初中数学坐标方法的简单应用

初中数学：坐标法的简单应用坐标法是一种重要的数学方法，生活中有许多实际问题，如果运用坐标法解决就显得简单明了，常见的有以下两种情况。

1、利用坐标表示地理位置例1、图1中标明了李明家附近的一些地方。

图1（1）根据图1中的平面直角坐标系，写出学校、邮局的坐标。

（2）一天早晨，李明从家里出发，沿着（－2，－1）→（－1，－2）→（1，－2）→（2，－1）→（1，－1）→（1，3）→（－1，0）→（0，－1）→（－2，－1）的路线走，写出上述坐标所表示的地点。

（3）顺次连接他在（2）中经过的点，能得到什么样的图形？分析：这道题是利用坐标表示地理位置的题型，大家一定要按照一定的步骤来解题。

一般步骤如下：（1）建立平面直角坐标系；（2）选取适当的比例尺和单位长度；（3）描点，写出各点的坐标及所表示的地点。

这道题中已建立了平面直角坐标系，我们只需描点，写出各点的坐标及所表示的地点，然后再连线即可。

解：（1）学校的坐标为（1，3），邮局的坐标为（0，－1）。

（2）（－2，－1）是李明家，（－1，－2）是商店，（1，－2）是公园，（2，－1）是汽车站，（1，－1）是水果店，（1，3）是学校，（－1，0）是游乐场，（0，－1）是邮局。

（3）顺次连接他在（2）中经过的点，得到图2所示的“帆船”。

图22、利用坐标表示图形的平移例2、观察图3，完成以下各题。

（1）平面直角坐标系中有一个“房子”形状的图案，请写出点A、B、C、D、E、F、G的坐标。

（2）源源想把平面直角坐标系中的“房子”向下平移3个单位长度，你能帮他办到吗？请画出相应的图案，并写出平移后（1）中的7个点的坐标。

图3分析：这是一道在平面直角坐标系中确定点的坐标并将图形进行平移的综合题。

图形的平移可以转化成图形中关键点的平移。

点平移时横坐标、纵坐标的变化规律：左右平移，横变纵不变；上下平移，纵变横不变。

点平移时横坐标、纵坐标增减的规律：右移加，左移减；上移加，下移减。

分析初中数学中的平面直角坐标系及其应用平面直角坐标系是初中数学中重要的概念之一，通过它我们可以有效地描述二维平面上的点、线、图形等数学对象。

本文将分析平面直角坐标系的定义、基本性质以及它在初中数学中的应用。

一、平面直角坐标系的定义和基本性质平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，纵轴称为y轴，横轴称为x轴。

它们的交点被称为原点O，并且规定了两个单位长度1的正方向，分别沿着x轴向右和y轴向上。

在平面直角坐标系中，每个点P都可以用有序数对(x, y)来表示，其中x表示点P的横坐标，y表示点P的纵坐标。

横坐标x可以正负，表示点P在x轴的左侧或右侧；纵坐标y也可以正负，表示点P在y轴的上方或下方。

两个坐标轴将整个平面分成四个象限，分别记作第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

平面直角坐标系具有以下基本性质：1. 对于任意点P(x, y)，它在坐标系中的位置是唯一确定的。

2. 坐标轴上的点的坐标为(0, y)和(x, 0)，分别表示y轴和x轴上的点。

3. 若两个点的横坐标和纵坐标分别相等，则它们表示的点在坐标系中的位置相同。

4. 在坐标系中，任意两点之间的距离可以通过距离公式来计算。

二、平面直角坐标系的应用平面直角坐标系在初中数学中有广泛的应用，下面将从几个典型的应用方面进行分析。

1. 点的位置关系通过平面直角坐标系，可以直观地描述点在平面上的位置关系。

例如，对于点P(x, y)，可以判断出它在哪个象限。

若x和y均大于0，则点P位于第一象限；若x小于0且y大于0，则点P位于第二象限；若x和y均小于0，则点P位于第三象限；若x大于0且y小于0，则点P 位于第四象限。

2. 图形的绘制和分析通过平面直角坐标系，在平面上可以方便地绘制各种图形，如直线、折线、曲线等。

对于直线，可以利用坐标系中的两点确定一条直线的方程。

对于折线或曲线，可以通过将其分割成多个线段，并求得各线段的斜率，进而分析图形的特征。

3. 函数的表示和运算平面直角坐标系为函数的表示和运算提供了关键的工具。

初中数学知识归纳平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标平面直角坐标系中，两点的距离和中点的坐标是初中数学中的基础知识。

通过学习和归纳，我们可以更好地理解和应用这些概念。

本文将对初中数学中关于平面直角坐标系中两点的距离和中点的坐标进行归纳总结。

1、两点间的距离在平面直角坐标系中，两点的距离可以通过勾股定理来求解。

设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则两点间的距离d可表示为：d = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)2、中点的坐标中点是指连接两点线段的中心点，也是线段的对称点。

我们可以通过平均两点的x坐标和y坐标来求解中点的坐标。

设两点的坐标分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则中点的坐标M（x，y）可表示为：x = (x1 + x2) / 2y = (y1 + y2) / 2下面，结合具体的例子来说明两点的距离和中点的坐标的计算方法。

