5.4 线性映射与其矩阵 PPT课件

自然基底
（2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
解：（1）由已知，有
1
(1,2 ,3 ) (1, 2, 3 )
0 2
0 1 1
3 1 0
(
1
,
2
,
3
)
X
,
即：(X1
,2
1
,0 3
2
)
0
1
1
3
(10,12
为, 3过)渡021矩110阵031
(
1
,
2
,
3
)
X
,
5 0 5
(1,2 ,3 )
(1, 2 , 3 )
0 3
1 6
1 9
,
设 在标准基 1,2,3 下的矩阵为A，即
(1, 2 , 3 ) (1, 2 , 3 )A (1,2,3 ) ((1, 2, 3 )X ) (1, 2, 3 ) X
(1, 2 , 3 )AX
5 0 5
因而，
AX
0 3
1 6
1 9
,
5 0 5
例 设线性变换A 在基 1,2下,的3 矩阵是
2 2 例 1 定义了标准内积的 是一酉空间。
这时像(x2,y2) 与原像 (x1,y1)之间的关系为 定理5 设 是酉空间 上的一个线性变换，则下列命题是等价的：
教学目的
掌握线性映射的定义 熟练掌握特征值、特征向量的定义和性质， 掌握矩阵可对角化的条件 理解酉空间的概念 掌握酉空间与实内积空间的异同。
在讨论线性空间的同构时，我们考虑的是一种 保持向量的加法和数量乘法的一一对应. 我们常称 两线性空间之间保持加法和数量乘法的映射为线性 映射(比同构映射少了一一对应的条件)

7
4. 线性变换T的象集T (V n )是一个线性空间V n ( 的子空间), 称为线性变换T的象空间. 证明 设 1 , 2 T (Vn ), 则有 1 , 2 Vn ,
使 T1 1 , T 2 2 , 从而
1 2 T1 T 2 T (1 2 ) T (Vn ), (因1 2 Vn ); k1 kT1 T (k1 ) T (Vn ), (因k1 Vn ),
所以， B X AX
1
18
例19 设V是一个二维线性空间， 1 , 2 是一组基，线性 变换 在 1 , 2 下的矩阵是 2 1 1 0
1 1 1 , 2 为V的另一组基，且 (1 ,2 ) (1 , 2 ) 1 2 求 在基 1 , 2 下的矩阵.
19
小结
R 给定了线性空间 R 的一组基以后， 中的线 性变换与 R nn 中的矩阵形成一一对应．因此，在 线阵．
n n
同一变换在不同基下的矩阵是相似的．
20
思考题
已知R 的两个线性变换
22
T ( X ) XN , S ( X ) MX , X R22
这样，在取定一组基之后，就建立了由数域P上的n维 线性空间V的线性变换到数域P上的 n n 矩阵的一个 13 映射.
定理3 设 1 , 2 ,, n 是数域P上n维线性空间V的一组基， 在这组基下，V的每个线性变换都唯一对应一个 n n 矩阵，这个对应具有以下性质： 1）线性变换的和对应于矩阵的和； 2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于 逆矩阵.

