大一高数笔记第一章知识点

《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。

集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。

集合中的元素无序，不重复。

2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。

(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。

(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。

(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。

(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。

3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。

(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。

(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。

4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。

(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。

通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。

5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。

(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。

(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。

(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。

(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。

总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。

理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。

在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。

大一高数笔记全部知识点第一章数列与极限1.1 数列1.1.1 数列的概念1.1.2 等差数列1.1.3 等比数列1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限存在的条件1.2.3 极限的性质1.3 极限运算法则1.3.1 无穷小量与无穷大量1.3.2 极限的四则运算第二章函数与连续2.1 函数的概念与性质2.1.1 函数的定义2.1.2 函数的性质2.2 基本初等函数2.2.1 幂函数与指数函数2.2.2 对数函数与指数对数函数2.3 函数的极限与连续性2.3.1 函数的极限2.3.2 函数的连续性第三章导数与微分3.1 导数的概念与计算方法3.1.1 导数的定义3.1.2 常用函数的导数计算3.2 微分的概念与性质3.2.1 微分的定义3.2.2 微分的性质3.3 高阶导数与导数的应用3.3.1 高阶导数的定义3.3.2 导数的应用：切线与法线第四章积分与不定积分4.1 不定积分的概念与性质4.1.1 不定积分的定义4.1.2 不定积分的性质4.2 定积分的概念与性质4.2.1 定积分的定义4.2.2 定积分的性质4.3 积分的运算法则与应用4.3.1 积分的基本运算法则4.3.2 积分的应用：面积与曲线长度第五章多元函数与偏导数5.1 多元函数的概念与性质5.1.1 多元函数的定义5.1.2 多元函数的性质5.2 偏导数的概念与计算方法5.2.1 偏导数的定义5.2.2 常用函数的偏导数计算5.3 高阶偏导数与微分的应用5.3.1 高阶偏导数的定义5.3.2 微分的应用：切平面与法线以上是大一高数课程中的全部知识点。

通过学习这些知识，我们可以建立起数学的基础框架，为以后的学习打下坚实的基础。

每个知识点都有其重要性和实用性，在理解和掌握的过程中，我们要注重理论联系实际，通过例题和应用题的练习来提高解题能力。

希望同学们能够认真学习，并在课后进行适当的巩固和扩展。

加油！。

高数大一上知识点笔记1. 导数与求导法则：- 导数的定义：函数在某点的导数等于该点的切线斜率。

- 基本求导法则：常数求导为0，幂函数求导是幂次降低1，指数函数求导为其本身与ln(a)的乘积，对数函数求导为其自变量的导数与1/x的乘积。

- 四则运算法则：求导的线性性，导数的和的导数等于单个函数的导数的和，导数的差的导数等于单个函数的导数的差，导数的乘积等于单个函数的导数与另一个函数之积再加上另一个函数的导数与该函数的导数之积，导数的商等于分子函数的导数与分母函数之差再除以分母函数的平方。

2. 高阶导数与隐函数求导：- 高阶导数：一个函数的导数再求导的过程称为高阶导数。

- 隐函数求导：对于一些含有隐含变量的方程，通过求导可以找到相应的变量和导数之间的关系。

3. 常用的求导公式与技巧：- 特殊函数的导数：三角函数、指数函数、对数函数、双曲函数的导数公式。

- 高阶导数的迭代法：通过多次使用求导法则进行迭代，求得高阶导数。

- 链式法则：对复合函数的求导法则。

4. 微分与微分中值定理：- 微分：函数在某一点的微分等于该点处的导数与自变量的增量之积。

- 微分中值定理：包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理和罗尔中值定理。

5. 函数的极限与连续性：- 函数的极限：自变量无限接近某一值时，函数趋于的极限。

- 数列极限和函数的极限：自变量无限接近某一值时，数列和函数的极限的关系。

- 连续函数与间断点：函数在某一点处连续的条件。

6. 泰勒公式与函数的近似计算：- 泰勒公式：将一个函数在某点附近展开成幂函数的形式，用于近似计算。

- 泰勒展开与函数的近似计算：用泰勒公式代替函数进行近似计算的方法。

7. 不定积分与定积分：- 不定积分：求解函数的原函数的过程。

- 定积分：求解函数在一定区间上的面积或曲线的弧长的过程。

- 牛顿-莱布尼茨公式：定积分与不定积分之间的关系。

8. 主要的积分技巧和方法：- 代换法：通过替换自变量，将复杂的积分转化为简单的积分。

高数笔记大一上知识点汇总[第一章：数列与极限]1. 数列的概念数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。

