信号与系统
第二章 连续时不变系统的时域分析小结
一、系统的初始条件
)()()(t y t y t y zs zi +=，令-=0t 和+=0t ，可得
)0()0()0(---+=zs zi y y y
)0()0()0(++++=zs zi y y y
对于因果系统，由于激励在0=t 时接入，故有0)0(=-zs y ；对于时不变系统,内部参数不随时间变化，故有)0()0(+-=zi zi y y 。
因此
)0()0()0(+--==zi zi y y y
)0()0()0(+-++=zs y y y
同理
)0()0()0()()()(+--==zi j zi j j y y y
)0()0()0()()()(+-++=zs j j j y y y
对于n 阶系统,分别称)1,,1,0)(0()(-=-n j y j 和)1,,1,0)(0()(-=+n j y j 为系统的-0和+0初始条件。
二、零输入响应
)()()()()(0
1110111p D p N a p a p a p b p b p b p b t f t y p H n n n m m m m =++++++++==---- )(t y zi 满足算子方程
0)()(=t y p D zi ，0≥t
即零输入响应)(t y zi 是齐次算子方程满足-0初始条件的解。
)(t y zi 的函数形式与齐次解的形式相同。
简单系统的零输入响应
1、)()()(t ce t y p p D t zi ελλ-=⇒+=
2、)()()()()(102t e t c c t y p p D t zi ελλ-+=⇒+=
三、单位冲激响应
)()()(t ke t h p k p H t ελ
λ-=⇒+= )()()(t k t h kp p H δ'=⇒=
)()()(t k t h k p H δ=⇒=
)()()
()(t kte t h p k p H t ελλ-=⇒+= 四、零状态响应
)()()(t h t f t y zs *=
五、完全响应
)()()(t y t y t y zs zi +=
六、卷积
1、定义：⎰
∞∞--⋅=*τττd t f f t f t f )()()()(2121
2、性质：
交换律：)()()()(1221t f t f t f t f *=*
结合律：)()]()([)]()([)(321321t f t f t f t f t f t f **=**
分配律：)()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+*
时移性质：)()()(21t y t f t f =*,则)()()()()(0201021t t y t f t t f t t f t f -=*-=-*
3、常用信号的卷积公式 )()()(t f t t f =*δ
)()()(t f t t f '='*δ
)()()()1(t f t t f -=*ε
)()()(t t t t εεε=*
)()1(1)()(t e a
t e t at at εεε---=* 七、例题
例1已知某连续系统的微分方程为
)(3)(2)(2)(3)(t f t f t y t y t y +'=+'+''
若系统的初始条件1)0()0(='=--y y ,输入)()(t e t f t ε-=,求)(t y zi ，)(t y zs ,)(t y 。
例2已知某连续系统的微分方程为
)(6)(2)(2)(3)(t f t f t y t y t y +'=+'+''
若系统的初始条件3)0(=+y ，1)0(='+y ，输入)()(t t f ε=。
(1）用经典法求)(t y ;
（2）求)(t y zi ，)(t y zs ，)(t y 。
八、习题
1、信号波形如图1所示,计算)()(21t f t f *，并画出其波形。
2、计算卷积
（1）)()()(21t t f t f ε== （2))()(1t t f ε=，)()(2t e t f t ε-=
3、信号)(1t f 和)(2t f 的波形如图2所示,设)()()(212t f t f t f *=，则)3(f 等于 。
4、零状态响应的模式由 确定.零输入响应由 确定。
A 、初始状态
B 、系统参数
C 、初始状态和系统参数
D 、输入信号
5、系统的单位冲激响应由 决定。
A 、初始状态
B 、系统参数
C 、输入信号
D 、前述三者共同
6、已知某LTI 系统的单位阶跃响应)()12()(2t e t s t ε-=-，求它的单位冲激响应)(t h 。
7、某线性时不变系统,已知当)()(,2)0(,1)0(121t t f x x ε===--时，输出)()56()(321t e e t y t t ε---=;若初始状态不变,)(3)(2t t f ε=时,输出)()78()(322t e e t y t t ε---=。
试计算：
（1）0)(,2)0(,1)0(321===--t f x x 时的响应)(3t y ；
(1)
(1) 0 t
f 2(t)
1 -1 图1
（2）)(2)(,0)0(,0)0(421t t f x x ε===--时的响应)(4t y 。
8、计算
⎰∞∞----dt t t t e t j )()([0δδω
9、已知信号)(t f 的波形如图3所示，试画出下列函数的波形。
（1）)2()(1t f t f =；
(2))()2()(2t t f t f ε⋅=；
（3）)3()(3-=t f t f ；
（4）)()3()(4t t f t f ε⋅-=；
（5）)3()3()(4-⋅-=t t f t f ε
（6）)3()(6+=t f t f 。
10、系统的算子方程如下，试求其单位冲激响应)(t h . (1）)()()127(2t f t y p p =++
（2）)()()96(2t f t y p p =++
（3）)()3()()23(2t f p t y p p +=++
11、给出如下传输算子)(p H ,试写出它们对应的微分方程.
（1)2
)(+=p p p H ； （2)11)(++=
p p p H ；
(3）2
33)(2+++=p p p p H ； （4）2)1()3()(+++=
p p p p p H 。
12、已知系统微分方程为
)(3)()(2)(3)(t f t f t y t y t y +'=+'+''
若系统的初始条件2)0(,1)0(='=--y y ,试求:
（1)系统的零输入响应)(t y zi ；
（2）输入)()(t t f ε=时,系统的零状态响应)(t y zs 和完全响应)(t y ；
（3）输入)()(3t e t f t ε-=时，系统的零状态响应)(t y zs 和完全响应)(t y ；。