3
基变换与矩阵的关系
基变换可以用矩阵表示，矩阵的运算可以用来实 现基变换。
06
应用实例与习题解析
线性变换在实际问题中的应用
图像处理
线性变换可用于图像的缩放、旋 转和平移等操作，实现图像的变
换和增强。
机器人控制
线性变换在机器人控制中用于描述 机器人的关节运动和姿态变化。
物理模拟
在物理模拟中，线性变换可用于描 述物体的运动轨迹和速度变化。
矩阵乘法与线性变换的关系
矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一，它可以用来表示 线性变换。当一个矩阵乘以一个向量时，相当于对向量进 行了一次线性变换。因此，通过矩阵乘法，可以将线性变 换转化为数学运算，方便进行计算和分析。
矩阵乘法的规则是，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩 阵的行数，且结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列 数等于第二个矩阵的列数。在进行矩阵乘法时，需要按照 特定的顺序进行计算，即先进行行运算再进行列运算。
一个向量空间存在一组基 ，且基的个数是有限的。
线性变换在不同基下的表示形式
矩阵表示法
线性变换可以用矩阵表示，不同 基下的矩阵不同。
矩阵的运算
线性变换的加法、数乘、乘法等 运算可以用矩阵的运算实现。
基变换与线性变换的关系
1 2
基变换
改变向量空间的基底，不改变向量空间的结构。
线性变换与基变换的关系
线性变换在不同基下的表示形式不同，但变换性 质不变。
逆矩阵定义
对于n阶方阵A，如果存在n阶方阵B ，使得AB=BA=E（E为单位矩阵）， 则称A为可逆矩阵，B为A的逆矩阵。
逆矩阵的性质
逆矩阵的求法
通过高斯消元法或LU分解等方法求解 。
逆矩阵是唯一的，逆矩阵与原矩阵的 乘积为单位矩阵。

Th 1.
V , W •‚5˜m, A ∈ L(V , W ), edimV = n, K dimNA + dimRA = dimV
y²µ ξ1 , ξ2 , . . . , ξr •NA Ä, r§*¿•V Äξ1 , ξ2 , . . . , ξr , ξr +1 , . . . , ξn . ØJy²A(ξr +1 ), A(ξr +2 ), . . . , A(ξn )´RA Ä. dimNA + dimRA = r + (n − r ) = dimV
A(ξj ) = (η1 , η2 , . . . , ηm )αj (j = 1, 2, . . . , n) Ù¥, αj = (a1j , a2j , . . . , amj )T ∈ F m , K¡m × nÝ 5N A3ù Äe Ý . A = (α1 , α2 , . . . , αn ) •‚
Jian-Biao Chen Mathematic and Computer Sciences SMU
Null spaces and ranges
Def 2.
V , W •‚5˜m, A ∈ L(V , W ), NA = {α | A(α) = 0, α ∈ V } RA = {A(α) | α ∈ V }
K¡NA •A "˜m(Null space), RA •A ”˜m(Range). w,, NA ´V
5 A ∈ L(V , W )Œ_⇐⇒ NA = {0}, …RA = W .
f˜m, RA ´W
f˜m.
Jian-Biao Chen
Mathematic and Computer Sciences SMU

则有
04:07
20
矩阵转置的运算
有
证明：只验证第三条性质.
04:07
21
其它
方阵的乘幂：
方阵的乘幂满足指数运算法则：
标量矩阵的基本性质
04:07
22
命题5.2 矩阵的乘法满足结合律. 具体地说, 设
则
04:07
18
关于交换律与消去律
1）因为映射的乘法不满足交换律, 矩阵的乘法也不满足交换律.
2）两个非零的矩阵的乘积可能是零矩阵. 因此, 矩阵的乘法不满足消去律. 例如，设
04:07
19
线性映射矩阵的乘法分配律
1) 左分配律: 2) 右分配律: 证明：只证明线性映射的右分配律.
线性映射及其矩阵的运算线性映射与矩阵的加法运算线性映射与矩阵的数乘运算线性映射与矩阵的乘法运算乘法满足分配律结合律但不满足交换律30072020线性映射与矩阵的加法运算30072020矩阵的加法运算30072020线性映射与矩阵加法的基本性质30072020线性映射的数乘运算基本性质
§5 线性映射及其矩阵的运算
04:07
6
例题 5.1
解: (1) 原式=
04:07
7
线性映射与矩阵的乘法运算
可以作出它们的乘积映射：
04:07
8
矩阵的乘法运算(1)
由线性映射与矩阵的对应关系得
04:07
9
矩阵的乘法运算(2)
两个矩阵可以相乘的充分必要条件是第一个矩阵的列数 与第二个矩阵的行数相等.
04:07
10
例题 5.2
线性映射与矩阵的加法运算 线性映射与矩阵的数乘运算 线性映射与矩阵的乘法运算
乘法满足分配律、结合律，但不满足交换律