例子1：已知平面直角坐标系中点A（2，3）和点B（5，6），求两点间的距离和中点的坐标。

解：根据两点间的距离公式，可以得到两点A、B间的距离d：d = √((5-2)^2 + (6-3)^2)= √(9 + 9)= √18≈ 4.24根据中点的坐标公式，可以得到中点M的坐标：x = (2 + 5) / 2 = 3.5y = (3 + 6) / 2 = 4.5所以，点A和点B间的距离为4.24，中点的坐标为（3.5，4.5）。

例子2：已知平面直角坐标系中点C（-1，2）和点D（3，-4），求两点间的距离和中点的坐标。

解：根据两点间的距离公式，可以得到两点C、D间的距离d：d = √((3-(-1))^2 + (-4-2)^2)= √(16 + 36)= √52≈ 7.21根据中点的坐标公式，可以得到中点N的坐标：x = (-1 + 3) / 2 = 1y = (2 + (-4)) / 2 = -1所以，点C和点D间的距离为7.21，中点的坐标为（1，-1）。

第七章平面直角坐标系7.2坐标方法的简单应用7.2.1用坐标表示地理位置基础过关全练知识点用坐标表示地理位置1.(2023贵州中考改编)如图所示的是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图,以喷水池为原点,分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,若贵阳北站的坐标是(-2,7),则龙洞堡机场的坐标是(M7207003)()A.(4,9)B.(9,-4)C.(-4,9)D.(-4,-9)2.【革命文化】“红军不怕远征难,万水千山只等闲”,为弘扬长征艰苦奋斗的精神,某公司接手了以红军长征路为主题的环湖健身步道的设计.设计方案如图所示,若在路线主要地点的大致分布图上分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,遵义的坐标为(-5,7),腊子口的坐标为(4,-1),则原点O所在地的名称是(M7207003)()A.湘江B.瑞金C.包座D.泸定桥3.如图,学校在李老师家的南偏东30°方向上,且与李老师家的距离是500 m,则李老师家在学校的()A.南偏东30°方向上,相距500 m处B.北偏西30°方向上,相距500 m处C.北偏东60°方向上,相距500 m处D.北偏西60°方向上,相距500 m处4.【教材变式·P75T1】小明为画一个零件的轴截面,以该轴截面底边所在的直线为x轴,对称轴为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.若坐标轴的单位长度取1 mm,则图中转折点P的坐标是()A.(5,30)B.(8,10)C.(9,10)D.(10,10)5.如图,若一只蝴蝶的翅膀上B,C两点的坐标分别为(-1,3),(3,0),则蝴蝶“尾部”点A的坐标为.6.【教材变式·P84T4】如图,图中标明了小刚家以及他家周围的一些地方.(1)写出学校和公园的坐标.(2)某星期日早晨,小刚从家里出发,沿(1,-2),(-1,0),(-2,-1),(-2,2),(1,2),(0,1)的路线转了一下,又回到家里,写出他路上经过的地方.(3)顺次连接他在(2)中经过的地点,得到一个图形,你能说出它像什么吗?7.(2023贵州黔东南州凯里期中改编)图中表示的是图书馆、超市、中国银行和餐馆的位置关系.(1)请用方向和图中所标示的距离分别描述超市、中国银行和餐馆相对于图书馆的位置.(2)火车站在图书馆的南偏东60°方向上,并且火车站距图书馆的距离与中国银行距图书馆的距离相等,请在图中画出火车站的位置.能力提升全练8.【中华优秀传统文化】(2023浙江台州中考,6,★☆☆)如图所示的是中国象棋棋盘的一部分,建立平面直角坐标系,已知“车”所在位置的坐标为(-2,2),则“炮”所在位置的坐标为(M7207003)()A.(3,1)B.(1,3)C.(4,1)D.(3,2)9.(2022北京通州期末,6,★★☆)在某游乐场中,以中心广场为观测点,若用(500,20°)表示图中“太阳神车”的位置,用(400,340°)表示图中“雪域金翅”的位置,则“天地双雄”的位置可表示为(M7207003)()A.(500,60°)B.(500,120°)C.(500,100°)D.(400,20°)10.【跨学科·历史】(2023北京西城三帆中学期中改编,10,★★★)中山公园位于天安门西侧,原为辽、金时的兴国寺,元代改名为万寿兴国寺,明成祖朱棣兴建北京宫殿时,按照“左祖右社”的制度,改建为社稷坛,1914年,社稷坛被辟为公园,初称中央公园.为纪念孙中山先生,1928年,中央公园改名为中山公园.如图所示的是中山公园部分景点平面图,其中点A是孙中山先生铜像,点B是惠芳园,点C是中山堂.分别以水平向右、竖直向上的方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,下列对各景点位置的描述:①若A的坐标为(0,0),B的坐标为(-6,3.5),则C的坐标约为(-2,5.5);②若A的坐标为(1,2),B的坐标为(-5,5.5),则C的坐标约为(-1,7.5);③若A的坐标为(0,0),B的坐标为(-12,7),则C的坐标约为(-8,9);④若A的坐标为(1,2),B的坐标为(-11,9),则C的坐标约为(-3,13).其中正确的有(M7207003)()A.1个B.2个C.3个D.4个11.(2020江苏泰州中考,13,★★☆)以水平数轴的原点O为圆心,过正半轴Ox上的每一刻度点画同心圆,将Ox逆时针依次旋转30°、60°、90°、…、330°得到11条射线,构成如图所示的“圆”坐标系,点A、B的坐标分别表示为(5,0°)、(4,300°),则点C的坐标表示为.素养探究全练12.【应用意识】如图所示,在雷达探测区内,可以建立平面直角坐标系来表示位置.某次行动中,当我方两架飞机在A(-1,2)与B(3,2)位置时,可疑飞机在(-1,6)位置,请找到这个平面直角坐标系的x轴、y轴的位置,并确定可疑飞机所处的位置.答案全解全析基础过关全练1.B如图,由题中条件确定点O即为平面直角坐标系原点,龙洞堡机场的坐标为(9,-4).故选B.2.B由题意知平面直角坐标系如图.则平面直角坐标系的原点O所在地的名称是瑞金.故选B.3.B根据题意可知,李老师家在学校的北偏西30°方向上,且李老师家与学校相距500 m,故B符合题意.4.C如图,过点C作CD⊥y轴于D,∴AP=CD=50÷2-16=9,OA=OD-AD=40-30=10,∴P(9,10).故选C.5.(0,-2)解析如图,根据题意建立平面直角坐标系,可知蝴蝶“尾部”点A的坐标为(0,-2).6.解析(1)学校(-2,-2),公园(1,2).(2)小刚经过的地方分别是家→副食店→汽车站→二姨家→娱乐中心→公园→文具店→家.(3)如图,像一个箭头.7.解析(1)超市在图书馆的南偏西70°方向上,且距离图书馆2.8 km; 中国银行在图书馆的北偏东30°方向上,且距离图书馆3.2 km;餐馆在图书馆的北偏西50°方向上,且距离图书馆1.8 km.(2)如图所示:能力提升全练8.A“炮”所在位置的坐标为(3,1).故选A.9.B根据题意可得,“天地双雄”的位置可表示为(500,120°).故选B.10.C①若A的坐标为(0,0),B的坐标为(-6,3.5),则C的坐标约为(-2,5.5),故①正确;②若A的坐标为(1,2),B的坐标为(-5,5.5),则C的坐标约为(-1,7.5),故②正确;③若A的坐标为(0,0),B的坐标为(-12,7),则C的坐标约为(-4,11),故③不正确;④若A的坐标为(1,2),B的坐标为(-11,9),则C 的坐标约为(-3,13),故④正确.故选C.11.(3,240°)解析点C的坐标表示为(3,240°).素养探究全练12.解析由A、B的纵坐标相等,可知AB∥x轴,再由A、B的横坐标可知A、B相距4个单位长度,建立平面直角坐标系,如图所示,知可疑飞机在第二象限的C点处.。

