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为: 与 相对应的 N 仅与 有关, 而与 x 在 D 上的 取值无关, 因而把这个对所有 x 都适用的 N 写作
N ( ).
显然, 若函数列 fn 在 D 上一致收敛, 则必在 D 上
每一点都收敛. 反之, 在 D 上每一点都收敛的函数列,
它在 D 上不一定一致收敛.
例2
中的函数列
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定义1 设函数列{ fn } 与函数 f 定义在同一数集 D 上，若对任给的正数 , 总存在某一正整数 N , 使当 n N 时，对一切 x D, 都有
| fn( x) f ( x) | ， 则称函数列 { fn} 在 D 上一致收敛于 f ,记作
fn( x) f ( x)(n ) , x D. 由定义看到, 一致收敛就是对 D 上任何一点, 函数列 趋于极限函数的速度是 “一致” 的. 这种一致性体现
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在E
上的函数列. (1) 也可记为
{ fn } 或 fn , n 1, 2,L .
以 x0 E 代入 (1), 可得数列
f1( x0 ), f2( x0 ), L , fn( x0 ), L .
(2)
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如果数列(2)收敛, 则称函数列(1)在点 x0 收敛, x0 称 为函数列(1)的收敛点. 如果数列(2)发散, 则称函数
故对任给的 0, 只要 n N 1 , 就有
sin nx 0 .
n
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所以函数列 sin nx n的收敛域为 (, ), 极限
函数为 f ( x) 0. 注 对于函数列, 仅停留在讨论在哪些点上收敛是远 远不够的，重要的是要研究极限函数与函数列所具 有的解析性质的关系. 例如, 能否由函数列每项的 连续性、可导性来判断出极限函数的连续性和可导 性; 或极限函数的导数或积分, 是否分别是函数列 每项导数或积分的极限. 对这些更深刻问题的讨论, 必须对它在 D上的收敛性提出更高的要求才行.
§1 一致收敛性
对于一般项是函数的无穷级数，其收敛性 要比数项级数复杂得多，特别是有关一致收 敛的内容就更为丰富，它在理论和应用上有 着重要的地位.
一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛判别法
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一、函数列及其一致收敛性
设
f1, f2, L , fn , L
1,
x 1.
证 任给 0 (不妨设 1), 当 0 | x | 1 时, 由于
| fn( x) f ( x) || xn |,
只要取 N ( , x) ln , 当 n N ( , x) 时,就有
ln | x |
| fn( x) f ( x) || x |n| x |N .
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f (x) ,
xD
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或 fn(x) f (x) (n ) , x D.
函数列极限的 N 定义: 对每一固定的 x D , 任 给正数 , 总存在正数N(注意: 一般说来N值与 和
x 的值都有关, 所以有时也用N( , x)表示三者之间
的依赖关系), 使当 n N 时, 总有
某一正整数 n0 N( 注意: x0 与 n0 的取值与 N 有关 ),
使得
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fn0 ( x0 ) f ( x0 ) 0 .
由例1 中知道, xn 在 (0, 1) 上不可能一致收敛于 0.
下面来证明这个结论.
事实上,
若取
0
1, 2
对任何正整数
N
2,
取正整
1
数
n0
N
及
x0
当 x 0 和 x 1时, 则对任何正整数 n, 都有
| fn(0) f (0) | 0 ，
| fn(1) f (1) | 0 .
这就证明了 { fn } 在( 1, 1] 上收敛, 且极限就是(3)
式所表示的函数.
又 当| x | 1时, 有 | x |n (n ), 当 x 1时,
列(1)在点 x0 发散. 当函数列(1)在数集 D E上每一 点都收敛时, 就称(1)在数集 D 上收敛. 这时 D 上每
一点 x 都有数列 { fn( x)}的一个极限值与之相对应 ,
根据这个对应法则所确定的 D 上的函数, 称为函数
列(1)的极限函数. 若将此极限函数记作f, 则有
lim
n
fn(x)
对应的数列为 1, 1, 1, 1L , 显然是发散的. 所以 函数列 { xn } 在区间 (1, 1]外都是发散的. 故所讨论
的函数列的收敛域是 (1, 1].
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例2
定义在 (,
) 上的函数列
fn( x)
sin nx , n
n 1,2,L .
由于对任何实数 x, 都有
sin nx 1 , nn
与 y f ( x) 所夹的带 O a
bx
状区域之内.
图 13-1
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函数列 {xn} 在区间(0, 1)上 y 不一致收敛, 从几何意义上 1
看, 就是存在某个预先给定
1
1 N
N
(0,
1),Βιβλιοθήκη 就有x0n0 01 1 1. N2
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函数列 fn 一致收敛于 f 的几何意义:如图所示,
0, N 0, 对于序 y
号大于 N 的所有曲线
y fn( x) (n N ),
y f (x) y f (x)
y f (x) y fn(x)
都落在曲线 y f ( x)
| fn( x) f ( x) | .
使函数列 { fn }收敛的全体收敛点集合, 称为函数列
{ fn }的收敛域.
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例1 设 fn( x) xn, n 1,2,L 为定义在(-, ) 上的 函数列, 证明它的收敛域是 (1, 1], 且有极限函数
0, | x | 1,
f
(
x)
sin nx
n
是一致收敛的,
因为对任意
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给定的正数 , 不论 x 取(-,+)上什么值, 都有
N
1 ,
当n
N 时,
恒有
sin nx
,
所以函数列
n
sin nx
n
在(-,+)上一致收敛于
f
(x)
0.
函数列 fn 在 D 上不一致收敛于 f 的正面陈述是:
存在某正数 0, 对任何正数 N, 都有某一点 x0 D 和
