几何作图(1)
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三尺规作图§3.10 基本作图(一)一、教学目标1.使学生了解尺规作图的意义.2.使学生熟练掌握基本作图①、②.3.会用几何语言叙述作图过程.二、教学重点和难点1.重点:正确掌握基本作图①、②.2.难点:会用精练准确的几何语言叙述作图过程.三、教学方法引导学生动手动脑,掌握基本作图①、②.熟悉作图语言.四、教学手段利用硬纸片剪接将知识具体化.五、教学过程(一)复习提问1.什么叫做角?角的平分线?2.已知△ABC和△A'B'C'中AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'.求证:△ABC≌△A'B'C'.(二)引入新课前面我们学习了全等三角形的性质、判定及一些较简单的几何证明题.在学习中常常感到需要有准确、方便的画图方法,画出符合条件的几何图形.本节我们学习这种几何作图方法.(三)讲解新课前面,我们学过用刻度尺、三角板、量角器和圆规等多种工具画几何图形.如果只用直尺(学生使用的尺子都有刻度,这里告诉学生,直尺是用来画直线的,或者延长线段、射线成直线的.我们作图时,可以使用一般的刻度尺、三角板,只要不用它们去度量长度,就是这里所说的直尺)和圆规,也可以画出许多图形,有时还很方便.(1)尺规作图:在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为尺规作图.(2)基本作图:最基本、最常用的尺规作图,通常称基本作图.一些复杂的尺规作图,都是由基本作图组成的,第一册里曾讲过用尺规作一条线段等于已知线段,这是一种基本作图,下面再介绍几种基本作图:1.作一个角等于已知角下面我们研究只用直尺和圆规画一个角等于已知角.前面我们学会了用直尺和圆规作一条线段等于已知线段,学习判定两个三角形全等“边边边”公理时曾经已知三边画三角形得到边边边公理而因全等三角形的对应角相等,进而达到角相等的目的.作一个角等于已知角就是已知:∠AOB如图3-57.求作:∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB.分析:假设∠A'O'B'已作出,且∠A'O'B'=∠AOB,如图3-58,在OA、OB、O'A'、O'B'上取点C、D、C'、D',使OC=OD=O'C'=O'D',那么△COD≌△C'O'D'.由此可知,要作出∠A'O'B',使∠A'O'B'=∠AOB,只要作出△O'C'D',使O'C'=OC,O'D'=OD,C'D'=CD,这就是前面学过的“已知三边画三角形”.作法:(请同学们读句画图)(投影仪打出)(1)作射线O'A'.(2)以点O为圆心,以任意长为半径作弧,交OA于C,交OB于D,如图3-59.(3)以点O'为圆心,以O'C'长为半径作弧,交O'A'于C'.(4)以点C'为圆心,以C'D'长为半径作弧,交前弧于D'.(5)经过点D'作射线O'B',∠A'O'B就是所求的角.证明:连结CD、C'D',由作法可知△C'O'D≌△COD(SSS)∴∠C'O'D'=∠COD(全等三角形对应角相等).即∠A'O'B'=∠AOB.说明:作图题的证明,常以作法为根据,只要“作法”中写明了作的是什么,证明中就可以用它作根据去证明.注意,在作图题的“证明”中,一般过程都写得比较简单.如这个证明三角形全等的地方,把条件省略了.练习:如图3-60,在∠AOB的外部作∠AOC,使∠AOC=∠AOB.首先要求作图工具——直尺(无刻度)、圆规.然后引导学生分析题意,弄清已知是什么,求作是什么?画出已知条件(一个角),写出已知、求作.在求作中先写出什么图形,再写使它合乎什么条件.作法可让学生或教师作图,学生叙述作法.让学生写出证明过程.2.平分已知角前面我们用量角器作一个已知角∠AOB的平分线OC,怎样用尺规来画已知角的平分线呢?分析:如图3-61,假如∠AOB的平分线OC已经画出,在前面角的平分线的研究中,我们用折线的实验发现:如果有OE=OD,那么CE=CD.这个实验也启发我们:如果有OE=OD,CE=CD,那么OC平分∠AOB吗?用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC,∠EOC=∠DOC,即OC平分∠AOB.于是容易看出,要作∠AOB的平分线OC,在于怎样才能找到起关键作用的点C?怎样确定点C呢?不难看出,为了确定C点,必须先找点E、D.以O为圆心,任意长为半径作弧,分别交OA、OB于D、E,那么OD=OE吗?再分别以D、E为圆心,适当的长度为半径作弧,设两弧交于点C,那么CD=CE吗?而D、E为圆心,“适当”的长度为半径作弧,两弧有一交点时,怎样的长度才“适当”呢?已知:∠AOB如图3-62.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:(1)在OA和OB上,分别截取OD、OE,使OD=OE.