北航有限元分析与应用第一讲 PPT课件

1 T I [ y ( x)] = ∫ [ y L( y ) + yT f ]d Ω + b.t.( y, g ) Ω 2
其中: b.t.( y, g ) 与边界条件有关。）
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若假设试探函数只选取一项，即
ϕ ( x ) = α1 ( x − x 2 )
5 易得 α1 = 9 ，则问题的近似解为 5 ϕ ( x) = ( x − x 2 ) 9 变分法的试探函数定义于整个求解域，且必须满足
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转向机构支架的强度分析
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动力分析
模态分析—计算线性结构的自振频率及振形. 谱分析—是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起 的结构应力和应变 (也叫作响应谱).
整机的模态分析
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谐响应分析—确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载 荷的响应. 旋转设备（如压缩机、发动机、泵、涡轮机械等）的支 座、固定装置和部件； 受涡流（流体的漩涡运动）影响的结构，例如涡轮叶片、 飞机机翼、桥和塔等。 瞬态动力学分析—确定结构对随时间任意变化的载荷的响 应. 可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为. 显式动力分析—计算高度非线性动力学和复杂的接触问题。 用于模拟非常大的变形，惯性力占支配地位，并考虑所 有的非线性行为.
L=∫
b a
{ y( x)}
dy 1 + dx dx
2
L依赖于函数y(x)的形式，L随着曲线的形状而变化。L就是函 数y(x)的泛函。 12
假设试探函数为多项式： ϕ ( x) = α1 ( x − x 2 )+α 2 ( x − x 3 )+L +α n ( x − x n +1 )
P
meshing
P

参数设置
设置材料属性、单元类型等参数。
求解过程
刚度矩阵组装
根据每个小单元的刚度，组装成全局的刚度矩阵。
载荷向量构建
根据每个节点的外载荷，构建全局的载荷向量。
求解线性方程组
使用求解器（如雅可比法、高斯消元法等）求解线性方程组，得到节点的位移。
后处理
01
结果输出
将计算结果以图形、表格等形式输 出，便于观察和分析。
有限元分析广泛应用于工程领域，如结构力学、流体动力学、电磁场等领域，用于预测和优化结构的 性能。
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的求解域离散化为有限 个小的单元，每个单元具有特
定的形状和属性。
数学建模
根据物理问题的性质，建立每 个单元的数学模型，包括节点 力和位移的关系、能量平衡等。
求解方程
通过建立和求解线性或非线性 方程组，得到每个节点的位移 和应力分布。
PART 05
有限元分析的工程应用实 例
桥梁结构分析
总结词
桥梁结构分析是有限元分析的重要应用之一，通过模拟桥梁在不同载荷下的响应，评估 其安全性和稳定性。
详细描述
桥梁结构分析主要关注桥梁在不同载荷（如车辆、风、地震等）下的应力、应变和位移 分布。通过有限元模型，工程师可以预测桥梁在不同工况下的行为，从而优化设计或进
刚性问题
刚性问题是有限元分析中的一种 特殊问题，主要表现在模型中某 些部分刚度过大，导致分析结果 失真
刚性问题通常出现在大变形或冲 击等动态分析中，由于模型中某 些部分刚度过高，导致变形量被 忽略或被放大。这可能导致分析 结果与实际情况严重不符。
解决方案：为避免刚性问题，可 以采用多种方法进行优化，如采 用更合适的材料模型、调整模型 中的参数设置、采用更精细的网 格等。同时，可以采用多种方法 对分析结果进行验证和校核，以 确保其准确性。

0
0
k2u2 k2u3 k3u3 k3u4
k3u3 k3u4 k4u4 k4u5 0
k4u4 k4u5 P
写成矩阵的形式为
k1
=
k1 k1 k2 k2 0 0
k1 k1 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
k1 k1 k2 k2 0 0
有限元方法与ANSYS简介
有限元方法是用于求解工程中各类问题的数值方法，应 力分析中稳态的、瞬态的、线性的或非线性的问题以及热传导、 流体流动和电磁学中的问题都可以用有限元方法进行分析解决。 现代有限元方法的20世纪早期开始，20世纪50年代，boeing公司 采用三角元对机翼进行建模，推动了有限元方法的应用。到20 世纪60年代，人们接受了“有限元”这个词。 ANSYS是一个通用的有限元计算机程序，其代码长度超 过10万行。应用ANSYS可以进行静态、动态、热传导、流体流 动和电磁学等分析。在过去的20多年里，ANSYS是主要的有限 元分析程序。现在ANSYS被广泛应用在如航天、汽车、电子、 核科学等领域。
第一章 概述
有限元方法是广泛用于解决应力分析、热传 递、电磁场和流体力学等工程问题的数值方 法。
本章的内容
（1）工程问题 （2）数值方法 （3）有限元方法与ANSYS简介 （4）有限元方法的基本步骤 （5）直接公式法 （6）最小总势能公式 （7）加权余数法 （8）结果的验证 （9）理解问题
工程问题
0
R1 0 0 0 0
0 k2 k 2 k3 k3 0
0 k3 k3 k 4 k4
0 u1 0 0 u 2 0 0 u3 0 k4 u 4 0 k4 P u5

