函数列及其一致收敛性

第十三章函数列与函数项级数§1 一致收敛性(一) 教学目的：掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(二) 教学内容：函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．基本要求：1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。

3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判别及应用。

(三) 教学建议：(1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法．(2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法．————————————————————一函数列及其一致收敛性对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。

使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。

若函数列})({x f n 在数集E D ⊂上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值)()(lim x f x f n n =∞→与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。

判断函数收敛发散的方法总结
判断函数收敛发散的方法可以总结如下：
1.极限存在性：判断函数在某点处的极限是否存在，如果存在，则函数在该点处收敛，反之则发散。

2.数列收敛性：利用数列与函数之间的关系来判断函数的收敛发散性。

例如，通过取函数在某点处的数列极限，判断该极限是否存在、唯一以及与函数在该点处的函数值是否相等，如果满足条件，则函数在该点处收敛。

3. Cauchy收敛准则：对于实数函数，如果对于任意正实数ε，存在正实数δ，使得当两个自变量值的差小于δ时，函数值之差的绝对值小于ε，那么该函数是Cauchy收敛的，即可认为函数在该点处收敛。

4.一致收敛性：如果函数在其定义域上任意一个区间内均收敛，则称该函数在该定义域上一致收敛。

5.瑕点收敛性：对于一个拓展实数域上的函数，在其定义域上的一切点除了有限极点外，均有极限，那么该函数在其定义域上就是瑕点收敛的。

dini定理证明函数列一致收敛1.引言在实际问题中，许多数学模型和现象都涉及到一系列函数，例如傅里叶级数、泰勒级数、广义傅里叶级数等等。

要研究这些函数列的性质，我们需要了解函数列的收敛性质。

函数列一致收敛是函数分析中常常被研究的问题。

本文将介绍Dini定理，该定理是一种判定函数列一致收敛的方法。

2.函数列的一致收敛一般地，如果函数列$\{f_n(x)\}$在定义域$D$上的每一点$x$都有极限$f(x)$，那么我们称$\{f_n(x)\}$在$D$上收敛于函数$f(x)$。

另外，如果对于任意的$\epsilon>0$，存在$N$，使得对于任意的$n>N$和$x\in D$，都有$|f_n(x)-f(x)|<\epsilon$，那么我们称函数列$\{f_n(x)\}$在$D$上一致收敛于函数$f(x)$。

一致收敛是强收敛的一种形式，它要求在整个定义域上，函数列中的函数都以同样的速度趋于极限函数。

柯西收敛准则和魏尔斯特拉斯判别法都可以用来判断函数列的一致收敛性。

3.Dini定理Dini定理是函数分析中的一条著名定理，它提供了一种判定函数列一致收敛的方法。

首先，我们来看一下Dini定理的表述：Dini定理：若函数列$\{f_n(x)\}$在定义域$[a,b]$上单调增加（或单调递减），并且收敛于$f(x)$，那么该函数列在$[a,b]$上一致收敛于$f(x)$。

以上定理意味着单调收敛的函数列一定可以保证一致收敛性。

也就是说，如果我们能够找到一严格递增或递减的函数列，使得它们都收敛于同一个函数，那么该函数列就能够保证一致收敛。

现在，我们来证明一下Dini定理。

4.证明为了方便，我们令$f_n(x)$单调递减，$f_n(x)$收敛于$f(x)$。

假设该函数列不一致收敛。

那么，我们可以找到一个$\epsilon>0$，以及任意的$n$和$x_n\in[a,b]$，使得$|f_n(x_n)-f(x_n)|\geq\epsilon$。

函数序列一致收敛性的分析与证明
函数序列的收敛性是数学分析中一个重要的概念，它指的是一系列函数的值在某一点上收敛到一个特定的值。

函数序列的收敛性可以用来分析函数的性质，以及函数的极限行为。

函数序列的收敛性可以用数学证明的方法来分析。

首先，我们需要定义一个函数序列，它是一系列函数的集合，每个函数都有一个参数，这个参数可以是实数或者复数。

然后，我们需要证明这个函数序列在某一点上收敛到一个特定的值。

为了证明函数序列的收敛性，我们需要使用数学归纳法。

首先，我们需要证明函数序列的第一个函数收敛到一个特定的值。

然后，我们需要证明函数序列的第二个函数也收敛到这个特定的值。

最后，我们需要证明函数序列的第n个函数也收敛到这个特定的值。

如果我们能够证明这一点，那么我们就可以证明函数序列的收敛性。

总之，函数序列的收敛性是一个重要的概念，它可以用数学证明的方法来分析。

通过使用数学归纳法，我们可以证明函数序列在某一点上收敛到一个特定的值，从而分析函数的性质和极限行为。

函数列的收敛与一致收敛作者：时杰来源：《新课程·教师》2016年第01期摘要：从收敛和一致收敛的概念出发，讨论数学分析中函数列的收敛与一致收敛的关系，这为如何掌握并进一步研究函数列的收敛与一致收敛问题提供了方法。

关键词：函数列；收敛；一致收敛函数列收敛与一致收敛理论是数学分析中的重要概念之一，同时也是教与学的难点。

但是学生往往对定义理解不透彻，生搬硬套“？着-N”语言，加之各种版本的数学分析教科书将函数列的收敛问题与函数项级数的收敛问题放在一起，使得教与学更为困难。

本文从实数数列的收敛问题中引出函数列的收敛，进而引出一致收敛，逐步推进，使得这部分内容更易学习并掌握。

实数序列的收敛问题是定义在实数集上的，其实函数序列的收敛性也是如此，函数序列的收敛性反映的是函数列在点集上的局部性质，也就是说，函数列在点集上的收敛性就是实数序列的收敛问题。

下面就从这个角度讨论函数列的收敛与一致收敛问题。

一、收敛的几个定义实数列的收敛性定义定义1：设xn是实数序列，a是实数，若对任意给定的正数？着，都存在相应的正整数N，使得当n>N时，恒有xn-a几何上，xn→a的意思是：数轴上跳动的点xn与定点a之间的距离，随着n的无限变大而无限变小，无论？着是怎样小的数，做点a的？着邻域（a-？着，a+？着），跳动的点迟早有一次将跳进去，再也跳不出来，这个次数便可作为N。

但是例如序列：（1+ ），（1+ ）2，（1+ ）3，…，（1+ ）n，…有极限ex，这个序列的特点是每一项都是函数，极限也是x的函数，这样构成的序列就不是实数序列了，而是函数序列，可以记为：fn（x），收敛定义如下：定义2：设函数列fn（x）每一项fn（x）及函数f（x）均在数集E上有定义，若？坌x∈E，函数列fn（x）收敛于f（x），则称函数列fn（x）在E上收敛于f（x），并称函数f （x）是函数列fn（x）的极限函数。

定义2也可以用“？着-N”语言描述：设函数列fn（x）每一项fn（x）及函数f（x）均在数集E上有定义，对？坌x∈E，？坌？着>0存在正数N，使得当n>N时，总有fn（x）-f（x）我们发现，函数列fn（x）的收敛问题不仅要考虑fn（x）的趋向，还要考虑极限函数f （x），但是我们也发现取定x0∈E时，代入fn（x）即得实数序列：f1（x0），f2（x0），…，fn（x0）…，这时就是实数序列的收敛性问题了。