初中数学教案：使用平面坐标进行图形绘制一、引言在初中数学教学中，平面坐标系是一个基础且重要的概念。

它为学生提供了一种直观的方法来描述和理解图形及其性质。

通过使用平面坐标进行图形绘制，学生可以进一步掌握几何变换、图形相似性等概念，从而培养他们的空间思维能力和创造力。

二、平面坐标系介绍与基本要素1. 平面坐标系定义平面坐标系是由两条相互垂直的实数轴组成，其中一条被称为x轴，另一条被称为y轴。

它们的交点被称为原点(O)。

2. 坐标表示法在平面坐标系中，每个点可以用有序数对(x, y)表示，其中x表示沿x轴正方向的距离，y表示沿y轴正方向的距离。

这样的数对(x, y)被称为该点的坐标。

3. 相关概念解释- 横坐标和纵坐标：在有序数对(x, y)中，x被称为横坐标（或x轴上的值），y 被称为纵坐标（或y轴上的值）。

- 坐标轴分区：平面坐标系将平面划分为四个部分，分别为第一象限、第二象限、第三象限和第四象限，其中原点位于这四个象限的交叉点上。

三、使用平面坐标进行图形绘制1. 绘制点根据给定的横纵坐标，在平面坐标系中找到对应位置，并在该点处作一个小突起。

例如，在(x, y)处作一个突起，表示在该点上有一个点。

2. 绘制直线绘制直线需要确定两个不同的点。

首先，在平面坐标系中找到这两个点的位置，并用小突起表示它们。

然后，将这两个点用直线连接起来。

3. 绘制曲线绘制曲线可以通过连接多个点来实现。

首先确定所需曲线上的一些关键点，在平面坐标系中找到它们的位置，并在每个关键点处做小突起。

然后使用直线将这些关键点连接起来，从而形成光滑曲线。

4. 图形变换使用平面坐标进行图形绘制也可以轻松实现几何变换。

常见的几何变换包括移动、旋转和缩放等。

- 移动：可以通过调整每个图形中所有关键点的横纵坐标来实现。

将每个点的横纵坐标都增加或减少给定的值，图形就会在平面坐标系中水平或垂直移动。

- 旋转：可以通过绕一个固定点进行旋转来实现。

选择一个中心点，然后以该点为中心将每个关键点进行旋转。

第13课坐标方法的简单应用目标导航课程标准1．能建立适当的平面直角坐标系描述物体的位置.2. 能在同一坐标系中，感受图形变换后点的坐标的变化.知识精讲知识点01 用坐标表示地理位置根据已知条件，建立适当的平面直角坐标系，是确定点的位置的必经过程，只有建立了适当的直角坐标系，点的位置才能得以确定，才能使数与形有机地结合在一起.利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布情况的过程：(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴，y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．注意：(1)建立坐标系的关键是确定原点和坐标轴的位置，我们一般选择那些使点的位置比较容易确定的方法，例如借助于图形的某边所在直线为坐标轴等，而建立平面直角坐标系的方法是不唯一的.所建立的平面直角坐标系也不同，得到的点的坐标不同．(2)应注意比例尺和坐标轴上的单位长度的确定．知识点02 用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b).注意：(1)在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；(2)在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；(3)在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．注意：(1)平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决.(2)平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.能力拓展考法01 用坐标表示地理位置【典例1】小明写信给他的朋友介绍学校的有关情况：校门正北方100米处是教学楼，从校门向东50米，再向北50米是科教楼，从校门向西100米，再向北150米是宿舍楼……请画出适当的平面直角坐标系表示校门、教学楼、科技楼、宿舍楼的位置，并写出这四个点的坐标．【分析】选取校门所在的位置为原点，并以正东，正北方向为x轴、y轴的正方向，可以容易地写出三个建筑物的坐标．否则就较复杂．【答案与解析】解：(1)平面直角坐标系及学校的建筑物位置如图所示，比例尺为1:10000．(2)校门的坐标为(0，0)；教学楼的坐标为(0，100)；科技楼的坐标是(50，50)；宿舍楼的坐标为(-100，150)．【点睛】选取的坐标原点不同，各个据点的坐标也不同，不论是哪个点表示原点，都要让人一听一看就清楚所描述的位置．【即学即练】一个探险家在日记上记录了宝藏的位置，从海岛的一块大圆石O出发，向东1000m，向北1000m，向西500m，再向南750m，到达点P，即为宝藏的位置．(1)画出坐标系确定宝藏的位置；(2)确定点P的坐标．【答案】解：根据数据的特点，选择250作为单位长度，以大圆石O为原点，建立平面直角坐标系．(1)如图，中心带有箭头的线是行动路线，点P的位置如图所示．(2)点P的坐标是(500，250)【典例2】如图是一所学校的平面示意图，已知国旗杆的坐标为(-1，1)，写出其他几个建筑物位置的坐标．若国旗杆的坐标为(3，1)，则其他几个建筑物位置的坐标是否发生改变?若改变，请写出坐标，若不改变，请说明理由．【答案与解析】解：当国旗杆的坐标是(-1，1)时，校门的坐标是(-4，1)，实验楼的坐标是(2，-2)，教学楼的坐标是(2，1)，图书馆的坐标是(1，4)；若国旗杆的坐标是(3，1)，则校门的坐标是(0，1)，实验楼的坐标是(6，-2)，教学楼的坐标是(6，1)，图书馆的坐标是(5，4)．【点睛】根据已知点确定平面直角坐标系，进一步求得要求点的坐标．【即学即练】如图，是象棋棋盘的一部分．