 216＝1 B.y 29－x 216＝1 C.x 29－y 216＝1(x ≤－3) D.x 29－y 216＝1(x ≥3) 【解析】 由题意，应为以A (－5,0)，B (5,0)为焦点的双曲线的右支．由c ＝5，a ＝3，知b 2＝16，∴P 点的轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ≥3)． 【答案】 D3．(2013·泉州高二检测)已知定点A 、B 且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值是( )A.12B.32C.72D ．5【解析】 由题意知，动点P 的轨迹是以定点A 、B 为焦点的双曲线的一支(如图)从图上不难发现，|P A |的最小值是图中AP ′的长度，即a ＋c ＝72. 【答案】 C4．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞n ＞0)和双曲线x 2a －y 2b＝1(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是( )A ．m －a B.12(m －a ) C ．m 2－a 2 D.m －a【解析】 由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2m .①由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a .②①2－②2得4|PF 1|·|PF 2|＝4(m －a )，∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a .【答案】 A5．已知双曲线的两个焦点分别为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上的一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程是( )A.x 22－y 23＝1 B.x 23－y 22＝1 C ．x 2－y 24＝1 D.x 24－y 2＝1 【解析】 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，在Rt △PF 1F 2中，m 2＋n 2＝(2c )2＝20，m ·n ＝2，由双曲线定义，知|m －n |2＝m 2＋n 2－2mn ＝16.∴4a 2＝16.∴a 2＝4，b 2＝c 2－a 2＝1.∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1. 【答案】 D二、填空题6．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距为________． 【解析】 c 2＝m 2＋12＋4－m 2＝16，∴c ＝4,2c ＝8.【答案】 87．(2013·郑州高二检测)设点P 是双曲线x 29－y 216＝1上任意一点，F 1，F 2分别是其左、右焦点，若|PF 1|＝10，则|PF 2|＝________.【解析】 由双曲线的标准方程得，a ＝3，b ＝4.于是c ＝a 2＋b 2＝5.(1)若点P 在双曲线的左支上，则|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，∴|PF 2|＝6＋|PF 1|＝16；(2)若点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝6，∴|PF 2|＝|PF 1|－6＝10－6＝4.综上，|PF 2|＝16或4.【答案】 16或48．(2013·泰安高二检测)方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出下列四个命题： ①曲线C 不可能是圆；②若1＜k ＜4，则曲线C 为椭圆；③若曲线C 为双曲线，则k ＜1或k ＞4；④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1＜k ＜52. 其中正确命题的序号是________(写出所有正确的命题的序号)【解析】 当4－k ＝k －1＞0时，即k ＝52时，曲线C 是圆，∴命题①是假命题．对于②，当1＜k ＜4且k ≠52时，曲线C 是椭圆，则②是假命题． 根据双曲线定义与标准方程，③④是真命题．【答案】 ③④三、解答题9．求与双曲线x 24－y 22＝1有相同焦点且过点P (2,1)的双曲线的方程． 【解】 ∵双曲线x 24－y 22＝1的焦点在x 轴上． 依题意，设所求双曲线为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)． 又两曲线有相同的焦点，∴a 2＋b 2＝c 2＝4＋2＝6.①又点P (2,1)在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上， ∴4a 2－1b 2＝1.② 由①、②联立，得a 2＝b 2＝3，故所求双曲线方程为x 23－y 23＝1. 10．已知方程kx 2＋y 2＝4，其中k 为实数，对于不同范围的k 值分别指出方程所表示的曲线类型．【解】 (1)当k ＝0时，y ＝±2，表示两条与x 轴平行的直线；(2)当k ＝1时，方程为x 2＋y 2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；(3)当k ＜0时，方程为y 24－x 2－4k ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线； (4)当0＜k ＜1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在x 轴上的椭圆； (5)当k ＞1时，方程为x 24k＋y 24＝1，表示焦点在y 轴上的椭圆． 11．某部队进行军事演习，一方指挥中心接到其正西、正东、正北方向三个观测点A ，B ，C 的报告：正西、正北两个观测点同时听到了炮弹的爆炸声，正东观测点听到爆炸声的时间比其他两观测点晚4 s ，已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m ，试确定该枚炮弹的袭击位置．(声音的传播速度为340 m/s ，相关各点均在同一平面内)．【解】 如图，以指挥中心为原点，正东、正北方向分别为x 轴、y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (－1 020,0)，B (1 020,0)，C (0,1 020)．设P (x ，y )为袭击位置，则|PB |－|P A |＝340×4＜|AB |.由双曲线定义，知点P 在以A ，B 为焦点的双曲线的左支上，且a ＝680，c ＝1 020， 所以b 2＝1 0202－6802＝5×3402.所以双曲线方程为x 26802－y 25×3402＝1(x ≤－680)．① 又|P A |＝|PC |，因此P 在直线y ＝－x 上，把y ＝－x 代入①式，得x ＝－680 5.所以P (－6805，6805)，|OP |＝68010(m)．故该枚炮弹的袭击位置在北偏西45°，距指挥中心68010 m 处.(教师用书独具)如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【自主解答】 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4， ∴|MF 2|－|MF 1|＝3＜|F 1F 2|.∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1(x ≤－32)．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【解】 设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2(如图所示)． ∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2.又C 1(－4,0)，C 2(4,0)，∴|C 1C 2|＝8，∴22＜|C 1C 2|.根据双曲线的定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)，C 2(4,0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14.x2 2－y214＝1(x＞2).故点M的轨迹方程为。

2.3.1双曲线及其标准方程学案学情分析1、高中学生思维活跃，参与积极性高，已 初步形成了对数学问题的合作探究能力。

我在设计中注意渗透小组交流，合作探究 知识的形成过程.2、学生刚学习完椭圆的知识，对椭圆的定义及标准方程非常熟悉，类比椭圆的定义和标准方程，学习双曲线的定义和标准方程. 3.培养数学的应用意识是当今数学教育的主题,本节课的内容与实际问题联系紧密,更应强化数学来源于实际又应用于实际的意识.通过本节课教学，学生在以下几个方面有较大的收获和启发：1.通过类比学习双曲线的定义与标准方程，让学生体会到由简单到复杂，特殊到一般的化归思想；让学生学会抓住问题的主要矛盾来解决问题的基本思想方法．2. 课堂中，通过对问题的自主探究，培养学生的独立意识和独立思考能力；小组交流中，学会合作意识；在解决问题的难点时，培养学生解决问题抓主要矛盾的思想．在问题逐步深入的研究中唤起学生追求真理，乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观．教材分析本节课是新课程人教A 版选修2-1 第2章 第三节第一课时。

它是在学生学习了直线、圆和椭圆的基础上进一步研究学习的，也为后面的抛物线及其标准方程做铺垫。

所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。

评测练习1．动点P 到点()1,0M 及点()3,0N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）． A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线2．双曲线2255x ky +=的一个焦点是)，那么实数k 的值为（ ）．A ．25-B ．25C ．1-D ．13．双曲线的两焦点分别为()()123,0,3,0,F F -若2a =，则b =（ ）．A. 5B. 13C.-4．已知点()()2,0,2,0M N -，动点P满足条件PM PN -=则动点P 的轨迹方程为___________．5．已知方程22121x y m m -=++表示双曲线，则m 的取值范围为____________．课后反思本节课在教学设计充分体现了“老师为主导，学生为主体”的教学原则，在教学过程中体现了三个特色：（1）以问题为教学线索；问题是教学的心脏，本节教学始终以教学的解决为线索，在老师的引导下，使学生的思维从问题开始到问题深化；（2）以学生为课堂主体，重视学生的自主参与能力，重视学生探究能力和创新能力的培养，激励学生积极思考、大胆思考并且亲自动手实践；（3）以类比为教学方法，在学生原有的知识体系上，通过类比一步步引导学生在椭圆的基础上学习双曲线的知识。

2. 3.1双曲线及其标准方程课前预习学案一．预习目标：了解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。

二．预习内容：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做-------。

两定点 , 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离||叫做双曲线的________ ．三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一.学习目标：掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。

学习重难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点 二.学习过程：问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图 2-23，定点 , 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|| - || 是常数，这样就画出一条曲线；由 || - || 是同一常数，可以画出另一支．新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做双曲线。

两定点 , 叫做双曲线的_________ ， 两焦点间的距离||叫做双曲线的________ ． 反思：设常数为2a ，为什么2a < || ？ 2a = ||时，轨迹是__________ ； 2a > || 时，轨迹____________ ．试一试：点 A ( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC | - |BC | = 1 ，则点C 的轨迹是__________ ．新知 2：双曲线的标准方程：,(a> 0,b> 0, )（焦点在x 轴）其焦点坐标为(- c ,0) ， (c ,0) ．1F 2F 21F F 1F 2F 21F F 1F 2F 1MF 2MF 2MF 1MF 1F 2F 21F F 1F 2F 21F F 21F F 21F F 21F F 12222=-by a x 222b a c +=1F 2F思考：若焦点在 y 轴，标准方程又如何？三.反思总结：1.双曲线定义中需要注意的条件：2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：、的系数符号相反，若的系数为正，则焦点在轴上，反之则在轴上。

《2.3.1 双曲线及其标准方程》教学设计一、教学内容解析(一)课标要求：《双曲线及其标准方程》是人教A版普通高中课程选修2-1第二章的第三节内容. 课程标准对本节内容的要求是：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想.(二)教材地位双曲线与科研、生产以及人类生活有着密切的关系，因此，研究它的几何特征及其性质有着极其现实的意义。

