函数列的几种收敛性

函数的一致收敛性与一致连续性函数的一致收敛性和一致连续性是数学分析中重要的概念，它们对于函数的性质和性质的分析具有重要的作用。

本文将从定义、性质以及与其他概念之间的联系等多个方面对函数的一致收敛性和一致连续性进行探讨。

一、一致收敛性的定义与性质函数序列的一致收敛性是指对于给定函数序列{fn(x)}，当自变量x趋向于某个值a时，函数值fn(x)的极限也趋向于某个值f(x)，且这种趋向对序列中的每一个函数都成立。

更正式地说，对于任意ε>0，存在正整数N，使得当n>N时，对于所有的x，有|fn(x)-f(x)|<ε成立。

函数序列的一致收敛性具有以下性质：1. 一致收敛性是逐点收敛性的强化。

如果函数序列一致收敛于f(x)，那么它也是逐点收敛的，即对于每个x，极限lim⁡(n→∞)fn(x)=f(x)成立。

2. 一致收敛性是逐点收敛性的逆命题不成立的。

即逐点收敛的函数序列未必一致收敛。

3. 一致收敛性的极限函数是唯一的。

一致收敛序列的极限函数f(x)是唯一的，即若序列{fn(x)}和{gn(x)}一致收敛于f(x)，则它们极限相等。

4. 一致收敛的函数序列在有界集上一致有界。

若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都有界，则极限函数f(x)在A上有界。

5. 一致收敛的函数序列在有界集上一致可积。

若函数序列{fn(x)}一致收敛于f(x)，且对于每个x∈A，函数值fn(x)都可积，则极限函数f(x)在A上可积。

二、一致连续性的定义与性质函数的一致连续性是指对于给定函数f(x)，当自变量x取值在某个区间上时，函数的变化量可以任意小，并且这种性质对区间上的所有点都成立。

更正式地说，对于任意ε>0，存在Δ>0，使得当|x1-x2|<Δ时，对于所有的x1和x2，有|f(x1)-f(x2)|<ε成立。

函数的一致连续性具有以下性质：1. 一致连续性是局部性质。

数学分析中的收敛与连续性在数学分析中，收敛与连续性是两个重要的概念，它们在数学和物理学等领域都有广泛的应用。

本文将详细讨论收敛与连续性的概念、性质以及它们之间的关系。

一、收敛性收敛是一种重要的数学概念，用于描述数列或函数在逼近某个值或趋于某种状态的过程。

在数学分析中，收敛性是研究数列和函数性质的基础。

下面将介绍数列和函数的收敛性。

1. 数列的收敛性数列是按照一定规律排列的一系列数。

对于数列 {an}，如果存在一个实数 a，使得对任意给定的正数ε，总存在正整数 N，使得当 n>N 时，|an-a|<ε，那么称数列 {an} 收敛于 a。

如果数列 {an} 不收敛，那么称其发散。

2. 函数的收敛性对于函数 f(x)，如果存在实数 a，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当|x-a|<δ 时，|f(x)-f(a)|<ε，那么称函数 f(x) 在点 a 处收敛。

如果函数在某一点a 处不满足上述条件，那么称其在该点处发散。

二、连续性连续性是数学中描述函数的重要概念，用于研究函数在某一点或某一区间上的性质。

下面将介绍函数的连续性。

1. 函数的连续性定义设函数 f(x) 在点 a 处有定义，如果满足以下条件：① f(a)存在；②当x→a 时，f(x)收敛于 f(a)，那么称函数 f(x) 在点 a 处连续。