两弧交于点C.(3)作射线OC.OC就是所求的射线.证明:连结CD、CE,由作法可知△ODC≌△OEC∴∠COD=∠COE(全等三角形的对应角相等).即∠AOC=∠BOC.小结:(1)基本作图1、2有一个不同之点,即基本作图2要把射线OC作在∠AOB内部,位置有指定性,基本作图1所作的∠A'O'B'并不受∠AOB的位置限制,但通常把∠A'O'B'作在∠AOB的近旁.(2)作图工具只限直尺和圆规,用铅笔画图,并保留作图过程中的辅助线(作图痕迹).(3)只画图的题,要求画完图,写明所求作的图形.如基本作图中要写出“∠A'O'B'就是所求的角.”(4)要熟练掌握常用的几种几何作图语言.如:①过点×、点×作直线××;或作直线××;(用投影仪)或作射线××.②连结两点××;或连结××.③在××上截取××=××.④延长××到点×,或延长××到×使××=××.(5)在以后的作图中,如果遇到属于基本作图的地方,不必重复作图的详细过程,只把它当作“成法”用一句话概括即可,如作∠×××=∠×××.(四)练习教材P.59中练习1、2.(五)作业教材P.64中习题3.5 A组2、3、4.(六)板书设计。
2019年中考数学一轮复习精准导练第32讲几何作图【考题导向】主要是考查利用尺规作图解决实际问题的能力,中考试题题型主要以设计、探究形式的解答题为主.1.能用尺规完成基本作图:(1)作一条线段等于已知线段;(2)作一个角等于已知角;(3)作一个角的平分线;(4)作一条线段的垂直平分线;(5)过一点作已知直线的垂线.2.会利用基本作图作三角形;过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内接正方形和正六边形.3.在尺规作图中,了解作图的道理,保留作图的痕迹,不要求写出作法.4.能运用尺规的基本作图方法解决简单应用问题.【考点精练】考点1:基本作图【典例】(2018•襄阳)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为()A.16cm B.19cm C.22cm D.25cm【分析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题.【同步练】(2018•河北)尺规作图要求:Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线;Ⅱ、作线段的垂直平分线;Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线;Ⅳ、作角的平分线.如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:则正确的配对是()A.①﹣Ⅳ,②﹣Ⅱ,③﹣Ⅰ,④﹣ⅢB.①﹣Ⅳ,②﹣Ⅲ,③﹣Ⅱ,④﹣ⅠC.①﹣Ⅱ,②﹣Ⅳ,③﹣Ⅲ,④﹣ⅠD.①﹣Ⅳ,②﹣Ⅰ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅲ则正确的配对是:①﹣Ⅳ,②﹣Ⅰ,③﹣Ⅱ,④﹣Ⅲ.故选:D.【点评】1.尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺.2.基本作图: (1)作一条线段等于已知线段,以及线段的和﹑差;(2)作一个角等于已知角,以及角的和﹑差;(3)作角的平分线;(4)作线段的垂直平分线;(5)过一点作已知直线的垂线.3.依据基本作图的方法步骤,规范作图,注意保留作图痕迹。
学;科网考点2:作三角形【典例】(2018•潍坊)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;(3)连接BD,BC.下列说法不正确的是()A.∠CBD=30°B.S△BDC=AB2C.点C是△ABD的外心D.sin2A+cos2D=1【分析】根据等边三角形的判定方法,直角三角形的判定方法以及等边三角形的性质,直角三角形的性质一一判断即可;故选:D.【同步练】(2018•无锡)如图,平面直角坐标系中,已知点B的坐标为(6,4).(1)请用直尺(不带刻度)和圆规作一条直线AC,它与x轴和y轴的正半轴分别交于点A和点C,且使∠ABC=90°,△ABC与△AOC的面积相等.(作图不必写作法,但要保留作图痕迹.)(2)问:(1)中这样的直线AC是否唯一?若唯一,请说明理由;若不唯一,请在图中画出所有这样的直线AC,并写出与之对应的函数表达式.【分析】(1)①作线段OB的垂直平分线AC,满足条件,②作矩形OA′BC′,直线A′C′,满足条件;(2)分两种情形分别求解即可解决问题;【解答】(1)解:如图△ABC即为所求;【点评】利用基本作图作三角形: (1)已知三边作三角形;(2)已知两边及其夹角作三角形;(3)已知两角及其夹边作三角形;(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;(5)已知一直角边和斜边作直角三角形.