学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步巩固、深化和提高.如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章.所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质以及进一步学习抛物线，解决更复杂的解析几何综合问题奠定良好的基础.教学重点：理解和掌握双曲线的定义及其标准方程.突出重点的手段：通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，再通过讨论归纳得出双曲线的定义；对于双曲线的方程，可类比椭圆方程的推导得出方程并加以比较，加深认识.二、教学目标设置依据教材的地位与作用，以及新课改对教学目标的要求，确定本节课的教学目标为：1、理解双曲线的定义并能独立推导标准方程；2、通过定义及标准方程的挖掘与探究，使学生进一步体验类比、数形结合等思想方法的运用，提高学生的观察与探究能力；3、通过教师指导下的学生交流探索活动，让学生体会数学的理性和严谨，培养学生实事求是和锲而不舍的钻研精神，形成学习数学知识的积极态度.三、学生学情分析授课班级为宁夏吴忠市吴忠中学高二年级学生。

从知识方面来说，学生从必修“平面解析几何初步”到选修“圆锥曲线”，已经学习直线、圆和椭圆，较为系统地研究了他们的性质，对解析几何的基本思想方法有了一定的认识，基本掌握了求曲线方程的一般方法，能对含有两个根式的方程进行化简，并对数形结合、类比推理的思想方法有一定的体会.从能力方面来说，作为高二年级的学生，其学习能力与理性思维都达到了一定的水平.具备一定的计算、推理、知识迁移、归纳概括和分析问题、解决问题的能力等能力，并对数形结合、类比等思想方法有了一定的感悟.教学难点：双曲线定义的得出和标准方程的建立.突破难点的策略：始终以“类比”作为主线，引导学生动手实验、观察、交流、归纳定义；回顾坐标法求椭圆方程的步骤，亲自体验建立双曲线标准方程的过程.四、教学策略分析著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现.”双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验，所以本节课采用了“启发探究”、“类比教学”的教学方式，重点突出以下两点：1、以类比思维作为教学的主线2、以自主探究作为学生的学习方式授之以“鱼”不如授之以“渔”，教师只是课堂教学的引导者、启发者，在新课程改革理念的指导下，要注重突出学生的主体作用.因此，在学习方法的制定上，将充分发挥学生在学习活动中的作用，通过学生主动探索、动手实践调动学生学习的积极性，转变学生的学习方式，形成理性、严谨的解决问题的态度.五、教学过程设计（一）回顾旧知，实验探索师：前面我们学习了椭圆，回顾一下，椭圆是如何定义的？（请一位同学回答.）生：平面内与两个定点F1 、F2. 的距离的和等于常数2a （2a >| F1 F2 | ）的点的轨迹叫做椭圆．师：若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”.即平面内与两个定点21,F F 的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?学生表示不知道.师：我们不妨通过画图来探究.教师借助于拉链来说明作图方法.（如图）师：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F 1 ，F 2处，取拉头处为M 点，由于拉链两段是等长的，则221FF MF MF =-，把笔尖放在点M 处，随着拉链的拉开或闭拢，M 点到F 1 ，F 2的距离的差为常数.这样的动点M 的轨迹是什么呢？【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考.学生画出一条曲线（如图1）.教师带领学生分析：这条曲线就是满足下面条件的点的集合：12P={M||MF |-|MF |=}常数师：如果使点M 到F 2的距离减去到点F 1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）.这条曲线是满足什么条件的点的集合？生：21P={M||MF |-|MF |=}常数.师：现在我们知道，平面内到两定点距离的差为常数的点的轨迹是这样的两条曲线. 这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支.它是满足这两个条件 ①12MF -MF =常数②21MF -MF =常数的点的集合.能不能将这两个条件统一起来呢？ 生：用绝对值.即12MF MF = 常数.师：很好.下面我们借助于几何画板来更直观地感受一下双曲线的形成.【师生活动】 教师用多媒体演示双曲线的形成,引导学生观察，在点M 运动的过程中， 12MF MF 与的差有什么特征？学生不难发现，这个差是一组相反数，即动点M 满足条件12MF -MF =常数.再次验证画图结果.师：双曲线在科研和日常生产生活中应用广泛.(出示双曲线相关图片——冷却塔、立交 图1 图2桥、广州塔、埃菲尔铁塔) 这是继椭圆之后我们要学习的第二种圆锥曲线.（板书课题：2.3.1 双曲线及其标准方程 指明本节课的学习内容.）【设计意图】通过复习回顾椭圆概念，引出新问题.从学生认知的最近发展区入手，激发学生的求知欲.通过画图让学生直观地感受双曲线的形成，并通过优美图片的展示，渗透数学美的教育，让学生感受数学美的同时体会数学的应用价值. 再次激发学生的学习兴趣.（二）抽象概括，归纳定义提出问题：刚才我们通过直观演示，观察到动点的轨迹是双曲线.你们能根据刚才画双曲线的过程，类比椭圆的定义，归纳概括出双曲线的定义吗？（出示椭圆图形及定义，引导学生类比.）学生讨论交流，很快可以得出结果：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点12F ,F 叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．记为21F F =2c .[师生活动]若学生能够得出常数小于21F F ，继续后续问题，如果学生没有发现，教师需要引导学生观察、分析.师：我们通常将定义中的常数记为2a,也就是说，双曲线就是点集：1212P={M |MF |-|MF |=202F F }<<a a ，.【设计意图】本环节在学生经历双曲线形成的基础上，类比椭圆定义，归纳概括双曲线定义，有助于学生对双曲线定义的理解.在这个过程中，培养学生的动手实验能力、归纳概括能力、对比分析能力，体会类比和数形结合思想方法.同时渗透数学美的教育，让学生感受数学美的同时体会数学的应用价值. 再次激发学生的学习兴趣.（三）类比椭圆，建立方程师：得到了双曲线的定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究. 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立双曲线的方程“定量”的描述，然后通过对双曲线的方程的讨论，来研究其几何性质.师：坐标法建立椭圆标准方程的步骤有哪些？[师生活动]请学生回顾坐标法建立椭圆方程的步骤，分析双曲线的几何特征.请一位同学回答.提出探究内容：你能类比椭圆标准方程的建立过程，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程吗？【师生活动】这一环节是本节课的难点，但前面经历了椭圆标准方程的建立过程，学生不会感到太困难，因此本环节放手让学生去尝试，有困难可以互相讨论.教师教师巡视、个别予以点拨指导.绝大多数学生会选择建立焦点在x 轴上的双曲线方程.分析如下：(1)建系设点:取过焦点12F ,F 的直线为x 轴，线段12F ,F 的垂直平分线为y 轴(如图所示)建立直角坐标系,设M(x,y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c>0)，那么12F ,F 的坐标分别是1F (-c,0),2F (c,0)．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值为2a .(2)写动点满足的集合:由定义可知，点M 满足集合：1212P={M |MF |-|MF |=2}={M |MF |-|MF |=2}±a a ．(3)列方程（用坐标表示条件）：1||MF =,2||MF =2=±a(4)化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：2222222222222()44(),:(c -)x -y =(c -)++=±+-+x c y a x c y a a a a 移项整理两边平方可得类比椭圆的标准方程的处理方式进行简化,使其简洁美观 ，即22222x y 1c --=a a（教师待学生得到以上的结论时，请学生展示成果.讲评关键点. 特别强调在方程的形式上可以仿照椭圆的标准方程的处理方式：由双曲线定义2c >2a ， 即c >a ,设222c -=b (b >0)a ，代入上式22222x y -=1c -a a ，将式子进一步简化,使其简洁、对称，得到方程：()2222x y -=1>0,b >0ba a . （5）验证说明（由教师带领学生分析.） 师：由推导过程可知，双曲线上任意一点的坐标都满足方程()2222x y -=1>0,b >0ba a ，同时，以方程的解为坐标的点到双曲线的两个焦点1F (-c,0),2F (c,0)的距离之差的绝对值为2a,即以方程的解为坐标的点都在双曲线上.由曲线与方程的关系可知，该方程就是双曲线的方程，我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示的双曲线焦点在x 轴上，焦点坐标分别为1F (-c,0),2F (c,0)，这里222c +b =a .（教师板书两种形式的标准方程）师：你能得到焦点在y 轴上的双曲线的标准方程吗？生：类比椭圆，只要交换方程中的x 和y 即可.这样就得到了焦点在y 轴上的双曲线的标准方程, 即为()222210,0-=>>y x a b a b.（教师板书） 得到了双曲线的定义和方程.借助于表格进行双曲线再认识.强化概念.【设计意图】这一过程由学生自主完成，这样设计使学生完全成了学习的主人，由被动的接受变成主动的获取.通过双曲线标准方程的建立过程，训练学生的运算能力、推理论证能力、探究能力、分析问题、解决问题的能力，培养学生的合作意识和严谨的学习态度，渗透数形结合的数学思想.并感受双曲线方程、图形的对称美，获得成功的喜悦！（四）初步应用，例题讲析师：学习了新知识，就要应用，来看习题.练习：（1）已知两定点)0,5()0,5(21F F -若动点P 到21,F F 的距离的差的绝对值等于6，则动点P 的轨迹是 （ ）A 双曲线 Ｂ圆 Ｃ射线 Ｄ 线段（2）已知两定点)0,5()0,5(21F F -若动点P 满足621=-PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ）A. 双曲线的右支B. 双曲线的左支C. 以1F 为顶点的射线D. 以2F 为顶点的射线例1、已知双曲线两个焦点的坐标为 F1 (-5,0) F2(5,0) ，双曲线上一点P 到F1、F2 的距离之差的绝对值等于6，求双曲线标准方程.【师生活动】先由学生独2立去做，待大部分同学完成后，由学生叙述，教师板书.例1要强调待定系数法求双曲线方程的步骤：先确定焦点位置，再待定出方程，然后求解方程中的a 和b ，最后写出所求方程.例2、求适合下列条件的双曲线的方程（1)a=4,b=5,焦点在x 轴上；(2)a=3,c=5.练习是属于概念辨析题，可以进一步理解双曲线的定义.例1主要是运用待定系数法求解双曲线的标准方程.例2在例1的基础上再次强化待定系数法的应用，同时对学生进行分类讨论数学思想的渗透，达到拓展知识、提高能力的目的.【设计意图】 数学概念是要在运用中得以巩固的，通过例题使学生进一步理解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的求解方法，并在解题过程中渗透数形结合的数学思想.通过学生的主体参与，使学生深切体会到本节课的主要内容和思想方法，从而实现对知识的再次深化.（五）知识总结，形成体系出示问题：1.本节课你学到了什么知识？2.研究双曲线用到了什么思想方法？让学生自己进行总结，相互补充，教师点评：本节课首先通过画图揭示出双曲线上的点所满足的条件，由此归纳概括出双曲线的定义，运用坐标法建立了双曲线的标准方程，在习题中应用待定系数法求双曲线的标准方程.在整个过程中，类比椭圆的定义、图象和标准方程的探究思路来处理双曲线的类似问题.在这一学习过程中也进一步体会了数形结合的思想.【设计意图】以问题形式来引导学生自我总结.通过总结使学生对所学的知识有一个完整的体系，突出重点，抓住关键，培养概括能力.同时，通过提炼数学的基本思想方法，提高学生的数学素养.（六）布置作业，巩固提高必做题: 课本55页练习2，3题选做题: 课本61页习题A 组2题课外作业：查阅资料：ＧＰＳ中的双曲线导航原理.【设计意图】作业设计有梯度，分为必做题和选做题，注重不同层次的学生的认知水平,学生可以根据自己的实际学习情况完成作业，尽量做到让不同层次的学生都能有所收获.课外作业为学生利用双曲线性质解决实际问题做准备，既可以拓展学生的知识，又可以让学生体会到数学在现实中的广泛应用.板书设计：板书力求重点突出，结构清晰,美观整齐.六、教学设计说明1. 本节课以新课程的教学理念为指导，充分体现素质教育的重点：培养学生的创新精神和实践能力.2.本节课不仅重视结论，也重视知识的生成过程，整个教学过程注重启发探究、类比教学方式的应用，是研究性教学的一次有益尝试.在教学过程中，教师作为引导者、参与者、合作者，努力引导学生动手、探索、分析，亲身经历知识形成的过程.在整个教学过程中渗透了类比、数形结合等数学思想.3.在教学过程中通过学生动手实践、自主探索，培养其分析、交流、抽象概括及数学表达的能力. 在建立双曲线的标准方程的过程中，提高学生运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力.以上就是我对这节课的设计和说明，敬请指正，谢谢!。

