江苏省苏州市五市三区2013届高三期中考试模拟数学试题2

【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．苏州2013届高三期初21A.选修4-1：几何证明选讲如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E , ∠BAC的平分线与BC 交于点D。

求证：ED2＝EB·EC.证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，所以∠CAE=∠CBA．又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD 所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE 所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．又EA2=EC•EB，所以ED2=EB•EC．B．选修4-2：矩阵与变换求矩阵M＝1426-⎡⎤⎢⎥⎣⎦的特征值和特征向量．解：f （λ）=（λ+1）（λ-6）-8=λ2-5λ-14=（λ-7）（λ+2） 由f （λ）=0可得：λ1=7，λ2=-2． （4分）由(7+1)x-4y=0和-2x+(7-6)y=0可得x=1，y=2，所以属于λ1=7的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21由(2+1)x-4y=0和-2x+(2-6)y=0，可得x=4，y=-1，所以属于λ1=-2的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-4． （10分）C ，选修4-4：坐标系与参数方程在以O 为极点的极坐标系中，直线l 与曲线C 的极坐标方程分别是ρcos(θ+4π)=223和ρsin 2θ=4cos θ直线l 与曲线C 交于点.A,B,C ，求线段AB 的长．化为直角坐标方程为 x-y-3=0．曲线C 的极坐标方程ρsin 2θ=4cos θ，即ρ2sin 2θ=4ρcos θ，化为直角坐标方程为 y 2=4x ，联立得到x 2-10x+9=0,解得x 1=9，x 2=1D ．选修4-5：不等式选讲对于实数x ，y ，若｜x －1｜≤1，｜y －2｜≤1，求｜x －y ＋1｜的最大值解法一：∵|x-1|≤1，|y-2|≤1，∴|x-y+1|=|（x-1）-（y-2）|≤|x -1|+|y-2|≤1+1=2， （当且仅当 x=2，y=3，或x=0，y=1时取等号），BAC故|x-y+1|的最大值为2．解法二：∵|x-1|≤1，|y-2|≤1，∴-1≤x -1≤1 且-1≤y -2≤1， 即-1≤x -1≤1 且-1≤2-y≤1．相加可得-2≤x -y+1≤2，即|x-y+1|≤2，故|x-y+1|的最大值为2．苏州2014届高三期初21A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）已知：如图，点A ，P ，B 在⊙O 上，， PC 平分，交⊙O 于点C ．求证：为等腰直角三角形．证明：由得为直径，所以． 由，得，同理． 又因为PC 平分，所以． 所以，故． 从而，为等腰直角三角形．B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A =，B =，求矩阵．解：设矩阵A 的逆矩阵为，则=， 90APB ∠=︒APB ∠ABC ∆90APB ∠=AB 90ACB ∠=︒AC AC =APC ABC ∠=∠BPC BAC ∠=∠APB ∠CPA CPB ∠=∠BAC ABC ∠=∠BC AC =ABC ∆2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦1-A B ab c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦即=， 故，从而A 的逆矩阵为=．所以==．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）已知曲线C 的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．试求曲线C 和的直角坐标方程，并判断两曲线的位置关系．解：由得曲线C 的直角坐标方程为．由得曲线的直角坐标方程为．曲线C 表示以为圆心，5为半径的圆；曲线表示以为圆心，2为半径的圆． 因为两圆心间距离2小于两半径的差5-2=3， 所以圆C 和圆的位置关系是内含．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）设实数a ，b 满足，求证：．22a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,0,0,12a b c d ====1-A 10201⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1-A B 1021⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦1125-⎡⎤⎢⎥⎣⎦112225⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦225ρ=C '4cos ρθ=C '225ρ=2225x y +=4cos ρθ=C '22(2)4x y -+=()0,0C '()2,0C 'a ≠b 4422a b ab a b +>+（）证明：作差得＝＝＝．因为，所以a ，b 不同时为0，故，， 所以，即有．苏州2015届高三期初A ．选修4—1：几何证明选讲如图，AB 是半圆的直径，C 是半圆上一点，D 是弧AC 的中点，DE AB ⊥于E ，AC 与DE 、BD 分别相交于M 、N ,求证：AM MN =．解：,AD BD D ⊥是AC 的中点，∴∠DAC =∠ABD ,从而∠DAC =∠ADE , ∴AM=DM ················5分 又∠DNM =∠DAE =∠BDE ∴DM=MN∴ AM=MN ············10分442233()()()a b ab a b a a b b b a ++=-+--33()()a b a b --222()()a b a ab b -++2223()[()]24b a b a b -++a ≠b 223()024b a b ++>2()0a b ->2223()[()]024b a b a b -++>4422a b ab a b +>+（）B ．选修4—2：矩阵与变换已知曲线2:2C y x = ，在矩阵M 1002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线1C ，1C 在矩阵N 0110-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到曲线2C ，求曲线2C 的方程． 解：设A =NM ，则A 011002100210--⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ··············3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ， 则 02'2'10''x x y y y x --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即2',',x y y x =-⎧⎨=⎩∴',1'.2x y y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩ ··6分 又点()','P x y 在曲线2:2C y x = 上，∴ 21()22x y -=，即218y x =．········10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程如图，边长为2的正六边形ABCDEO ，以OC 为极轴建立极坐标系，求CD 边所在直线的极坐标方程．解：设过O 垂直于Ox 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.则)0,4(C 且直线CD 的倾斜角为32π， 直角坐标方程为：0343=-+y x . ···············5分所以CD 边所在直线的极坐标方程为：034sin cos 3=-+θρθρ（或 32)3sin(=+πθρ 或32)6cos(=-πθρ）D ．选修4—5：不等式选讲 已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y z yz zx xy x y z++≥++. 