具体作法:1.若已知条件为边角边、角边角、角角边、边边边、斜边直角边的三角形的作图题,则可以直接画出图形.2.先画出草图,关键确定三角形的三点,常常由两条直线(或圆弧)相交来确定.考点3:与圆相关的作图【典例】(2018•湖州)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中.传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣:①将半径为r的⊙O六等分,依次得到A,B,C,D,E,F六个分点;②分别以点A,D为圆心,AC长为半径画弧,G是两弧的一个交点;③连结OG.问:OG的长是多少?大臣给出的正确答案应是()A. r B.(1+)r C.(1+)r D. r【分析】如图连接CD,AC,DG,AG.在直角三角形即可解决问题;【解答】解:如图连接CD,AC,DG,AG.【同步练】如图,已知在△ABC中,∠A=90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P,使圆心P在AC边上,且与AB,BC两边都相切;(保留作图痕迹,不写作法和证明)(2)若∠B=60°,AB=3,求⊙P的面积.解:(1)如图,则⊙P 为所求作的圆(2)∵∠B =60°,BP 平分∠ABC ,∴∠ABP =30°,∵tan ∠ABP =APAB,∴AP =3,∴S ⊙P =3π【点评】与圆有关的尺规作图:(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆);(2)作三角形的内切圆.涉及圆的作图问题,关键是寻找圆心和半径. 考点4: 基本作图的实际应用【典例】图1是某公交公司1路车从起点站A 站途经B 站和C 站,最终到达终点站D 站的格点站路线图.(8×8的格点图是由边长为1的小正方形组成)(1)求1路车从A站到D站所走的路程;(精确到0.1)(2)在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图.(要求:①与图1路线不同、路程相同;②途中必须经过两个格点站;③所画路线图不重复)【同步练】某市拟在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M到广场的两个入口A,B 的距离相等,且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半,A,B,C的位置如图所示,请利用尺规作出音乐喷泉M的位置.(不写已知、求作、作法和结论,保留作图痕迹) 学科,网解:【点评】根据已知条件作几何图形时,采用逆向思维,假设已作出图形,再寻找图形的性质,然后作图或设计方案.解决实际问题要理解题意,将实际问题转化为数学问题,常见方法有:1.采用三角形奠基法,即转化为先确定三角形的三个顶点;2.采用交轨法,即转化为两条线的交点.考点5:涉及作图的综合探究题【典例】(2018•广州)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD.(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);(2)在(1)的条件下,①证明:AE⊥DE;②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.(2)①延长DE交AB的延长线于F.∵CD∥AF,∴∠CDE=∠F,∵∠CDE=∠ADE,∴∠ADF=∠F,∴AD=AF,∵AD=AB+CD=AB+BF,∴CD=BF,∵∠DEC=∠BEF,∴△DEC≌△FEB,∴DE=EF,∵AD=AF,∴AE⊥DE.②作点B关于AE的对称点K,连接EK,作KH⊥AB于H,DG⊥AB于G.连接MK.∵AD=AF,DE=EF,∴AE平分∠DAF,则△AEK≌△AEB,∴AK=AB=4,∴BM+MN的最小值为.【同步练】(2018•孝感)如图,△ABC中,AB=AC,小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作:①作∠BAC的平分线AM交BC于点D;②作边AB的垂直平分线EF,EF与AM相交于点P;③连接PB,PC.请你观察图形解答下列问题:(1)线段PA,PB,PC之间的数量关系是PA=PB=PC ;(2)若∠ABC=70°,求∠BPC的度数.【分析】(1)根据线段的垂直平分线的性质可得:PA=PB=PC;(2)根据等腰三角形的性质得:∠ABC=∠ACB=70°,由三角形的内角和得:∠BAC=180°﹣2×70°=40°,由角平分线定义得:∠BAD=∠CAD=20°,最后利用三角形外角的性质可得结论.