2．3.1 双曲线及其标准方程1．双曲线 (1)定义□01平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． (2)双曲线的集合描述设点M 是双曲线上任意一点，点F 1，F 2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合□02P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a,0<2a <|F 1F 2|}． 2．双曲线的标准方程1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( )(2)在双曲线标准方程x 2a 2－y 2b2＝1中，a >0，b >0且a ≠b .( )(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax 2＋By 2＝1(其中AB <0)．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线x 24－y 216＝1上一点M 到左焦点的距离为8，则点M 到右焦点的距离为________．(2)双曲线x 2－4y 2＝1的焦距为________．(3)(教材改编P 55T 1)已知双曲线a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为________． (4)下列方程表示焦点在y 轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x 2－y 22＝1；②x 2a ＋y 22＝1(a <0)；③y 2－3x 2＝1；④x 2cos α＋y 2sin α＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π.答案 (1)4或12 (2) 5 (3)x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1(4)②③④解析 (3)∵a ＝5，c ＝7，∴b ＝c 2－a 2＝24＝2 6. 当焦点在x 轴上时，双曲线方程为x 225－y 224＝1； 当焦点在y 轴上时，双曲线方程为y 225－x 224＝1.探究1 双曲线标准方程的认识例1 若θ是第三象限角，则方程x 2＋y 2sin θ＝cos θ表示的曲线是( ) A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆[解析] 曲线方程可化为x 2cos θ＋y 2cos θsin θ＝1，θ是第三象限角，则cos θ<0，cos θsin θ>0，所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线．故选A.[答案] A 拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn <0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m >0，n <0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m <0，n >0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．【跟踪训练1】 若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 答案 C 解析 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k >1，∴k 2－1>0，k ＋1>0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．探究2 双曲线的标准方程例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，352，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫473，4两点；(2)两焦点F 1(－5,0)，F 2(5,0)，且过P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2. [解] (1)当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫3522b 2＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫4732a 2－42b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝－116，1b 2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． ∵M ，N 在双曲线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫3522a 2－4b 2＝1，42a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4732b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝19，1b 2＝116，即a 2＝9，b 2＝16.∴所求双曲线方程为y 29－x 216＝1.(2)由已知可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，代入点P ⎝⎛⎭⎪⎫352，2可得454a 2－4b 2＝1，①又a 2＋b 2＝25，②由①②联立可得a 2＝9，b 2＝16， ∴双曲线方程为x 29－y 216＝1. [解法探究] 例2(1)有没有其他解法呢？ 解 ∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx 2＋ny 2＝1(mn <0)． ∵M ，N 在双曲线上，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧4m ＋454n ＝1，169×7m ＋16n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－116，n ＝19，∴所求双曲线方程为－x 216＋y 29＝1，即y 29－x 216＝1.拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)．(3)寻关系：根据已知条件列出关于a ，b ，c (m ，n )的方程组． (4)得方程：解方程组，将a ，b ，c (m ，n )代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】 根据下列条件，求双曲线的标准方程． (1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上． 解 (1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－(15)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0<λ<6)．∵双曲线经过点(－5,2)， ∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.探究3 双曲线定义的应用例3 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． [解] 双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a 2＋b 2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.由于c －a ＝5－3＝2,10>2,22>2，故点M 到另一个焦点的距离为10或22. (2)将|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝6，两边平方得 |PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝100－1002|PF 1|·|PF 2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P 与其两个焦点F 1，F 2连接而成的三角形PF 1F 2称为焦点三角形．令|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ，因|F 1F 2|＝2c ，所以有①定义：|r 1－r 2|＝2a .②余弦公式：4c 2＝r 21＋r 22－2r 1r 2cos θ. ③面积公式：S △PF 1F 2＝12r 1r 2sin θ.一般地，在△PF 1F 2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】 (1)已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右焦点，且|PF 1|＝17，求|PF 2|的值．解 由双曲线方程x 264－y 236＝1可得a ＝8，b ＝6，c ＝10，由双曲线的图象可得点P 到右焦点F 2的距离d ≥c －a ＝2，因为||PF 1|－|PF 2||＝16，|PF 1|＝17，所以|PF 2|＝1(舍去)或|PF 2|＝33.(2)已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解 由x 29－y 216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，则S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.探究4 与双曲线有关的轨迹问题例4 如图，在△ABC 中，已知|AB |＝42，且三内角A ，B ，C 满足2sin A ＋sin C ＝2sin B ，建立适当的坐标系，求顶点C 的轨迹方程．并指出表示什么曲线．[解] 如图，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (－22，0)，B (22，0)． 由正弦定理得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .∵2sin A ＋sin C ＝2sin B ， ∴2a ＋c ＝2b ，即b －a ＝c2.从而有|CA |－|CB |＝12|AB |＝22<AB .∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点． ∵a ＝2，c ＝22，∴b 2＝c 2－a 2＝6. ∴顶点C 的轨迹方程为x 22－y 26＝1(x >2)．故C 点的轨迹为双曲线右支且除去点(2，0)． 拓展提升用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)． (2)根据已知条件确定参数a ，b 的值(定参)． (3)写出标准方程并下结论(定论)．【跟踪训练4】 如图所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解 圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1， ∴圆心为F 1(－5,0)，半径r 1＝1. 圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42， ∴圆心为F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1， |MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3<|F 1F 2|＝10， ∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线的左支， 且a ＝32，c ＝5，∴b ＝912，∴点M 的轨迹方程为49x 2－491y 2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≤－32.1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了；(2)不可漏掉定义中的常数小于|F 1F 2|，否则，当2a ＝|F 1F 2|时，||PF 1|－|PF 2||＝2a 表示两条射线；当||PF 1|－|PF 2||>2a 时，不表示任何图形；(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支. 2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题 (1)正确判断焦点的位置；(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a ，b 的值.1．若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，＋∞)C ．(3，＋∞) D．(－∞，－1) 答案 B解析 依题意，应有m ＋1>0，即m >－1.2．已知双曲线x 216－y 29＝1，则双曲线的焦点坐标为( )A ．(－7，0)，(7，0)B ．(－5,0)，(5,0)C ．(0，－5)，(0,5)D ．(0，－7)，(0，7) 答案 B解析 由双曲线的标准方程可知a 2＝16，b 2＝9，则c 2＝a 2＋b 2＝16＋9＝25，故c ＝5.又焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)．3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )A ．2a ＋2mB ．4a ＋2mC ．a ＋mD ．2a ＋4m 答案 B解析 ∵A ，B 在双曲线的右支上， ∴|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＋|AF 1|－(|BF 2|＋|AF 2|)＝4a . ∴|BF 1|＋|AF 1|＝4a ＋m .∴△ABF 1的周长为4a ＋m ＋m ＝4a ＋2m .4．焦点在y 轴上，a ＝3，c ＝5的双曲线方程为________． 答案y 29－x 216＝1 解析 ∵b 2＝c 2－a 2＝52－32＝16，又焦点在y 轴上， ∴双曲线方程为y 29－x 216＝1.5．已知双曲线的两个焦点F 1，F 2之间的距离为26，双曲线上一点到两焦点的距离之差的绝对值为24，求双曲线的方程．解 若以线段F 1F 2所在的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则word- 11 - / 11 双曲线的方程为标准形式x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．由题意得2a ＝24，2c ＝26. ∴a ＝12，c ＝13，b 2＝132－122＝25. 双曲线的方程为x 2144－y 225＝1； 若以线段F 1F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系． 则双曲线的方程为y 2144－x 225＝1.。