证明：因为x ，y ，z 均为正数．所以， 同理可得，当且仅当x ＝y ＝z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得． 苏州2016届高三期初A ．选修 4—1：几何证明选讲（本小题满分 10 分） 已知：如图，点 A ，P ，B 在⊙O 上，︒=∠90APB , PC 平分APB ∠，交⊙O 于点 C ． 求证： ABC ∆为等腰直角三角形．证明：∵PC 平分APB ∠，∴BPC APC ∠=∠, 又∵ABC APC ∠=∠,,BPC BAC ∠=∠∴,BAC ABC ∠=∠∴ABC ∆为等腰三角形,∵︒=∠90APB ,∴AB 是圆的直径，∴︒=∠90ACB ,∴ABC ∆为等腰直角三角形B ．选修 4—2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）求矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=6241M 的特征值和特征向量.12()x y x y yz zx z y x z+=+≥22y z z x zx xy x xy yz y++≥，≥111x y z yz zx xy x y z++++≥解：特征多项式1458)6)(1(6241)(2--=--+=---+=λλλλλλλf)2)(7(+-=λλ，由f (λ)＝0，解得λ1＝7，λ2＝2-，将λ1＝7代入特征方程组，得⎩⎨⎧=+-=-02048y x y x ，即y ＝2x ，可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡21为属于特征值λ1＝7的一个特征向量， 同理，λ2＝2-时，特征方程组是⎩⎨⎧=--=--08204y x y x ，即y x 4-=，所以可取⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14为属于特征值λ2＝2-的一个特征向量．综上所述，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=6241M 有两个特征值λ1＝7，λ2＝2-； 属于λ1＝7的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21，属于λ2＝2-的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-14.C ．选修 4—4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，求圆ααα(sin 2cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数)上的点到直线⎩⎨⎧+=-=ty tx 322(t 为参数)的最小距离.解：圆的方程是422=+y x ，直线方程是083=-+y x ，圆心到直线的距离是21054=>=r d ，所求最小距离是=-r d 21054- D ．选修 4—5：不等式选讲（本小题满分 10 分） 解不等式：2|32|≥++x x解：∵x x -≥+2|32|，∴x x -≥+2|32|，∴x x -≥+232或)2(32x x --≤+，∴31-≥x 或5-≤x ，所以不等式的解集是|{x 31-≥x 或5-≤x }苏州2017届高三期初A ．选修4—1：几何证明选讲如图，ABC ∆是圆O 的内接三角形，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PB 交AC 于点E ，交圆O 于点D ，若PE PA =，60ABC ∠=︒，且19PD PB ==，，求EC ．解：弦切角60PAE ABC ∠=∠=︒，又PA PE =，所以PAE △为等边三角形，由切割线定理有29PA PD PB =⋅=， ………5分 所以3AE EP PA ===，2ED EP PD =-=，6EB PB PE =-=， 由相交弦定理有：12EC EA EB ED ⋅=⋅=，1234EC =÷=．…10分B ．选修4—2：矩阵与变换已知21⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α为矩阵114a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 属于λ的一个特征向量，求实数a ，λ的值及2A ． 解：由条件可知1221411a λ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴2224a λλ+=⎧⎨-+=⎩，解得2a λ==． ……… 5分因此1214A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以212121101414514A -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦． …10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程（第21-A 题）自极点O 任意作一条射线与直线cos 3ρθ=相交于点M ，在射线OM 上取点P ，使得12OM OP ⋅=，求动点P 的极坐标方程，并把它化为直角坐标方程．解：设(,)P ρθ，M (,)ρθ'，∵12OM OP ⋅=，∴12ρρ'=．∵cos 3ρθ'=，∴12cos 3θρ⋅=．则动点P 的极坐标方程为4cos ρθ=． ∵极点在此曲线上，∴方程两边可同时乘ρ， 得24cos ρρθ=．∴2240x y x +-=．D ．选修4—5：不等式选讲已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3． 解：证明：因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|． 又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥． 10分苏州2018届高三期初A.[选修4-1:几何证明选讲]如图，圆O 的直径A5 = 4, C 为圆周上一点，BC = 2,过C 作圆O 的切线l ,过A 作l 的垂线AD, AD 分别与直线l 和圆O 交于点D, E,求线段AE 的长.连接OC 、BE 、AC ，则BE ⊥AE.∵BC ＝4，∴OB ＝OC ＝BC ＝4，即△OBC 为正三角形，∴∠CBO ＝∠COB ＝60°，又直线l 切⊙O 于C ，∴∠DCA ＝∠CBO ＝60°， ∵AD ⊥l ，∴∠DAC ＝90°－60°＝30°， 而∠OAC ＝∠ACO ＝∠COB ＝30°，∴∠EAB ＝60°，在Rt △BAE 中，∠EBA ＝30°，∴AE ＝AB ＝4.B.[选修4-2:矩阵与变换] 在平面直角坐标系xOy 中，设点P(x,5)在矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42,31M 对应的变换下得到点Q(y-2,y)，求M -1⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x .解：∵点（x ，5）在矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡4321对应变换作用下得到点（y-2，y ），[选修4 - 4:坐标系与参数方程]在极坐标系中，设直线l 过点A )6,3(π,B(3,0)，且直线l 与曲线C ：θρcos a = (a>0)有且只有一个公共点，求实数a 的值. 解：依题意，点A （，）、B （3，0）的直角坐标为A （，），B （3，0）， 从而直线l 的普通方程为 x+y-3=0．曲线C ：ρ=acos θ（a ＞0）的直角坐标方程为+y 2=． 因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以=，解得a=2（负值已舍）．[选修4 - 5:不等式选讲] 已知x, y, z 均为正数，求证：zy x xy zx y yz x 1111++≥++ .证明：因为x ，y ，z 都是为正数，同理可得1当且仅当x=y=z 时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，z y x xy zx y 1111++≥++。