如果函数在某一点处不满足上述条件，那么称其在该点处不连续。

2. 连续函数与间断点如果函数 f(x) 在其定义域的每一点都连续，则称 f(x) 是一个连续函数。

间断点是函数不连续的点，根据间断的类型，可以将间断点分为可去间断点、跳跃间断点和无穷间断点等。

三、收敛与连续性的关系1. 收敛函数的连续性如果函数 f(x) 在点 a 处收敛于 f(a)，那么该函数在点 a 处连续。

这是因为函数的收敛性保证了在充分接近 a 处的 x 值上，f(x) 与 f(a) 的差别可以任意小，即函数 f(x) 在点 a 处趋于 f(a)。

第6讲可测函数列的收敛问题研究一个函数列的收敛性1.是在什么意义下收敛?2.各种收敛之间有什么关系?一、函数列的几种收敛1. 函数列的(几乎)处处收敛与一致收敛概念 12(),()(,,)k n f x f x k E 设都是定义在点集上的广义实值函数.定义=⊆{}(1)()()k f x E f x 在上处处收敛于(0,,0, ,,)K K x x E k K εε⇔∀>∀=∈∃>>当时有()(), lim ()(),.k k k f x f x f x f x x E →∞⇔→=∀∈或 ()().k f x f x ε-<(()0),Z m Z ⇔=存在一个零测集即使得{}(2)()()k f x E f x 在上几乎处处收敛于(almost everywhere ）lim ()(),\,k k f x f x x E Z →∞=∀∈()(), lim ()(), a.e. .k k k f x f x f x f x x E →∞→=∈记作 或{}(3)()()k f x E f x 在上一致收敛于0,0, (),,k K x E K K εε⇔∀>>>=∃∀∈当时有()(), uniformly in .k f x f x E →记作()().k f x f x ε-<()sin arctan .1 k x f x x k=+讨论在上例的一致收敛性()1(0,,,),:k K K x εεε⎡⎤∃=⎢∀⎥>∀>∀∈-∞+⎣⎦∞解 1|()arctan |.k f x x kε-≤<11,4,()arctan .44k k f x x ε=>-<对当时有几何直观xy o E ε-=)(x f y ε+=)(x f y )(x f y =()k y f x =εεsup ()( )k k x Ef x f x β∈=-令()(),uniformly in k f x f x E→ lim 0.k k β→∞⇔=一致收敛的几何解释 (),()().k k K K f x f x εε>=-<当时有(),1,2,[0,1]2 k k f x x k E ===在例 上处处收敛于sup ()()1k x k E f x f x β∈=-=因 {()}k f x 故不是一致收敛.0, [0,1)()1, 1x f x x ∈⎧=⎨=⎩0→几何直观1xεyx O2x113xε-{}():1,2,, ()lim (), a.e. ,nk k k f x k E f x f x x E E →∞=⊆=∈设是可测集上 的一列可测函数则也是上的可 测函数.2. 函数列几种收敛性的关系收敛方式由强到弱依次是性质 (几乎处处收敛的可测函数列的极限是可测的)试问 有比几乎处处收敛还弱的收敛方式吗?有, 依测度收敛!一致收敛几乎处处收敛处处收敛⇒⇒{}{}(),()(),0,,(),()()1\.k k m E f x E f x E E m E x f E E f x δδδδδ<∞><设如果在上几乎处处收敛于则对任意存在的可 上一致收测子集使得在于定理 敛,几乎 处处简单地说收敛 在测度有限的集上的近一函数列是的.致收敛注E ,,(1,12],E E δδ=- 在中 为了得到一致收敛我们只需从中挖去一个测度任意小的子集例{}()\([0,1])().k f x E E f x δδ-则在即上一致收敛于1xεyxO2x113xε-几何直观1δ-()m E <∞注定 理中的条件不能去掉.[0,),E =+∞反设例 [0,]1, [0,]()()0, k k x k f x x x kχ∈⎧==⎨>⎩{}()()1,k f x E f x ≡则在上处处收敛于函数,E δ但对于任何一个测度有限的子集{}()\k f x E E δ在上不是一致都收敛的.kyxO{}121 (),()()()() lim ()(), ().nk k k k k f x E x x x x x f x x x E ϕϕϕϕϕϕ+→∞⊆≤≤≤≤≤=∀∈设是可测集上的当且仅当非负可测函数非负可测的简单存在得函数列：使定理2 ()f x E 根据的值域对进行划分分析 ()⇐充分性√()⇒必要性1. 非负函数可测性的等价描述 二、可测函数与简单函数的关系渐升列1 ···E()f x [0,1]y 对轴作二等分1 E 11E 12F 11()x ϕ11102E E f ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭1(1)F E f =≥12112E E f ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭112111()()()2i F E i i x x x ϕχχ=-=+∑E()f x [0,2]y 对轴作八等分2 · 1 2 · · · · ··· · E 21 E 22 E 23 E 24 E 28 F 22()x ϕ依次类推, 得到简单函数列 {}()k x ϕ[0,]2ky k k ⋅对轴作次等分ki E (),k x ϕ作简单函数列其中211()()()2kk ki k k F E k i i x k x x ϕχχ⋅=-=+∑（请读者自行验证）可以证明 {}().k x ϕ即为所求k F 1, 1,2,,2,22kk k i i E f i k -⎛⎫=≤<=⋅ ⎪⎝⎭().E f k =≥(),nf x E ⊆设是可测集上的可测函数定理3 2. 一般函数可测性的等价描述 分析 只需证明必要性即可.()(1)(),k f x f x ≤{}(),k f x 当且仅当存在可测函数列简单使得(2)lim ()(), .k k f x f x x E →∞=∀∈(),.f x E 若在上有界则上述收敛是一致的(),f x E 是定义在上的广义实值函数设令{}max (),(),0f x f x +={}max (),(),0f x x f -=-())()(,f x x f x f -+并分别称为正部函数的与负部.()y f x =()y f x +=()y f x -=(),(,())f x f x E f E x +-⇒在上可测也在上可测注意到 ,0())(0f f x x -+≥≥.2,,(),()f f x x -+根据定理关于非负可测函数有{}{}(1)(2)(),()k kx x ϕϕ存在的简单函数列非负可测：使得(1)(lim , ,)()k k x f x E x ϕ+→∞=∀∈(2)()lim , .()k k x f x x E ϕ-→∞=∀∈,x E ∀∈故（请读者补充证明过程）),((())f x f x x f +-=-再结合(1(2))()(li ()()))m (.k k k x f x x f x f x ϕϕ+→-∞⎡⎤-=-=⎣⎦参考文献1. 周民强. 实变函数论, 北京: 北京大学出版社, 2001.2. 郑维行, 王声望. 实变函数与泛函分析概要, 北京:高等教育出版社, 2010.3. 程其襄等. 实变函数与泛函分析基础, 北京: 高等教育出版社, 2010.4. 夏道行等. 实变函数论与泛函分析, 北京: 高等教育出版社, 2010.感谢大家的聆听！。

可测函数列的几种收敛性关系段胜忠;杨国翠【摘要】对可测函数列的几种收敛性的定义和性质进行归纳和总结,讨论他们之间的关系,并给出相应的证明,从而使各种收敛之间的关系更加明了.【期刊名称】《保山学院学报》【年(卷),期】2014(033)005【总页数】3页(P12-14)【关键词】可测函数列;一致收敛;几乎处处收敛;依测度收敛;强收敛;弱收敛【作者】段胜忠;杨国翠【作者单位】保山学院数学学院,云南保山678000;保山学院数学学院,云南保山678000【正文语种】中文【中图分类】O13可测函数列的一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛、强收敛、弱收敛是经典实变函数和泛函分析理论中几种重要的收敛关系。

本文的目的在于对可测函数列的几种收敛性的相互关系给出总结和证明，从而为偏微分方程研究中所使用的弱收敛方法提供理论依据。

定义1.1设fn(x)(n=1,2,3…)，f(x)均为定义在可测集Ω上的几乎处处有限的可测函数，若满足，则称{fn(x)}在Ω上一致收敛于f(x)，记为定义1.2设{fn(x)}是定义在可测集Ω上的一列可测函数，若存在Ω中的点集E，满足m(E)，∀x∈Ω\E，则称{fn(x)}在Ω上几乎处处收敛于f(x)，记为fn(x)→f(x),a.e.于Ω。

定义1.3设{fn(x)}是定义在可测集Ω上的一列可测函数，若∀σ＞0有0，则称函数列{fn(x)}在Ω上依测度收敛于f(x)，记为fn(x)⇒f(x)。

定义1.4设fn(n=1，2，3…)，f∈Lp(Ω)，若当n→∞时，有||fn-f||→0，则称fn强收敛于f，记为定义1.5设fn(n=1,2,3…)，f∈Lp(Ω)，若对每一个g∈Lq(Ω)（q为p的共轭数），当n→∞时，有则称fn弱收敛于f，记为fn(x)（1）一致收敛与几乎处处收敛的关系若函数列fn(x)一致收敛于f(x)，则几乎处处收敛于f(x)。