§2.3.1 双曲线及其标准方程（B ）1、过点（1，1）且b a=的双曲线的标准方程为（ ） A 、22112x y -= B 、22112y x -= C 、22112y x -= D 、22112x y -=或22112y x -= 2、双曲线2288mx my -=的焦距为6，则m 的值是（ ）A 、1±B 、1-C 、1D 、83、方程221105x y k k+=--表示双曲线，则k ∈（ ） A 、(5,10) B 、(,5)-∞ C 、(10,)+∞ D 、(,5)(10,)-∞+∞4、双曲线的焦距为26，22513a c =，则双曲线的标准方程（ ） A 、22125169x y -= B 、22125169y x -= C 、22125144x y -= D 、22125144x y -=或22125144y x -= 5、1F 、2F 是双曲线2214x y -=-的两个焦点，点P 在双曲线上，且01290F PF ∠=，则12F PF ∆的面积是（ ）A 、2B 、4C 、8D 、166、双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线52200x y -+=上，两焦点关于原点对称，53c a =，则此双曲线的方程是（ ） A 、2213664x y -= B 、2216436x y -= C 、2213664x y -=- D 、2216436x y -=- 7、在双曲线中c a =224936x y +=有公共焦点，则双曲线的方程 是 ；8、P 是双曲线2216x y -=的左支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则12||||PF PF -= ；9、已知双曲线22163x y -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为 ；10、已知双曲线2212y x -=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上，且120MF MF ⋅=，则点M 到x 轴的距离为 ；11、已知双曲线过M （3，2），(2,1)N --两点，则双曲线的标准方程是 ；12、求与双曲线221164x y -=共焦点，且过点的双曲线方程。