苏州市2013届高考数学模拟试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上． 1．已知集合}5,3,1{=A ，集合},,2{b a B =，若{1,3}A B =I ，则b a +的值是 ．2．若复数z 满足(12)2i z i +=+，则z 的虚部为 ．3．右图是一个算法流程图．若输入5n =，则输出k 的值为 ．4．设函数2()log 12f x x =-的单调减区间是 ．5．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)元的同学有30人，则n 的值为 ．6．在线段AB 上任取一点P ，以P 为顶点，B 为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是 ．7．已知函数1()()2ln ()f x a x x a x=--∈R ，若曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程是220x y --=，则a = ．8．设数列}{n a (n ∈*N )是等差数列.若2a 和2012a 是方程03842=+-x x 的两根，则数列}{n a 的前2013项的和=2013S ．元9．函数()sin()f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0,0A ω>>）在一个周期内的部分图象如图所示， 则()12f π的值是 .10．三棱锥S ABC -中，E ，F ，G ，H 分别为SA ，AC ，BC ，SB 的中点，则截面EFGH 将 三棱锥S ABC -分成两部分BGH AFE V -与SEH CFG V -的体积之比为 .11．在Rt ABC ∆中，90C ︒∠=，4,2AC BC ==，D 是BC 的中点，E 是AB 的中点，若P 是ABC ∆（包括边界）内任一点．则AD EP ⋅uuu r uu r的取值范围是___________.12．已知实数,,x y z 满足2221x y z ++=，则xy yz +的最大值是 .13．设数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，对于任意的n N +∈，2,,n n n a S a 成等差数列，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且2(ln )nn n x b a =，若对任意的实数(]1,x e ∈（e 是自然对数的底）和任意正整数n ，总有n T r <()r N +∈．则r 的最小值为 .14．如图，双曲线22221x y a b-=(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值12S S = .（第10题图）SACEHGF（第9题图）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2=a ，13-=b ，且b 是c 2与A cos 的等比中项．（1）求A ，B ，C ；（2）若函数()sin(2)f x x ϕ=+（4ϕπ<）满足2)2(c C f =，求函数)(x f 的解析式及单调递减区间．16．（本小题满分14分）在等腰梯形PDCB (见图1）中，//DC PB ，33PB DC ==，DA PB ⊥，垂足为A ，将PAD ∆沿AD 折起，使得PA AB ⊥，得到四棱锥P ABCD -（见图2）．在图2中完成下面问题： （1）证明：平面PAD ⊥平面PCD ；（2）在线段PB 上是否存在一点M ，使//PD 平面AMC .若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由.17．（本小题满分14分）如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰梯形部件ABCD ，设2CD x =．（1）若用一种金属线条对梯形部件ABCD 镶边，求最少需要准备该金属线条多少米； （2）求梯形部件ABCD 面积的最大值．A B DP 图1ABDCPM图2B ACD O •18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点为1(1,0)F -，2(1,0)F ，P 为椭圆上的一点，Q 为上顶点，M 在1PF 上，12F M MP =，2PO F M ⊥.（1）求当离心率12e =时的椭圆方程； （2）求满足题设要求的椭圆离心率范围； （3）当椭圆离心率最小时，若过(0,的直线l 与椭圆交于,A B （异于Q ），试问：AQB ∠是否为定值并给出证明. 19．（本小题满分16分）若在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k ∈N ，21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q . （1）若2k q =（*k ∈N ），求13521k a a a a -++++ .（2）若对任意的*k ∈N ，22122,,k k k a a a ++成等差数列，其公差为k d ，设11k k b q =-. ①求证：{}n b 成等差数列；②若12d =，试求数列{}k d 的前k 项和k D .20．（本小题满分16分）已知函数1()(2)(1)2ln ,().(,e xf x a x xg x xe a -=---=∈R 为自然对数的底数） （1）若函数1()(0,)2f x 在上无零点，求a 的最小值；（2）若对任意给定的(](]00,e ,0,e (1,2)i x x i ∈=在上总存在两个不同的，使得0()(),i f x g x a=成立求的取值范围.参考答案一、填空题1.42.35-3.34.1(,)2-∞5.1006.127.2 8.20139.10.1∶1 11.[9,9]-13.214.22二、解答题15．（1）根据题意得2222cos 22b c a b c A c bc+-=⋅=⋅，即2222b b c a =+-，解得c a =.∴cos B ==.∴6B π=，∴512A C π==. （2）∵()sin(2)f x x ϕ=+，2)2(c Cf =，512C π=，∴5sin()12ϕπ+=又∵4ϕπ<，∴5124ϕππ+=，6ϕπ=-，∴()sin(2)6f x x π=-.由222,262k x k k ππ3ππ+<-<π+∈Z ，可得单调递减区间为,,36k k k π5π⎛⎫π+π+∈ ⎪⎝⎭Z16．证明：（1）∵在图1的等腰梯形PDCB 中，PB DA ⊥，∴所以在四棱锥ABCD P -中，AB DA ⊥，又PA AB ⊥，且AB DC //，∴PA DC ⊥，DA DC ⊥， 而⊂DA 平面PAD ，⊂PA 平面PAD ，A DA PA = ， ∴⊥DC 平面PAD .∵⊂DC 平面PCD ， ∴平面⊥PAD 平面PCD .（2）当21=MB PM 时，有PD //平面AMC ． 证明：在梯形ABCD 中，连结AC 、BD 交于点O ，连结OM .易知AOB ∆∽DOC ∆，所以21==AB DC OB DO . 又21=MB PM ，所以MB PM OB DO =，所以在平面PBD 中，有MO PD //． 又因为⊄PD 平面AMC ，⊂MO 平面AMC ，所以PD //平面AMC .17．如图所示，以直径AB 所在的直线为x 轴，线段AB 中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设(,)C x y ，过点C 作AB CE ⊥于E ，则(01)OE x x =<<，∴1EB x =-（1）∵221x y +=，∴CB =设ABCD 的周长为l ，则221)l x x =++<<. 下面只需要求l 的最大值.令t ，则222(0x t t =-<，A BD OPMB A CDO•E∴2242(1)55l t t t =-+=--+≤，即当1t =时，l 有最大值5. （2）11()()(22)(1)22S x AB CD CE x y x x =+⋅=+=+<< （方法1）()S x ==，令43221t x x x =--++，则32322'4622(231)2(1)(21)t x x x x x x =--+=-+-=-+-，令'0t =，12x =，当102x <<时，'0t >，当112x <<时，'0t <，所以当12x =时，t 有最大值2716，)(x S（方法2）21'()(1)2S x x =++=，令'()0S x =，∴2210x x +-=，(21)(1)0x x -+=，12x =.且当102x <<时，0)(>'x S ，当112x <<时，0)(<'x S ，所以当12x =时，()S x. （方法3）设COE θ∠=（02θπ<<），过点C 作CE AB ⊥于E ，则cos ,sin OE CE θθ==，11()()(22cos )sin (1cos )sin 22S AB CD CE θθθθθ=+⋅=+=+(0)2θπ<<，'()[(sin sin cos )]'(sin )'(sin cos )'S θθθθθθθ=+=+⋅22cos cos sin θθθ=+-22cos cos 1θθ=+-， 令'()0S θ=，得1co s 2θ=，即3θπ=，cos 1θ=-（舍），且当03θπ<<时，'()0S θ>，当32θππ<<时，'()0S θ<，所以当3θπ=时，()S θ18．