§2.3 离散型随机变量及其分布

性质 ,就可以作为某个随机变量的分布律 .
例1 设袋中装有标号为 0, 1, 1, 2, 2, 2 的 6 个球, 从袋中任取一球, 试求:
(1) 所取到的球的标号数 X 的分布律; (2) 随机变量 X 的分布函数F ( x ), 并画出图形; 1 3 3 (3) 求P{ X }; P{1 X }; P{1 X }. 2 2 2
4. 其它离散分布——几何分布
若随机变量 X 的分布律为
X pk
1 2 k , p q 1, p qp q k 1 p
则称 X 服从几何分布. 实例 设某批产品的次品率为 p, 对该批产品做有 放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品 数 X 是一个随机变量 , 且 X 服从几何分布. 说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.
解 设击中的次数为X ,
则 X ~ b(400,0.02). X 的分布律为
k P{ X k } C400 (0.02)k (0.98)400k , k 0,1,,400.
因此 P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1}
1 (0.98)400 400(0.02)(0.98)399
k
说明 离散型随机变量的分布函数是阶梯函数,
分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取 值点,跳跃高度对应随机变量取对应值的概率; 反之,如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则 该随机变量必为离散型.
2.3.2 常见的离散型随机变量及其分布
1. (0 1)分布
设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分 布律为
0.9995.
一房间有 3 扇同样大小的窗子, 其中只有一扇 是打开的. 房间里有一只鸟, 试图从开着的窗子飞 出房间. 以 X 表示鸟为了飞出房间试飞的次数. (1) 假定鸟是没有记忆的, 鸟飞向各窗子是随机的. 求 X 的分布律. (2) 假定鸟是有记忆的, 它飞向任一窗子的尝试不 多于一次, 求 X 的分布律. k 1 2 1 解 (1) P{ X k } , k 1, 2, 3 3 (2) X的可能值为1, 2, 3. 1 2 1 1 1 1 1 P{ X 1} ; P{ X 2} ; P{ X 3} 1 . 3 3 2 3 3 3 3
得 X 的分布律为
k k P{ X k } Cn p (1 p)nk , k 0,1, 2,, n.
称这样的分布为二项分布. 记为 X ~ b( n, p ). 易验证：
k k P{ X k } C n p (1 p)nk 0; k k nk n P { X k } C p (1 p ) [ p (1 p )] 1. n k 0 k 0 n n
易验证：
P{ X k }
k
e , k 0,1, 2, ,

X ~ P ( Байду номын сангаас).

k
k!
e

0;
k!
k 0

k
e e
k 0

k
k!
e e 1.
泊松分布的图形
泊松分布在各领域中有着广泛的应用. 在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的.
1/ 6