2.3.1 双曲线及其标准方程课标要求:1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.1.双曲线的定义平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2.双曲线定义的集合表示设点M是双曲线上任意一点,点F1,F2是双曲线的焦点,则由双曲线的定义可知,双曲线可以视为动点M的集合,即点集P={M|||MF1|-|MF2||=常数,常数大于0且小于|F1F2|}.注意:(1)距离的差要加绝对值,否则只是双曲线的一支,若F1,F2表示双曲线的左、右焦点,有两种情形:①若点P满足|PF2|-|PF1|=2a(a>0),则点P在左支上.如图①所示.②若点P满足|PF1|-|PF2|=2a(a>0),则点P在右支上.如图②所示.(2)注意定义中的“小于|F1F2|”这一限制条件,其根据是“三角形两边之差小于第三边”.①若2a=2c,即||PF1|-|PF2||=|F1F2|,根据平面几何知识,当|PF1|-|PF2|=|F1F2|时,动点轨迹是以F2为端点向右延伸的一条射线;当|PF2|-|PF1|=|F1F2|时,动点轨迹是以F1为端点向左延伸的一条射线.②若2a>2c,即||PF1|-|PF2||>|F1F2|,根据平面几何知识,动点轨迹不存在.3.双曲线的标准方程注意:(1)标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,它们恰好为一个直角三角形的三条边,其中c为斜边.注意与椭圆中b2=a2-c2相区别,在椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小则不确定.(2)焦点F1,F2的位置,是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.可以根据项的正负来判断焦点所在的位置,即x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.简言之,“焦点跟着正项走”.4.双曲线的一般方程当ABC ≠0时,方程Ax 2+By 2=C 可以变形为2x C A +2y C B=1,由此可以看出方程Ax 2+By 2=C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0,且A,B 异号.此时称方程Ax 2+By 2=C 为双曲线的一般方程.利用一般方程求双曲线的标准方程时,可以将其设为Ax 2+By 2=1(AB<0),将其化为标准方程,即21x A +21y B=1.因此,当A>0时,表示焦点在x 轴上的双曲线;当B>0时,表示焦点在y 轴上的双曲线. 5.共焦点的双曲线系方程 与双曲线22x a -22y b =1(a >0,b >0)有公共焦点的双曲线的方程为22x a λ+-22y b λ-= 1(a>0,b>0,-a 2<λ<b 2);与双曲线22y a -22x b =1(a>0,b>0)有公共焦点的双曲线的方程为22x a λ+-22y b λ-=1(a>0,b>0,-a 2<λ<b 2).6.双曲线的焦点三角形问题如图,P 是双曲线22x a -22yb =1上任意一点,当点P,F 1,F 2不在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形.设∠F 1PF 2=θ,则由双曲线的定义及余弦定理得, ||PF 1|-|PF 2||=2a ⇔|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,① |PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|·cos θ=|F 1F 2|2=4c 2,② 由②-①得2|PF 1|·|PF 2|·(1-cos θ)=4c 2-4a 2,则|PF 1|·|PF 2|=221cos bθ-. 又12PF F S=12|PF 1|·|PF 2|·sin θ, 从而12PF F S =b2·sin 1cos θθ-=2tan2b θ.1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P 的轨迹是( A ) (A)一条射线 (B)双曲线 (C)双曲线左支 (D)双曲线右支解析:如果是双曲线,那么|PM|-|PN|=4=2a, a=2.而两个定点M(-2,0),N(2,0)为双曲线的焦点, c=2.而在双曲线中c>a,所以把后三个关于双曲线的答案全部排除. 故选A.2.(2018·和平区三模)设F 1和F 2分别为双曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点,若F 1,F 2,P(0,2b)为等边三角形的三个顶点,且双曲线经过点则该双曲线的方程为(D)(A)x 2-23y =1 (B)22x -22y =1(C)23x -29y =1 (D)24x -212y=1解析:F 1和F 2分别为曲线22x a -22y b =1(a>0,b>0)的左、右焦点,F 1,F 2,P(0,2b)构成正三角形, 所以c,即有3c 2=4b 2=3(a 2+b 2), 所以b 2=3a 2.双曲线22x a -22y b =1过点),所以25a -233a=1,解得a 2=4, 所以b 2=12, 所以双曲线方程为24x -212y =1.故选D.3.(2018·肇庆三模)已知定点F 1(-2,0),F 2(2,0),N 是圆O:x 2+y 2=1上任意一点,点F 1关于点N 的对称点为M,线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P,则点P 的轨迹是( B ) (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆解析:连接ON,由题意可得ON=1,且N 为MF 1的中点, 所以MF 2=2.因为点F 1关于点N 的对称点为M,线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P,由垂直平分线的性质可得PM=PF 1,所以|PF 2-PF 1|=|PF 2-PM|=MF 2=2<F 1F 2,由双曲线的定义可得点P 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线. 故选B.4.若双曲线2x m -23y =1的右焦点坐标为(3,0),则m= . 解析:由已知a 2=m,b 2=3, 所以m+3=9,所以m=6. 答案:65.一动圆过定点A(-4,0),且与定圆B:(x-4)2+y 2=16相外切,则动圆圆心的轨迹方程为 .解析:设动圆圆心为点P,则|PB|=|PA|+4即|PB|-|PA|=4<|AB|=8. 所以点P 的轨迹是以A,B 为焦点,且2a=4,a=2的双曲线的左支. 又因为2c=8,所以c=4. 所以b 2=c 2-a 2=12, 所以动圆圆心的轨迹方程为24x -212y =1(x ≤-2).答案:24x -212y =1(x ≤-2)题型一 双曲线定义的理解及应用[例1] (1)已知F 1(-8,3),F 2(2,3),动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=10,则P 点的轨迹是( )(A)双曲线 (B)双曲线的一支(C)直线 (D)一条射线 (2)如图,若F 1,F 2是双曲线29x -216y =1的两个焦点,P 是双曲线左支上的点,且|PF 1|·|PF 2|=32,则△F 1PF 2的面积为 .解析:(1)F 1,F 2是定点,且|F 1F 2|=10,所以满足条件|PF 1|-|PF 2|=10的点P 的轨迹应为一条射线.故选D.(2)由双曲线方程29x -216y=1,可知=5.因为P 是双曲线左支上的点, |PF 2|-|PF 1|=2a=6, (*) 将(*)式两边平方,得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36, 所以|PF 1|2+|PF 2|2 =36+2|PF 1|·|PF 2| =36+2×32 =100.在△F 1PF 2中,由余弦定理,得cos ∠F 1PF 2=22121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-⋅=121001002||||PF PF -⋅ =0,所以∠F 1PF 2=90°,所以12F PF S=12|PF 1|·|PF 2|=12×32=16.答案:(1)D (2)16变式探究:若将例中的条件“|PF 1|·|PF 2|=32”改为“1PF ·2PF =0”,其他条件不变,则|PF 1|·|PF 2|的值为 .解析:由双曲线方程29x -216y=1,可知=5.由题意得,|PF 2|-|PF 1|=2a=6,所以|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=36. ① 又1PF ·2PF =0,所以PF 1⊥PF 2.在Rt △PF 1F 2中,由勾股定理得|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2=100. ② 将②代入①式,得2|PF 1|·|PF 2|=64, 所以|PF 1|·|PF 2|=32. 答案:32(1)在解决与双曲线有关的焦点三角形问题时,应注意双曲线定义条件||PF 1|-|PF 2||=2a 的应用.(2)解题的关键是“|PF 1|·|PF 2|”形式的“配凑”,将双曲线定义及图形的平面几何性质(结合正、余弦定理)“和谐”地结合起来,注意整体思想的应用,从而达到简化运算的目的. 即时训练1-1:(1)设P 为双曲线x2-212y =1上的一点,F 1,F 2是该双曲线的两个焦点,若|PF 1|∶|PF 2|=3∶2,求△PF 1F 2的面积;(2)已知一个动点P(x,y)到两个定点F 1(-1,0),F 2(1,0)的距离差的绝对值为定值a(a ≥0),求点P 的轨迹. 解:(1)因为|PF 1|-|PF 2|=2a=2, 且|PF 1|∶|PF 2|=3∶2, 所以|PF 1|=6,|PF 2|=4. 又因为|F1F 2所以|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2, 所以12PF F S=12|PF 1|·|PF 2|=12×6×4=12. (2)因为|F 1F 2|=2,①当a=2时,轨迹是两条射线y=0(x ≥1)或y=0(x ≤-1); ②当a=0时,轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线,即y 轴,方程x=0; ③当0<a<2时,轨迹是以F 1,F 2为焦点的双曲线; ④当a>2时,轨迹不存在. 题型二 双曲线标准方程的求法[例2] 根据下列条件,求双曲线的标准方程:(1)与双曲线216x -24y =1有相同的焦点,且经过点(2)过点P(3,154),Q(-163,5)且焦点在坐标轴上. 解:(1)法一 因为焦点相同,所以设所求标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),所以c 2=16+4=20,即a 2+b 2=20,① 因为双曲线经过点所以218a -24b =1,②由①②得a 2=12,b 2=8,所以双曲线的标准方程为212x-28y =1.法二 设所求双曲线方程为216x λ--24y λ+=1(-4<λ<16). 因为双曲线过点所以1816λ--44λ+=1, 解得λ=4,或λ=-14(舍去).所以双曲线的标准方程为212x-28y =1.(2)法一 当焦点在x轴上时,设标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),因为点P,Q 在双曲线上,所以222292251,16256251,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩此方程组无解.当焦点在y 轴上时,设标准方程为22y a -22x b =1(a>0,b>0),因为点P,Q 在双曲线上,所以222222591,16252561,9a b a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得229,16.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以双曲线的标准方程为29y -216x =1.法二 设双曲线方程为2x m+2yn =1,mn<0. 因为点P,Q 在双曲线上,所以92251,16256251,9m nm n⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得16,9.m n =-⎧⎨=⎩ 所以双曲线的标准方程为29y -216x=1.利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤:即时训练2-1:(1)(2018·天心区校级月考)如图,已知双曲线以矩形ABCD 的顶点A,B 为左、右焦点,且过C,D 两点,若|AB|=4,|BC|=3,则此双曲线的标准方程为 .(2)写出下列条件的双曲线的标准方程.①a=4,c=5,焦点在x 轴上,则标准方程为 ;②a=4,经过点),则标准方程为 . 解析:(1)连接BD(图略),由题意知c=2, |DB|=5,|DA|=|BC|=3, 2a=|DB|-|DA|=5-3=2, 所以故双曲线的标准方程为x 2-23y =1. (2)①设双曲线方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0). 因为a=4,c=5,所以b 2=c 2-a 2=25-16=9.所以双曲线的标准方程为216x -29y =1.②若所求的双曲线标准方程为22x a -22y b =1(a>0,b>0),则将a=4代入得216x -22yb =1.因为点)在双曲线上,所以116-21609b =1,由此得b 2<0,不合题意舍去. 若所求的双曲线标准方程为22y a -22x b =1(a>0,b>0),同理解得b 2=9.所以双曲线的标准方程为216y -29x =1.答案:(1)x 2-23y =1(2)①216x -29y =1 ②216y -29x =1题型三 双曲线标准方程的理解[例3] (1)若θ是第三象限角,则方程x 2+y 2sin θ=cos θ表示的曲线是( )(A)焦点在y 轴上的双曲线 (B)焦点在x 轴上的双曲线 (C)焦点在y 轴上的椭圆 (D)焦点在x 轴上的椭圆(2)已知21x k--2||3y k -=-1,当k 为何值时,①方程表示双曲线?②方程表示焦点在x 轴上的双曲线? ③方程表示焦点在y 轴上的双曲线?(1)解析:曲线方程可化为2cos x θ+2cos sin y θθ=1,θ是第三象限角,则cos θ<0,cos sin θθ>0,所以该曲线是焦点在y 轴上的双曲线.故选A. (2)解:①若方程表示双曲线,则10,||30k k ->⎧⎨->⎩或10,||30,k k -<⎧⎨-<⎩ 解得k<-3或1<k<3.②若方程表示焦点在x 轴上的双曲线,则10,||30,k k -<⎧⎨-<⎩ 解得1<k<3.③若方程表示焦点在y 轴上的双曲线,则10,||30k k ->⎧⎨->⎩ 解得k<-3.名师点评:(2)中对于①,只要两分母同号,就可以化成双曲线的标准方程;对于②,标准方程为21x k --23||y k -=1;对于③,标准方程为2||3y k --21x k-=1.即时训练3-1:(1)(2018·东湖区校级期中)若曲线24x k ++21y k -=1表示双曲线,则k 的取值范围是( ) (A)[-4,1](B)(-∞,-4)∪(1,+∞) (C)(-4,1)(D)(-∞,4]∪[1,+∞)(2)已知m,n 为两个不相等的非零实数,则方程mx-y+n=0与nx 2+my 2=mn 所表示的曲线可能是( )解析:(1)根据题意,若曲线24x k ++21y k -=1表示双曲线,则有(k+4)(k-1)<0,解得-4<k<1. 即k 的取值范围是(-4,1). 故选C.(2)A 中,由直线位置可知,m>0,n<0,曲线应为双曲线,故A 错;B 中,由直线位置可知,m<0,n>0,曲线应为双曲线,故B 错;C 中,由直线位置可知,m>0,n<0,曲线为焦点在x 轴上的双曲线,故C 正确;D 中,由直线位置可知,m>0,n>0,曲线应为椭圆,故D 错.故选C.。

2. 2. 1双曲线及其标准方程♦知识少技能口标理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会川双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线 标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解借助信息技术探究动点轨迹的《儿 何画板》的制作或操作方法.♦过程与方法H 标（1） 预习与引入过程预习教科书56页至60页，当变化的平血与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥 的截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截而与圆 锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件示，提出两个问题：第一、你 能理解为什么此时的截口川1线是双Illi 线而不是两条抛物线；第二、伤〈能举出现实生活川双Illi 线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后，耍引导学生一起思考为探究P 込页上的问题 （同桌的两位同学准备无弹性的细细了两条（一条约10cm 长，另一条约6cm 每条一端结一 个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm,另一条约12cm, —•端结个套，另-•端是活动的），图钉两个）.当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子 的另一端重合在一起，拉紧绳了，移动笔尖，画出的图形是双曲线.启发性提问：在这一过 程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？ K 板书』§2. 2. 1双曲线及 其标准方程.（2） 新课讲授过程（i ） 由上述探究过程容易得到双I11J 线的定义.K 板书』把平而内与两个定点人，九的距离的差的绝对值等于常数（小于同耳|）的 点的轨迹叫做双曲线（hyperbola ）.其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫 做双Illi 线的焦距.即当动点设为M 时，双曲线即为点集P= 歼—|MFj| = 2d}.（ii ） 双Illi 线标准方程的推导过程提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学 生來建立直角处标系.无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学主实际掌握无理方程的两次移项、平方整理 的数学活动过程.类比椭圆：设参量b 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、a,b,c 的关系 有明显的儿何意义.2类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程朱 （iii ）例题讲解、引中为补充例1已知双曲线两个焦点分别为斥（—5,0）,鬥（5,0）,双曲线上一点P 到斥，瑪距 离差的绝对值等于6 ,求双Illi 线的标准方程.分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求W\a^c.补充：求下列动圆的圆心M 的轨迹方程：① 与OC ： （X + 2）2+/=2内切，且过r 2 —= l （Q 〉0"〉0）cr点4(2,0)；②与0C,： x2+(y-l)2 =1 和OC?： x2+(y-l)2 =4 都外切；③与OC,： (x + 3)2+y2 =9外切，且与OC2： (%-3)2+/ = 1 内切.解题剖析：这表而上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题.具体解：设动圆M的半径为厂.①VOC与OM内切，点A在OC外，:.\MC\ = r-y[2 f \MA\ = r ,因此有\MA\-\MC\ = y/2 f:.点M的轨迹是以C、A为焦点的双曲线的左支，即M的轨迹方程是2兀2 —弓一=1(兀--近)；②O M与OC?均外切，A |MCj = r + l , \MC2\ = r + 2，因此有|MC2|-|MC,| = 1, A点M的轨迹是以C?、G为焦点的双曲线的上支，・・・M的轨迹方程③ VO M 与口G外切，RDM 与口C?内切，.*. |MCj = r + 3, |MC2| = r-l,因此|MCj-|MC2| = 4, A点M的轨迹是以C「C<为焦点的双曲线的右支，・・・M的轨迹方程是J£_£= I(X>2).4 5 '丿例2已知A , B两地相距800加，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/5 ,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及A, B两地听到爆炸声的时间差，即可知A, B两地与爆炸点的距离差为定值.由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程.扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4$ •已知各观察点到该中心的距离都是1020m .试确定该巨响发生的位置(假定当时声咅传播的速度为340m/5 ；相关点均在同一平而内).解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发主在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚4s、，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双Ilh线上.如图，以接报中心为原点O,疋东、疋北方向分别为兀轴、y轴方向，建立直角坐标系，设A、B、C分别是西、东、北观察点，则A(-1020,0),5(1020,0), C(0,1020).设P(x,y)为巨响发生点‘TA、C同时听到巨响,・・・OP所在直线为y = -x……①，又因B点比A点晚4s听到巨响声，.\ \PB\ -\PA\ = 4 x 340 = 1360(m).由双曲线定义知,tz = 680 , c=1020 ,・・・b = 340^5 ,・・・P点在双曲线方程为7 7命一為"（Q68。

