高数第一章知识点总结笔记

高数大一知识点总结前四章在大一的学习生活中，高等数学是一个非常重要的课程。

对于初学者来说，高数可能是一个挑战，因为它包含了许多新的概念和方法。

然而，只要我们掌握了一些基本的知识点，就能够更好地理解和应用高数。

下面，我将总结前四章的知识点，希望能够对大家的学习有所帮助。

第一章：数列与极限1. 数列的概念和表示方式：数列是按照一定规律排列的一组数，通常用通项公式表示。

2. 数列的分类：常数数列、等差数列、等比数列等。

常数数列的通项公式是恒等于一个常数；等差数列的通项公式是数列的第一个项加上公差与项数的乘积；等比数列的通项公式是数列的第一个项乘以公比的n-1次方。

3. 数列极限：当数列的项数逐渐增加时，数列可能会无限接近于某个数或取得无穷大的值。

这个无限接近的数被称为数列的极限。

第二章：函数与连续1. 函数的概念与性质：函数是一种描述两个变量之间关系的数学工具。

函数有定义域和值域两个重要的概念。

同时，函数有奇偶性、周期性等性质。

2. 基本初等函数：常见的基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

3. 函数的图像与性质：通过研究函数的图像，我们可以了解函数的性质，如单调性、极值点、零点、拐点等。

4. 连续性与间断点：函数在某一点处的极限等于函数在该点处的取值时，我们称该函数在该点处连续。

函数的间断点有可去间断、跳跃间断和无穷间断三种情况。

第三章：导数与微分1. 导数的概念与计算：导数描述了函数在某一点附近的变化率。

导数的计算可以使用极限的方法，也可以使用导数的基本性质进行计算。

2. 导数的性质与应用：导数有用于判断函数的增减性、求解极值和绘制函数图像的重要作用。

导数可以用于线性逼近、速度、密度和最优化等实际问题的求解。

3. 高阶导数与微分：高阶导数是导数的导数，它描述了函数在某一点处的曲率和变化率。

微分是函数值的增量与自变量的增量之间的关系。

第四章：不定积分1. 不定积分的概念与性质：不定积分是求解原函数的过程，常用的记号是∫f(x)dx。

《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。

集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。

集合中的元素无序，不重复。

2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。

(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。

(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。

(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。

(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。

3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。

(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。

(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。

4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。

(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。

通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。

5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。

(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。

(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。

(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。

(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。

总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。

理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。

在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。

大一高数笔记第一章知识点在大一的高数课程中，第一章通常是引入微积分的基本概念和方法。

这一章的知识点对于整个高数学习过程非常重要，因此在这里我将分享一些我认为最关键的内容。

一、函数的概念和性质函数是数学中一个非常基本的概念。

在第一章中，我们首先学习了函数的定义和性质。

函数描述了一种变量之间的关系，通常用一个字母来表示，例如f(x)。

函数可以有不同的表示形式，比如显式表达式、隐式表达式和参数方程等。

函数的性质有很多，其中最重要的是定义域、值域和图像。

定义域是指函数可取的自变量的值的范围，值域是指函数的所有可能的取值，而图像是函数在坐标系上的表示。

理解了这些性质，我们就可以更好地掌握函数的本质和特点。

二、数列的概念和分类数列是函数的一种特殊形式，它描述了一系列数字的排列。

数列也有不同的分类，最常见的是等差数列和等比数列。

等差数列是指每一项与前一项的差值都相等的数列，这个差值称为公差。

用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an= a1 + (n-1)d。

等比数列则是指每一项与前一项的比值都相等的数列，这个比值称为公比。

用数学符号表示，可以写作a1, a2, a3, …, an，其中an = a1 * r^(n-1)。

掌握了这两种数列的性质和求和公式，我们可以更好地解决实际问题中的数学计算。

三、极限的定义和性质极限是微积分中的核心概念，也是我们学习高数的重要环节。

在第一章中，我们首次接触了极限的概念和相关的性质。

极限描述了函数在无限接近某一点时的行为。

一个函数f(x)在x趋近某一值a时，如果当x无限接近a时，f(x)无限接近一个确定的值L，那么我们说函数f(x)在x趋近a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x) = L。