数列中的每个数称为该数列的项。

2. 数列的分类- 等差数列：数列中每两项之间的差值都相等。

- 等比数列：数列中每两项之间的比值都相等。

- 递推数列：数列中的每一项都能由前面的项通过某种规律推算得到。

3. 数列的通项公式在某些规律的数列中，我们可以找到一种公式来表示该数列的第n项，这个公式被称为数列的通项公式。

4. 数列的前n项和数列的前n项和表示数列从第一项到第n项的求和结果。

对于等差数列、等比数列和递推数列，都有相应的求和公式。

5. 极限的概念极限是数列或函数在某一点或无穷远处的趋势或趋近值。

6. 数列的极限- 数列的收敛：当数列的项越来越接近某个确定的数时，可以说该数列收敛于该数。

- 数列的发散：当数列的项没有接近某个确定的数的情况下，可以说该数列发散。

7. 极限的性质与运算法则- 极限唯一性：数列的极限只能有一个。

- 有界性：收敛的数列是有界的，即数列中的所有项都在某个范围内。

- 收敛数列的极限运算法则：对于两个收敛数列的和、差、积、商，其极限仍可通过相应的运算得到。

[第二章：导数与微分]1. 函数的极限函数的极限表示当自变量趋近于某个值时，函数值的趋势或趋近值。

2. 导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率或斜率。

可以通过导数来刻画函数曲线在某一点的切线的斜率。

3. 导数的运算法则- 常数倍法则：导数与常数倍之间有简单的线性关系。

- 和差法则：导数的和的导数等于各个导数之和。

- 乘积法则：导数的乘积等于前一个导数乘以后一个函数的值再加上后一个导数乘以前一个函数的值。

- 商法则：导数的商等于分子的导数乘以分母的值减去分母的导数乘以分子的值，再除以分母的平方。

4. 高阶导数函数的导数也可以求导，得到的导函数称为原函数的高阶导数。

5. 隐函数与参数方程的求导对于隐函数和参数方程，我们可以使用求导法则来求取导数。

《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有|x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或xn →a (n →∞).（2）函数极限的定义设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ）使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时）恒有 |f (x )-A |<ε ,那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为A x f x x =→)(lim 0或f (x )→A (当x →x 0).（或lim ()x f x A →∞=）类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→==或显然有0lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?==如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f xA ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞→+∞==或显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞→-∞→+∞=?==2、极限的性质（1）唯一性若a x n n =∞→lim ，lim n n x b →∞=，则a b =若0()lim ()x x x f x A →∞→=0()lim ()x x x f x B →∞→=，则A B =（2）有界性（i ）若a x n n =∞→lim ，则0M ?>使得对,n N+∈恒有n x M ≤（ii ）若0lim ()x x f x A →=，则0M ?>当0:0x x x δ<-<时，有()f x M ≤（iii ）若lim ()x f x A →∞=，则0,0M X ?>>当x X >时，有()f x M ≤（3）局部保号性（i ）若a x n n =∞→lim 且0(0)a a ><或则N N +?∈，当n N >时，恒有0(0)n n x x ><或（ii ）若0lim ()x x f xA →=，且0(0)A A ><或，则0δ?>当0:0x x x δ<-<时，有()0(()0)f x f x ><或3、极限存在的准则（i ）夹逼准则给定数列{},{},{}n n n x y z若①0,n N +∈当0n n >时有n n n y x z ≤≤ ②lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则lim n n x a →∞=给定函数(),(),()f x g x h x ，若①当00(,)x U x r ∈（或x X >）时，有()()()g x f x h x ≤≤ ②00()()lim ()lim ()x x x x x x g x h x A →∞→∞→→==，则0()lim ()x x x f x A →∞→=（ii ）单调有界准则给定数列{}n x ，若①对n N +?∈有11()n n n n x x x x ++≤≥或②()M m ?使对n N +?∈有()n n x M x m ≤≥或则lim n n x →∞存在若()f x 在点0x 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0lim ()x x f x -→（或0lim ()x x f x +→）存在4、极限的运算法则（1）若0()lim ()x x x f x A →∞→=，0()lim ()x x x g x B →∞→=则(i)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±(ii)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→?=? (iii)0()()lim()x x x f x Ag x B→∞→=?