第三章 向量组的线性相关性

第三章 向量组的线性相关性与矩阵的秩向量是研究代数问题的重要工具。

在解析几何里，曾经讨论过二维与三维向量。

但是，在很多实际问题中，往往需要研究更多维的向量。

例如，描述卫星的飞行状态需要知道卫星的位置()z y x ,,、时间t 以及三个速度分量z y x v v v ,,，这七个量组成的有序数组()z yxv vv t z y x ,,,,,,称为七维向量。

更一般地，本章将引入n 维向量的概念，定义向量的线性运算，并在此基础上讨论向量组的线性相关性，研究向量组与矩阵的秩、向量组的正交化等问题。

这将为以后利用向量的线性关系来分析线性方程组解的存在性，化二次型为标准形等奠定理论上的基础。

§1 n 维向量作为二维向量、三维向量的推广，现给出n 维向量的定义定义1 n 个数n a a a ,,,21 组成的有序数组（n a a a ,,,21 ），称为n 维向量。

数i a 称为向量的第i 个分量（或第i 个分量）。

向量通常用希腊字母γβα,, ,等来表示。

向量常写为一行α=（n a a a ,,,21 ）有时为了运算方便，又可以写为一列=α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛na a a 21前者称为行向量，后者称为列向量。

行向量、列向量都表示同一个n 维向量。

设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，当且仅当它们各个对应的分 量相等，即),,2,1(n i b a i i ==时，称向量α与向量β相等，记作，βα=。

分量全为零的向量称为零向量，记为0，即 0=)0,,0,0(若),,,(21n a a a =α，则称),,,(21n a a a --- 为α的负向量，记为α-。

下面讨论n 维向量的运算。

定义2 设),,,(),,,,(2121n n b b b a a a ==βα都是n 维向量，那么向量),,,(2211n n b a b a b a +++ 叫做向量α与β的和向量，记做βα+，即),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 向量α与β的差向量可以定义为α+)(β-，即),,,()(2211n n b a b a b a ---=-+=- βαβα定义3 设),,,(21n a a a =α是n 维向量，λ是一个数，那么向量),,,(21n a a a λλλ 叫做数λ与向量α的数量乘积（简称数乘），记为λα，即),,,(21a a a λλλλα =向量的和、差及数乘运算统称为向量的线性运算。

第三章向量组的线性相关性与矩阵的秩何建军§3 • 1 概念与性质3.1.1向量的概念和运算1、n维向量：n个数构成的一个有序数组（a i，a2,…，a n），称为一个n维向量，记为〉=佝，a2 ,…，a n ），并称为n维行向量，a i称为〉的第i个分量，〉的转置T T（a1,a2, a n）称为n维向量。

2、相等：若a =@182,…,a n），p =（D,b2,…,b n），当且仅当a i =b i（i =1,2,…，n）时，：，：。

3、加法：」-a b!,a2 b2^ ,a n b n4、数乘：k ka1,ka2,…,ka n ，（k 为常数）5、內积:匕0 】=aQ +a?b2 + …+a“b n3.1.2向量组的线性相关性1、线性组合：给定向量组A : 对于任何一组实数匕出,…，k m，向量k V1 k^ 2肚m称为向量组A的一个线性组合，匕*?,…，k m称为这个线性组合的组合系数2、线性表示：给定向量组A : 〉1「2,i「m和向量：，如果存在一组数n n « n'1, '2, ，‘ m ,使得■- = ‘1〉1 ‘2〉2 •…-'rn'm则向量-能有向量组A线性表示，向量-是向量组A的线性组合。

3、线性相关：给定向量组A : ‘1厂2,厂m,如果存在一组不全为零的数k1 , k2 , , k m，使得kr 1 k2〉2 k m〉m=o则称向量组A是线性相关的。

4、线性无关：向量组A ：r,〉2,…，〉m,不线性相关，称向量组A线性无关，即不存在不全为零的数k1,k2, , k m使得1• k2「2•■ k m m=0成立，即只有当k1二Q二=k m=0时，才有k^ 1 k2「2 ' k^' m=0成立。