【解答】解:(1)如图,PA=PB=PC,理由是:∵AB=AC,AM平分∠BAC,∴AD是BC的垂直平分线,∴PB=PC,∴∠ABP=∠BAP=∠ACP=20°,∴∠BPC=∠ABP+∠BAC+∠ACP=20°+40°+20°=80°.【真题演练】1.(2018•嘉兴)用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD,下列作法中错误的是()A. B.C.D.【分析】根据菱形的判定和作图根据解答即可.【解答】解:A、由作图可知,AC⊥BD,且平分BD,即对角线平分且垂直的四边形是菱形,正确;B、由作图可知AB=BC,AD=AB,即四边相等的四边形是菱形,正确;C、由作图可知AB=DC,AD=BC,只能得出ABCD是平行四边形,错误;D、由作图可知对角线AC平分对角,可以得出是菱形,正确;学、科网故选:C.2.(2018•宜昌)尺规作图:经过已知直线外一点作这条直线的垂线,下列作图中正确的是()A.B.C.D.【分析】根据过直线外一点向直线作垂线即可.故选:B.3.(2018•郴州)如图,∠AOB=60°,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB于C,D两点;分别以C,D为圆心,以大于CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则M点到OB的距离为()A.6 B.2 C.3 D.【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线,再利用直角三角形的性质得出答案.【解答】解:过点M作ME⊥OB于点E,由题意可得:OP是∠AOB的角平分线,则∠POB=×60°=30°,∴ME=OM=3.故选:C.4.(2018•河南)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(﹣1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;②分别以点D,E为圆心,大于DE 的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为()A.(﹣1,2)B.(,2)C.(3﹣,2)D.(﹣2,2)【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中,AO=,依据∠AGO=∠AOG,即可得到AG=AO=,进而得出HG=﹣1,可得G(﹣1,2).∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO=,∴HG=﹣1,∴G(﹣1,2),故选:A.5.(2018•昆明)如图,点A在双曲线y═(x>0)上,过点A作AB⊥x轴,垂足为点B,分别以点O和点A为圆心,大于OA的长为半径作弧,两弧相交于D,E两点,作直线DE交x轴于点C,交y轴于点F(0,2),连接AC.若AC=1,则k的值为()A.2 B.C.D.【分析】如图,设OA交CF于K.利用面积法求出OA的长,再利用相似三角形的性质求出AB、OB即可解决问题;【解答】解:如图,设OA交CF于K.由作图可知,CF垂直平分线段OA,∴OC=CA=1,OK=AK,∴A(,),∴k=.故选:B.6.(2018•成都)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形的对角线AC的长为.【分析】连接AE,如图,利用基本作图得到MN垂直平分AC,则EA=EC=3,然后利用勾股定理先计算出AD,再计算出AC.【解答】解:连接AE,如图,由作法得MN垂直平分AC,∴EA=EC=3,在Rt△ADE中,AD==,在Rt△ADC中,AC==.故答案为.7.(2018•湖州)在每个小正方形的边长为1的网格图形中,每个小正方形的顶点称为格点.以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边,向内作四个全等的直角三角形,使四个直角顶点E,F,G,H都是格点,且四边形EFGH为正方形,我们把这样的图形称为格点弦图.例如,在如图1所示的格点弦图中,正方形ABCD 的边长为,此时正方形EFGH的而积为5.问:当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时,正方形EFGH的面积的所有可能值是(不包括5).学:科网8.(2018•白银)如图,在△ABC中,∠ABC=90°.(1)作∠ACB的平分线交AB边于点O,再以点O为圆心,OB的长为半径作⊙O;(要求:不写做法,保留作图痕迹)(2)判断(1)中AC与⊙O的位置关系,直接写出结果.【分析】(1)首先利用角平分线的作法得出CO,进而以点O为圆心,OB为半径作⊙O即可;(2)利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可.