逆命题一般不成立。

例如函数列fn(x)=xn(n=1,2,3…)在Ω=［0,1］上几乎处处收敛于零,但并不一致收敛于零。

可测函数列常见的几种收敛摘 要：本文介绍了可测函数列常见的几种收敛：一致收敛、几乎一致收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等以及它们之间的关系．关键字：可测函数列；一致收敛；几乎一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛前言在数学分析中我们知道一致收敛是函数列很重要的性质，比如它能保证函数列的极限过程和(R)积分过程可交换次序等．可是一般而言函数列的一致收敛性是不方便证明的，而且有些函数列在其收敛域内也不一定是一致收敛的，如文中所给的例2函数()f x 在收敛域[0,1]内不一致收敛，但对于一个0δ>当0δ→时在[0,]δ内一致收敛，这不见说明了一致收敛的特殊性，也验证了我们平时常说的“矛盾的同一性和矛盾的斗争性是相了解的、相辅相成的”[1]1 可测函数列几种收敛的定义1.1 一致收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集E 上的实值函数．若对于0,ε∀>存在,K N +∈使得对于,k K x E ∀≥∀∈都有()()k f x f x ε-<则称}{()k f x 在E 上一致收敛到()f x ．记作： u k f f −−→(其中u 表示一致uniform)．1.2 点点收敛若函数列12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 在点集D E ⊂上每一点都收敛，则称它在D 上点点收敛．例1 定义在[0,1]E =上的函数列1(),1k f x kx =+则()k f x 在E 上点点收敛到函数 1,0,()0,0 1.x f x x =⎧=⎨<≤⎩而且还能看出{()}k f x 在[]0,1上不一致收敛到()f x ，但对于0,{()}k f x δ∀>在[,1]δ上一致收敛到()f x ．1.3 几乎一致收敛[3]设E 是可测集，若0,,E E δδ∀>∃⊂使得(\),m E E δδ<在E δ上有u k f f−−→则称{()}k f x 在E 上几乎一致收敛与()f x ，并记作...a u k f f −−→(其中a.u ．表示几乎一致almost uniform) ．例2 定义在[]0,1E =上的函数()k k f x x =在[]0,1上收敛却不一致收敛．但是只要从[]0,1的右端点去掉任一小的一段使之成为[]()0,10,0δδδ->→则{()}k f x 在此区间上就一致收敛，像这样的收敛我们就可以称之为在[]0,1E =上几乎一致收敛与0．1.4 几乎处处收敛[3]设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是定义在点集n E R ⊂上的广义实值函数．若存在E 中点集Z ，有()0,m Z =及对于每一个元素\x E Z ∈，有lim ()()k x f x f x →∞= 则称{()}k f x 在E 上几乎处处收敛与()f x ，并简记为,.[]k f f a e E →或..a e k f f −−→若上文的例1也可以称之为在[]0,1上几乎处处收敛与()f x ．1.5 依测度收敛例3在[0,1)上构造函数列{()}k f x 如下：对于k N +∈，存在唯一的自然数i 和j ，使得2,i k j =+其中02,i j ≤≤令1[,)22()(),1,2,,[0,1).i i k j j f x x k x χ+==∈任意给定的0[0,1),x ∈对于每一个自然数i ，有且仅有一个j ，使得01[,)22i i j j x +∈．数列0{()}f x 中有无穷多项为1，有无穷多项为0．由此可知，函数列{()}k f x 在[0,1)上点点不收敛．因此仅考虑点收敛将得不到任何信息．然而仔细观察数列0{()}k f x 虽然有无穷多个1出现，但是在“频率”意义下，0却也大量出现．这一事实可以用点集测度语言来刻画．只要k 足够大，对于01,ε<≤点集{[0,1)()0}{[0,1)()1}1[,)22k k i i x f x x f x j j ε∈-≥=∈=+= 的测度非常小．事实上 1({[0,1)()0})2k i m x f x ε∈-≥=． 这样对于任给的0,δ>总可以取到0,k 也就是取到0,i 使得当0k k >时，有({[0,1)()0})1k m x f x εδ∈-<>-其中02i δ-<．这个不等式说明，对于充分大的h ，出现0的“频率”接近1．我们将把这样一种现象称为函数列{()}k f x 在区间[0,1)上依测度收敛到零函数，并将抽象出以下定义[3]：设12(),(),(),,(),k f x f x f x f x 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数．若对于任意给定的0,ε>有lim (())0,k x m E f f ε→∞->= 则称{()}k f x 在E 上依测度收敛到函数()f x ，记为.m k f f −−→2 可测函数列几种收敛的关系2.1 点点收敛与一致收敛的关系由上述定义我们可以知道u k f f −−→，必有{()}k f x 点点收敛于()f x ．如例1． 反之则不一定成立，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则()f x 也是可测函数．2.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系由定义可知有一致收敛必几乎处处收敛....()a u a e k k f f f f −−→⇒−−→．反之则不然，如例2．而且还可以得到若{()}k f x 是可测集E 上的可测函数列，则极限函数()f x 也是可测函数．应用：从数学分析我们知道一致收敛的函数列对于求极限运算和(R)积分运算、微分运算与(R)积分运算等可以交换次序．2.3 几乎处处收敛与一致收敛的关系叶果洛夫(E ΓopoB )定理[5]：设(),{}n m E f <∞是E 上一列 a.e ．收敛于一个a.e ．有限的函数f 的可测函数，则对于任意的0δ>，存在子集E E δ⊂，使{}n f 在E δ上一致收敛，且(\)m E E δδ<．注 定理中“()m E <∞”不可去掉如：例4定义在(0,)E =+∞的函数列1,(0,]()(1,2,).0,(,)m x m x m x m f ∈⎧==⎨∈+∞⎩则m f 在(0,)+∞上处处收敛于1，但对于任何正数δ及任何可测集E δ，当时(\)m E E δδ<时，m f 在E δ上不一致收敛于1．这是因为，当时(\)m E E δδ<时，E δ不能全部含于(0,]m 中，必有(,)m E m x δ∈+∞，于是有()0m m x f =．sup ()1()11m m m x E f x f x δ∈-≥-=所以()m x f 在E δ上不一致收敛与1，也即定理中“()m E <∞”不可去掉[4]．由定义我们知道一致收敛必是几乎处处收敛的，反之则不成立．但它们又有密切的关系，即使上述定理告诉我们几乎处处收敛“基本上”是一致收敛的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．应用 由上述定理我们还可以得到“鲁津定理”：设()f x 是E 上 a.e ．有限的可测函数，则对于任意的0δ>，存在闭子集E F δ⊂，使()f x 在F δ上是连续函数，且(\)m E F δδ<．也就是说：在E 上a.e ．有限的可测函数“基本上”是连续的(在除去一个测度为任意小集合的子集上)．也即我们可以用连续函数来逼近a.e ．有限的可测函数．2.4几乎处处收敛与依测度收敛的关系例5 取(0,1]E =，将E 等分，定义两个函数：(1)111,(0,]2()10,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩， (1)210,(0,]2()11,(,1]2x x x f ⎧∈⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩． 然后将(0,1]四等分、八等分等等．一般的，对于每个n ，作2n 个函数：()11,(,]22()1,2,,2.10,(,]22n n n n j n j j x x j j j x f -⎧∈⎪⎪==⎨-⎪∉⎪⎩．我们把(),1,2,,2{}n j x j f =，先n 按后按j 的顺序逐个的排成一列：(1)(1)()()()12122(),(),,(),(),,(),n n n n x f x f x f x f x f (1)()()n j x f 在这个序列中是第22n j N -+=个函数．可以证明这个函数列是依测度收敛于零的．这是因为对于任何的0σ>，()0[]n j f E σ-≥或是空集(当1σ>)，或是1,22(]n nj j - (当01σ<≤)，所以 ()102([])n j n f m E σ-≥≤ (当时1σ>时，左端为0)．由于当2(1,2,,2.)2n n j j N -+==趋于∞时n →∞，由此可见()([0])0lim n j N m E f σ→∞-≥=， 也即()()0m n j x f −−→．但是函数列(1)在上的任何一点都不收敛．事实上，对于任何点0(0,1]x ∈，无论n多么大，总存在j ，使01(,]22n n j j x -∈，因而()0()1n j x f =，然而()10()0n j x f +=或()10()0n j x f -=，换言之，对于任何0(0,1]x ∈，在()0(){}n j x f 中必有两子列，一个恒为1，另一个恒为0．所以序列(1)在(0,1]上任何点都是发散的．这也就说明依测度收敛的函数列不一定处处收敛，也就是说依测度收敛不能包含几乎处处收敛，但仍有：黎斯(F ．Riesz) [5] 设在E 上{}n f 测度收敛于f ，则存在子列{}i n f 在E 上a.e ．收敛于f ．例6 如例4，当()1()m x n f →→∞当x E ∈．但是当01σ<<时，1[](,)m f E m σ-≥=+∞且(,)m m +∞=∞．这说明}{n f 不依测度收敛于1．这个例子又说明了几乎处处收敛也不包含依测度收敛，但是有下述关系： 勒贝格(Lebesgue) [5] 设mE <∞，{}n f 是E 上a.e ．有限的可测函数列， {}n f 在E 上a.e ．收敛于a.e ．有限的函数f ，则()()m n x f x f −−→．此定理中的“mE <∞”不可去掉，原因参看例1．定理也说明在的在的条件mE <∞下，依测度收敛弱于几乎处处收敛．有以上定理黎斯又给出了一个用几乎处处收敛来判断依测度收敛的充要条件：设mE <∞，{}n f 是E 上的可测函数列，那么{}n f 依测度收敛于f 的充要条件是：{}n f 的任何子列{}k n f 中必可找到一个几乎处处收敛于f 的子序列．证明（必要性） 由于{}n f 依测度收敛于f ，由定义知道这时{}n f 的的任何子序列{}k n f 必也依测度收敛于f ，由黎斯定理可知{}k n f 中必存在几乎处处收敛于f 的子序列．（充分性） 如果{}n f 不依测度收敛于f ，即存在一个0σ>，使得()n f f m E σ-≥不趋于0．因此必有子序列{}k n f ，使得(())0.lim kn k m E f f a σ→∞-≥=> 这样{}k n f 就不可能再有子序列几乎处处收敛于f 了，否则由勒贝格定理知将有{}kn f 依测度收敛于f ，即 (())0.lim kn k m E f f σ→∞-≥= 这与上式矛盾，所以{}n f 依测度收敛于f ．应用 依测度收敛在概率统计中有重要的意义，如例3；它也是证明中心极限定理的重要依据，由中心极限定理我们可以知道用一个正态分布来模拟一个样本容量较大的样本的概率分布， 从而简化了大样本概率分布的处理和计算[7]． 结束语：上述定义中的各种收敛的极限函数都是唯一的，而且从本文还可以知道一致收敛是最强的收敛，它蕴含了点点收敛、几乎处处收敛、依测度收敛等上述几种收敛．各种收敛都有不同的意义，在各种实践中作用也各不同．参考文献：[1]马克思主义基本原理概论教材编写课题组．马克思主义基本原理概论[M]．高等教育出版社，2009,7[2] 华东师范大学数学系．数学分析(第三版)[M]．高等教育出版社，2001,6．[3] 郭懋正．实变函数与泛函分析[M]．北京大学出版社，2005,2[4] 柳藩，钱佩玲．实变函数论与泛函分析[M]．北京师范大学出版社，1987．[5] 程其襄，张奠宙，魏国强等．实变函数与泛函分析既基础[M]．高等教育出版社，2003,7．[6] 夏道行，严绍宗等复旦大学数学系主编．实变函数与应用泛函分析基础[M]．上海科学技术出版社．1987．[7] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]．高等教育出版社，2004,7．[文档可能无法思考全面，请浏览后下载，另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意!]。

