第4讲 等参元和高斯积分

1 N1 = 4 (1 − ξ )(1 − η ) N = 1 (1 + ξ )(1 − η ) 2 4 1 N 3 = 4 (1 + ξ )(1 + η ) N = 1 (1 − ξ )(1 + η ) 4 4
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x N1 = y 0
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
u( x(ξ ,η ), y (ξ ,η )) = N(ξ ,η )q e
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u1 v 1 u2 0 v2 N 4 u3 v3 u4 v 4
1 N1 = (1 − ξ )(1 − η ) 4 N = 1 (1 + ξ )(1 − η ) 2 4
∂Ni ∂x = ∂N i = ∂y
?
1 N 3 = (1 + ξ )(1 + η ) 4 N = 1 (1 − ξ )(1 + η ) 4 4
单元的几何坐标与位移用同样的节点和相同的形 状函数通过插值的方式表示。形状函数用自然坐 标给出。
x(ξ ,η ) = N(ξ ,η )x e
u( x(ξ ,η ), y (ξ ,η )) = u(ξ ,η ) = N(ξ ,η )q e
1 N1 = (1 − ξ )(1 − η ) 4 N = 1 (1 + ξ )(1 − η ) 2 4 1 N 3 = (1 + ξ )(1 + η ) 4 N = 1 (1 − ξ )(1 + η ) 4 4
T
P = ∫ N ptCdη
−1
在ξ = 常数的面上
1/ 2
∂x 2 ∂y 2 C = + ∂η ∂η
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四边形等参单元形状要求
避免出现
J =0
不能有重节点 不能出现内角大于180o的情况 内角最好介于30o-150o之间（有限变形的情况）
u1 = α1 − α 2 − α 3 + α 4 u = α + α − α − α 2 1 2 3 4 u3 = α1 + α 2 + α 3 + α 4 u4 = α1 − α 2 + α 3 − α 4
α1 1 1 1 1 u1 α 2 1 −1 1 1 − 1 u2 = α 3 4 −1 − 1 1 1 u3 α 4 1 − 1 1 − 1 u4
节点条件： ui = u (ξi ,ηi ) vi = v (ξi ,ηi )
(ξ1 ,η1 ) = (−1, −1) (ξ 2 ,η 2 ) = (1, −1)
(ξ3 ,η3 ) = (1,1) (ξ 4 ,η4 ) = (−1,1)
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u1 = α1 + α 2ξ1 + α 3η1 + α 4ξ1η1 u = α + α ξ + α η + α ξ η 2 1 2 2 3 2 4 2 2 u3 = α1 + α 2ξ3 + α 3η3 + α 4ξ3η3 u4 = α1 + α 2ξ 4 + α 3η4 + α 4ξ 4η4
第4讲 等参单元和数值积分
金朝海 jch666@
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实际问题常常需要使用一些几何形状不太规整 的单元来逼近原问题。直接研究这些不规整单 元的表达式比较困难（在整体坐标系下构造位 移插值函数，则计算形状函数矩阵、单元刚度 矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁）。事实 上，形状不规整的单元和形状规整的单元（矩 形单元、正六面体单元）可以建立一种映射关 系，使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标 系中的局部坐标一一对应。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际 等参单元 领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的 一步。
节点条件： xi = x(ξi ,ηi ) yi = y (ξi ,ηi )
x1 = α1 + α 2ξ1 + α 3η1 + α 4ξ1η1 x = α + α ξ + α η + α ξ η 2 1 2 2 3 2 4 2 2 x3 = α1 + α 2ξ3 + α 3η3 + α 4ξ3η3 x4 = α1 + α 2ξ 4 + α 3η4 + α 4ξ 4η4