在计算极限时，我们要关注函数的局部行为和整体趋势。

常见的极限计算方法有代数运算法、夹逼法和无穷小量法等。

掌握这些计算方法，对于我们理解函数的性质和推导数学公式非常有帮助。

大一高数笔记全部知识点第一章数列与极限1.1 数列1.1.1 数列的概念1.1.2 等差数列1.1.3 等比数列1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限存在的条件1.2.3 极限的性质1.3 极限运算法则1.3.1 无穷小量与无穷大量1.3.2 极限的四则运算第二章函数与连续2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的性质2.2 基本初等函数2.2.1 幂函数与指数函数2.2.2 对数函数与指数对数函数2.3 函数的极限与连续性2.3.1 函数的极限2.3.2 函数的连续性第三章导数与微分3.1 导数的概念与计算方法3.1.1 导数的定义3.1.2 常用函数的导数计算3.2 微分的概念与性质3.2.1 微分的定义3.2.2 微分的性质3.3 高阶导数与导数的应用3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 导数的应用：切线与法线第四章积分与不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质4.3 积分的运算法则与应用4.3.1 积分的基本运算法则4.3.2 积分的应用：面积与曲线长度第五章多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.1.1 多元函数的定义5.1.2 多元函数的性质5.2 偏导数的概念与计算方法5.2.1 偏导数的定义5.2.2 常用函数的偏导数计算5.3 高阶偏导数与微分的应用5.3.1 高阶偏导数的定义5.3.2 微分的应用：切平面与法线以上是大一高数课程中的全部知识点。

通过学习这些知识，我们可以建立起数学的基础框架，为以后的学习打下坚实的基础。

每个知识点都有其重要性和实用性，在理解和掌握的过程中，我们要注重理论联系实际，通过例题和应用题的练习来提高解题能力。

希望同学们能够认真学习，并在课后进行适当的巩固和扩展。

加油！。

高数大一上知识点笔记1. 导数与求导法则：- 导数的定义：函数在某点的导数等于该点的切线斜率。

- 基本求导法则：常数求导为0，幂函数求导是幂次降低1，指数函数求导为其本身与ln(a)的乘积，对数函数求导为其自变量的导数与1/x的乘积。

- 四则运算法则：求导的线性性，导数的和的导数等于单个函数的导数的和，导数的差的导数等于单个函数的导数的差，导数的乘积等于单个函数的导数与另一个函数之积再加上另一个函数的导数与该函数的导数之积，导数的商等于分子函数的导数与分母函数之差再除以分母函数的平方。

2. 高阶导数与隐函数求导：- 高阶导数：一个函数的导数再求导的过程称为高阶导数。

- 隐函数求导：对于一些含有隐含变量的方程，通过求导可以找到相应的变量和导数之间的关系。

3. 常用的求导公式与技巧：- 特殊函数的导数：三角函数、指数函数、对数函数、双曲函数的导数公式。

- 高阶导数的迭代法：通过多次使用求导法则进行迭代，求得高阶导数。

- 链式法则：对复合函数的求导法则。

4. 微分与微分中值定理：- 微分：函数在某一点的微分等于该点处的导数与自变量的增量之积。

- 微分中值定理：包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

5. 函数的极限与连续性：- 函数的极限：自变量无限接近某一值时，函数趋于的极限。

- 数列极限和函数的极限：自变量无限接近某一值时，数列和函数的极限的关系。

- 连续函数与间断点：函数在某一点处连续的条件。

6. 泰勒公式与函数的近似计算：- 泰勒公式：将一个函数在某点附近展开成幂函数的形式，用于近似计算。

- 泰勒展开与函数的近似计算：用泰勒公式代替函数进行近似计算的方法。

7. 不定积分与定积分：- 不定积分：求解函数的原函数的过程。

- 定积分：求解函数在一定区间上的面积或曲线的弧长的过程。

- 牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分之间的关系。

8. 主要的积分技巧和方法：- 代换法：通过替换自变量，将复杂的积分转化为简单的积分。

高数笔记大一上知识点汇总[第一章：数列与极限]1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列中的每个数称为该数列的项。