第三章3・1四种收敛性车贝晓夫不等式2几乎处处收敛3依概率收敛4依分布收敛5r■阶收敛【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有I•阶绝对矩，EX 「<00,则对任意£ > 0有P(\X\>s)<^4-【证明】设X的分布函数为F(x)，则有:P(\X\>£)= f dF(x) < f x-\rdF(x)1 r00 ir< —-f x dF(x) 』J・8引理的特殊情况： P(|X|> £)<纟甲取一2,并以X ・E(X)代替X 得车贝晓夫不等式 * 【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X 有2阶中心矩，E[X-E(X)] 则对任意£ > 0有P (|X -E (X )|>^)<^2【证明】设X 的分布函数为尸(兀)，则有：DX = f (X -E(X))2JF(X )>f (x-E(X))2dF(x)\x-E(X)\^> J£2dF(x)= e 2P{\X-E(X)\>e}从而尸(|X - E(X)\ >e)< 代耳 <=^> P(\X 一 E(X)\ <^)>1-2^8 82 <00,P(\X-E(X)\<s)>l-^^ 8由车贝晓夫不等式可以看出，若b?越小，贝!I 事件［\X-E(X)\<£］的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.特别地，若D(X)=O,则对任意£>0,恒<P{|X-EX|>g}|0- 因此P{X HE¥} = 0,即P{X = EX} = 1,所以方差为0的随机鑼是常数菱P{\X-E(X)\>当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了/X与它的期望的偏差不小于8的概率的估计式・如取£ = 3b2P{IX-E(X)I> 3<r} <— ".1119(7 屋可见，对任给的分布，只要期望和方差亍存蠹则r.v X取值偏离超过3a的概率小于0.1117二车贝晓夫不等式的用途:车贝晓夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。