若位于点(1，﹣2)上，位于点(3，﹣2)上，则位于点上．【答案】(﹣2，1)．解：∵位于点(1，﹣2)上，位于点(3，﹣2)上，∴位于点(﹣2，1)上．考法02用坐标表示平移【典例3】如如图，直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为(1，2)．(1)写出点A、B的坐标：A(，)、B(，)(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′(，)、B′(，)、C′(，)．(3)△ABC的面积为．【分析】(1)A在第四象限，横坐标为正，纵坐标为负；B的第一象限，横纵坐标均为正；(2)让三个点的横坐标减2，纵坐标加1即为平移后的坐标；(3)△ABC的面积等于边长为3，4的长方形的面积减去2个边长为1，3和一个边长为2，4的直角三角形的面积，把相关数值代入即可求解．【答案与解析】解：(1)写出点A、B的坐标：A(2，﹣1)、B(4，3)(2)将△ABC先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到△A′B′C′，则A′B′C′的三个顶点坐标分别是A′(0，0)、B′(2，4)、C′(﹣1，3)．(3)△ABC的面积=3×4﹣2××1×3﹣×2×4=5．【点睛】用到的知识点为：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加；格点中的三角形的面积通常用长方形的面积减去若干直角三角形的面积表示．【即学即练】已知三角形ABC三个顶点的坐标为A(-2，3)，B(-4，-1)，C(2，0)．三角形ABC中任意一点P(x0，y0)经平移后对应点为P1(x0+5，y0+3)．将三角形ABC作同样的平移得到三角形A1B1C1：(1)求A1B1C1的坐标．(2)求三角形ABC和△A1B1C1的面积大小．【答案】解：(1)A 1(3，6)，B 1(1，2)，C 1(7，3)．(2)ABC A B C S S '''=△△11124246143222=-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝24-4-3-6＝11． 考法03 综合应用【典例4】在A 市北300km 处有B 市，以A 市为原点，东西方向的直线为x 轴，南北方向的直线为y 轴，并以50km 为1个单位建立平面直角坐标系．根据气象台预报，今年7号台风中心位置现在C (10，6)处，并以40千米/时的速度自东向西移动，台风影响范围半径为200km ，问经几小时后，B 市将受到台风影响?并画出示意图．【分析】当台风中心移动到据B 点200千米时，B 市将受到台风影响，从而求出台风中心的移动距离，除以速度，即可求出所需时间．【答案与解析】解：∵台风影响范围半径为200km ，∴当台风中心移动到点(4，6)时，B 市将受到台风的影响．所用的时间为：50×(10-4)÷40=7.5(小时)．所以经过7.5小时后，B市将受到台风的影响．(注：图中的单位1表示50km)【点睛】考查类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置．或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．【即学即练】一长方形住宅小区长400m，宽300m，以长方形的对角线的交点为原点，过原点和较长边平行的直线为x轴，和较短边平行的直线为y轴，并取50m为1个单位．住宅小区内和附近有5处违章建筑，它们分别是A(3，3．5)，B(－2，2)，C(0，3．5)，D(－3，2)，E(－4，4)．在坐标系中标出这些违章建筑位置，并说明哪些在小区内，哪些不在小区内．【答案】在小区内的违章建筑有B、D；不在小区内的违章建筑有A、E、C.题组A 基础过关练1．在平面直角坐标系中，将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，则点A′的坐标是()A．(﹣1，1)B．(﹣1，﹣2)C．(﹣1，2)D．(1，2)【答案】A【解析】【详解】试题分析：已知将点A(1，﹣2)向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点A′，根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加可得点A′的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为﹣2+3=1，即A′的坐标为(﹣1，1)．故选A．分层提分考点：坐标与图形变化-平移．的值为()2．如图，点A，B的坐标分别为(2，0)，(0，1)，若将线段AB平移至A1B1，则a bA．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】【分析】先根据点A、B及其对应点的坐标得出平移方向和距离，据此求出a、b的值，继而可得答案．【详解】解：由点A(2，0)的对应点A1(4，b)知向右平移2个单位，由点B(0，1)的对应点B1(a，2)知向上平移1个单位，△a=0+2=2，b=0+1=1，△a+b=2+1=3，故答案为：B．【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是掌握横坐标的平移规律为：右移加，左移减；纵坐标的平移规律为：上移加，下移减．3．已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A(–1，4)的对应点为C(4，7)，则点B(–4，–1)的对应点D的坐标为()A．(1，2)B．(2，9)C．(5，3)D．(–9，–4)【答案】A【解析】【详解】△线段CD是由线段AB平移得到的，而点A(−1,4)的对应点为C(4,7)，△由A平移到C点的横坐标增加5，纵坐标增加3，则点B(−4,−1)的对应点D的坐标为(1,2).4．