（1）由题意11,2c c e a ===，得2a =，2223b a c ∴=-=,∴椭圆方程为22143x y +=. （2）（方法1）设00(,),(,)M M P x y M x y ，12(1,0),(1,0)F F -1(1,)M M F M x y ∴=+ ，00(,)M M MP x x y y =--．010122,2,22,M M M M x x x F M MP y y y +=-⎧=∴⎨=-⎩ 0021,332,3M M x x y y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩∴200242(,)333F M x y =- ．20F M OP ⋅= ,2000242()0333x x y ∴-+=,2200020x x y ∴-+=2222200022(1)(1)(1)x x y b a a a=-=-- ,22001210x x a a ∴-+-=在(,]a a -上有解，22001210y x x a a =-+-= 对称轴是2x a =，2()0,()0,f a a a f a ->⎧>∴⎨≤⎩ ()0,()0,f a f a ->⎧∴⎨≤⎩02a ∴<≤112c e a a ∴==≥，01e << ,112e ∴≤<． （方法2）12221211(),23PO PF PF F M PM PF PF PF =+=-=-，由2PO F M ⊥得20PO F M ⋅=，121211()()023PF PF PF PF ∴+⋅-=，化简得：221122230PF PF PF PF -⋅-= ， 22112122||2||||cos 3||0PF PF PF F PF PF ∴-∠-= ,①在12F PF ∆中，由余弦定理,有222121212||||2||||cos 4PF PF PF PF F PF c ∴+-∠= ,②②-①得：2224||4PF c = ，即2||PF c = ,2||a c PF a c -≤≤+，2a c ∴≤，即12c e a =≥， 又01e <<，1[,1)2e ∴∈.（3）AQB ∠恒为直角．事实上，当e 最小时，即12e =，由（1）知椭圆方程为22143x y +=， 依题意可设AB所在直线方程为y kx =，代入椭圆方程得22576(34)049k x +--=， 设1122(,),(,),A x y B x y则12122576,49(34)x x x x k ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩Q ，1122(,,QA QB x y x y ∴⋅==1122(,,x kx x kx -=2121212192()49x x k x x x x +++=21212192(1)()49k x x x x +++=22576192(1)49(34)49k k -+++=2222576576192576768049(34)k k k k ---++=+， AQB ∴∠恒为直角.19．（1）2k q = ，21214k k a a +-∴=，∴13521,,k a a a a - 是首项为1，公比为4的等比数列， ∴13521141(41)143k kk a a a a --++++==-- . （2）① 2,2122,k k k a a a ++成等差数列，212222k k k a a a ++∴=+，又21222211,k k k k k k a a a a q q ++++==⋅ ，112k k q q +∴+=，则1111k kq q +-=-，得1111111k k k k q q q q +==+---，111111k k q q +∴-=--，即11n n b b +-=， {}n b ∴是公差为1的等差数列.②1322,2d a a =∴=+ ，则由223212a a a =⨯=+，解得22a =或21a =-. （ⅰ）当22a =时，12q =，11b ∴=，则1(1)1k b k k =+-⨯=，即11k k q =-， 得1k k q k +=，所以221221(1)k k a k a k +-+=， 则2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅ 2222222(1)21(1)(1)1k k k k k +=⋅⋅⋅⋅=+- ， ∴2212(1)(1)1k k k a k a k k k q k++===++，则212(3)1,;2k k k k k k d a a k D ++=-=+∴= （ⅱ）当21a =-时，11,q =-112b ∴=-，则13(1)122k b k k =-+-⨯=-，即1312k k q =--，得1232k k q k -=-， ∴2121321121231k k k k k a a a a a a a a +-+--=⋅⋅⋅⋅ 222222131()()()2221()()()222k k k k --=⋅⋅⋅⋅--- =214()2k -则212(21)(23)k k ka a k k q +==--，21242k k k d a a k +∴=-=-，从而22k D k =. 综上所述，(3)2k k k D +=或22k D k =． 20．（1）因为1()0(0,)2f x <在区间上恒成立不可能，故要使函数1()(0,)2f x 在上无零点，只要对任意的1(0,),()02x f x ∈>恒成立，即对12ln (0,),221xx a x ∈>--恒成立. 令2ln 1()2,(0,),12x l x x x =-∈-则2222(1)2ln 2ln 2()(1)(1)x x x x x l x x x --+-=-=--，再令 21()2ln 2,(0,)2m x x x x =+-∈，则22222(1)()0x m x x x x --'=-+=<，故()m x 在1(0,)2上为减函数，于是1()()22ln 202m x m >=->，从而()0l x >，于是()l x 在1(0,)2上为增函数，综上，若函数1()(0,)2f x 在上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．（2）111()e e (1)e ,x x x g x x x ---'=-=-当(0,1)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当(]1,e x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，又因为1e (0)0,(1)1,(e)e e 0g g g -===⋅>，所以，函数(](]()0,e 0,1.g x 在上的值域为当2a =时，不合题意；当2a ≠时，2(2)()2(2)22()2a x a x a f x a x xx-----'=--==，(]0,x e ∈，令()0f x '=，得22x a =-，由题意得，()f x 在(]0,e 不单调，故220e,22ea a <<<--即①此时，当,(),()x f x f x '变化时的变化情况如下：又因为，当0x →时，()f x →+∞，()2ln 22f a a a=---， ()(2)(e 1)2f e a =---，所以，对任意给定的(]00,e x ∈，在(]0,e e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，当且仅当a 满足下列条件：23222ln 0,()0,22(2)(1)2 1.()1,a f a aa e f e ⎧⎧-≤≤⎪⎪--⎨⎨⎪⎪---≥≥⎩⎩即 令22()2ln,(,2)2eh a a a a =-∈-∞--，则 2()12[ln 2ln(2)]122ah a a a a ''=---=-=--，()0h a '=令得02a a ==或，故当(,0)a ∈-∞时，()0h a '>，函数()h a 单调递增；当2(0,2)ea ∈-时，()0h a '<，函数()h a 单调递减，所以对任意的2(,2)e a ∈-∞-有()(0)0h a h ≤=，即②对任意2(,2)ea ∈-∞-恒成立.由③式解得：32.e 1a ≤--④ 综合①④可知，当(]03,2,0,e ,e 1a x ⎛⎤∈-∞-∈ ⎥-⎝⎦时对任意给定的在(]0,e (1,2),i x i =上总存在两个不同的使0()()i f x g x =成立.。