各种函数列收敛的总结利用余项准则证明函数列一致收敛1. 证明Sn(x)=xn,n=1,2,..., 在[0,b](0<b<1) 上一致收敛.2. 证明函数列fn(x)=(1−x)xn,n=1,2,⋯, 在[0,1] 一致收敛.利用余项准则证明函数列非一致收敛1. 证明Sn(x)=xn,n=1,2,..., 在[0,1] 上非一致收敛.2. 函数列gn(x)=(1−xn)x,n=1,2,⋯, 在[0,1] 上非一致收敛.3. 证明函数列fn(x)=xn−x2n, n=1,2,⋯, 在[0,1] 上非一致收敛.4. 设函数列fn(x)=nx(1−x)n,n=1,2,⋯, 证明: (1) 在[0,1] 上收敛; (2) 在[0,1] 上非一致收敛,但在[α,1](α>0 上非一致收敛,但在[α,1) 上一致收敛 ;(3)limn→∞∫01fn(x)dx=∫01limn→∞fn(x)dx.5. 设函数列fn(x)=n(xn−x2n),n=1,2,⋯,x∈[0,1]. (1) 求函数列fn(x) 的极限函数;(2)证明fn(x) 非一致收敛;(3)验证极限运算与积分运算不能交换顺序.含有参数函数列一致收敛1. 设fn(x)=ncx(1−x2)n,n=1,2,⋯, 讨论函数列fn(x) 在[0,1] 上的一致收敛性.2. 讨论函数列fn(x)=ncxe−nx,n=1,2,⋯,x∈[0,1] 的一致收敛性.3. 讨论函数列在指定区间上的一致收敛性:fn(x)=x(ln⁡n)αnx,n=1,2,⋯,x∈[0,+∞).4. 讨论函数列在指定区间上的一致收敛性:fn(x)=cnx1+ncnx2(c>0) ,n=1,2,⋯(1)x∈(−∞,+∞),(2)x ∈(−∞,)(,+∞)已知f(x) 连续利用闭区间连续则有界或可积必有界证明{gn(f(x)) }一致收敛1. 设f(x) 在[0,1] 上连续, f(1)=0. 证明： {f(x)xn } 在[0,1] 上一致收敛.2. 设f(x) 在[12,1] 上连续.证明：收敛的充要条件是f(1)=0.3. 设f(x) 在[0,π2] 上连续.证明： (2) {sinn⁡xf(x)} 在[0,π2] 上一致收剑的充要条件是f(π2)=0.4. 若f(x) 在[a,b] 连续, f(x)>0,gn(x)=f(x)n,n=1,2,⋯. 证明 :gn(x) 在[a,b] 上一致收敛于 1.5. 设函数f0(x) 在[a,b] 上可积,且fn(x)=∫axfn−1(t)dt, x∈[a,b],n=1,2,⋯, 证明 :{fn(x)} 在[a,b] 上一致收剑于0.6. 设u0(x) 在[a,b] 上连续,G(x,t) 在闭X 域[a,b]×[a,b] 上连续, 对∀x∈[a,b], 设un(x)=∫axG(x,y)un−1(y)dy,n,证明：{un(x)} 在[a,b] 上一致收剑于0.已知{fn(x)}递推式证明一致收敛1. 设x⩽f1(x)⩽x,fn(x)=xfn−1(x),x∈[0,1], n=1,2,⋯. 证明:(1) {fn(x)} 为单调有界数在(2)$fn(x)$在[0,1]$ 上一致收敛.与cosx 有关的函数列一致收敛求解下列各题.1. 设fn(x)=cosn⁡x,n=1,2,⋯,x∈[0,π2]. (1) 求极限函数f(x); (2) fn(x) 在[0,π2] 上是否一致收敛? (3) 是否有limn→∞∫0π2fn(x)dx=∫0π2f(x)dx.2. 设fn(x)=cos⁡x+cos2⁡x+⋯+cosn⁡x,n=1,2,⋯, 当x∈(0,π2) 时 , 求limn→∞fn(x) ,并讨论{fn(x)} 在[0,π2] 上的一致收敛性利用f(x) 连续则一致连续证明函数列一致收敛1. 设f(x) 在[0,1] 连续,令fn(t)=∫0Tf(xn)dx,t∈[0,1], n=1,2,⋯, 证明函数列 {fn(t)} 在[0,1] 上一致收敛于g(t)=tf(0)函数列为差商形式且极限函数与导数有关1. 设函数f(x) 在(a,b+1) 上有连续导数(ab), 令fn(x)=n(f(x+1n)−f(x)),x∈(a,b+1)n=1,2,⋯证明：(1) 函数列内闭一致收敛于f′(x) ,(2)2. 设f∈C1(I), I 是有界闭区间, Fn(x)=n[f(x+1n)−f(x)]. 证明:函数列 {Fn(x)} 在I 上一致收敛.如果I 是有界开区间,问 {Fn(x)} 在I 上是否一致收敛？3. 设函数f(x) 在(−∞,+∞) 上有连续导函数f′(x), 且fn(x)=en(f(x+e−n)−f(x))n=1,2,⋯.证明:函数列{fn(x)}在任一有限区间区间(a,b) 内一致收敛于f′(x) .4. 设函数f(x) 在(a,b) 上有连续导函数,定义Fn(x)=n2[f(x+1n)−f(x−1n)]x∈[a,b], n=1,2,⋯. 证明:函数列 {fn(x)}在(a,b) 处处收敛且内闭一致收敛.5. 设函数f(x) 在[0,M+1] 上连续, 记fn(x)=n(∫0x+1nf(t)dt−∫0xf(t)dt)x∈[0,M]. .证明:函数列{fn(x)} 在[0,M] 上一致收敛于f(x) .6. 设函数f(x) 在(−∞,+∞) 上连续,定义fn(x)=n2∫−1n1nf(x+t)dt,n=1,2,⋯,x∈[a,b] n=1,2⋯. 证明:函数列{fn(x)}在任何闭区间[a,b] 一致收敛于f(x) .分段函数非一致收敛的证明1. 设fn(x)=1−nx,0 证明函数列在(0,1) 上非一致收敛，但limn→∞∫01fn(x)dx=∫01limn→∞fn(x)dx.利用函数列一致收敛Cauchy 收敛准则证明复合函数列一致收敛1. 设f(x) 在[0,1] 连续, fn(t)=∫0tf(xn)dx,t∈[0,1], n=1,2,⋯, 证明函数列 {fn(t)} 在[0,1] 一致收敛于g(t)=tf(0).2. 设函数f(x,y) 在闭区域[a,A]×[b,B] 上连续,函数列{φn(x)} 在[a,A] 上一致收剑,且b⩽φn(x)⩽B. 证明:函数列Fn(x)=f(x,φn(x)),n=1,2,⋯, 在[a,A] 上一致收敛.3. 设函数f(x,y) 在闭区域[a,b]×[c,d] 上连续, 函数列{φn(x)} 在 [a, b] 上一致收剑,且a⩽φn(x)⩽b, 函数列{ψn(x)} 在[a,b] 上一致收敛,且c⩽ψn(x)⩽d. 证明 : 函数列Fn(x)=f(φn(x),ψn(x)),n=1,2,⋯, 在[a,b] 上一致收剑.4. 设函数f(x,y) 在闭X 域[x0−a,x0+a]×[y0−b,y0+b] 上连续，函数列 {φn(x)} 在[x0−a,x0+a] 上一致收剑φ(x), 且y0−b⩽φn(x)⩽y0+b. 证明：limn→∞∫x0xf(t,φn(t))dt=limn→∞∫x0xf(t,φ(t))dt.已知函数列一致收敛且每一项一致收敛证明极限函数一致连续1. 设函数列 {fn(x)} 在区间I 上一致收签于f(x) .证明:若每个fn(x) 在I 上一致连续,则f(x) 在I 上一致连续.2. 设函数项级数∑n=1∞un(x) 在I 上一致收签于s(x), 如果每个un(x) 在I 上一致连续,证明s(x) 在I 上一致连续.3. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上连续,在(a,b) 上一致收剑于f(x) .证明: f(x) 在[a,b] 上一致连续.4. 设un(x) 在[a,b] 上连续,∑n=1∞un(x) 在(a,b) 上一致收签于s(x). 证明: (1)∑n=1∞un(x) 在x=a,x=b 收剑;(2)∑n=1∞un(x) 在[a,b] 连续 ; (3)f(x)=∑n=1∞un(x) 在[a,b] 上一致连续.5. 设fn(x),n=1,2,⋯, 为R 上的一致连续函数,且limn→∞fn(x)=f(x), ∀x∈R1, 问 :f(x) 是否为连续函数？若答案为“是”,请给出证明;若答案为“否”,请给出反例.等度连续6. 