如图， ,A B 的坐标为()()1,0,0,2,若将线段AB 平移至11A B ，则-a b 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】【分析】 直接利用平移中点的变化规律求解即可．【详解】解：由B 点平移前后的纵坐标分别为2、4，可得B 点向上平移了2个单位，由A 点平移前后的横坐标分别是为1、3，可得A 点向右平移了2个单位，由此得线段AB 的平移的过程是：向上平移2个单位，再向右平移2个单位，所以点A 、B 均按此规律平移，由此可得a=0+2=2，b=0+2=2，△a -b=2-2=0，故选：B ．【点睛】本题考查了坐标系中点、线段的平移规律，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．5．已知A (3，﹣2)，B (1，0)，把线段AB 平移至线段CD ，其中点A 、B 分别对应点C 、D ，若C (5，x )，D (y ，0)，则x ＋y 的值是( )A ．﹣1B ．0C ．1D ．2【答案】C【解析】由对应点坐标确定平移方向，再由平移得出x，y的值，即可计算x+y．【详解】△A(3，﹣2)，B(1，0)平移后的对应点C(5，x)，D(y，0)，△平移方法为向右平移2个单位，△x＝﹣2，y＝3，△x+y＝1，故选：C．【点睛】本题考查坐标的平移，掌握点坐标平移的性质是解题的关键，点坐标平移：横坐标左减右加，纵坐标下减上加．6．在平面直角坐标系中，将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，所得图形与原图形相比()A．向右平移了3个单位B．向左平移了3个单位C．向上平移了3个单位D．向下平移了3个单位【答案】D【解析】【分析】根据向下平移，纵坐标相减，横坐标不变解答．【详解】△将三角形各点的纵坐标都减去3，横坐标保持不变，△所得图形与原图形相比向下平移了3个单位．故选D.【点睛】本题考查了坐标与图形的变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．7．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为(0，0)，(0，－5)，(－2，－2)，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【分析】已知线段AB ，BC ，AC ，分别以三条线段为平行四边形的对角线，进行分类讨论，结合图形进行判断．【详解】如果以线段AB 为对角线，AC ，BC 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第四象限；如果以线段AC 为对角线，AB ，BC 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第二象限；如果以线段CB 为对角线，AC ，BA 为边，作平行四边形，则第四个顶点在第三象限．故不可能在第一象限．故选A.【点睛】考查了平行四边形的性质，建立平面直角坐标系，数形结合，分类讨论是解题的关键．8．如图，一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点(00)，运动到(0)1，，然后接着按图中箭头所示方向运动，即(00)(01)(11)(10)→→→→，，，，…，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是( )A ．(0，9)B ．(9，0)C ．(0，8)D ．(8，0)【答案】C【解析】【详解】 【分析】由题目可以知道，质点每秒运动一次，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推：到点(n ，n)，用n 2+n 秒，这样可以先确定，第80秒钟时所在的点所在正方形，然后就可以进一步推得点的坐标．【详解】质点每秒运动一次，(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)用的秒数分别是1秒钟，2秒钟，3秒钟，到(1，1)用2秒，到(2，2)用6秒，到(3，3)用12秒，到(4，4)用20秒，依此类推：到点(n ，n)，用n 2+n 秒， △当n=8时，n 2+n=82+8=72，△当质点运动到第72秒时到达(8，8)，△质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，△此时质点的横坐标为8-8=0，△此时质点的坐标为(0，8)，△第80秒后质点所在位置的坐标是(0，8)，故选C.【点睛】本题考查了规律题——点的坐标，解决本题的关键是读懂题意，并总结出一定的规律，难度较大．题组B 能力提升练9．将点()1,24P m m -+向上平移2个单位后落在x 轴上，则m =___．【答案】-3【解析】【分析】点坐标向上平移2个单位，就是纵坐标加上2，落在x 轴上，就是纵坐标为0，求出m 的值．【详解】解：点()1,24P m m -+向上平移2个单位得()1,26P m m '-+，△平移后落在x 轴上，△260m +=，解得3m =-．故答案是：-3．【点睛】本题考查点坐标的平移，解题的关键是掌握点坐标平移的方法．10．已知直线AB△x 轴，点A 的坐标为(1，2)，并且线段AB ＝3，则点B 的坐标为________【答案】(4，2)或(﹣2，2).【解析】【详解】分析：AB△x 轴，说明A ，B 的纵坐标相等为2，再根据两点之间的距离公式求解即可．详解：△AB△x 轴，点A 坐标为(1，2)，△A ，B 的纵坐标相等为2，设点B 的横坐标为x ，则有AB=|x -1|=3，解得：x=4或-2，△点B 的坐标为(4，2)或(-2，2)．故本题答案为：(4，2)或(-2，2)．点睛：本题主要考查了平行于x 轴的直线上的点的纵坐标都相等．