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有限元分析方法及应用 机电学院本科课程内部讲义北京理工大学2014目 录第一章 有限元概述 (3)1.1 有限元历史 (3)1.2 有限元的定义及基本原理 (4)1.3 有限元分析的一般流程 (6)1.4 有限元的应用范围 (7)第二章 基础知识篇 (8)2.1 外力、应力、应变和位移 (8)2.2 两类平面问题 (10)2.3 平衡微分方程 (11)2.4 几何方程 (12)2.5 物理方程 (14)2.6 边界条件 (17)2.7 弹性力学的解题方法（解析法） (18)2.8 虚功方程 (27)第三章 应用CAE篇 (31)3.1 几何清理及网格划分 (32)3.2 材料模型及单元类型 (55)3.3 边界与载荷 (56)3.4 后处理 (60)第四章 线性分析及应用篇 (62)4.1 线性静力分析基础 (62)4.2静力分析简介及步骤 (64)4.3模态分析 (71)第五章 非线性 (75)5.1 几何非线性问题的有限元法 (76)5.2 材料非线性问题的有限元法 (83)第一章有限元概述1.1 有限元历史20世纪40年代，由于航空事业的飞速发展，对飞机结构提出了愈来愈高的要求，即重量轻、强度高、刚度好，人们不得不进行精确的设计和计算，在这一背景下，逐渐在工程中产生了矩阵分析法。
结构分析的有限元方法在二十世纪五十年代到六十年代创立的。
1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”，在单元内采用近似位移插值函数，建立了单元节点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得到了正确的解答。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（Finite Element）这一术语。
有限元分析及应用2篇
第一篇：有限元分析及应用
有限元分析是工程学中常用的计算分析方法。
它是一种将连续介质问题转化为离散问题进行数值计算的方法。
有限元分析常用于结构力学、流体力学、热传导等领域，可以模拟和预测物理系统的反应。
有限元分析的基本步骤是构建计算模型、进行离散化、求解计算模型和分析结果。
在构建计算模型时，需要确定模型的几何形状、材料性质和加载条件。
然后将模型划分为有限数量的单元和节点，并为每个节点分配一个特定的自由度。
离散化过程可以通过手动划分单元或使用软件工具实现。
离散化后，可以使用通用或专业有限元软件来解决模型。
在求解过程中，可以对模型进行修改和优化，并进行对比分析以确定最优设计。
有限元分析广泛应用于航空、汽车等制造业、建筑和特种设备制造业。
它可以有效地减少产品开发时间和成本，提高工作效率和生产效果。
有限元分析使工程师能够更好地了解物理系统行为和特性，并确保产品符合设计要求。
随着计算机技术的发展和软件工具的不断更新，有限元分析将在未来得到广泛应用。
引子：有限元方法是求解各类复杂问题的工具；广泛用于机械、桥梁、建筑、航空航天等领域；本课程主要内容：1.数学力学原理；2.力学建模；3.专题实践。
1 引论知识点1.1 力学的分类：质点、刚体、变形体的力学主要内容：力学分类；变形力学的的要点；微分方程求解方法；关于函数逼近的方式；针对复杂几何域的函数表征及逼近；有限元的核心；有限元发展的历史与分析软件。
质点、刚体、变形体之间的关系以卫星绕地球旋转为例：变形体：简单形状；复杂形状。
知识点1.2 变形体力学的要点：涉及三个方面：力的平衡、变形状态、材料行为；引入三大变量，三大方程应力：应变：弹性模量：定义力学变量：知识点1.3 微分方程求解的方法 实例：左端固定的1D 拉杆问题建立方程:022=⋅+E A pdx u d 为基本力学变量)(x u左端固定右端为自由AF =σLμε=εσ=E ⎪⎩⎪⎨⎧====0|0|0L x x dxdu u求解该方程的方法： (1) 解析方法：得到的结果：Lx AEpx AE p x u +-=221)((2) 近似方法（差分） 把研究对象分成若干段差分格式：222112dxud l u u u i i i =∆+-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋅++-=⋅++-=⋅++-=⋅++-4051230512205121051222543224322232122210节点节点节点节点AE PL u u u AE PL u u u AE PL u u u AE PL u u u ⎩⎨⎧==5400u u u 代入边界条件代入后得到01111511-10012-10012-10012-224321=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛AE PL u u u u 解得()()TTAEPL u u u u 625.05625.04375.025.024321⋅=研究对象分成n 段：⎩⎨⎧==-100n n u u u 代入边界条件 011111111000012-10000000002-1000012-1000012-2212321=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- AE PL n u u u u u n n 分段数 L/5 2L/5 3L/5 4L/5 L 5 0.250 0.438 0.563 0.625 0.626 20 0.185 0.329 0.431 0.491 0.510 100 0.183 0.324 0.425 0.486 0.505 500 0.180 0.321 0.421 0.481 0.501 解析解 0.1800.3200.4200.4800.500趋近于解析解(3) 近似方法（试函数）几种求解方法的对比：1 精度2 特点知识点1.4 关于函数逼近的方式以一个一维函数[]L x x x x f ,),(0∈为例，分析它的展开与逼近形式 展开方式之一：基于全域的展开形式如果采用傅里叶展开，则有：[]⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=++≈∑=L ni ii x x x c c c x f ,)(001100ϕϕϕ 其中[]()L i x x x ,0∈ϕ为所采用的基底函数，它定义在全域[]L x x ,0上， ,,10c c 为展开的系数。
