第七讲三角函数第一课时

(6)正确理解角:“0。

〜90“间的角”二；“第一象限的角”乞“锐角”二小于90"的角”二；I___ _________ ____________ _ •例1设E = ｛小于90。

的角｝ F 二｛锐角｝ , G=｛第一彖限的角匸门空三：、亍广三磊,那么有()-第一课时三角函数角的概念⑴定义：一条射线0A 由原来的位置0A, 旋转到另一位置0B,就形成了角a o 其中射线0A 叫角a 的始边，射线0B 叫角a 的终边，0叫角a 的顶点。

绕着它的端点0按一定方向(2)正角、负角、零角概念按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，如果一条射线没 有作任何旋转，我们称它形成了一个零角“角a ”或“Z a ”可简记为a ・(3)在直角坐标系内讨论角:角的顶点在原点，始边在兀轴的正半轴上，角的终边在第几彖限，就说过角是第几彖限的角。

若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

(4) ①与Q 角终边相同的角的集合:｛010 = 360叹+ a,kwZ ｝或｛010 = 2炀+ a,"Z ｝②一些特殊角集合的表示： 例1、分别写出：① 终边落在，轴负半轴上的角的集合； ② 终边落在•轴上的角的集合；③ 终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合； ④ 终边落在四彖限角平分线上的角的集合.(5) 区间角的表示：① 象限角：第一象限角“ 第二象限角：； 第三象限角“第四彖限角“② 写出图屮所表示的区间角：A.押症三症三B.戸症三症GC. “症(露a。

)D. OnM-F说明：第一彖限角未必是锐角，小于9(7的角不一定是锐角，0。

〜90。

间的角，根据课本约定它包括tr，但不包含9(r例2如图，终边落在勺位置时的角的集合是;终边落在凶位置，且在卜对塚］内的角的集合是」终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是.例3、在『〜算『间，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角(1)-120-；⑵叫(3)如站.总结：草式写在草稿纸上，正的角度除以对，按通常除去进行；负的角度除以对，商是负数，它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1,以使余数为止值.练习：(1)-角为处，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为•(2)集合M = {a二k・9(T, kGZ}中，各角的终边都在()A..轴正半轴上B?轴正半轴上C.况轴或尸轴上D.*轴正半轴或V轴正半轴上(3)设/■比■上・3Of+45\ JbeZ］ S = t =C={a | a = kl80°+45；keZ}, _ K 1…_展・#z ■上・3时+45"或a■上360U22兀itez)则相等的角集合为例4、写岀与下列各角终边相同的角的集合S,并把S屮适合不等式-360°^ B〈720°的元素［3写出来:(1) 60°；(2) -21°；(3) 363°14*cc a例5、若。

第七讲 三角函数第一部分 相关知识1．和差化积与积化和差公式：sin cos αβ= sin sin αβ+= cos sin αβ= sin sin αβ-= cos cos αβ= cos cos αβ+= sin sin αβ= cos cos αβ-=2．三倍角公式与万能代换公式：3sin33sin 4sin ααα=-，3cos34cos 3cos ααα=-；利用三倍角公式求值：0sin18= ；22tan2sin 1tan 2ααα=+，221tan 2cos 1tan 2ααα-=+，22tan2tan 1tan 2ααα=-.3．两个有用的三角不等式：若θ为锐角，则sin cos 1θθ+>，sin tan θθθ<<.例如:①求函数[0,])2y x π=∈的值域；②设(0,)2x π∈，证明：3sin 4x x x >-.4．ABC ∆中的一些恒等式和不等式：①sin sin sin 4cos cos cos 222A B CA B C ++=；②；222sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+③cos cos cos 14sin sin sin 222A B CA B C ++=+；④222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C ++=-；⑤tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；⑥tantan tan tan tan tan 1222222A B B C C A++=；⑦锐角ABC ∆中，任意角的正弦大于另一个角的余弦，如sin cos A B >. 5．几个恒等式：coscos24αα…cos2nα=sin sin()sin(2)ααβαβ+++++…sin()n αβ++=cos cos()cos(2)ααβαβ+++++…cos()n αβ++=例如：若*n N ∈，则24coscos 2121n n ππ++++…2cos 21n n π+=+ .第二部分 相关习题1.（2012卓越联盟）函数cos ()2sin xy x R x=∈+的值域是 .2.（2012华约）在锐角ABC ∆中，已知A B C >>，则cos B 的取值范围为 .3.已知圆222x y k +=至少覆盖函数()xf x kπ=的一个最大值点和一个最小值点，求实数k 的取值范围.4.若23A B π+=，则22cos cos A B +的值域为 .5.（2010北大）是否存在02x π<<，使得sin x 、cos x 、tan x 、cot x 的某种排列为等差数列？6.（2012卓越联盟）设()sin()(0,)f x x R ωϕωϕ=+>∈， 若在常数(0)T T <，使对任意x R ∈有()()f x T Tf x +=成立，则ω可取到的最小值为 .7.（2009复旦）关于x 22cos2xx a +=在区间(0,2)π内有两个不同的根，则常数a 的取值范围是 .8.（2009复旦）已知2(tan cot )10(0)x x θθθπ-++=<<，且满足3x x ++ (21)n x-++ (2)=，则θ= .9.（2012北约）求使得sin 4sin 2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的实数a 的值.10.（2013华约）已知x 、y 满足1sin sin 31cos cos 5x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，求sin()x y -与cos()x y +的值.11.（2010清华）求404040sin 10sin 50sin 70++的值.12.圆221x y +=上有三点，坐标分别为11(,)x y 、22(,)x y 、33(,)x y ，且1231230x x x y y y ++=++=，求证：22222212312332x x x y y y ++=++=.13.（2013北约）对任意的θ，求632cos cos66cos 415cos 2θθθθ---的值．14.（2011北约）ABC ∆的三边a 、b 、c 满足2a b c +≥，A 、B 、C 为ABC ∆的内角，求证：060C ≤.15.（2011华约）A 、B 、C 为ABC ∆的内角，且ABC ∆不为直角三角形.①求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；tan tan 1tan B C C A +-=，且s i n 2A 、sin 2B 、sin 2C 的倒数成等差数列时，求cos2C A-.16. （2011卓越联盟）已知sin 2()sin 2n αγβ+=，求tan()tan()αβγαβγ++-+的值.17.（2010复旦）设α、[,]22ππβ∈-，且满足sin cos sin cos 1αββα+=，则sin sin αβ+的取值范围是 .18.（2011卓越联盟）在ABC ∆中，2AB AC =，AD 是A 的角平分线，且AD kAC =.（1）求k 的取值范围；（2）若1ABC S ∆=，问：k 为何值时，BC 最短？19.（2010五校选拔）在ABC ∆中，三边长为a 、b 、c 满足3a c b +=，则tan tan 22A C的值为 .20.若8841sin cos 128x x +=，(0,)2x π∈，求x .。