注意所求的点的位置的两种情况，不要漏解．11．已知点A(a ，0)和点B(0，5)两点，且直线AB 与坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a 的值是______.【答案】±4【解析】【详解】试题分析：根据坐标与图形得到三角形OAB 的两边分别为|a|与5，然后根据三角形面积公式有：15102a ⋅⋅=， 解得a=4或a=-4，即a 的值为±4．考点：1.三角形的面积；2.坐标与图形性质．12．在平面直角坐标系中，若点M (1，3)与点N (x ，3)之间的距离是5，则x 的值是____________．【答案】－4或6【解析】【详解】分析：点M 、N 的纵坐标相等，则直线MN 在平行于x 轴的直线上，根据两点间的距离，可列出等式|x -1|=5，从而解得x 的值．解答：解：△点M(1，3)与点N(x ，3)之间的距离是5，△|x -1|=5，解得x=-4或6．故答案为-4或6．13．如图，点,A B 的坐标分别为(2,0),(0,1)，若将线段AB 平移至11A B ，则a b +的值为_____．【答案】2【解析】【分析】由图可得到点B的纵坐标是如何变化的，让A的纵坐标也做相应变化即可得到b的值；看点A的横坐标是如何变化的，让B的横坐标也做相应变化即可得到a的值，相加即可得到所求．【详解】由题意可知：a=0+(3-2)=1；b=0+(2-1)=1；△a+b=2．故答案为：2.【点睛】此题考查坐标与图形的变化-平移，解题的关键是得到各点的平移规律．14．把点A(a，-2)向左平移3个单位，所得的点与点A关于y轴对称，则a等于____.【答案】1.5【解析】【详解】试题解析：由题意，得a+(a-3)=0，解得a=1.5.点睛：对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．15．(1)把点P(2，-3)向右平移2个单位长度到达点P'，则点P'的坐标是_______．(2)把点A(-2，-3)向下平移3个单位长度到达点B，则点B的坐标是_______．(3)把点P(2，3)向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度到达点P'，则点P'的坐标是_______．【答案】(4，-3) (-2，-6) (-2，7)【解析】【分析】(1)根据点向右平移2个单位即横坐标加2，纵坐标不变求解即可；(2)根据点向下平移3个单位即横坐标不变，纵坐标减3求解即可；(3)根据点向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位即横坐标减4，纵坐标加4求解即可．【详解】解：(1)△把点P(2，-3)向右平移2个单位长度到达点P'，△横坐标加2，纵坐标不变，△点P'的坐标是(4，-3)；(2)△把点A(-2，-3)向下平移3个单位长度到达点B，△横坐标不变，纵坐标减3，△点B 的坐标是(-2，-6)；(3)△把点P (2，3)向左平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度到达点P '，△横坐标减4，纵坐标加4，△点P '的坐标是(-2，7)．故答案为：(4，-3)；(-2，-6)；(-2，7)．【点睛】此题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律．向左平移，点的横坐标减小，纵坐标不变；向右平移，点的横坐标增大，纵坐标不变；向上平移，点的横坐标不变，纵坐标增大；向下平移，点的横坐标不变，纵坐标减小．16．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，则D 的坐标为_______，连接AC ，BD ．在y 轴上存在一点P ，连接P A ，PB ，使PAB S =△S 四边形ABDC ，则点P 的坐标为_______．【答案】 (4，2) (0，4)或(0，-4)【解析】【分析】根据B 点的平移方式即可得到D 点的坐标；设点P 到AB 的距离为h ，则S △P AB =12×AB ×h ，根据S △P AB =S 四边形ABDC ，列方程求h 的值，确定P 点坐标；【详解】解：由题意得点D 是点B (3，0)先向上平移2个单位，再向右平移1个单位的对应点，△点D 的坐标为(4，2)；同理可得点C 的坐标为(0，2)，△OC =2，△A (-1，0)，B (3，0)，△AB =4，△=8ABDC S AB OC ⋅=四边形，设点P 到AB 的距离为h ，△S △P AB =12×AB ×h =2h ，△S △P AB =S 四边形ABDC ，得2h =8，解得h =4，△P 在y 轴上，△OP =4，△P (0，4)或(0，-4)．故答案为：(4，2)；(0，4)或(0，-4)．【点睛】本题主要考查了根据平移方式确定点的坐标，坐标与图形，解题时注意：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a 个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个整数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 题组C 培优拔尖练17．在平面直角坐标系中，P(1，4)，点A 在坐标轴上，且S 三角形PAO ＝4，求点A 的坐标．【答案】A(2，0)或(－2，0)或(0，8)或(0，－8)【解析】【详解】试题分析：由于点A 的坐标不能确定，故应分点A 在x 轴上和点在y 轴上两种情况进行讨论．试题解析：当点A 在x 轴上时，设A(x ，0)，△S △PAO =4，A(1，4) △12|x|×4=4，解得x=±2，△A(-2，0)或(2，0)；当点A 在y 轴上时，设A(0，y)，△S △PAO =4，A(1，4)△12|y|×1=4，解得x=±8，△A(-8，0)或(8，0)．