由分析可知，在锯片上加载转速，锯片基体常用材料为 65 Mn， (屈服强度）σ 0.2 =410 MPa，考虑到开散热孔和水槽等对锯片强度的 影响，取安全系数为 1.5 ，则许用应力 [ σ ]= σ 0.2/1.5 约为 270 MPa，根据第三强度理论：σ 1-σ 3 ≤[σ ]，由图 2 中的分析所得到 应力最大节点处的值为 4.17 MPa，远远小于金刚石圆锯片基体的强 度极限值. 这也可以从业内有关研究资料上得到证实，如果单从转速 和锯片强度角度考虑,单独计算工作时所受的回转应力,它们所引起的 应力皆不足以造成锯片的破坏,而由锯片强度所决定的转速远远高于目 前锯片工作时采用的转速。 对圆锯片工作时回转应力的计算 , 已有资料从理论上进行过计算 , 从理论计算和有限元分析 , 我们可以得到圆锯片应力的分布规律 : 切向应力在中心孔边最大，锯片外缘最小，且皆为拉应力；径向应力 在中心孔边缘和锯片外缘为零，最大值大约在半径的 1/3 处，且也为 拉应力.

4 结论
由此我们可以得出，在锯片中引起的回转应力在圆周方 向和半径方向皆为拉应力. 这一应力状态对锯片的影响为增 加其刚度，即“刚化作用’。
请老师同学们批评指 正
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2 有限单元法的分析过程
有限单元法的分析过程概括起来可以分为以下 六步： ①定义参数 ②创建几何模型 ③划分网格 ④加载数据 ⑤求解 ⑥结果分析
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3 金刚石锯片离心力有限元分析

理论分析上一般将圆锯片计算模型简化为一个空心圆盘结构，圆锯 片的受力研究问题视为平面应力问题处理，这种简化已得到业内认可， 并与实际基本吻合。 为了更为真实的反应圆盘锯片的应力分布情况，取基体上开有小 圆孔的锯片进行有限元分析，此种圆锯片通过选取合理的结构参数可 以在散热和工作稳定性上取得较为理想的效果。

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2.3 基本变量的指标表达
指标记法的约定：
自由指标：在每项中只有一个下标出现，如
，
i，j为自由指标，它们可以自由变化；在三维ij 问题
中，分别取为1，2，3；在直角坐标系中，可表示
三个坐标轴x, y, z。
哑指标：在每项中有重复下标出现，如：
，j为哑指标。在三维问题中其变化的范ai围j x为j 1,b2i ,3
有限元方法的思路及发展过程
思路：以计算机为工具，分析任意变形体以获得所有 力学信息，并使得该方法能够普及、简单、高效、方 便，一般人员可以使用。 实现办法：
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技术路线：
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发展过程： 如何处理
对象的离散化过程
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常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
.. 轴..对称实体.).......
3
有限元法是最重要的工程分析技术之一。 它广泛应用于弹塑性力学、断裂力学、流 体力学、热传导等领域。有限元法是60年 代以来发展起来的新的数值计算方法，是 计算机时代的产物。虽然有限元的概念早 在40年代就有人提出，但由于当时计算机 尚未出现，它并未受到人们的重视。
4
随着计算机技术的发展，有限元法在各个 工程领域中不断得到深入应用，现已遍及 宇航工业、核工业、机电、化工、建筑、 海洋等工业，是机械产品动、静、热特性 分析的重要手段。早在70年代初期就有人 给出结论：有限元法在产品结构设计中的 应用，使机电产品设计产生革命性的变化， 理论设计代替了经验类比设计。
由此得到
考虑 X 0
xyl ym zy n Y xl yxm zxn X
考虑
Z 0 xzl yzm zn Z
应力边界条件