《双曲线及其标准方程》教案教学目标：1、类比椭圆定义的学习，能概括出双曲线的定义2、类比椭圆标准方程的学习，能推导出双曲线的标准方程3、进一步加深对曲线与方程的关系的认识，进一步理解坐标法重难点分析：重点：了解双曲线的定义，掌握双曲线标准方程的推导难点：双曲线标准方程的推导与化简学习过程（一）温故知新问题1：椭圆的定义是什么？如何作椭圆？问题2：椭圆的标准方程是什么？怎么推导而来？（二）动手演示，感受双曲线形成问题3：在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？问题4：能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？(A) (B)（三）剖析特征，提炼双曲线定义1、分析绘图原理拉链在拉开、闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即|MF1|=|MF2|+ ，动点M变化时，|MF1|与|MF2|在不断变化，但总有|MF1|-|MF2|= ，而|F2F|为，所以点M到两定点和的距离之为，记为|F2F|=2a，即|MF1|-|MF2|= ，如上图（B）。

如果点M到两定点F2和F1的距离之差为常数，即- =2a，就可得到另一条曲线，如上图（A）。

2、完善定义问题5：类比椭圆，你能给出双曲线的定义吗?★定义：平面内与两个定点 的距离的 的 等于 （ |F 1F 2|且不等于 ）的点轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点之间的距离叫做 ． 3、剖析定义问题5：①常数2a 为什么要有大于0小于︱F 1F 2︱？②若等于0呢？ ③若等于︱F 1F 2︱呢？ ④若大于︱F 1F 2︱呢？4、反馈练习请说出下列方程对应曲线的名称：（1）F 1(-5,0),F 2(5,0),||PF 1|-|PF 2||=6 （2）F 1(-5,0),F 2(5,0),|PF 1|-|PF 2|=6 （3）25)4()4(2222=++++-y x y x （4）8)4()4(2222=-+-++y x y x （四）类比椭圆，推导双曲线标准方程 问题7：如何推导双曲线的标准方程呢？1、回顾椭圆的标准方程的推导步骤：建系、设点、列式、化简2、小组讨论，请各小组代表汇报研讨成果，制定以下两种方案方案一 方案二 （以下以方案一为例）（1）建系：以 为x 轴，以 为y 轴, 为原点建立直角坐标系（2）设点：设M （x , y ）,双曲线的焦距为2c （c>0）,F 1(-c,0),F 2(c,0) 常数=2a （3）列式： =2a |MF 1|-|MF 2|= 即 （4）化简.问题8：化简的任务是什么？问题9：椭圆方程化简中是如何处理的？双曲线方程呢？问题10：推导的过程是一个等价变形的过程吗？需要添加限制条件吗？ 3、归纳比较两种标准方程。

§2.3.1 双曲线及其标准方程学习目标：1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程．2．掌握双曲线的标准方程．3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题．学习重点：双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程学习难点：利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题课前预习案教材助读：阅读教材52-54页的内容，思考并完成下列问题：1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做______________，______________叫做双曲线的焦距．课内探究案一、新课导学：探究任务1 双曲线的定义问题1：取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1，F2上，把笔尖放在点M处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？新知1：双曲线的定义是问题2：双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3：双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a<|F1F2|?问题4：已知点P(x，y)的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P的轨迹是什么图形？(1)|x＋2＋y2－x－2＋y2|＝6； (2)x＋2＋y2－x－2＋y2＝6.探究任务2：双曲线的标准方程问题1： 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2：两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3; 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？二、合作探究例 1 ：(1)已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，求双曲线的标准方程；(2)求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程．例2 ：已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点)．例3: 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．三、当堂检测教材55页练习1-3题.四、课后反思课后训练案1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( )A ．双曲线或一条直线B ．双曲线或两条直线C ．双曲线一支或一条直线D ．双曲线一支或一条射线2．过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是( )A.x 212－y 2＝1B.y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1 D.x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1 3．如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于 ( ) A. 3 B. 5 C.5－ 3 D.5＋ 34．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( )A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在y 轴上的椭圆C ．焦点在y 轴上的双曲线D ．焦点在x 轴上的双曲线5．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或23 6．若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为____________．7．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程．。

2.3.1 双曲线及其标准方程教学要求：学生掌握双曲线的定义和标准方程，以及标准方程的推导．教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：在与椭圆的类比中获得双曲线的知识，从而培养学生分析、归纳、推理等能力．教学过程：一、新课导入：1. 提问：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？(学生口答，教师板书)2. 在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系，若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程。

二、讲授新课：1. 双曲线的定义：① 提问：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|MF 1|-|MF 2|是常数，这样就画出一条曲线；由|MF 2|-|MF 1|是同一常数，可以画出另一支．② 定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的绝对值等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。

两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的焦距。

③ （理科）类比椭圆标准方程的建立过程推导出双曲线的标谁方程。

（文科）简单讲解推导给出标准方程。

标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点12(,0),(,0)F c F c -在x 轴） 思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？④ 例1、58P 分析：由双曲线的标准方程知，只要求出,a b 即可得方程；练习：1、已知双曲线的两焦点为12(8,0),(8,0)F F -，双曲线上任意点到12,F F 的距离的差的绝对值等于10，求此双曲线的标准方程。

2、双曲线的两焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -，①若2,___;a b ==则②若1,___;b a ==则3、双曲线的两焦点分别为12(10,0),(10,0)F F -，点(8,0)在双曲线上求双曲线的标准方程。