综上所述，A 点坐标为(-2，0)或(2，0)或(-8，0)或(8，0)．点睛：本题考查的是平面直角坐标系中的三角形的面积，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－3，3)，B(－5，1)，C(－2，0)，P(a ，b)是△ABC 的边AC 上任意一点，△ABC 经过平移后得到△A 1B 1C 1，点P 的对应点为P 1(a ＋6，b －2)．(1)直接写出点C 1的坐标；(2)在图中画出△A 1B 1C 1；(3)求△AOA 1的面积．【答案】(1)(4，-2)；(2)作图见解析，(3)6.【解析】【分析】(1)根据点P 的对应点为P 1(6,2a b +-)确定出平移规律为向右6个单位，向下2个单位，，由此规律和C(－2，0)即可求出C 1的坐标；(2)根据(1)中的平移规律确定点A 、B 、C 平移后的对应点A 1、B 1、C 1的位置，然后顺次连接即可；(3)利用△AOA 1所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解．【详解】(1)△点P(a ，b)的对应点为P 1(a+6，b -2)，△平移规律为向右6个单位，向下2个单位，△C(-2，0)的对应点C 1的坐标为(4，-2)；(2)△A 1B 1C 1如图所示；(3)△AOA1的面积=6×3-12×3×3-12×3×1-12×6×2=18-92-32-6=18-12=6．考点：图形的平移变换.19．如图，一只甲虫在5×5的方格(每小格边长为1)上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为：A→B(+1，+4)，从D到C记为：D→C(﹣1，+2)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．(1)图中A→C(______，_____)，B→C(______，_____)，D→_____(﹣4，﹣2)；(2)若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为(+2，+2)，(+2，﹣1)，(﹣2，+3)，(﹣1，﹣2)，请在图中标出P的位置；(3)若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．【答案】(1) (3，4)；(2，0)；A；(2)答案见解析；(3)10．【解析】【分析】(1)根据规定及实例可知A→C记为(3，4)B→C记为(2，0)D→A记为(﹣4，﹣2)；(2)按题目所示平移规律分别向右向上平移2个格点，再向右平移2个格点，向下平移1个格点；向左平移2个格点，向上平移3个格点；向左平移1个向下平移两个格点即可得到点P的坐标，在图中标出即可；(3)根据点的运动路径，表示出运动的距离，相加即可得到行走的总路径长．(1)规定：向上向右走为正，向下向左走为负△A →C 记为(3，4)B →C 记为(2，0)D →A 记为(﹣4，﹣2)；(2)P 点位置如图所示．(3)据已知条件可知：A →B 表示为：(1，4)，B →C 记为(2，0)C →D 记为(1，﹣2)；该甲虫走过的路线长为1+4+2+1+2=10．故答案为(3，4)；(2，0)；A ；【点睛】本题主要考查了正数与负数，利用坐标确定点的位置的方法．解题的关键是正确的理解从一个点到另一个点移动时，如何用坐标表示．20．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(3，0)，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ．连接AC ，BD ．(1)写出点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积.(2)在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S 三角形PAB ＝S 四边形ABDC ？若存在，求出点P 的坐标，若不存在，试说明理由；(3)点Q 是线段BD 上的动点，连接QC ，QO ，当点Q 在BD 上移动时(不与B ，D 重合)，给出下列结论：①DCQ BOQ CQO +∠∠∠的值不变；②DCQ CQO BOQ+∠∠∠的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求值.【答案】(1)C(0，2)，D(4，2)，S 四边形ABCD ＝8；(2)存在，点P 的坐标为(0，4)或(0，－4)；(3)结论①正确，DCQ BOQ CQO+∠∠∠=1. 【解析】(1)根据点平移的规律：左减右加，上加下减，即可得到点C、D的坐标，利用平行四边形的面积公式计算面积即可；(2)设点P的坐标为(0，y)，根据三角形的面积公式底乘以高的一半列式计算即可得到答案；(3)结论①正确.过点Q作QE△AB，交CO于点E，利用平行线的性质：两直线平行内错角相等证得△DCQ＋△BOQ ＝△CQO，由此得到结论①正确【详解】(1)△将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，△C(0，2)，D(4，2)，AB△CD且AB=CD=4，△四边形ABDC是平行四边形，△S四边形ABCD＝4×2＝8.(2)存在，设点P的坐标为(0，y)，根据题意，得12×4×|y|＝8.解得y＝4或y＝－4.△点P的坐标为(0，4)或(0，－4).(3)结论①正确.过点Q作QE△AB，交CO于点E.△AB△CD，△QE△CD.△△DCQ＝△EQC，△BOQ＝△EQO.△△EQC＋△EQO＝△CQO，△△DCQ＋△BOQ＝△CQO.△DCQ BOQCQO∠∠∠＝1.【点睛】此题考查点平移的坐标规律，利用面积求点的坐标，平行线的性质，(2)中利用面积求点坐标时，高度为点纵坐标的绝对值，得到纵坐标为两个值，这是题中易错点。