o
1
2

x
1 1 (3) P { X } ; P {1 X 3 } 2 2 6 3 1 P{1 X } . 2 3
0;
离散型随机变量分布律与分布函数的关系
分布律
pk P { X x k }
分布函数
F ( x ) P{ X x }
pk x x
解 以X 表示同一时刻被使用电梯的个数, 则
X ~ b(5, 0.1),
2 (1) P{ X 2} C5 0.12 0.93 0.0729;
(2) P{ X 3} 1 P{ X 4} P{ X 5}
4 5 1 C5 0.14 0.91 C5 0.15 0.90
设试验 E 只有两个可能结果: A 及 A, 则称 E 为伯努利试验. 设 P ( A) p (0 p 1), 此时P ( A) 1 p.
将 E 独立地重复地进行n 次, 则称这一串重 复的独立试验为n 重伯努利试验 .
伯努利资料
实例1 抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将硬
币抛 n 次,就是n重伯努利试验. 实例2 抛一颗骰子n次,观察是否 “出现 1 点”, 就 是 n重伯努利试验. (2) 二项概率公式
若 X 表示 n 重伯努利试验中事件A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了k 次.
(1) 虽然每次射击的命中率很小(0.02 ),但如果射击 400次 , 则击中目标至少两次是几乎是可以肯定的 .
说明
这说明决不能轻视小概率事件 . ( 2 ) 如果射手在 400次射击中 ,击中目标的次数竟不到 两次 ,由于 P{ X 2} 0.003很小 , 根据实际推断原理 , 我们将怀疑 "每次射击的命中率为 0.02 " 这一假设 ,即 认为该射手射击的命中率达不到 0.02. ( 3) 若 X ~ b( n, p), 则当 n较大 , p较小 ,而 np 适中 , 则可
k k 以用近似公式 C n p ( 1 p )n k
np ( n ) 二项分布 泊松分布
k e , k 0 , 1, 2, , n k!
3. 泊松分布 (Poisson)
设随机变量所有可能取的值为 0, 1, 2, , 而取各个值的概率为 k! 其中 0 是常数, 则称 X 服从参数为 的 泊松分布, 记为
1, 取得不合格品, X 0, 取得合格品.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明
两点分布是最简单的一种分布, 任何一个只 有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还 是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两 点分布.
2. 二项分布
(1) n 重伯努利试验
解 (1) X的分布律为
X
0 1 6 1 1 3 2 1 2
pk
X
(2) X的分布函数为
pk
0 1 6
1 1 3
2 1 2
0, x 0, 1 , 0 x 1, 6 F ( x) 1 , 1 x 2, 2 1, x 2.
F ( x)
1
1/ 2
例如，地震、火山爆发、特大洪水、商场 接待的顾客数、交换台的电话呼唤次数、交通 事故次数等, 都服从泊松分布. 又如，某段时间内候车的乘客数、纺纱机 的断头数，某页书上的印刷错误的个数等，都 可以用泊松分布来描述.
例3 有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过, 设每辆汽车, 在一天的某段时间内出事故的概率 为 0.0001, 在每天的该段时间内有 1000 辆汽车通 过, 问出事故的次数不小于 2 的概率是多少? 解 设 1000 辆车通过, 出事故的次数为 X , 则 X ~ b(1000 ,0.0001), 所求概率为
X pk
0 1 p
1 p
则称 X 服从 (0 1) 分布或两点分布.
实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情 况. 0, 当e 正面, X X (e ) 1, 当e 反面. 随机变量 X 服从 (0—1) 分布. 其分布律为
X
pk
0 1 2
1 2
1
实例2 200 件产品中, 有 190 件合格品, 10 件不合 格品, 现从中随机抽取一件, 那末, 若规定
§2.3 离散型随机变量及其分布
离散型随机变量及其分布律
常用的离散型随机变量及其分布
小结 练习
2.3.1 离散型随机变量及其分布律
定义
设离散型随机变量 X 所有可能取的值为 xk ( k 1,2,), X 取各个可能值的概率 , 即事件 { X xk } 的概率, 为 P { X xk } pk , k 1, 2,. 称此为离散型随机变量 X 的分布律 .
A A A A A A ,
k次
n k 次
A A A A A A A A
k 1 次
n k 1 次

k 得 A 在 n 次试验中发生k 次的方式共有 Cn 种,
且两两互不相容.
k k nk C p (1 p ) 因此A在 n 次试验中发生 k 次的概率为 n
P{ X 2} 1 P{ X 0} P{ X 1}
1 1 0.99991000 C1000 0.0001 0.9999999
可利用泊松分布近似计算
1000 0.0001 0.1,
e0.1 0.1 e0.1 P { X 2} 1 0.0047. 0! 1!
性质
(1) pk 0, k 1,2,;
非负性
(2) pk 1.
k 1

归一性
离散型随机变量的分布律也可表示为
x1 X ~ p1
或
x2 xn p2 pn
X
pk
x1 p1
x2 xn p2 pn
说明 若数列 pk ( k 1, 2,)满足上面两个
二项分布
n1
两点分布