2. 数列的分类- 等差数列：数列中每两项之间的差值都相等。

- 等比数列：数列中每两项之间的比值都相等。

- 递推数列：数列中的每一项都能由前面的项通过某种规律推算得到。

3. 数列的通项公式在某些规律的数列中，我们可以找到一种公式来表示该数列的第n项，这个公式被称为数列的通项公式。

4. 数列的前n项和数列的前n项和表示数列从第一项到第n项的求和结果。

对于等差数列、等比数列和递推数列，都有相应的求和公式。

5. 极限的概念极限是数列或函数在某一点或无穷远处的趋势或趋近值。

6. 数列的极限- 数列的收敛：当数列的项越来越接近某个确定的数时，可以说该数列收敛于该数。

- 数列的发散：当数列的项没有接近某个确定的数的情况下，可以说该数列发散。

7. 极限的性质与运算法则- 极限唯一性：数列的极限只能有一个。

- 有界性：收敛的数列是有界的，即数列中的所有项都在某个范围内。

- 收敛数列的极限运算法则：对于两个收敛数列的和、差、积、商，其极限仍可通过相应的运算得到。

[第二章：导数与微分]1. 函数的极限函数的极限表示当自变量趋近于某个值时，函数值的趋势或趋近值。

2. 导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。

可以通过导数来刻画函数曲线在某一点的切线的斜率。

3. 导数的运算法则- 常数倍法则：导数与常数倍之间有简单的线性关系。

- 和差法则：导数的和的导数等于各个导数之和。

- 乘积法则：导数的乘积等于前一个导数乘以后一个函数的值再加上后一个导数乘以前一个函数的值。

- 商法则：导数的商等于分子的导数乘以分母的值减去分母的导数乘以分子的值，再除以分母的平方。

4. 高阶导数函数的导数也可以求导，得到的导函数称为原函数的高阶导数。

5. 隐函数与参数方程的求导对于隐函数和参数方程，我们可以使用求导法则来求取导数。

《高等数学》各章知识点总结——第1章（五篇）第一篇：《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{xn}，若存在常数a，对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得对于n >N 时的一切n,恒有|xn-a |<ε 则称a 是数列{xn}的极限,或者称数列{xn}收敛于a ,记为n→∞limxn=a或xn→a(n→∞).（2）函数极限的定义设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内（或当x>M>0）有定义，如果存在常数A,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正数δ,（或存在X）使得当x满足不等式0<|x-x0|<δ 时,（或当x>X时）恒有|f(x)-A|<ε,那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0（或x→∞）时的极限,记为x→x0limf(x)=A或f(x)→A(当x→x0).（或limf(x)=A）x→∞类似的有：如果存在常数A,对∀ε>0,∃δ>0,当x:x0-δ<x<x0（x0<x<x0-δ）时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→x0时的左极限（或右极限）记作x→x0-limf(x)=A(或lim+f(x)=A)x→x0x→x0x→x0x→x0显然有limf(x)=A⇔lim-f(x)=lim+f(x)=A) 如果存在常数A,对∀ε>0,∃X>0,当x<-X(或x>X)时，恒有f(x)-A<ε，则称A为f(x)当x→-∞（或当x→+∞）时的极限记作limf(x)=A(或limf(x)=A)x→-∞x→+∞显然有limf(x)=A⇔limf(x)=limf(x)=A)x→∞x→-∞x→+∞2、极限的性质（1）唯一性若limxn=a，limxn=b，则a=bn→∞n→∞若limf(x)=Alimf(x)=B，则A=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)（2）有界性（i）若limxn=a，则∃M>0使得对∀n∈Nn→∞+,恒有xn≤M（ii）若limf(x)=A，则∃M>0当x:0<x-x0<δ时，有f(x)≤Mx→x0（iii）若limf(x)=A，则∃M>0,X>0当x>X时，有f(x)≤Mx→∞（3）局部保号性（i）若limxn=a且a>0(或a<0)则∃N∈N+，当n>N时，恒有xn>0(或xn<0)n→∞)=A，且A>0(或A<0)，则∃δ>0当x:0<x-x0<δ时，有（ii）若limf(xx→x0f(x)>0(或f(x)<0)3、极限存在的准则（i）夹逼准则给定数列{xn},{yn},{zn}若①∃n0∈N,当n>n0时有yn≤xn≤zn ②limyn=limzn=a，n→∞n→∞+则limxn=an→∞ 给定函数f(x),g(x),h(x)， 若①当x∈U(x0,r)（或x>X）时，有g(x)≤f(x)≤h(x)②limg(x)=limh(x)=A，x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)0则limf(x)=A x→∞(x→x0)（ii）单调有界准则给定数列{xn}，若①对∀n∈N+有xn≤xn+1(或xn≥xn+1)②∃M(m)使对∀n∈N+有xn≤M(或xn≥m)则limxn存在n→∞若f(x)在点x0的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则lim-f(x)（或lim+f(x)）x→x0x→x0存在4、极限的运算法则（1）若limf(x)=A，limg(x)=Bx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)则(i)lim[f(x)±g(x)]=A±Bx→∞(x→x0)(ii)lim[f(x)⋅g(x)]=A⋅Bx→∞(x→x0)(iii)limx→∞(x→x0)f(x)A=⋅（B≠0）g(x)B0（2）设（i）u=g(x)且limg(x)=u0（ii）当x∈U(x0,δ)时g(x)≠u0x→x0（iii）limf(u)=Au→u0则limf[g(x)]=limf(u)=Ax→x0u→u05、两个重要极限（1）limsinx=1x→0xsinu(x)=1u(x)→0u(x)limlimsinx11=0，limxsin=1，limxsin=0x→∞x→∞x→0xxxxu(x)⎛1⎫1⎫⎛lim1+（2）lim 1+⎪=e ⎪u(x)→∞x→∞u(x)⎭x⎭⎝⎝=e;lim(1+x)=ex→01xv(x)→0lim(1+v(x))1v(x)=e;6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若limα(x)=0，即对∀ε>0,∃δ>0,当x:0<x-x0<δ（或x→∞(x→x0)x>X）时有α(x)<ε，则称当x→x0(或x→∞)，α(x)无穷小量（2）或X>0),若limf(x)=∞即对∀M>0,∃δ>0(当x:0<x-x0<δx→∞(x→x0)（或x>X）时有f(x)>M则称当x→x0(或x→∞)，f(x)无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）limf(x)=A⇔f(x)=A+α(x),其中limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)α(x)=0（f(x)≠0）⇒lim（2）limf(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)1=∞f(x)（3）limg(x)=∞⇒limx→∞(x→x0)x→∞(x→x01=0 g(x))（4）limf(x)=∞且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)+g(x)]=∞x→∞(x→x0)（5）limf(x)=0且∃M>0,当x:0<x-x0<δ（或x>X）时有g(x)≤M，x→∞(x→x0)则lim[f(x)⋅g(x)]=0x→∞(x→x0)nn（6）limfk(x)=0(k=1,2,Λ,n)则limx→∞(x→x0)x→∞(x→x0)k=1∑fk(x)=0,limx→∞(x→x0)k=1∏fk(x)= 0，8、无穷小量的比较x→∞(x→x0)limf(x)=0,limg(x)=0,limα(x)=0x→∞(x→x0)x→∞(x→x0)若（1）lim小。