(每日一练)通用版初中数学函数坐标方法的简单应用经典大题例题单选题1、如图是小数在4×4的小正方形组成的网格中画的一张脸的示意图，如果用(0，4)和(2，4)表示眼睛，那么嘴的位置可以表示成（）A．(2，1)B．(1，1)C．(1，﹣2)D．(1，2)答案：D解析：根据左右的眼睛的坐标画出直角坐标系，然后写出嘴的位置对应的点的坐标．解：建立平面直角坐标系如图，嘴的坐标为（1，2）．故选：D．小提示：本题考查了坐标确定位置：平面直角坐标系中点与有序实数对一一对应；记住平面内特殊位置的点的坐标特征．2、有甲、乙、丙三人，它们所在的位置不同，他们三人都以相同的单位长度建立不同的坐标系，甲说：“如果以我为坐标原点，乙的位置是（4，3）”；丙说：“以我为坐标原点，乙的位置是（−3，−4）”；如果以乙为坐标原点，甲和丙的位置分别是A．(3,4),(−3,−4)B．(4,−3),(3,−4)C．(−3,−4),(4,3)D．(−4,−3),(3,4)答案：D解析：由于已知三人建立坐标时，x轴和y轴正方向相同，对坐标进行逆推即可.以甲为坐标原点，乙的位置是（4，3），则以乙的坐标为原点时，甲的坐标是（-4，-3）；以丙坐标原点，乙的位置是（−3，−4），则以乙的坐标为原点时，丙的坐标是（3，4）故选D.小提示：本题考查坐标位置，熟练掌握坐标的性质是解题关键.3、如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，当水面宽增加(2√6−4)m时，则水面应下降的高度是（）A．2m B．1m C．√6m D．(√6−2)m答案：B解析：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系xOy，水面宽为AB与y轴交于E，水面下降后宽度为CD与y轴交于F，由OE=2m，AB=4m，抛物线的对称轴为y轴，可求点B（2，-2）利用待定系数法可求抛物线解析式为y=−12x2，设水面下降nm，可求D（√6，−2−n），由点D在抛物线上，代入解析式−2−n=−12(√6)2解方程即可．解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系xOy，水面宽为AB，与y轴交于E，水面下降后宽度为CD，与y轴交于F，∵OE=2m，AB=4m，抛物线的对称轴为y轴，∴点B（2，-2）设抛物线为y=ax2，∵抛物线过点B，∴-2=4a，∴a=−12，∴抛物线解析式为y=−12x2，设水面下降nm，∵CD=AB+(2√6−4)=4+(2√6−4)=2√6，∴D（√6，−2−n），∵点D在抛物线上，∴−2−n=−12(√6)2，解得n=1．故选择B．小提示：本题考查建立平面直角坐标系，待定系数法求抛物线解析式，利用抛物线上点坐标与解析式关系求解是关键．解答题4、如图，已知宾馆的坐标为（4，4），文化馆的坐标为（﹣1，3）．（1）根据题意，画出平面直角坐标系；（2）写出体育场、火车站、超市、市场的坐标；（3）已知公园A，游乐场B、图书馆C的坐标分别为（0，5）、（﹣2，﹣2）、（2，﹣2），请在图中标出A、B、C的位置．答案：（1）见解析；（2）体育场（-2，5）、火车站（2，2）、超市（4，-1）、市场（6，5）；（3）见解析解析：（1）直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系得出答案；（2）直接利用（1）中坐标系得出各点坐标；（3）利用利用（1）中坐标系得出各点位置．解：（1）如图所示：（2）体育场的坐标为（-2，5）、火车站的坐标为（2，2）、超市的坐标（4，-1）、市场的坐标为（6，5）；（3）如图所示：A，B，C即为所求．小提示：此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．5、在如图的方格中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，三角形ABC的三个顶点都在格点（小方格的顶点）上，（1）请建立适当的平面直角坐标系，使点A，C的坐标分别为（﹣2，﹣1），（1，﹣1），并写出点B的坐标；（2）在（1）的条件下，将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度后可得到三角形A'B'C'，请在图中画出平移后的三角形A'B'C'，并分别写出点A'，B'，C'的坐标．答案：（1）坐标系见解析，B（0，1）；（2）画图见解析，A′（2，1），B′（4，3），C′（5，1）解析：（1）根据A，C两点的坐标确定平面直角坐标系即可，根据点B的位置写出点B的坐标即可．（2）分别作出A′，B′，C′即可解决问题．解：（1）平面直角坐标系如图所示：B（0，1）．（2）△A′B′C′如图所示．A′（2，1），B′（4，3），C′（5，1）．小提示：本题考查作图-平移变换，平面直角坐标系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。