（如果存在一组数k-k2，,k m 使得k V 1 k^ ■k m「m=0，则必有k1= k2 = = k m=0，称向量组A 线性无关）注：含有零向量的向量组一定线性相关。

证 （方法1） 设 B 1, 2,L n , 且
有数x1,x2,…,xn，使得 x11 x22 L xnn 0,
即
x1
1, 2,L
,
n
x2
M
0,
xn
右边等式两边同时左乘矩阵A，得
ABx 0, 即 Ex 0, 所以 x 0, 即 x1 x2 L xn 0, 故由定义可知，
0
0
1
证 令 A (1,2,L ,n ),
则A恰为单位矩阵E，故R(A)=n。 根据判定定理，单位向量组线性无关。
例8
已知向量组 , ,
1
2
3
线性无关， 1
1
2
, ,
2
2
3
3
3
1
证明向量组 , ,
1
2
3
也线性无关.(典型考题,典型方法）
证明：（方法 1: 根据定义) 设有数k1,k2,k3,使得
则称向量组A 线性相关，否则称它线性无关。
当且仅当k1 k2 L ks =0时，
表达式 k11 k22 L kss 0成立。
定理2
线性相关和无关的判定定理
1,2 ,L ,s 线性无关
x11 x22 L xss 0 仅有零解
对矩阵 A=(1,2,L ,s ), R( A) 向量的个数s.
例2 零向量是任何一个同维向量组的线性组合
Q 0 01 02 L 0m
线性表示的表示系数可以是零
例3 向量组中的任何一个向量都是该向量组的线性组合。
i 01 02 L 1i L 0m
例4 对如下向量
(0,1,2)T ,1 (1,1,0)T ,2 (0,1,1)T ,3 (3, 4,0)T ,

高中数学《向量组的线性相关性》课件1、 引言在高中数学学习中，向量是一个重要的概念它可以用来表示方向和大小。

向量组的线性相关性是向量空间理论中的一个重要概念，它可以帮助我们理解向量之间的关系并为后续学习线性代数奠定基础。

二、 向量组的线性相关性定义定义：设向量组 alpℎa 1,α2,...,αm ，如果存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m ，使得 $$k_1\alph_1 + k_2\alpha_2 + ... + k_m\alpha_m = 0$$则称向量组 α1,α2,...,αm 线性相，否则称向量组 线性无关。

三、 向量组线性相关性的判定1. 利用定义判定根据定义，我们可以通过判断是否存在不全为零的数 k 1,k 2,...,k m 使得 k1α1+k 2α2+...+k m αm =0 来判定向量组的线性相关性。

2. 利用秩判定设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_$ 的秩为 r ，则： • 当 r <m 时，向量组线性相关。

• 当 r =m 时，向量组线性无关。

3. 利用行列式判定设向量组 α1,α2...,αm 的坐标分别为(a 11,a 12,...,a 1n ),(a 21,a 22,...,a 2n ),...,(a m1,a m2,...,a mn )，则* 当 m >n 时，向量组线性相关。

* 当 m =n 时，向量组线性相关当且仅当行列式∣∣∣∣∣∣a 11a 12...a 1a 21a 22...a 2n ............a m1a m2...a mn ∣∣∣∣∣∣=0 * 当 m <n 时，向量组线性无关。

四、 向量组线性相关性的性质1. 零向量组线性相关2. 包含零向量的向量组线性相关3. 向量组中任意一个向量可以由其向量线性表示，则该向量组线性相关4. 向量组线性无关，则其任意子向量组线性无关5. 向量组线性相关，则其任意子向量组可能线性相关，也可能线性无关五、向量组线性相关性应用1. 判断向量组的线性相关性2. 求解向量组的线性组合3. 求解向量组的线性无关子组4. 求解向量空间的基六、例题*例1：**判断向量组α1=(1,2,3),α2=(2,4,6),α3=(3,6,9)的线性相关性。