开始结束20<z是输出xy否（第9题图）x ←1, y ←1 z ←x + yx ←y y ←z苏州中学2013届高三“三模”数学试卷2013.5一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．把答案填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合}6,5,4,3,2,1{=U ,}4,2,1{=M ,则=M C U ▲ ． 2．记),()21(2R b a bi a i ∈+=+，则点),(b a P 位于第 ▲ 象限． 3．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：分组[1.5,3.5) [3.5,5.5) [5.5,7.5) [7.5,9.5) [9.5,11.5)频数614162010根据样本的频率分布估计，数据落在[5.5，9.5)的概率约是 ▲ .4．已知向量(cos ,sin )a θθ= ，向量(3,1)b = ，则2a b -的最大值为 ▲ ．5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是 ▲ ．①.若n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ； ②.若n m //，β//m ， 则 β//n ； ③. 若 α//m ，β//m ，则 βα//； ④.若α⊥n ，β⊥n ，则 βα⊥． 6．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为2，且右焦点与抛物线243y x =的焦点重合，则该双曲线的方程为 ▲． 7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =__▲___． 8．若变量,x y 满足约束条件1133x y x y x y -≥-⎧⎪⎪+≥⎨⎪-≤⎪⎩,则目标函数23z x y =+的最小值是___▲___．9．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为 ▲ ． 10．已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为____▲____．11．已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩ 若1212,,x x x x ∃∈≠R ，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．四棱锥ABCD P -的五个顶点都在一个球面上，且底面ABCD 是边长为1的正方形，ABCD PA ⊥，2=PA ，则该球的体积为 ▲． 13．在ABC ∆中，已知9=⋅AC AB ，C A B sin cos sin ⋅=，6=∆ABC S ，P 为线段AB 上的点，且||||CB CB y CA CA x CP ⋅+⋅=，则xy 的最大值为 ▲ ．14．我们把形如()0,0>>-=b a ax by 的函数称为“莫言函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“莫言点”，以“莫言点”为圆心凡是与“莫言函数”图象有公共点的圆，皆称之为“莫言圆”．当1=a ，1=b 时，在所有的“莫言圆”中，面积的最小值 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）函数)0(3sin 32cos6)(2>-+=ωωωx xx f 在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.(Ⅰ)求ω的值及函数()f x 的值域； (Ⅱ)若083()5f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值.16．（本小题满分14分）直三棱柱111C B A ABC -中，a BC BB AB ===211，︒=∠90ABC ，N 、F 分别为11C A 、11C B 的中点．（Ⅰ）求证：⊥CF 平面NFB ； （Ⅱ）求四面体BCN F -的体积．17．（本小题满分14分）如图，某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD 内种植三种农作物，三种农作物分别OxyMN种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中．试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区．已知种植区的占地面积为800平方米．（1）设试验田ABCD 的面积为S ，x AB =，求函数)(x f S =的解析式； （2）求试验田ABCD 占地面积的最小值．18．（本小题满分16分）已知椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 过点)3,2(，且它的离心率21=e ．直线t kx y l +=:与椭圆1C 交于M 、N 两点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）当23=k 时，求证：M 、N 两点的横坐标的平方和为定值； （Ⅲ）若直线l 与圆1)1(:222=+-y x C 相切，椭圆上一点P 满足OP ON OM λ=+，求实数λ的取值范围． 19．（本小题满分16分）已知数列}{n a ，{}n b ，且满足1n n n a a b +-=（1,2,3,n = ）.（1）若10,2n a b n ==，求数列}{n a 的通项公式；（2）若11(2)n n n b b b n +-+=≥，且121,2b b ==.记61(1)n n c a n -=≥，求证：数列{}n c 为常数列；（3）若11(2)n n n b b b n +-=≥，且11a =,121,2b b ==.求数列{}n a 的前36项和36S ．20．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝13x 3＋1－a 2x 2－ax －a ，x ∈R ，其中a ＞0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点，求a 的取值范围；(3)当a ＝1时，设函数f (x )在区间[t ，t ＋3]上的最大值为M (t )，最小值为m (t )，记g (t )＝M (t )－m (t )，求函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值． 答题纸一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 成绩1． 2． 3． 4． 5．6． 7． 8． 9． 10．…………题………………11．12．13．14．二、解答题（本大题共6小题，计90分）15．16．17．OxyMN18． 19．20.数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 答．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分） 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，设ED 与AF 相交于点G ，若B ，C ，F ，E 四点共圆，求证：AG GF DG GE ⋅=⋅．B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵⎢⎣⎡=c M 1⎥⎦⎤2b 有特征值41=λ及对应的一个特征向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡=321e ，求曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程．GF E DC B A （第21—A 题图）C ．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为122322x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xOy的O 点为极点，Ox 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求AB ．D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设2()13f x x x =-+，实数a 满足1x a -<，求证：()()2(1)f x f a a -<+．