【解答】解:(1)如图所示:;9.(2018•安徽)如图,⊙O为锐角△ABC的外接圆,半径为5.(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法);(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长.【分析】(1)利用基本作图作AE平分∠BAC;(2)连接OE交BC于F,连接OC,如图,根据圆周角定理得到=,再根据垂径定理得到OE⊥BC,则EF=3,OF=2,然后在Rt△OCF中利用勾股定理计算出CF=,在Rt△CEF中利用勾股定理可计算出CE.【解答】解:(1)如图,AE为所作;(2)连接OE交BC于F,连接OC,如图,∵AE平分∠BAC,10.(2018•自贡)如图,在△ABC中,∠ACB=90°.(1)作出经过点B,圆心O在斜边AB上且与边AC相切于点E的⊙O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)学,科网(2)设(1)中所作的⊙O与边AB交于异于点B的另外一点D,若⊙O的直径为5,BC=4;求DE的长.(如果用尺规作图画不出图形,可画出草图完成(2)问)【分析】(1)作∠ABC的角平分线交AC于E,作EO⊥AC交AB于点O,以O为圆心,OB为半径画圆即可解决问题;(2)作OH⊥BC于H.首先求出OH、EC、BE,利用△BCE∽△BED,可得=,解决问题;【解答】解:(1)⊙O如图所示;(2)作OH⊥BC于H.∵AC是⊙O的切线,∴OE⊥AC,∴∠C=∠CEO=∠OHC=90°,∴四边形ECHO是矩形,【拓展研究】(2018•深圳)已知菱形的一个角与三角形的一个角重合,然后它的对角顶点在这个重合角的对边上,这个菱形称为这个三角形的亲密菱形,如图,在△CFE中,CF=6,CE=12,∠FCE=45°,以点C为圆心,以任意长为半径作AD,再分别以点A和点D为圆心,大于AD长为半径作弧,交EF于点B,AB∥CD.(1)求证:四边形ACDB为△FEC的亲密菱形;(2)求四边形ACDB的面积.【分析】(1)根据折叠和已知得出AC=CD,AB=DB,∠ACB=∠DCB,求出AC=AB,根据菱形的判定得出即可;(2)根据相似三角形的性质得出比例式,求出菱形的边长和高,根据菱形的面积公式求出即可.【解答】(1)证明:∵由已知得:AC=CD,AB=DB,由已知尺规作图痕迹得:BC是∠FCE的角平分线,∴∠ACB=∠DCB,又∵AB∥CD,∴∠ABC=∠DCB,∴∠ACB=∠ABC,∴AC=AB,则:,即,解得:x=4,过A点作AH⊥CD于H点,∵在Rt△ACH中,∠ACH=45°,∴,∴四边形ACDB的面积为:.。
§2 几何作图
一、正六边形
二、斜度与锥度
圆弧连接
三、圆弧连接
三
三、
作一、作一、作正六边形正六边形作图步骤
1. 画中心线;
2已知正六边形外接圆,做正六边形 2.
作已知正六边形的外接圆;3. 作六个等分点;
4.做正六边形。
4.
顺次连接六个点,为正六边形。
二、斜度与锥度斜度与锥度(一)斜度
是指一直线或平面对另一直线或平面的倾斜程度
是指直线或平面对另直线或平面的倾斜程度。
1. 斜度的表示方法 2. 斜度的标注
斜度=H/L=1:n
1:8
L
3. 斜度符号的画法 斜度符号的画法
h=字体高度
30°
(二)锥度
正圆锥的底圆直径与圆锥高度之比称为锥度。
1.锥度的表示方法
2.锥度的标注
=D/L=D-d/l=1:n
1:6
锥度l
锥度符号的法
L
h
3.锥度符号的画法h=字体高度
2.5h
1.430°
三、圆弧连接圆弧连接的几何要素
连接弧半径、连接弧圆心、连接点(切点)
半
径
连接弧O 1
连接点
作图步骤
1.1.作已知直线的平行线,其距作已知直线的平行线,其距离=R =R;;
2.过已知圆的圆心画圆弧,其半径R2=R1+R ;与上述平行线交与点O
,即为连接弧圆心;
3.
O1
O
半径
连接O 、O1 得连接点A ,并过O 作已知直线的垂线得垂点R 1
A
R
接弧足B(切点)。
O 1
4. 以O 为圆心,R 为B
连半径,连接切点A 、B 即为所求连接弧
即为所求连接弧。
四、四、圆弧连接圆弧连接
1圆弧连接两相交直线,轨迹法求圆心 1.圆弧连接两相交直线,轨迹法求圆心
O
R
O
K 1
K 2
22. 2. 用圆弧连接两已知圆弧用圆弧连接两已知圆弧圆弧与两已知圆外切。
圆弧与两已知圆内切
作图步骤
R1 = 24/2+28 = 40
圆弧与两已知圆外切。
R2 = 32/2+28 = 44
Ø24
46
圆弧与两已知圆内切R1=44-24/2 = 32圆弧与两已知圆内切。
R2 = 44-
32/2 = 28
Ø24
46
§2 几何作图圆弧与两已知圆内切。
圆弧与两已知圆内切
Ø24
46。