下载文档原格式
第二章 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 2.1 引言本章将讨论通过弹性力学变分原理建立弹性力学问题有限元法列式的基本步骤。
最小位能原理的未知场变量是位移，以结点位移为基本未知量，并以最小位能为基础建立的有限单元位移元。
它是有限元方法中应用最普遍的单元。
对于一个力学或物理问题，在建立其数学模型以后，用有限元方法对它进行分析的首要步骤是选择单元形式。
平面问题三结点三角形单元是有限元方法最早采用，而且至今仍经常采用的单元形式。
我们将以此作为典型，讨论如何应用广义坐标建立单元位移模式与位移插值函数，以及如何根据最小位能原理建立有限元求解方程的原理、方法与步骤，并进而导出弹性力学问题有限元方法的一般列式。
2.2 弹性力学平面问题的有限元列式2.2.1 单元位移模式及插值函数典型的三结点三角形单元结点编码为i,j,m 。
每个结点有两个位移分量，如图2.2所示。
每个结点的位移可用位移矢量i α表示，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=i i i v u α ),,(m j i每个单元有6个结点位移分量（称为6个自由度），于是单元结点的位移向量可表示为[]Tm m j j i im j i e v u v u v u =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=ααααe α为单元结点位移列阵。
1．单元的位移模式和广义坐标在有限元方法中单元的位移模式，是指在单元内位移的插值函数，其一般形式采用多项式作为近似函数，因为多项式运算简单，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。
假设3结点三角形单元位移模式选取一次多项式y x u 321βββ++=y x v 654βββ++= （2.2.1）它的矩阵形式是φβ=u （2.2.2）其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=v u u ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕϕφ00 []y x 1=ϕ[]T 654321βββββββ=由于三个结点也在单元内，满足位移模式，于是得i i i y x u 321βββ++=j j j y x u 321βββ++= （2.2.3） m m m y x u 321βββ++=上式是关于321,,βββ的线性方程组。
第2章 弹性力学平面问题有限单元法2.1 三角形单元(triangular Element)三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是:①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。
一、结点位移和结点力列阵设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。
在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x 、y 两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1)二、单元位移函数和形状函数前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。
即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。
构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。
以位移(u i ,v i ,…u m v m )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。
在平面应力问题中，有u,v 两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成:(,)123u u x y x y ααα==++546(,)v v x y x y ααα==++ (2-1-2)a式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标){}⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=m j i m ed d d d m j j i v u v u v u i {}ii j j m X Y X (2-1-1)Y X Y iej m m F F F F ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭确定。
将3个结点坐标(x i,y i ),(x j,y j ),(x m,y m )代入上式得如下两组线性方程:123i i i u x y ααα=++123j j j u x y ααα=++ (a)123m m m u x y ααα=++和546i i i v x y ααα=++546j j j v x y ααα=++ (b)546m m m v x y ααα=++利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数1α 、2α 、3α :11A Aα=22A Aα=33A Aα=式中行列式:1i i i j j j m m m u x y A u x y u x y =2111i i j j m mu y A u y u y =3111i i j jm mx u A x u x u =2111i i j j m mAx y A x y x y ==A 为△ijm 的面积,只要A 不为0,则可由上式解出:11()2m m i ij j a u a u a u A α=++ 21()2m m i ij j bu b u b u A α=++ （C ）31()2m mi i j j c u c u c u A α=++式中:m m i j j a x y x y =- m m j i i a x y x y =- m i j j i a x y x y =-m i j b y y =- m j i b y y =- m i j b y y =- （d ）m i j c x x =- m j i c x x =- m j i c x x =-为了书写方便，可将上式记为: m m i j i a x y x y =- m ij by y =- (,,)i j m m i jc x x =-(,,)i j m 表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m 作轮换的方式便可得到(d)式。
有限元分析Finite Element Analysis李建宇天津科技大学内容Chp.3 弹性力学基础知识2：补充内容1. 边界条件2. 弹性力学中的能量表示3. 弹性力学边值问题要求理解：弹性力学边界条件的提法了解：弹性力学边值问题的内涵掌握：弹性力学中的能量表述课后作业继续检索、阅读弹性力学基本文献有限元分析——弹性力学补充内容弹性力学的“三个基本”1、基本假定2、基本变量3、基本方程弹性力学的基本假定五个基本假定：1、连续性(Continuity)2、线弹性(Linear elastic)3、均匀性(Homogeneity)4、各向同性(Isotropy)5、小变形假定(Small deformation)弹性力学基本变量变形体的描述：在外部力和约束作用下的变形体位移的描述形状改变的描述力的描述材料的描述弹性力学基本变量材料参数位移物体变形后的位置物体的变形程度物体的受力状态物体的材料特性应变应力描述变形体的三类变量：dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT位移（displacement）是指位置的移动。
它在x, y 和z轴上的投影用u, v和w。
dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT微元体( Representative volume)应力张量（stress tensor ）x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦应变张量（strain tensor ）dyuvwdzdx(x,y,z )xu x d d =εd xxσxσuu +d uτβαγ=α+βx xy xz yx y yz zx zy z εγγγεγγγε⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦弹性力学的基本方程应力应变位移几何方程物理方程平衡方程弹性力学三大方程上节回顾上节回顾弹性力学基本方程x y z xy yz zx u x v y w z u v y x v w z y w u x zεεεγγγ∂=∂∂=∂∂=∂∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂∂∂=+∂∂几何方程00000000x y z xy yz zx x y u z v w y x z y zx εεεγγγ∂⎡⎤⎢⎥∂⎢⎥∂⎢⎥⎧⎫⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬∂∂⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎢⎥∂∂⎪⎪⎢⎥⎪⎪∂∂⎢⎥⎪⎪⎩⎭⎢⎥∂∂⎢⎥∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦Luε=L ：微分算子上节回顾弹性力学基本方程000yx x zx x xy y zyy yz xz z z b x y z b x y zb x y zτσττστττσ∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂∂∂∂+++=∂∂∂平衡方程000000000x y x z y yx zzy xz x y z b b y x z b zyx σσστττ⎧⎫⎡⎤∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥⎧⎫⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪+=⎨⎬⎨⎬⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎢⎥∂∂∂⎪⎪⎣⎦⎩⎭A ：微分算子A b σ+=TA L=上节回顾弹性力学基本方程物理方程()()()111x x y z y y z x z z x y xyxy yzyz zxzx E EE GGGεσνσσεσνσσεσνσστγτγτγ⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦⎡⎤=-+⎣⎦===()()()()()()1000111000111000111121120000021120000021120021x x y y z z xy xy yz yz zx zx E ννννννσεννσεννννσενντγννντγντγννν⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎧⎫⎧⎫⎢⎥--⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥---⎪⎪⎪⎪⎢⎥=⎨⎬⎨⎬-+-⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪-⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦D ：弹性矩阵D σε=对称上节回顾弹性力学基本方程dyxyzuvwdzdx(x,y,z )S uS pΩT0Lu A b D σεσε+===弹性力学三大方程in Ω边界上呢？一、弹性力学的边界条件(Boundary condition)dyxyzuvwdzdx(x,y,z)S uS pΩT两类边界条件：S p：力的边界S u：位移边界一、弹性力学的边界条件1、位移边界条件边界上已知位移时，应建立物体边界上点的位移与给定位移相等的条件dyxyzuvwdzdx(x,y,z )S uS pΩTuu u v v on S w w =⎧⎪=⎨⎪=⎩一、弹性力学的边界条件以二维问题为例2、力的边界条件边界上给定面力时，则物体边界上的应力应满足与面力相平衡的力的平衡条件∑X=注意ds为边界斜边的长度，边界外法线n的方向余弦l＝dy/ds，m=dx/ds有：一、弹性力学的边界条件以二维问题为例Y =∑同理：M =∑一、弹性力学的边界条件以二维问题为例二维情形的力的边界条件00x x x y y yx y xy p n n n n p σστ⎧⎫⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎪⎪⎩⎭其中：n x ＝l ；n y ＝m一、弹性力学的边界条件扩展到三维情形的力的边界条件00000000x y xy z x z y x z y xy zyx z yz zx n n n p n n n p n n n p σσστττ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎡⎤⎧⎫⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎣⎦⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎭n ppon S σ=二、弹性力学中的能量表述功能原理的两个基本概念：功（work）：外力功；能量（energy）：如动能、势能、热能等弹性问题中的功和能量：外力功：施加外力在可能位移上所做的功应变能：变形体由于变形而储存的能量二、弹性力学中的能量表述1. 弹性力学中的外力功（work by force ）弹性力学中的外力包括：面力和体力，故外力功包括：Part 1：面力p i 在对应位移上u i 上的功（on S p ）Part 2：体力b i 在对应位移上u i 上的功（in Ω）外力总功为：()()d d pxyzxyzS W p u p v p w S b u b v b w Ω=+++++Ω⎰⎰二、弹性力学中的能量表述2. 弹性力学中的应变能(strain energy)设加载缓慢，系统功能可忽略，同时略去其它能量（如热能等）的消耗，则所做的功全部以应变能的形式储存于内部。
3弹性力学平面问题的有限元法本章包括以下的内容：3.1弹性力学平面问题的基本方程3.2单元位移函数3.3单元载荷移置3.4单元刚度矩阵3.5单元刚度矩阵的性质与物理意义3.6整体分析3.7约束条件的处理3.8整体刚度矩阵的特点与存储方法3.9方程组解法3.1弹性力学平面问题的基本方程弹性力学是研究弹性体在约束和外载荷作用下应力和变形分布规律的一门学科。
在弹性力学中针对微小的单元体建立基本方程，把复杂形状弹性体的受力和变形分析问题归结为偏微分方程组的边值问题。
弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程、物理方程。
弹性力学的基本假定如下：1）完全弹性，2）连续，3）均匀，4）各向同性，5）小变形。
3.1.1基本变量弹性力学中的基本变量为体力、面力、应力、位移、应变，各自的定义如下。
体力体力是分布在物体体积内的力，例如重力和惯性力。
面力面力是分布在物体表面上的力，例如接触压力、流体压力。
应力物体受到约束和外力作用，其内部将产生内力。
物体内某一点的内力就是应力。
图3.1如图3.1假想用通过物体内任意一点 p 的一个截面 mn 将物理分为I 、n 两部分。
将部分n 撇开，根据力的平衡原则， 部分n 将在截面 mn 上作用一定的内力。
在mn 截面上取包含 p 点的微小面积 A ，作用于：A 面积上的内力为:Q 。
令.\A 无限减小而趋于p 点时， Q 的极限S 就是物体在p 点的应力。
应力S 在其作用截面上的法向分量称为正应力，用 b 表示；在作用截面上的切向分量称为剪应力，用T 表示。
显然，点p 在不同截面上的应力是不同的。
为分析点p 的应力状态，即通过p 点的各个截面上的应力的大小和方向，在p 点取出的一个平行六面体，六面体的各楞边平行于坐标轴。
将每个上的应力分解为一个正应力和两个剪应力， 分别与三个坐标轴平行。
用六面体表面的应力分量来表示 p 点的应力状态。
应力分量的下标约定如下：第一个下标表示应力的作用面，第二个下标表示应力的作用方向。