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在某社区举办的《有奖知识问答比赛》中，甲、乙、丙三人同时回答某一道题，已知甲回答对这道题的概率是34，甲、丙二人都回答错的概率是112，乙、丙二人都回答对的概率是41． （Ⅰ）求乙、丙二人各自回答对这道题的概率； （Ⅱ）设乙、丙二人中回答对该题的人数为X ，求X 的分布列和数学期望． 23．（本小题满分10分）已知数集},,,{21n a a a A ⋅⋅⋅=，其中n a a a <⋅⋅⋅<<≤210，且3≥n ，若对j i ,∀（n j i ≤≤≤1），i j a a +与i j a a -两数中至少有一个属于A ，则称数集A 具有性质P ． （Ⅰ）分别判断数集}3,1,0{与数集}6,4,2,0{是否具有性质P ，说明理由； （Ⅱ）已知数集{}821a a a A ,,, =具有性质P ．①求证：0A ∈；②判断数列821a a a ,,, 是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由． 数学Ⅱ(附加题)A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]B ．[选修4 - 2：矩阵与变换]级___________ 姓名_____________…………内……………不……………要……………答……………题………………GFEDCB A （第21—A 题图）C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程]D．[选修4 - 5：不等式选讲]22．23．参考答案1．}6,5,3{ 2．二 3．116 4．4 5．① 6．1222=-y x 7．68．2 9．13810．214-11．2a < 12．34π 13．3 14．π3 15．(Ⅰ)由已知可得: )0(3sin 32cos6)(2>-+=ωωωx xx f=3cos ωx+)3sin(32sin 3πωω+=x x又由于正三角形ABC 的高为23,则BC=4 所以,函数482824)(πωωπ===⨯=，得，即的周期T x f所以，函数]32,32[)(-的值域为x f …………………………………………7分(Ⅱ)因为，由538)(0=x f (Ⅰ)有 ，538)34(sin 32)(00=+=ππx x f 54)34(sin 0=+ππx 即 由x 0)2,2()34x (323100ππππ-∈+-∈），得，（所以,53)54(1)34(cos 20=-=+ππx 即 故=+)1(0x f =++)344(sin 320πππx ]4)34(sin[320πππ++x)22532254(324sin)34cos(4cos)34([sin 320⨯+⨯=+++=ππππππx x567=． …………………………………………14分 16．(Ⅰ)直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,B 1B ⊥AB , BC ⊥AB ,又B 1B BC =B ，∴AB ⊥平面BB 1C 1C .又Ｎ、Ｆ分别为A 1 C 1、B 1 C 1的中点∴AB ∥A 1B 1∥NF . ∴NF ⊥平面BB 1C 1C .因为FC ⊂平面BB 1C 1C .所以NF ⊥FC . 取BC 中点G ，有BG =GF =GC .∴BF ⊥FC ，又 NF FB =F ， ∴FC ⊥平面NFB . ··················································································· 7分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, 11NF BCC B ⊥平面,111122NF A B a ==, NF BB BC NF S V V BCF BCF N BCN F ⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--121313136121261a a a a =⋅⋅⋅=． …………………………………………14分 17．解：(1)设ABCD 的长与宽分别为x 和y ，则800)2)(4(=--y x ……………………………………2分 42792-+=x xy ……………………………………4分试验田ABCD 的面积==xy S 4)2792(-+x xx ……………………………………6分(2令t x =-4，0>t ，则32002808S t t=++， …………………………………9分 968≥ …………………………………11分当且仅当tt 32002=时，40=t ，即44=x ，此时，22=y ． …………13分 答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时，占地面积最小为968米2. …………14分18．解：(Ⅰ) 设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a b y a x由已知得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===+2222221134b ac a c b a ，解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==6822b a所以椭圆的标准方程为：16822=+y x ………………………………4分 (Ⅱ) 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=1682322y x t x y ，得024434622=-++t tx x ，设),(11y x M ，),(22y x N ，则862442)634(2)(22212212221=-⋅--=-+=+t t x x x x x x ，为定值．…………9分（Ⅲ）因为直线t kx y l +=：与圆1)1(22=+-y x 相切 所以，)0(1211||22≠-=⇒=++t tt k k k t把t kx y +=代入16822=+y x 并整理得：02448)43(222=-+++t ktx x k 设),(,),(2211y x N y x M ，则有 221438k ktx x +-=+22121214362)(ktt x x k t kx t kx y y +=++=+++=+ 因为，),(2121y y x x OP ++=λ， 所以，⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-λλ)43(6,)43(822k t k ktP 又因为点P 在椭圆上， 所以，1)43(6)43(8222222222=+++λλk t k t k11)1(2432222222++=+=⇒tt k t λ． 因为 02>t 所以 11)1()1(222>++t t ，所以 202<<λ，所以λ的取值范围为 )2,0()0,2(⋃-． …………………………16分19，解：（Ⅰ）2n a n n =-． …………………………………………4分 （Ⅱ）先证30n n b b ++=，即6360n n b b ++=，………………………………………7分然后165616362()0n n n n n n C C a a b b ++-+-=-=+= ，数列{}n c 为常数列…………………10分 （Ⅲ）36795S= …………………………16分20．解：(1)f ′(x )＝x 2＋(1－a )x －a ＝(x ＋1)(x －a )．由f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝a ＞0.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表： x (－∞，－1) －1 (－1，a ) a (a ，＋∞) f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x ) 极大值 极小值故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(a ，＋∞)；单调递减区间是(－1，a )．(5分) (2)由(1)知f (x )在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0)内单调递减，从而函数f (x )在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＜0，f (－1)＞0，f (0)＜0，解得0＜a ＜13.所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，13.