为齐次线性方程组的解空间。当齐次线性方程组
AX 0 有无穷多解时，其解空间的基底即为其基础
解系；解空间的维数即为基础解系所含向量的个数。
例3
设 1,2 ,
,
为
s
n
维线性空间
V
中的
一组向量，那么非空子集合
span1,2, ,s
k11 k22 kss ki F
构成线性空间 V 的一个子空间，称此子空间为有限生 成子空间，称 1,2 , ,s 为该子空间的生成元。
δ(f(t))=f’(t) 为S到S的变换。 ❖ 例3：S为平方可积函数构成的集合，则傅里叶变换：
F ( f )() f (t)e jtdt
为S到S上的一个变换。
线性空间的定义
定义：设 V 是一个非空的集合，F 是一个数域，在集合 V 中定 义两种代数运算, 一种是加法运算，用 + 来表示，另一种是 数乘运算, 用 ∙ 来表示, 并且这两种运算满足下列八条运算律：
都是线性相关的函数组。
线性空间的基底与维数
定义：设 V 性无关的向量 1,2,,n ，使得 V 中的任意一个向量 都可以由 1,2,,n 线性 表出:
k11 k22 knn
则称 1,2, ,n 为 V 的一个基底；(k1, k2, , kn )T 为 向量 在基底 1,2,,n 下的坐标。此时我们称 V 为一个 n 维线性空间，记为 dimV=n。
an 2 收敛
n 1
线性空间的基本概念及其性质
基本概念：线性组合；线性表示；线性相关；线性无关； 向量组的极大线性无关组；向量组的秩。
❖ 基本性质：
（1）含有零向量的向量组一定线性相关； （2）整体无关则部分无关；部分相关则整体相关； （3）如果含有向量多的向量组可以由含有向量少的向量

f : A
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7.3.2 坐标变换
设V 是数域F上一个n 维向量空间, {1, 2 ,, n}
是V 的一个基, ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2,, x而n ),
σ(ξ)的坐标是
( y1, y2,,问yn:).
( y1, y2,和, yn )
(x1, x2,, xn ), 之间有什么关系呢?
2. 对称性：如果 A ~ B ，那么 B ~ A ；
因为由 B T 1AT 得 A TBT 1 (T 1)1 BT 1.
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3. 传递性：如果 A ~ B 且 B ~ C 那么 A ~ C
事实上，由 B T 1AT和C U 1BU 得
C (U 1T 1) A(TU ) (TU )1 A(TU ).
这样一来从lv到mf必然存在着一个对应关系映射丌妨记为是数域f上一个n维向量空间的一个基关于这个基的坐标是最后等式表明的坐标所组成综合上面所述我们得到坐标变换公式
7.3.1 线性变换的矩阵
现在设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V 的一个线性变换，取定V的一个基 {1,2 , ,n}, 令
(1) a111 a212 an1n (2 ) a121 a222 an2n
单位向量 1, 2 作为V2 的基.令σ是将 V2的每一向
量旋转角θ的一个旋转. σ是 的一V2 个线性变换.我
们有
1 1 cos 2 sin ,
2 1 sin 2 cos.
所以σ关于基 1,2的矩阵是
cos sin
sin cos
设 V2，它关于基 1,2 的坐标是 x1, x2 ,而
………………………………………
(n ) a1n1 a2n2 annn