设函数列{fn(x)}在区间[a,b] 上连续, {fn(x)} 在[a,b] 上一致收剑于f(x) .证明: {fn(x)} 在[a,b] 上等度连续 (即∀ε>0,∃δ>0, 当∀x′,x′′∈[a,b], |x′−x′′|<δ时, 对任意自然数n 有|fn(x′)−fn(x′′)|<ε利用反证法证明1. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x) ,且每个函数连续,假定每个fn(x) 在[a,b] 上不处处为负.证明f(x) 在[a,b] 上不处处为负.2. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x), 且每个函数连续,若每个fn(x) 在[a,b] 上均有零点.证明f(x) 在[a,b] 上至少有一个零点.3. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x), 且每个函数连续,若∫abfn(x)dx⩾0n=1,2,⋯, 证明至少存在一点x0∈[a,b] 使得f(x0)⩾0.与零点有关的问题1. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x), 且每个函数连续,若f(x) 在[a,b] 上无零点,证明:(1) 当n 充分大时, fn(x) 在[a,b] 也无零点. (2) 证明: {1fn(x)} 在[a,b] 一致收敛于1f(x). {xn}与函数列复合得到新函数列证明1. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x), 且每个函数连续, {xn}⊂[a,b] 且limn→∞xn=x0 . 证明: limn →∞fn(xn)=f(x0).(2) 设{Sn(x)}是函数项级数∑k=1∞uk(x) 的前n 项部分和函数列,每个Sn(x) 在[a,b] 上连续,且. ∑k=1∞uk(x) 在[a,b] 上一致收剑于S(x). 又{xn} ⊂[a,b] 且limn→∞xn=x0. 证明: limn→∞Sn(xn)=S(x0).3. 设函数列 {fn(x)} 在区间[a,b] 上一致收剑于f(x) ,且每个函数连续,若存在xn∈[a,b] 有limn→∞fn(xn)=A.证明:存在x0∈[a,b] 使f(x0)=A.已知函数列{fn(x)}一致收敛且函数列极限是数列{an}证明数列{an}收敛1. 设连续函数列 {fn(x)} 在U(x0,δ)(δ>0) 内一致收敛,且limx→xnfn(x)=an,n∈N. 证明 {an}收敛.(南开大学 2002)利用反证法证明函数列在闭区间端点发散导致闭区间非一致收敛1. 设fn(x) 在[a,b] 上连续,且{fn(b)} 发散.证明: {fn(x)} 在[a,b] 上非一致收敛.2. 设un(x) 在[a,b] 连续,且∑n=1∞un(x) 在x=b 发散.证明∑n=1∞un(x) 在[a,b) 非一致收敛.3. 设 {Sn(x)} 在x=c 上左连续,且 {Sn(c)} 发散.证明:在任何开区间(c−δ,c)(δ>0) 内 {Sn(x)} 非一致收敛.4. 设每个un(x) 在x=c 连续,但∑n=1∞un(x) 在x=c 发散,则∀δ>0,∑n=1∞un(x) 在(c,c+δ) 上均非一致收敛.讨论∑n=1∞1(sin⁡x+cos⁡x)n 在(0,π2) 内是否一致收敛.5. 设un(x) 在(a,b] 上连续, ∑n=1∞un(x) 在(a,b) 上收敛,根据∑n=1∞un(b) 的敛散性, 讨论∑n=1∞un(x) 在(a,b) 上的一致敛散性.6. 设hn(x) 在[a,b) 连续,且fn(x)⩽hn(x)⩽gn(x),∀x ∈[a,b). 若级数∑n=1∞fn(x) 和∑n=1∞gn(x) 在(a,b) 上收敛,级数∑n=1∞hn(a) 发散,证明: (1) 级数∑n=1∞hn(x) 在(a,b) 上收敛; (2) 级数∑n=1∞hn(x) 在(a,b) 上非一致收敛.7. 设un(x) 在[a,b] 上连续,∑n=1∞un(x) 在(a,b) 上一致收敛,证明: ∑n=1∞un(a),∑n=1∞un(b) 收敛.已知函数列一致收敛且每个函数列有界证明极限函数有界和函数列一致有界1. 设函数列 {fn(x)} 在[a,b] 上一致收敛于f(x), 且.每个fn(x) 在[a,b] 有界.证明: 回极限函数f(x) 在[a,b] 有界;(2) 函数列 {fn(x)} 在[a,b] 一致有界,且limn→∞supa∈x<bfn(x)=supa<x<bf(x)2. 设函数列{fn(x)} 在区间[a,b] 上连续,且一致收敛于f(x), 若∀x∈[a,b],f(x)>0. 证明: ∃N,δ>0, 使得∀x∈[a,b],n>N 时有fn(x)>δ.3. 设函数列 {fn(x)} 在I 上一致收敛于f(x), 且存在数列{an }使得∀x∈I, 总有|fn(x)|⩽an 证明:f(x) 在I 上有界.复合函数一致收敛1. 设fn(x),n=1,2,⋯, 在[a,b] 上连续,且{fn(x)} 在[a,b] 上一致收敛于f(x) ,证明:(1) ∃M>0, 使得∀n⩾1,∀x∈[a,b] 有|fn(x)|⩽M,|f(x)|⩽M;(2) 若g(x) 在(−∞,+∞) 内连续,则g(fn(x)) 在[a,b] 上一致收敛于g(f(x)) .2. 设f(x)=∑n=0∞anxn 的收敛半径为R=+∞, 令fn(x)=∑k=0nakxk, 证明: {f(fn(x)) }在[a,b] 上一致收敛于f(f(x)) ,其中[a,b] 为任一有穷闭区间.3. 设f(u) 在区间J 上一致连续,函数列 {gn(x)} 在 I 上一致收敛于 g(x), 当x∈I 时, g(x)∈J ,且存在正整数N,使得n>N 及x∈I 时gn(x)∈J ,证明{f(gn(x))} 在I 上一致收敛于f(g(x)) .已知两个函数列分别一致收敛且极限函数有界证明函数列之积一致收敛1. 设函数列 {fn(x)} 与 {gn(x)} 在区间I 上分别一致收敛于f(x),g(x). 假定f(x) 与g(x) 都在I 上有界,证明: (1){fn(x)gn(x)} 在区间I 上一致收敛于f(x)g(x) (2) 如果 {f∗n(x)} 与 {g∗n(x)} 在区间 I 上分别收敛于f(x) 与g(x) ,能否保证必有f∗n(x)g∗n(x)} 在区间I 上一致收敛于 f(x)g(x),请说明理由. (3) 举例说明:对(1) 中的结论，“f(x) 与g(x) 在I 上有界”条件不可去.2. 设函数列 {fn(x)} 与 {gn(x)} 在(−∞,+∞) 上有界连续,且分别一致收敛于f(x) 与g(x) 证明: {fn(x)gn(x)} 在(−∞,+∞) 上一致收敛于f(x)g(x) .如果{fn(x)},{gn(x)} 在(−∞,+∞) 上不是有界函数列,举例说明上述结论不一定成立.3. 设函数列 {fn(x)} 与 {gn(x)} 在区间[a,b] 上分别一致收敛于f(x) 与g(x), 假定存在正数{Mn} 使|fn(x)|⩽Mn,|gn(x)|⩽Mn,x∈[a,b],n=1,2,3,⋯, 证明: {fn(x)gn(x)} 在区间I 上一致收敛于f(x)g(x) .4. 设函数列 {fn(x)} 与 {gn(x)} 在区间[a,b] 上分别一致收敛于f(x) 与g(x) . 证明:函数列max {fn(x),gn(x)} 在区间I 上一致收敛于max {f(x),g(x)}.与反常积分结合1. 设fn(x),n=1,2,⋯, 在[a,+∞) 上连续,且反常积分∫a+∞fn(x)dx 关于n 一致收签.又对任意M>a,{fn(x)}在[a,M] 上一致收敛于f(x),证明：(1)∫a+∞f(x)dx 收敛(2) limn→∞∫a+∞fn(x)dx=∫a+∞f(x)dx.与二重积分结合1. 设连续函数序列 {fn(x,y)} 在有界闭区域 D 上一致收剑于f(x,y), 证明: ∬Df(x,y)dxdy=limn→∞∬Dfn(x,y)dxdy。