(8分) (3)a ＝1时，f (x )＝13x 3－x －1.由(1)知f (x )在[－3，－1]上单调递增，在[－1,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增．①当t ∈[－3，－2]时，t ＋3∈[0,1]，－1∈[t ，t ＋3]，f (x )在[t ，－1]上单调递增，在[－1，t ＋3]上单调递减．因此f (x )在[t ，t ＋3]上的最大值M (t )＝f (－1)＝－13，而最小值m (t )为f (t )与f (t ＋3)中的较小者．由f (t ＋3)－f (t )＝3(t ＋1)(t ＋2)知，当t ∈[－3，－2]时，f (t )≤f (t ＋3)，故m (t )＝f (t )，所以g (t )＝f (－1)－f (t )．而f (t )在[－3，－2]上单调递增，因此f (t )≤f (－2)＝－53.所以g (t )在[－3，－2]上的最小值为g (－2)＝－13－⎝⎛⎭⎫－53＝43.(12分) ②当t ∈[－2，－1]时，t ＋3∈[1,2]，且－1,1∈[t ，t ＋3]． 下面比较f (－1)，f (1)，f (t )，f (t ＋3)的大小． 由f (x )在[－2，－1]，[1,2]上单调递增，有 f (－2)≤f (t )≤f (－1)， f (1)≤f (t ＋3)≤f (2)．又由f (1)＝f (－2)＝－53，f (－1)＝f (2)＝－13，从而M (t )＝f (－1)＝－13，m (t )＝f (1)＝－53.所以g (t )＝M (t )－m (t )＝43.综上，函数g (t )在区间[－3，－1]上的最小值为43.21．A 证明：连结EF ．∵B C F E ,,,四点共圆,∴ABC EFD ∠=∠． ∵AD ∥BC ，∴BAD ABC ∠+∠=180°． ∴BAD EFD ∠+∠=180°． ∴A D F E ,,,四点共圆． ∵ED 交AF 于点G ，∴AG GF DG GE ⋅=⋅． …10分 21．B 由⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡1283221b c ，即832=+b ，1262=+c ，2=b ，3=c ， 所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2231M ．设曲线上任一点),(y x P ，P 在M 作用下对应点),(///y x P ， 则⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡y x y x 2321//，即⎪⎩⎪⎨⎧+=+=yx y y x x 232//，解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=432////y x y x y x ， 代入148522=++y xy x ，得22/2/=+y x．即曲线148522=++y xy x 在M 的作用下的新曲线方程是222=+y x ．…………………10分 21．C l 的直角坐标方程为232y x =+，2cos()4πρθ=-的直角坐标方程为2222()()122x y -+-=， 所以圆心22,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭到直线l 的距离64d =，102AB ∴= …………………10分 21．D 证：13)(2+-=x x x f ，|||)()(|22a a x x a f x f +--=-∴1=-⋅+-x a x a 1<+-x a ，又1()21+-=-+- x a x a a 21≤-+-x a a 1212(1)<++=+a a ．………………10分22．解：（Ⅰ）设甲、乙、丙回答对这道题分别为事件A 、B 、C ，则43)(=A P ，且有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,41)()(,121)()(C P B P C P A P 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==--.41)()(,121)](1)[431(C P B P C P 解得83)(=B P ，32)(=C P ． …………………4分 （Ⅱ）由题意，2,1,0=X ．41)2(==X P ，2453185)()()0(=⨯===C P B P X P ． 2413)2()0(1)1(==-=-==X P X P X P ． 所以随机变量X 的分布列为2425412241312450)(=⨯+⨯+⨯=X E ． …………………10分 23．解：（Ⅰ）由于13-和13+都不属于集合{}310,,，所以该集合不具有性质P ；由于02+、04+、06+、24+、26-、46-、00-、22-、44-、66-都属于集合{}6420,,,，所以该数集具有性质P ． ………………………………………4分（Ⅱ）①},,,{821a a a A ⋅⋅⋅= 具有性质P ，所以88a a +与88a a -中至少有一个属于A ， 由8210a a a <⋅⋅⋅<<≤，有888a a a >+，故A a a ∉+88，A a a ∈-=∴880， 故01=a ． ………………………………………4分②8210a a a <⋅⋅⋅<<= ，88a a a k >+∴，故)8,,3,2(8⋅⋅⋅=∉+k A a a k ． 由A 具有性质P 知，)8,,3,2(8⋅⋅⋅=∈-k A a a k ， 又18287888a a a a a a a a -<-<⋅⋅⋅<-<- ，818728278188,,,,a a a a a a a a a a a a =-=-⋅⋅⋅=-=-∴，即)8,,2,1(89⋅⋅⋅==+-i a a a i i ……①由872a a a =+知，73a a +，74a a +，…，，77a a +均不属于A ， 由A 具有性质P ，37a a -，47a a -，…，，77-a a 均属于A ，3837476777a a a a a a a a a a -<-<-<<-<-∴ ，而638=-a a ，077=-∴a a ，267a a a =-，357a a a =-，…，537a a a =-即),,,(72178 ==+-i a a a i i……②由①②可知),,,)((82117898 =--=-=--i a a a a a a i i i ，即781a a a a i i -=--（8,,3,2⋅⋅⋅=i ）．故821a a a ,,, 构成等差数列．………………10分。

......12 2x 0 a 21 0 在 ( a,a]上有解，y12 2x 0 a 21 0对 称 轴 是 xa 2，a x 0a x 0a 2 af ( a) 0, f ( a) 0,0 a 2e c 1 1 ，0 e 1 ,1 e 1．f (a) 0,f (a)0,a a 22〔方法 2〕PO1(PF 1 PF 2 ), F 2 M PM PF 21PF 1PF 2，由 PO F 2 M 得 PO F 2M0 ，123122(PF 1 PF 2) (PF 1 PF 2) 0，化简得：PF 1 2PF 1 PF 2 3PF 20 ，23| PF 1 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 23| PF 2 |2 0 ,①在 F 1 PF 2中，由余弦定理,有 | PF 1 |2| PF 2 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 2 4c 2,②②-①得：4| PF |2 4c 2，即 | PF 2 | c , a c | PF | a c ，a2c ，即ec1 ，22a2又 0e 1 ，e [ 1,1) .2〔3〕AQB 恒为直角．事实上，当e 最小时，即e1，由〔 1〕知椭圆方程为x 2 y 21，4 32依题意可设 AB 所在直线方程为ykx3，代入椭圆方程得 (34k 2)x28 3kx 576 0 ，77 498 3k设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 那么x 1 x 2 7(3 4k 2),Q(0,3) ，576x 1 x 2 49(34k 2 ),QA QB ( x 1 , y 13)( x 2 , y 23) = ( x 1 , kx 18 3)( x 2 , kx 2 8 3)7 7= x 1x 2k 2 x 1 x 2 8 3 k ( x 1 x 2 ) 192 = (1 k 2 ) x 1 x 2 8 3 k( x 1 x 2 ) 1927 49 749 = (1 k 2 ) 576 8 3 k 8 3k 192 576 576k 2 192k 2 576 768k 20 ，= 49(34k 2 )49(3 4k 2 ) 7 7(3 4k 2 ) 49 AQB 恒为直角.19．