§4 线性映射及定义域的一组基，则线性映射由基向量的 象确定
线性映射的矩阵
分别取定定义域和值域的基，则线性映射与矩 阵有着一一对应的关系
05:52
1
线性映射的定义
05:52
2
例子 4.1: 线性函数
定义
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3
例子 4.2: 射影变换
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15
例题 4.10
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16
纯量变换的矩阵
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17
命题 4.2 的证明
证明: 由命题4.1可以得到
05:52
back
18
命题 4.3的证明
证明: 定义如下映射 另一方面, 由命题4.2可得唯一性.
05:52
back
19
proof
05:52
proof
10
线性映射的矩阵：分析 把从向量空间V 到 V' 的所有线性映射的集合记为
当V'=V 时，线性变换的集合L(V,V')简记为L(V).
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11
线性映射的矩阵
05:52
12
线性映射的矩阵：例题
05:52
13
线性映射的矩阵：例题
05:52
14
线性映射的矩阵：例题
05:52
4
例子 4.3: 平面上的旋转变换
写成映射的形式:
05:52
5
例子 4.4 平面上的镜像变换等
(点 P 与它的像关于直线 y=x 对称)
05:52
6
线性映射的基本性质
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7
线性映射的确定: 例子
05:52
8
线性映射的确定: 例子(2)

y = r sin θ , 于是 x x cos ϕ − y sin ϕ T = y x sin ϕ + y cos ϕ
r cosθ cos ϕ − r sin θ sin ϕ r cos(θ + ϕ ) = = , r cosθ sin ϕ + r sin θ cos ϕ r sin(θ + ϕ )
a 11 a 12 a1n a 2n a 21 a 22 即 :向量组 β 1 , L , β n可表示为如下列向量 : L , L , L , L a a a mn m1 m2
一个基 α 1 , L , α n 如果这个基在线性变换
T (α 1 ) = a11α 1 + a 21α 2 + L + a n 1α n , T (α ) = a α + a α + L + a α , 2 12 1 22 2 n2 n LLLLLLLLLLL T (α n ) = a1 nα 1 + a 2 nα 2 + L + a nnα n ,
T ( k r1 ) = (0, ky1 , kz1 )= k (0, y1 , z1 ) = kT (r1 ).
∴ T为一个线性映射 .
中的恒等变换（或称单位变换） 例3 线性空间 V 中的恒等变换（或称单位变换） E ： E (α ) = α , α ∈ V . 是线性变换． 是线性变换． 证明 设 α , β ∈ V
证明: 证明: 1.由于 T ( r )被向量 r在基 ε 1 , ε 2 , ε 3下的坐标唯一确定 ,因此 T是一个映射 .

则有 根据矩阵与线性映射的对应关系, 可以导出矩阵的乘法 也满足结合律.
命题5.2 矩阵的乘法满足结合律. 具体地说, 设
则
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18
关于交换律与消去律
1）因为映射的乘法不满足交换律, 矩阵的乘法也不满足交换律.
2）两个非零的矩阵的乘积可能是零矩阵. 因此, 矩阵的乘法不满足消去律. 例如，设
§5 线性映射及其矩阵的运算
线性映射与矩阵的加法运算 线性映射与矩阵的数乘运算 线性映射与矩阵的乘法运算
乘法满足分配律、结合律，但不满足交换律
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1
线性映射与矩阵的加法运算
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2
矩阵的加法运算
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3
线性映射与矩阵加法的基本性质
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4
线性映射的数乘运算
基本性质:
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线性映射矩阵的乘法分配律
1) 左分配律: 2) 右分配律: 证明：只证明线性映射的右分配律.
则有
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20
矩阵转置的运算
有
证明：只验证第三条性质.
04:07
21
其它
方阵的乘幂：
方阵的乘幂满足指数运算法则：
标量矩阵的基本性质
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22
引进记号
则线性方程组可以表示成
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15
几点说明(2)
2) 线性映射的坐标表示.
事实上，
则有 由坐标的唯一性
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16
几点说明（3）
形式表示： 为了叙述方便，通常把线性组合写成 “矩阵乘积”的形式，比如
比较（1）与（2）得到
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17
乘法结合律