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目录1．前言 (1)2．概念 (1)2.1 几乎处处收敛 (1)2.2 几乎一致收敛 (1)2.3 依测度收敛 (2)3．三种收敛性之间的区别 (2)3.1 存在可测函数列几乎处处收敛而不依测度收敛 (2)3.2 存在可测函数列依测度收敛而不几乎处处收敛 (2)3.3 存在可测函数列几乎处处收敛而不几乎一致收敛 (4)4．三种收敛性的充要条件 (4)4.1 几乎处处收敛的充要条件 (4)4.2 几乎一致收敛的充要条件 (4)4.3 依测度收敛的充要条件 (6)5．三种收敛性之间的联系 (6)5.1 几乎一致收敛与几乎处处收敛 (6)5.2 依测度收敛与几乎处处收敛 (8)5.3 依测度收敛与几乎一致收敛 (10)5.4 三种收敛之间的关系图： (11)6．结论 (11)7．致谢 (12)8．参考文献 (13)n f 可测函数列三种收敛性的区别与联系摘 要： 对于可测集合E 上的几乎处处有限的可测函数列n f 来说有三种常见类型的收敛：几乎处处收敛，几乎一致收敛和依测度收敛。

本文首先介绍可测函数列三种收敛的概念，并讨论几乎处处收敛，几乎一致收敛和依测度收敛三者之间的关系。

这几种概念是伴随测度的建立而产生的新的收敛性，相对其他两种收敛性来说，依测度收敛的收敛条件是比较弱的，与熟知的处处收敛有很大的差异。

Egorov 定理、Riesz 定理和Lebesgue 定理等揭示了这几种收敛之间的关系。

关键词： 几乎处处收敛 几乎一致收敛 依测度收敛 中图分类号：O 17Difference and Connection between Three Types of Convergence of Measurable Function SequenceJiang Zhong (Tutor ：You Xuexiao)(Department of Mathematics, Hubei Normal University, Huangshi Hubei435002,China)Abstract : For the measurable function sequencewhich is finite almost everywhere on the measurable set E ,there are three types of common convergence: convergence almost everywhere, convergence almost uniform and convergence in measurable. This article has first described the concepts of those three types of convergence, and then discussed the relationship among convergence almost everywhere,convergence almost uniform and convergence in measurable . Those concepts are the new convergence,which are arised with the establishment of measure. Comparing with the other twotypes of convergence, the conditions of convergence inmeasurable are relatively weak, and has large differencewith the well-known convergence almost everywhere. TheEgorov theorem, Riesz theorem and Lebesgue theorem and soon reveal the relationship among these types of convergence.Keywords: Convergence almost everywhere Convergence almost uniform Convergence in measurable可测函数列三种收敛性的区别与联系蒋忠（指导教师，游雪肖）（湖北师范学院 数学与应用数学 湖北 黄石 435002）1．前言本文介绍了几乎处处收敛、几乎一致收敛与依测度收敛，它们是伴随测度的建立而产生的新的收敛性。

几种收敛函数的介绍在数学中，收敛函数是一类重要的函数，它们在其中一种极限意义下趋向于一些确定的值。

收敛函数在数学分析、数值计算和工程学科中都有广泛的应用。

下面我将为您介绍几种常见的收敛函数。

1.序列的收敛函数：序列是函数的一个特殊情况，它是一组按照一定顺序排列的数。

一个序列收敛到一些数，意味着当序列的项无限接近于该数时，序列的极限存在。

例如，序列1，1/2，1/3，1/4，...的极限是0，即这个序列收敛于0。

数学中有许多序列的收敛函数，如调和序列、等差数列和等比数列等。

2.函数列的一致收敛函数：函数列是指一组按照一定顺序排列的函数。

函数列的一致收敛就意味着当序列的项无限接近于一些函数时，函数列的极限存在且与该函数无关。

一致收敛函数在数学中有广泛的应用，例如在数值计算中用于逼近数值解。

函数列的一致收敛函数能够保持原始序列的收敛性质，其定义与序列的收敛函数类似。

3.幂级数的收敛函数：幂级数是一种特殊的级数，它是形如∑(a_n*x^n)的级数，其中a_n是系数序列，x是变量。

幂级数的收敛函数是指当幂级数的所有项无限接近于一些函数时，该函数在给定区间上收敛。

幂级数的收敛函数在数学分析和物理学中具有广泛的应用，例如在函数逼近、微积分和物理模型建立等方面。

4.泰勒级数的收敛函数：泰勒级数是一种特殊的幂级数，它是一个函数在其中一点附近展开成多项式的形式。

泰勒级数的收敛函数是指当泰勒级数的所有项无限接近于一些函数时，该函数在给定区间上收敛。

泰勒级数的收敛函数在数学分析和物理学中有广泛的应用，例如在函数逼近、微积分和物理模型建立等方面。

5.紧收敛函数：紧收敛函数是指对于一个给定的度量空间，其中任意序列都有子序列收敛于该函数。

紧收敛函数在函数空间理论、泛函分析和拓扑学等领域中具有重要的应用。

紧收敛函数是一种强收敛函数，能够保持原始序列的所有收敛性质。

总结起来，收敛函数是数学中一类重要的函数，它们在序列、函数列、幂级数和紧收敛函数等方面具有广泛的应用。

函数列一致收敛的判别方法一致收敛是函数列中每个函数都在一些集合上趋于同一个极限的性质。

本文将介绍几种判别函数列一致收敛的方法，包括Cauchy准则、Weierstrass判别法、Dini定理以及一些常见的特殊函数列。

1. Cauchy准则Cauchy准则是函数列一致收敛的重要判别法之一、设函数列{f_n(x)}在集合E上定义，对于任意ε>0，存在N，使得当n,m>N时，对于任意的x∈E，有，f_n(x)-f_m(x)，<ε。

当满足这个条件时，函数列{f_n(x)}在集合E上一致收敛。

2. Weierstrass判别法Weierstrass判别法是函数列一致收敛的常用方法之一、设函数列{f_n(x)}在集合E上定义，如果存在一个收敛的正数级数∑M_n，使得对于任意的n和x∈E，有，f_n(x)，<M_n，则函数列{f_n(x)}在集合E上一致收敛。