A() (k ) (k )Q 0 x x y y
• 边界条件：
内
B() { k q 0 q上 n
0 上
数值计算方法分类
特点
差分法
优缺点
离散求解域；差分代替微分； 要求规则边界，几何 解代数方程组 形状复杂时精度低
1-5 有限单元法的形成与发展
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，变 分原理和加权余量法。 在 1963 年 前 后 ， 经 过 J.F.Besseling, R.J.Melosh, R.E.Jones, R.H.Gallaher, T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法 就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理 导出的有限元计算公式。 1965 年 O.C.Zienkiewicz 和 Y.K.Cheung （张佑启）发现只要能写成 变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤 求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是 Galerkin 法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
v1 2 Fy12 u
①
1 2
2
X2 ②
①
1

3
Fy22 Fx12
• 节点1沿x方向的位 1 u 移 1 1、其余节点位 F 移全为0时轴向压力v 为： EA EA cos 1
1 1
2
2
②
Fx22
1 y1
Fy23 u
1 1
(
l1
)l1
Fx11
l1
3
Fx23
实例1（单元分析）
• 节点1作用于单元1上的力，在x和y方向的分量分别为：

第1节 概 述
本章介绍关于有限元方法的一些数学概念和结论，目的在于对于有限元解的收 敛性以及单元精度问题能有确切的了解。对于有限元方法的数学研究，目前已进 行得相当充分，对这方面有兴趣的读者可进一步查阅有关的专著[1,2]。实际上有 限元解是有限元插值函数的线性组合，因此，有限元解空间为函数空间(即某种函 数的集合)。 相关的概念可以从泛函分析书籍中了解[3]。
第5节 Galerkin-Ritz变分原理
[椭圆型PDEs实例]
考察具有定解的椭圆型偏微分方程边值问题
x
p(
x,
y)
u x
y
p(
x,
y)
u y
f (x, y)
(x, y)
u 0 1
(1)
p(
x,
y)
u n
(
x,
y
)u
2
g(x, y)
其中p ( x, y)一阶连续可导，且p ( x, y) ≥p0>0,σ ( x, y) ≥0且连续，n是ƏΩ的外 法线方向，Ω是R2中的连通区域，它的边界ƏΩ= Γ1∪ Γ2分段光滑。记C1(Ω)和 C2(Ω)分别为Ω上一切一阶和二阶连续可导函数的全体。
B(u,v) f (v) v V
(10) (11)
满足式(11)的解u称为原椭圆型偏微分方程的弱解，将弱解所在的空间称为 容许空间/试函数空间。同时由于式(11)必须对V中任一元素v都成立，故V称为检 验空间。上述问题其容许空间和检验空间取同一个Hilbert空间V，这时V又称为 能量空间。
2021/6/10
2
Institute of Mechanical Engi第ne2e页rin/共g a4n6d页Automation

实例
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点

第二类问题的研究对象称为连续系统。可以建 立描述连续系统的基本方程和边界条件，通常 只能得到少数简单边界条件问题的解析解。对 于大多数实际的工程问题，需要用近似算法来 求解。
可编辑
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有限元法形成的背景
为了解决这个困难，工程师和数学家开始寻找 一种近似的求解方法，在这个过程中，他们从 两条不同的路线得到了相同的结果，即有限单 元法（Finite Element Method)。
有限元方法
Finite Element Method
金朝海 jch666@
可编辑
1
课程目标
1) 了解有限单元法的基本思想、有限元软件的 基本结构和有限元法当前的进展情况。
2) 学习有限单元法的原理—结合弹性力学问题 来介绍有限单元法的基本方法，包括单元分 析、整体分析、载荷与约束处理、等参单元 等概念。
可编辑
10
1.1 有限元方法形成的背景
两类典型的工程问题 有限元法形成的背景
➢ 工程师的角度 ➢ 数学家的角度
我国力学工作者的贡献
可编辑
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两类典型的工程问题
第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的 组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构 框架和桁架结构。
平面桁架结构，由4个承受轴向 1889年建成的Eiffel铁塔，由
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18
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑 启）发现只要能写成变分形式的所有场问题， 都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。
可编辑
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1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将 矩阵位移法推广到求解平面应力问题的方法， 即把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”， 在单元内采用近似位移插值函数，建立了单元 节点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得 到了正确的解答。

61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
北航有限元第一讲4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。