2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程一、教学目标 （一）学习目标1．理解并掌握双曲线的定义，了解双曲线的焦点、焦距；2．掌握双曲线的标准方程，能够根据双曲线的标准方程确定焦点的位置． （二）学习重点 1．双曲线的定义； 2．双曲线的标准方程． （三）学习难点1．由双曲线的标准方程确定焦点位置； 2．根据条件求双曲线的标准方程． 二、教学设计 （一）预习任务设计 1．预习任务 写一写：（1）定义：平面内与两个定点12,F F 的距离差的绝对值 等于常数 2a ，小于|F 1F 2| 的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的 焦点 ，两定点间距离叫做 焦距 ．（2）双曲线的标准方程：焦点在x 轴上：22221(0,0)x y a b a b -=>>．焦点在y 轴上：22221(0,0)y x a b a b -=>>．2．预习自测1．下面语句正确的个数是（ ）①平面内到点12(0,4),(0,4)F F -的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线． ②双曲线标准方程中,,a b c 的关系是222a b c +=．③双曲线2213y x -=的焦点在y 轴上．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B （二）课堂设计探究一：结合实例，认识双曲线 ●活动① 回顾旧知，实验探索前面我们学习了椭圆，椭圆是如何定义的？平面内与两个定点12,F F 的距离的和等于常数122(2||)a a F F >的点的轨迹叫做椭圆．若将椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”．即平面内与两个定点21,F F 的距离的差等于非零常数的点的轨迹是什么?我们不妨通过画图来探究，借助于拉链来说明作图方法．（如图）取一条拉链，拉开它的一部分，在拉链拉开的两边上各选择一点，分别固定在纸板上的点F 1 ，F 2处，取拉头处为M 点，由于拉链两段是等长的，则221FF MF MF =-，把笔尖放在点M 处，随着拉链的拉开或闭拢，M 点到F 1，F 2的距离的差为常数．这样的动点M 的轨迹是什么呢？【学生活动】请一位同学上黑板演示(用两段绳子来模拟拉链，进行作图)，其他同学观察、思考．画出一条曲线（如图1），这条曲线就是满足下面条件的点的集合：12{|||||}P M MF MF =-=常数如果使点M 到F 2的距离减去到点F 1的距离所得的差等于同一个常数，就得到另一条曲线（图2）．这条曲线是满足下面条件的点的集合：21{|||||}P M MF MF =-=常数．现在我们知道，平面内到两定点距离的差为常数的点的轨迹是这样的两条曲线．这两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支．双曲线在科研和日常生产生活中应用广泛．(如：冷却塔、立交桥、广州塔、埃菲尔铁塔) 这是继椭圆之后我们要学习的第二种圆锥曲线．【设计意图】通过复习回顾椭圆概念，引出新问题．从学生认知的最近发展区入手，激发学生的求知欲． ●活动② 抽象概括，归纳定义类比椭圆的定义，归纳概括出双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点12,F F 叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．记为122F F c =．我们通常将定义中的常数记为2a,也就是说，双曲线就是点集：1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<． 当a =0时，点的轨迹为12F F 的垂直平分线； 当a <c 时，点的轨迹是以12,F F 为焦点的双曲线； 当a =c 时，点的轨迹为线段12F F 的延长线或反向延长线； 当a >c 时，点的轨迹不存在．图1图2【设计意图】本环节在学生经历双曲线形成的基础上，类比椭圆定义，归纳概括双曲线定义，有助于学生对双曲线定义的理解． 探究二：探究双曲线的方程 ●活动① 类比椭圆，建立方程得到了双曲线的定义，知道了它的基本几何特征，这只是一种“定性”的描述，但是对于这种曲线还具有哪些性质，尚需进一步研究． 根据解析几何的基本思想方法，我们需要利用坐标法先建立双曲线的方程“定量”的描述，然后通过对双曲线的方程的讨论，来研究其几何性质．你能类比椭圆标准方程的建立过程，建立适当的坐标系，推导双曲线的标准方程吗？ 分析如下：（1）建系设点：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段12F F 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，设M (x,y )为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c (c >0)，那么21,F F 的坐标分别是12(,0),(,0)F c F c -．又设点M 与21,F F 的距离的差的绝对值为2a ．（2）写动点满足的集合:由定义可知，点M 满足集合：1212{|||||||2,02||}P M MF MF a a F F =-=<<． （3）列方程（用坐标表示条件）：1||MF =,2||MF =,2-=±a（4）化简方程:将这个方程移项，使式子两边平衡,再两边平方得：2222222222222()44(),:(-)-(-)x c y a x c y c a x a y a c a ++=±-+=移项整理两边平方可得类比椭圆的标准方程的处理方式进行简化,使其简洁美观，即222221x y a c a-=-设222(0)c a b b -=>，代入上式222221x y a c a -=-，将式子进一步简化,使其简洁、对称，得到方程：22221(0,0)x y a b a b-=>>．类比椭圆，只要交换方程中的x 和y 即可，这样就得到了焦点在y 轴上的双曲线的标准方程，即为()222210,0-=>>y x a b a b ．●活动② 归纳梳理，强化概念得到了双曲线的定义和方程．借助于表格进行双曲线再认识．●活动③ 巩固基础，检查反馈例1：求满足条件的双曲线方程：a =，经过点A (2,-5)． 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】若焦点在x 轴上，设其方程为2221(0)20x y b b -=>，将A (2,-5)代入得2425120b -=，22545b =-无解； 若焦点在y 轴上，设其方程为222120y x b -=，将A (2,-5)代入得2254120b-=，216b =， 综上，所求双曲线的方程为2212016y x -=．【思路点拨】求双曲线标准方程与求椭圆标准方程类似，要先“定位”，确定焦点在哪个坐标轴上，再“定量”，即确定a 、b 的值，从而写出标准方程，这里一般使用待定系数法，需要注意双曲线有两支，在具体问题中是否需要舍去某一支．【答案】2212016y x -=．同类训练 求满足条件的双曲线方程：焦点在y 轴上，中心在原点，且经过点)24,3(1-P 和)5,49(2P ． 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】法一：因为双曲线的焦点在，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为：12222=-bx a y （0,0>>b a ）则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=--1)49(513)24(22222222b a b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-⋅=⋅-⋅1116811251191322222b a b a 解关于221,1b a 的二元一次方程组，得911,161122==b a所以，所求双曲线的标准方程为191622=-x y法二：因为双曲线的焦点在y 轴上，中心在原点，所以设所求双曲线的标准方程为221(0,0)my nx m n -=>>则1329116811251169m n m m n n ⎧-==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎪⎩故所求双曲线的标准方程为191622=-x y 【思路点拨】用待定系数法来求解b a ,时，得到关于待定系数b a ,的一个分式方程组，并且分母的次数是2，可将22,b a 的倒数作为未知数，直接看作二元一次方程组也可用一般方程，利用形式更为简便的二元一次方程组来求解．【答案】191622=-x y例2．已知△ABC 的底边BC 长为12，且底边固定，顶点A 是动点，使A CB sin 21sin sin =-，求点A 的轨迹【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】以底边BC 为x 轴，底边BC 的中点为原点建立xoy 坐标系，这时)0,6(),0,6(C B -，由A C B sin 21sin sin =-得621==-a c b ,即6||||=-AB AC所以，点A 的轨迹是以)0,6(),0,6(C B -为焦点，2'6a =（为了与前面的a 进行区分）的双曲线的左支其方程为：)3(127922-<=-x y x【思路点拨】解决轨迹方程问题，需要突出数形结合的思考方法，运用逻辑推理，结合平面几何的基本知识，分析、归纳，这里安排本例就是针对以上情况来进行训练的【答案】)3(127922-<=-x y x同类训练 求与圆1)3(22=+-y x 及9)3(22=++y x 都外切的动圆圆心的轨迹 【知识点】双曲线的定义及标准方程．【解题过程】设动圆的圆心为M ，半径为r ，圆（x +3）2+y 2=9的圆心为F 1，圆（x -3）2+y 2=1的圆心为F 2，则由动圆与定圆都外切得r MF r MF +=+=1,321，又因为2)1()3(21=+-+=-r r MF MF ，由双曲线的定义可知，点M 的轨迹是双曲线的一支所求动圆圆心的轨迹是双曲线的一支，其方程为：18122=-y x )1(≥x ． 【思路点拨】求轨迹方程的过程中，有一个重要的步骤就是找出(或联想到)轨迹上的动点所满足的几何条件，列方程就是根据这些条件确定的，由于轨迹问题比较普遍，题型多样，有些轨迹上的动点满足的几何条件可能比较隐蔽和复杂．【答案】18122=-y x )1(≥x ．●活动④ 强化提升，灵活应用例3． 已知双曲线的两个焦点为M 、N ，M (-2,-12)且点S (-7,0)、T (7,0)在双曲线上，利用双曲线的定义求点N 的轨迹方程． 【知识点】双曲线的定义．【解题过程】设点N 的坐标为(x,y )，它不同于点M (-2,-12)，由双曲线的定义知||||||||||||0SM SN TM TN -=-≠．(7,0)(7,0)S T -Q 、||13,||15SM TM ∴==①当||||||||SM SN TM TN -=-时，有||||214||TN SN ST -=<=，∴点N 的轨迹是中心在ST 中点(0,0)，焦点为S 、T 的双曲线的左支，除去点M (-2,-12)和点D (-2,12)．∴点N 的轨迹方程是221(0,2)48y x x x -=<≠-． ②当||||(||||)SM SN TM TN -=--时，有||||2814||TN SN ST +=>=，∴点N 的轨迹是中心在ST 中点(0,0)，焦点为S 、T 的椭圆，除去点M (-2,-12)和点D (-2,12)．∴点N 的轨迹方程是221(2)196147x y x +=≠-． 综上，N 的轨迹方程是221(0,2)48y x x x -=<≠-和221(2)196147x y x +=≠-． 【思路点拨】解本题的关键就是抓住双曲线定义中动点到两定点的距离之差的绝对值为定值这一特征，找出N 满足的几何条件，判断出曲线类型，要注意，依定义解题是圆锥曲线中的重要方法．【答案】221(0,2)48y x x x -=<≠-和221(2)196147x y x +=≠-．3． 课堂总结 知识梳理（1）双曲线定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于21F F ）的点的轨迹叫做双曲线．（2）双曲线标准方程：焦点在x 轴上：22221(0,0)x y a b a b -=>>；焦点在y 轴上：()222210,0-=>>y x a b a b重难点归纳（1）定义中的距离之差的“绝对值”不可缺少，若点P 满足12||||2(0)PF PF a a c -=<<时，则点P 的轨迹为双曲线右支；若点P 满足 21||||2(0)PF PF a a c -=<<时，则点P 的轨迹为双曲线左支；（2）求双曲线标准方程与求椭圆标准方程类似，要先“定位”，确定焦点在哪个坐标轴上，再“定量”，即确定a 、b 的值，从而写出标准方程，这里一般使用待定系数法，需要注意双曲线有两支，在具体问题中是否需要舍去某一支． （三）课后作业 基础型 自主突破1．在方程mx 2－my 2＝n 中，若mn <0，则方程的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线【知识点】双曲线的方程．【解题过程】方程mx 2－my 2＝n 可化为：y 2－n m －x 2－n m＝1，∵mn <0，∴－nm >0，∴方程的曲线是焦点在y 轴上的双曲线． 【思路点拨】几何性质判断图形． 【答案】D ．2．双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22D ．2【知识点】双曲线的几何性质．【解题过程】∵a 2＝25，∴a ＝5，由双曲线定义可得||PF 1|－|PF 2||＝10，由题意知|PF 1|＝12，∴|PF 1|－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝22或2． 【思路点拨】几何性质判断图形． 【答案】A ．3．若k ∈R ，方程x 2k ＋3＋y 2k ＋2＝1表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．－3<k <－2 B ．k <－3 C ．k <－3或k >－2D ．k >－2 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】由题意可知，⎩⎨⎧k ＋3>0，k ＋2<0，解得－3<k <－2．【思路点拨】由双曲线定义判断即可． 【答案】A ．4．椭圆x 24＋y 2m 2＝1与双曲线x 2m 2－y 22＝1有相同的焦点，则m 的值是（ ） A ．±1 B ．1 C ．－1D ．不存在 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】验证法：当m ＝±1时，m 2＝1， 对椭圆来说，a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3． 对双曲线来说，a 2＝1，b 2＝2，c 2＝3， 故当m ＝±1时，它们有相同的焦点． 直接法：显然双曲线焦点在x 轴上， 故4－m 2＝m 2＋2．∴m 2＝1，即m ＝±1【思路点拨】注意到椭圆与双曲线中,,a b c 三者的不同关系． 【答案】A5．双曲线2x 2－y 2＝m 的一个焦点是(0，3)，则m 的值是__________________． 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m ＝1，由题意得a 2＝－m ，b 2＝－m 2，∴c 2＝－32m ＝3， ∴m ＝－2．【思路点拨】由双曲线性质即可． 【答案】－26．已知双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有相同的焦点，且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的方程为________． 【知识点】双曲线的方程．【解题过程】椭圆的焦点为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线方程为y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，且c ＝3，a 2＋b 2＝9．由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交点的坐标为A (15，4)、B (－15，4)， 由点A 在双曲线上知，16a 2－15b 2＝1． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，16a2－15b 2＝1，得⎩⎨⎧a 2＝4，b 2＝5.∴所求曲线的方程为y 24－x 25＝1．【思路点拨】充分利用两种圆锥曲线的相同焦点，再结合,,a b c 三者关系解题． 【答案】y 24－x 25＝1能力型 师生共研7．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，线段AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是（ ） A ．16 B ．18 C ．21D ．26【知识点】双曲线的几何性质．【解题过程】|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26． 【思路点拨】由双曲线性质求解即可． 【答案】D8．设θ∈(3π4，π)，则关于x 、y 的方程x 2sin θ－y 2cos θ＝1 所表示的曲线是（ ） A ．焦点在y 轴上的双曲线 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在x 轴上的椭圆 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】方程即是x 2sin θ＋y 2－cos θ＝1，因θ∈(3π4，π)，∴sin θ>0，cos θ<0，且－cos θ>sin θ，故方程表示焦点在y 轴上的椭圆，故选C ． 【思路点拨】由双曲线性质求解即可． 【答案】C 探究型 多维突破9．当0°≤α≤180°时，方程x 2cos α＋y 2sin α＝1表示的曲线怎样变化？ 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】(1)当α＝0°时，方程为x 2＝1，它表示两条平行直线x ＝1和x ＝－1．(2)当0°<α<90°时，方程为x 21cos α＋y 21sin α＝1．①当0°<α<45°时，0<1cos α<1sin α，它表示焦点在y 轴上的椭圆． ②当α＝45°时，它表示圆x 2＋y 2＝2．③当45°<α<90°时，1cos α>1sin α>0，它表示焦点在x 轴上的椭圆． (3)当α＝90°时，方程为y 2＝1，它表示两条平行直线y ＝1和y ＝－1． (4)当90°<α<180°时，方程为y 21sin α－x 21－cos α＝1，它表示焦点在y 轴上的双曲线．(5)当α＝180°时，方程为x 2＝－1，它不表示任何曲线． 【思路点拨】由双曲线性质分类讨论求解即可． 【答案】见解析10．在△ABC 中，A 、B 、C 所对三边分别为a 、b 、c ，B (－1,0)、C (1,0)，求满足sin C －sin B ＝12sin A 时，顶点A 的轨迹，并画出图形． 【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】∵sin C －sin B ＝12sin A ，∴c －b ＝12a ＝12×2＝1， 即|AB |－|AC |＝1<|BC |＝2．∴动点A (x ，y )的轨迹是以B 、C 为焦点的双曲线∴⎩⎨⎧2a ′＝1，2c ′＝2，b ′2＝c ′2－a ′2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ′＝12，b ′＝32.∴A 点轨迹方程为x 214－y 234＝1．由于c >b 就是|AB |>|AC |，可知A 点的轨迹是双曲线的右支，还需除去点(12，0)如图所示．【思路点拨】注意利用线段的长度判断轨迹是双曲线的左支还是右支． 自助餐1．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线C 上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线C 的方程为（ ） A ．x 29－y 27＝1B ．x 29－y 27＝1(y >0) C ．x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1 D ．x 29－y 27＝1(x >0)【知识点】双曲线的标准方程．【解题过程】由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)． 【思路点拨】利用双曲线的定义求解,,a b c ． 【答案】D2．已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于（ ） A ．23 B ．1 C ．2D ．4【知识点】双曲线的定义．【解题过程】NO 为△MF 1F 2的中位线，所以|NO |＝12|MF 1|，又由双曲线定义知，|MF 2|－|MF 1|＝10，因为|MF 2|＝18，所以|MF 1|＝8，所以|NO |＝4，故选D ． 【思路点拨】利用几何关系结合双曲线定义解题． 【答案】D3．设F 1，F 2是双曲线x 2－y224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于（ ） A ．4 2 B ．8 3 C ．24D ．48【知识点】双曲线的定义．【解题过程】由3|PF 1|＝4|PF 2|知|PF 1|>|PF 2|，由双曲线的定义知|PF 1|－|PF 2|＝2，∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，又c 2＝a 2＋b 2＝1＋24＝25，∴c ＝5，∴|F 1F 2|＝10， ∴△PF 1F 2为直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝24． 【思路点拨】利用双曲线的定义计算△PF 1F 2的三边求解面积． 【答案】C4．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－6,0)和C (6,0)，若顶点B 在双曲线2212511x y -=的左支上，则sin A －sin C sin B ＝________．【知识点】双曲线的定义．【解题过程】由条件可知|BC |－|BA |＝10，且|AC |＝12，又在△ABC 中，有|BC |sin A ＝|AB |sin C ＝|AC |sin B ＝2R ，从而sin A －sin C sin B ＝|BC |－|AB ||AC |＝56． 【思路点拨】圆锥曲线的定义是主要考查目标之一，当涉及圆锥曲线的焦半径时，常考虑应用定义解决． 【答案】565．过双曲线x 23－y 24＝1的焦点且与x 轴垂直的直线被双曲线截取的线段的长度为________．【知识点】双曲线的方程．【解题过程】∵a 2＝3，b 2＝4，∴c 2＝7，∴c ＝7，该直线方程为x ＝7， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7x 23－y 24＝1得y 2＝163，∴|y |＝433，弦长为833．【思路点拨】通过点的坐标计算长度．【答案】8336．已知圆(x ＋4)2＋y 2＝25的圆心为M 1，圆(x －4)2＋y 2＝1的圆心为M 2，动圆与这两圆外切，则动圆圆心的轨迹方程为______________． 【知识点】双曲线的定义．【解题过程】设动圆圆心为M ，动圆半径为r ，根据题意得，|MM 1|＝5＋r ，|MM 2|＝1＋r ，两式相减得|MM 1|－|MM 2|＝4<8＝|M 1M 2|，故M 点在以M 1(－4,0)，M 2(4,0)为焦点的双曲线的右支上，故圆心M 的轨迹方程为x 24－y 212＝1(x ≥2)．【思路点拨】注意结合线段的长度大小确定双曲线的左右支． 【答案】x 24－y 212＝1(x ≥2)．。