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ε( x(ξ ,η ), y (ξ ,η )) = [ ∂ ] u(ξ ,η ) = [ ∂ ] N(ξ ,η )q e = B(ξ ,η )q e
∂ 0 ∂x ∂ N1 0 N 2 0 N 3 0 N 4 0 B(ξ ,η ) = 0 ∂y 0 N1 0 N 2 0 N 3 0 N 4 ∂ ∂ ∂y ∂x
u ( x(ξ ,η ), y (ξ ,η )) = α1 + α 2ξ + α 3η + α 4ξη = N1u1 + N 2u2 + N 3u3 + N 4u4 v( x(ξ ,η ), y (ξ ,η )) = β1 + β 2ξ + β 3η + β 4ξη = N1v1 + N 2 v2 + N 3v3 + N 4 v4
∂N i ∂N i ∂x −1 ∂ξ ∂N = J ∂N i i ∂y ∂η
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K = ∫ e B ( x(ξ ,η ), y (ξ ,η ))DB( x(ξ ,η ), y (ξ ,η ))tdxdy
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4.1 等参单元
等参单元定义的给出 平面问题四边形等参单元计算公式 三维问题六面体等参单元计算公式 采用等参单元的优点
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等参单元定义的给出
等参单元：用同样的节点和相同的形状函 数通过插值的方式表示出单元的几何坐标 与位移的单元，称为等参单元。 等参单元的插值函数用自然坐标给出。 如果坐标变换节点数多于位移插值的节点 数，称为超参变换。反之，如果坐标变换 节点数少于位移插值的节点数，则称为亚 参变换。
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平面问题四边形等参单元的推导
坐标映射
( x x1 , y1 )
P (ξ ,η )
( x2 , y2 )
整体直角坐标
（一般四边形）
P ( x, y )
单元局部自然坐标
（规格化的矩形）
映射
P (ξ ,η )
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P ( x, y )
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∂N i ∂Ni ∂x ∂Ni ∂ξ = ∂x ∂ξ + ∂y ∂N i = ∂Ni ∂x + ∂N i ∂η ∂x ∂η ∂y ∂N i ∂x ∂ξ ∂ξ = ∂N i ∂x ∂η ∂η
0 N1
N2 0
0 N2
N3 0
0 N3
N4 0
x1 y 1 x2 0 y2 N 4 x3 y3 x4 y 4
x(ξ ,η ) = N(ξ ,η )x e
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位移函数
( x3 , y3 )
e
T
S
=∫
e
1
−1 −1
∫
1
B (ξ ,η )DB(ξ ,η )t J d ξ dη = ∫
T
T T
1
−1 −1
∫
1
F(ξ ,η ) J d ξ dη
e P = ∫ e N bdV + ∫ e N pdA = Pbe + Pp Ω 1 Sp
P =∫
e b e p
−1 −1 1
T
∫
1
N b J td ξ dη
同理可得：
β1 1 1 1 1 v1 β 2 1 −1 1 1 − 1 v2 = β3 4 −1 − 1 1 1 v3 β4 1 − 1 1 − 1 v4
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( x4 , y4 )
(−1,1)
(1,1)
( x2 , y2 ) ( x1 , y1 )
(−1, −1)
(1, −1)
u ( x(ξ ,η ), y (ξ ,η )) = u (ξ ,η ) = α1 + α 2ξ + α 3η + α 4ξη v( x(ξ ,η ), y (ξ ,η )) = v(ξ ,η ) = β1 + β 2ξ + β3η + β 4ξη
映射
P (ξ ,η )
x = x(ξ ,η ) y = y (ξ ,η )
构造插值函数 x = α1 + α 2ξ + α 3η + α 4ξη y = β1 + β 2ξ + β 3η + β 4ξη
(ξ1 ,η1 ) = (−1, −1) (ξ 2 ,η 2 ) = (1, −1) (ξ3 ,η3 ) = (1,1) (ξ 4 ,η4 ) = (−1,1)
∂y ∂ξ ∂y ∂η
偏导数变换
∂y ∂N i ∂Ni ∂ξ ∂x ∂x = J ∂N ∂y ∂N i i ∂y ∂η ∂y J* J = J
−1
雅可比矩阵：
∂x ∂ξ J= ∂x ∂η ∂y ∂ξ ∂y ∂η