大一高数上册笔记知识点一、函数与极限1. 定义和性质- 函数的定义：函数是一个将一个集合的元素对应到另一个集合的元素的规则。

- 函数的性质：唯一性和有界性。

2. 极限的定义和性质- 极限的定义：当自变量趋近于某个特定值时，函数的值趋近于一个确定的常数。

- 极限的性质：唯一性、局部有界性和保号性。

3. 无穷大与无穷小- 无穷大：当自变量趋近于无穷时，函数的值无限增大。

- 无穷小：当自变量趋近于某个特定值时，函数的值无限接近于零。

二、导数与微分1. 导数的定义和性质- 导数的定义：函数在某一点的变化率。

- 导数的性质：线性性、乘积法则和除法法则。

2. 常用函数的导数- 幂函数的导数：幂函数的导数是其指数乘以底数的幂减一。

- 指数函数和对数函数的导数：指数函数和对数函数可以互相转化为求幂函数的导数。

- 三角函数的导数：根据三角函数的特性，可以求得三角函数的导数。

3. 微分的定义和性质- 微分的定义：函数在某一点的线性逼近。

- 微分的性质：可加性、恒等关系和乘积关系。

三、一元函数的应用1. 函数的极值- 极值的定义：函数取得最大值或最小值的点。

- 极值的判别法：一阶导数判别法和二阶导数判别法。

2. 函数的凸性和拐点- 函数的凸性：函数图像在某一区间上向上凸或向下凸。

- 函数的拐点：函数图像由凹变凸或由凸变凹的点。

3. 泰勒公式- 泰勒公式的定义：将一个函数在某一点展开成无穷级数的形式。

- 泰勒公式的应用：求函数的近似值和导数的近似值。

四、不定积分1. 不定积分的定义和性质- 不定积分的定义：函数在某一区间上的原函数。

- 不定积分的性质：线性性、换元法则和分部积分法则。

2. 常用函数的不定积分- 幂函数的不定积分：幂函数的不定积分是其指数加一的倒数乘以底数的幂。

- 指数函数和对数函数的不定积分：指数函数和对数函数可以互相转化为求幂函数的不定积分。

- 三角函数的不定积分：根据三角函数的特性，可以求得三角函数的不定积分。

大一高数第一章知识点笔记一、集合和映射1. 集合的定义和表示方法集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。

可以通过列举元素的方式表示集合，也可以使用描述性的方式表示集合。

2. 集合的运算(1) 并集：将两个或多个集合中的元素统一起来，去除重复元素后形成的集合。

(2) 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。

(3) 差集：如果A、B是集合，差集A-B是指由属于A而不属于B的元素组成的新集合。

(4) 补集：设U是全集，A是U的一个子集，那么相对于全集U中的A的补集是U中那些不属于A的元素组成的集合。

二、数列和极限1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的一列数，可以按照顺序排列或者按照递推公式得到。

2. 数列的极限如果对于数列{an}，当n趋于无穷大时，数列中的数a_n（n 为正整数）趋于某个常数A，那么称数列{an}的极限为A。

3. 数列的极限存在性(1) 单调有界准则：如果数列{an}单调递增且有上界（或数列单调递减且有下界），那么{an}必定收敛。

(2) 夹逼准则：如果对于数列{an}，有两个数列{bn}和{cn}，其中{bn}≤{an}≤{cn}，且lim{bn}=lim{cn}=A，则数列{an}的极限也是A。

(3) 子数列收敛准则：如果数列{an}的任意子列都收敛于同一极限A，则数列{an}也收敛于A。

三、函数与极限1. 函数的定义和表示方法函数是一种映射关系，将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。

2. 函数的极限如果当自变量趋近某个特定值时，函数的值趋近于某个常数L，那么称函数在这个特定值处的极限为L。

3. 函数的连续性(1) 函数在某个点a处连续，当且仅当该点的极限值等于函数在该点的值，即lim{h→0} f(a+h) = f(a)。

(2) 若函数f(x)在[a,b]上连续，则在该区间上f(x)有界。

(3) 若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(x)≠0，则在该区间上1/g(x)也连续。