双曲线及其标准方程（一）（总学案7）撰稿： 修订：高二备课 班级姓名： 第 小组一、学习目标，心中有数1．理解双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；2．通过对双曲线标准方程的推导，提高学生求动点轨迹方程的能力； 定义 平面内与两定点F 1、F 2的距离的 等于常数2a 的点M 的轨迹.图象标准方程焦点a.b.c 的关系三、合作探究，共同进步问题1、平面内与两定点F 1，F 2的距离 差 为常数的点的轨迹是什么？数学试验演示：[1]取一条拉链； [2]如图把它固定在板上的两点F 1、F 2； [3] 拉动拉链（M ）。

思考：拉链运动的轨迹是什么？图1 图2图1中点M 满足的条件： 图2中点M 满足的条件： （一）、双曲线的定义 1. 定义: 平面内与两定点12,F F 的距离之差的绝对值等于定值2a 的点的轨迹叫做 .两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点的距离12F F 叫做双曲线的 .oxF 1F 2 ··x yo F 1F 2 · ·2. 探究结论：问题2：(1) 若20a =,动点轨迹是什么?(2) 若||221F F a =,动点轨迹是什么? (3) 若||221F F a >,动点轨迹是什么?（二）、双曲线的标准方程（要求：请同学们在思考下列问题的基础上，独立完成，并且推导出双曲线的标准方程） （1）回顾椭圆标准方程的推导过程中的建系原则？(三) 典例探究 例1、填空题①191622=-y x . 2a = .2b = .2c = . ② 116922=-y x 2a = . 2b = . 2c = . ③191622=-x y . 2a = . 2b = .2c = .④.116922=-x y . 2a = .2b = . 2c = . 例2据条件求双曲线标准方程①双曲线两个焦点为)0,5()0,5(21F F ，-，双曲线上一点P 到21F F ，的距离之差的绝对值等于6，②双曲线的焦点为F 1(0,-5), F 2(0,5)，双曲线上一点P 到F 1、 F 2的距离的差的绝对值等于6，例3．已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线上两点1P 、2P 的坐标分别为()24,3-，⎪⎭⎫⎝⎛5,49，求双曲线的标准方程。