3. Dini定理Dini定理是另一种判别函数列一致收敛的方法。

设函数列{f_n(x)}在集合E上定义，如果函数列逐点收敛于函数f(x)，且对于集合E中的任意一个点x，以及任意的ε>0，存在函数列的一个有限子列{f_{n_k}(x)}，使得，f_{n_k}(x)-f(x)，≤ε，那么函数列{f_n(x)}在集合E上一致收敛。

4.常见特殊函数列除了上述常用的方法外，对于一些特殊函数列，也可以使用特定的方法来判别它们的一致收敛性。

（1）幂级数的一致收敛性：对于幂级数∑a_n(x-x_0)^n，其一致收敛域为该级数的收敛域。

（2）可导函数列的一致收敛性：如果函数列{f_n(x)}在集合E上的导函数都存在，且导函数的函数列{f_n'(x)}一致收敛于函数g(x)，那么函数列{f_n(x)}在集合E上一致收敛于一些函数f(x)，且f(x)可导，且导函数为g(x)。

（3）连续函数列的一致收敛性：如果函数列{f_n(x)}在集合E上的函数都连续，且函数列{f_n(x)}一致收敛于函数f(x)，那么函数f(x)也连续。

函数序列几种收敛性之间的关系作者：刘奇来源：《科技视界》2014年第07期【摘要】本文较系统地讨论和总结了函数列几种收敛性，即一致收敛、近一致收敛、依测度收敛、几乎处处收敛之间的关系.【关键词】函数序列；一致收敛；近一致收敛；几乎处处收敛；依测度收敛【Abstract】This article systematically discusses and summarizes the functions of several convergence， namely the relationship between the uniform convergence， almost uniform convergence， convergence in measure， almost everywhere convergence.【Key words】Function sequence；Uniform convergence；Almost uniform convergence；Almost everywhere convergence；Convergence in measure从相关文献材料可知，函数序列的收敛性主要分成以下几种：一致收敛性、近一致收敛性、几乎处处收敛性、和依测度收敛性.1 一致收敛与几乎处处收敛的关系从定义上看，显然，在E上一致收敛的函数列一定处处收敛，而处处收敛又一定几乎处处收敛，所以，推出在E上的函数列一致收敛必定几乎处处收敛.反之，从二者定义显然得知，几乎处处收敛不一定一致收敛.2 几乎处处收敛与近一致收敛的关系不论在有限可测集还是一般可测集上依测度收敛不一定近一致收敛，但必有子列近一致收敛.依测度收敛但不几乎处处收敛的例子同时也说明依测度收敛不一定近一致收敛.【参考文献】[1]华东师范大学数学系，编.数学分析（下册）[M].4版高等教育出版社，2010.[2]郑维行，王声望，编.实变函数与泛函分析概要（1册）[M].4版高等教育出版社，2010.[3]尹敏.可测函数列的几种收敛性之间的关系[J].井冈山师范学院学报：自然科学，2001，12.[责任编辑：薛俊歌]。

函数列和函数项级数一致收敛的判别方法函数列的一致收敛是指对于任意给定的正数ε，存在自然数N，使得当n>N时，对于任意的x，都有，fn(x)-f(x)，<ε。

函数列一致收敛的判别方法有几种：1. 利用函数列的收敛性：若函数列fn(x)一致收敛于f(x)，则对于任意给定的ε>0，存在自然数N，当n>N时，fn(x)-f(x)，<ε对于所有的x成立。

2. Cauchy准则：若函数列fn(x)满足对于任意给定的ε>0，存在自然数N，当n,m>N时，对于所有的x，有，fn(x)-fm(x)，<ε。

3. Weierstrass判别法：若函数列fn(x)满足对于任意给定的ε>0和x，存在自然数N，当n>N时，fn(x)-f(x)，<ε，则函数列一致收敛。

函数项级数是指形式为∑an(x)的级数，其中an(x)为函数项。

函数项级数的一致收敛是指对于任意给定的正数ε，存在自然数N，当n>N时，对于任意的x，都有，S(x)-Sn(x)，<ε，其中S(x)为函数项级数的和函数。

函数项级数一致收敛的判别方法有几种：1. 利用级数的收敛性：若函数项级数∑an(x)一致收敛，则对于任意给定的ε>0，存在自然数N，当n>N时，对于所有的x，有，S(x)-Sn(x)，<ε。

2. Abel判别法：若函数项级数∑an(x)满足以下两个条件：a）对于所有的x，函数项an(x)单调；b）∑an(x)在其中一区间上一致收敛则函数项级数一致收敛。

3. Dirichlet判别法：若函数项级数∑an(x)满足以下两个条件：a）∑an(x)在其中一区间上部分和有界；b）函数项bn(x)单调并趋于0则函数项级数一致收敛。

以上是函数列和函数项级数一致收敛的一些判别方法。

在实际应用中，我们需要根据具体问题的特点选择合适的方法进行判断。

一致收敛的函数列和函数项级数在数学分析、微积分等领域中有广泛的应用，深入理解并正确应用这些判别方法对于解决实际问题具有重要意义。

函数列级数的函数列级数是指由函数组成的级数，是微积分学中的基本内容之一。

在实际应用中，函数列级数被广泛应用于工程、物理、金融等领域。

对于一些连续、可微的函数序列$\{f_n(x)\}$，求出 $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 就是一个函数列级数的经典问题。

在本文中，我们将学习函数列级数的基本概念、性质和求和技巧。

1. 函数列的收敛性函数列 $\{f_n(x)\}$ 的收敛性定义为：$$\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=f(x)$$其中 $f(x)$ 是一个函数，它表示函数列的极限。

如果 $f(x)$ 存在，那么我们称函数列 $\{f_n(x)\}$ 收敛于 $f(x)$ 。

有关函数列的收敛性，我们也可以使用 $\epsilon-N$ 定义：对于给定的任何 $\epsilon>0$，存在一个正整数 $N$，当 $n>N$ 时，对于所有的$x$，我们都有 $|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$。

函数列级数是指由函数列 $\{f_n(x)\}$ 构成的级数 $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$。

加法和乘法运算的通性表明，级数可以被分解成若干个部分求和的形式。

例如，对于级数$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$，我们可以把前 $k$ 项和后面的所有项分别求和，然后再把这些部分求和的结果相加：$$\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)=\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{n=1}^{k}f_n(x)=\lim_{k\rightarrow \infty}s_k(x)$$函数列级数有很多有用的性质，这些性质可以被用来简化求和过程或判断级数的收敛性。

下面列举一些常用的函数列级数性质。

（1）级数的唯一性对于任意的 $x$，级数 $\sum_{n=1}^{\infty}f_n(x)$ 要么收敛于一个唯一的实数，要么发散。