〔 1〕q k2 ，a2 k 14 ，a 1 ,a 3 , a 5a 2k 1 是首项为 1，公比为4 的等比数列，a2 k1a 1 a 3 a 5a2 k 11 4k 1 (4k 1) .1 4 3〔2〕①a 2 k , a 2 k 1 ,a 2k 2成等差数列，2a2k 1a2 ka2k2 ，又a2ka 2 k 1, a 2 k 2a2 k 1qk 1，1qk 12 ，那么 q k1 1 11，得q kq kq k2x 0 a 1 0 y 2x 0 a 1 0a x 0a x 0a 2 af ( a) 0, f ( a) 0,0 a 2e c 1 1 ，0 e 1 ,1 e 1．f (a) 0,f (a)0,a a 22〔方法 2〕PO1(PF 1 PF 2 ), F 2 M PM PF 21PF 1PF 2，由 PO F 2 M 得 PO F 2M0 ，123122(PF 1 PF 2) (PF 1 PF 2) 0，化简得：PF 1 2PF 1 PF 2 3PF 20 ，23| PF 1 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 23| PF 2 |2 0 ,①在 F 1 PF 2中，由余弦定理,有 | PF 1 |2| PF 2 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 2 4c 2,②②-①得：4| PF |2 4c 2，即 | PF 2 | c , a c | PF | a c ，a2c ，即ec1 ，22a2又 0e 1 ，e [ 1,1) .2〔3〕AQB 恒为直角．事实上，当e 最小时，即e1，由〔 1〕知椭圆方程为x 2 y 21，4 32依题意可设 AB 所在直线方程为ykx3，代入椭圆方程得 (34k 2)x28 3kx 576 0 ，77 498 3k设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 那么x 1 x 2 7(3 4k 2),Q(0,3) ，576x 1 x 2 49(34k 2 ),QA QB ( x 1 , y 13)( x 2 , y 23) = ( x 1 , kx 18 3)( x 2 , kx 2 8 3)7 7= x 1x 2k 2 x 1 x 2 8 3 k ( x 1 x 2 ) 192 = (1 k 2 ) x 1 x 2 8 3 k( x 1 x 2 ) 1927 49 749 = (1 k 2 ) 576 8 3 k 8 3k 192 576 576k 2 192k 2 576 768k 20 ，= 49(34k 2 )49(3 4k 2 ) 7 7(3 4k 2 ) 49 AQB 恒为直角.19．〔 1〕q k2 ，a2 k 14 ，a 1 ,a 3 , a 5a 2k 1 是首项为 1，公比为4 的等比数列，a2 k1a 1 a 3 a 5a2 k 11 4k 1 (4k 1) .1 4 3〔2〕①a 2 k , a 2 k 1 ,a 2k 2成等差数列，2a2k 1a2 ka2k2 ，又a2ka 2 k 1, a 2 k 2a2 k 1qk 1，1qk 12 ，那么 q k1 1 11，得q kq kq k2x 0 a 1 0 y 2x 0 a 1 0a x 0a x 0a 2 af ( a) 0, f ( a) 0,0 a 2e c 1 1 ，0 e 1 ,1 e 1．f (a) 0,f (a)0,a a 22〔方法 2〕PO1(PF 1 PF 2 ), F 2 M PM PF 21PF 1PF 2，由 PO F 2 M 得 PO F 2M0 ，123122(PF 1 PF 2) (PF 1 PF 2) 0，化简得：PF 1 2PF 1 PF 2 3PF 20 ，23| PF 1 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 23| PF 2 |2 0 ,①在 F 1 PF 2中，由余弦定理,有 | PF 1 |2| PF 2 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 2 4c 2,②②-①得：4| PF |2 4c 2，即 | PF 2 | c , a c | PF | a c ，a2c ，即ec1 ，22a2又 0e 1 ，e [ 1,1) .2〔3〕AQB 恒为直角．事实上，当e 最小时，即e1，由〔 1〕知椭圆方程为x 2 y 21，4 32依题意可设 AB 所在直线方程为ykx3，代入椭圆方程得 (34k 2)x28 3kx 576 0 ，77 498 3k设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 那么x 1 x 2 7(3 4k 2),Q(0,3) ，576x 1 x 2 49(34k 2 ),QA QB ( x 1 , y 13)( x 2 , y 23) = ( x 1 , kx 18 3)( x 2 , kx 2 8 3)7 7= x 1x 2k 2 x 1 x 2 8 3 k ( x 1 x 2 ) 192 = (1 k 2 ) x 1 x 2 8 3 k( x 1 x 2 ) 1927 49 749 = (1 k 2 ) 576 8 3 k 8 3k 192 576 576k 2 192k 2 576 768k 20 ，= 49(34k 2 )49(3 4k 2 ) 7 7(3 4k 2 ) 49 AQB 恒为直角.19．〔 1〕q k2 ，a2 k 14 ，a 1 ,a 3 , a 5a 2k 1 是首项为 1，公比为4 的等比数列，a2 k1a 1 a 3 a 5a2 k 11 4k 1 (4k 1) .1 4 3〔2〕①a 2 k , a 2 k 1 ,a 2k 2成等差数列，2a2k 1a2 ka2k2 ，又a2ka 2 k 1, a 2 k 2a2 k 1qk 1，1qk 12 ，那么 q k1 1 11，得q kq kq k2x 0 a 1 0 y 2x 0 a 1 0a x 0a x 0a 2 af ( a) 0, f ( a) 0,0 a 2e c 1 1 ，0 e 1 ,1 e 1．f (a) 0,f (a)0,a a 22〔方法 2〕PO1(PF 1 PF 2 ), F 2 M PM PF 21PF 1PF 2，由 PO F 2 M 得 PO F 2M0 ，123122(PF 1 PF 2) (PF 1 PF 2) 0，化简得：PF 1 2PF 1 PF 2 3PF 20 ，23| PF 1 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 23| PF 2 |2 0 ,①在 F 1 PF 2中，由余弦定理,有 | PF 1 |2| PF 2 |2 2| PF 1 || PF 2 |cos F 1 PF 2 4c 2,②②-①得：4| PF |2 4c 2，即 | PF 2 | c , a c | PF | a c ，a2c ，即ec1 ，22a2又 0e 1 ，e [ 1,1) .2〔3〕AQB 恒为直角．事实上，当e 最小时，即e1，由〔 1〕知椭圆方程为x 2 y 21，4 32依题意可设 AB 所在直线方程为ykx3，代入椭圆方程得 (34k 2)x28 3kx 576 0 ，77 498 3k设 A( x 1 , y 1 ), B( x 2 , y 2 ), 那么x 1 x 2 7(3 4k 2),Q(0,3) ，576x 1 x 2 49(34k 2 ),QA QB ( x 1 , y 13)( x 2 , y 23) = ( x 1 , kx 18 3)( x 2 , kx 2 8 3)7 7= x 1x 2k 2 x 1 x 2 8 3 k ( x 1 x 2 ) 192 = (1 k 2 ) x 1 x 2 8 3 k( x 1 x 2 ) 1927 49 749 = (1 k 2 ) 576 8 3 k 8 3k 192 576 576k 2 192k 2 576 768k 20 ，= 49(34k 2 )49(3 4k 2 ) 7 7(3 4k 2 ) 49 AQB 恒为直角.19．〔 1〕q k2 ，a2 k 14 ，a 1 ,a 3 , a 5a 2k 1 是首项为 1，公比为4 的等比数列，a2 k1a 1 a 3 a 5a2 k 11 4k 1 (4k 1) .1 4 3〔2〕①a 2 k , a 2 k 1 ,a 2k 2成等差数列，2a2k 1a2 ka2k2 ，又a2ka 2 k 1, a 2 k 2a2 k 1qk 1，1qk 12 ，那么 q k1 1 11，得q kq kq k。