（0B ≠）（2）设（i ）00()lim ()x x u g x g x u →==且（ii ）当0 0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠（iii ）0lim ()u u f u A →=则0lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→== 5、两个重要极限（1）0sin lim1x xx →=()0sin ()lim1()u x u x u x →=sin lim0x x x ∞→=，1lim sin 1x x x →∞=，01 lim sin 0x x x→=（2）1lim 1xx e x →∞?+= )()(1lim 1;()x u u x e u x →∞??+= ??1lim(1)xx x e→+=()()01()lim 1();v x x v v x e →+=6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若0()lim ()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ?>?>当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()x αε<，则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量（2）若0()lim ()x x x f x →∞→=∞即对0,0(0),M X δ?>?>>或当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()f x M >则称当0()()x x x f x →→∞或，无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）00()()lim ()()(),lim()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞→∞→→=?=+=其中（2）00()()1lim ()0()0lim ()x x x x x x f x f x f x →∞→∞→→=≠?=∞（）（3）00()()1lim ()lim0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞?= （4）0()lim ()0,x x x f x M →∞→=∞?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]x x x f x g x →∞→+=∞（5）0()lim ()00,x x x f x M →∞→=?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]0x x x f x g x →∞→?=（6）0()lim ()0(1,2,,)k x x x f x k n →∞→== 则01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∑01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∏8、无穷小量的比较000()()()lim ()0,lim ()0,lim ()0→∞→∞→∞→→→===x x x x x x x x x f x g x x α若（1）0()()lim 0,()x x x f x C g x →∞→=≠，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 与()g x 是同阶无穷小。

高数第一章知识点总结笔记高数第一章主要包括函数与极限的基本概念，函数的性质，函数的图像与性质，函数的运算，以及极限的性质和运算法则等内容。

1.函数的定义和表示方法：- 函数的定义：函数是一个具有自变量和因变量的关系，对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。

- 函数的表示方法：通常用函数关系式、函数图、表格和文字描述等方式来表示函数。

2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。

- 奇偶性：若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若不满足以上两个条件，则称函数为既不是奇函数也不是偶函数。

- 增减性：在定义域中，若有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数在这个区间内是增函数；若有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数在这个区间内是减函数。

3. 函数的图像与性质：- 概念：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，函数的图像反映了函数的性质和规律。

- 图像的平移、翻折、伸缩、可导性和连续性等。

4. 函数的运算：- 四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。

- 复合函数：将一个函数的自变量用另一个函数表示出来，形成复合函数。

- 反函数：若两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数。

5. 极限的定义和性质：- 极限的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim f(x) = A(x→x0)。

- 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则、迫敛和夹蔽准则等。

大一高数第一章知识点笔记一、集合和映射1. 集合的定义和表示方法集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。

可以通过列举元素的方式表示集合，也可以使用描述性的方式表示集合。

2. 集合的运算(1) 并集：将两个或多个集合中的元素统一起来，去除重复元素后形成的集合。

(2) 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。

(3) 差集：如果A、B是集合，差集A-B是指由属于A而不属于B的元素组成的新集合。

(4) 补集：设U是全集，A是U的一个子集，那么相对于全集U中的A的补集是U中那些不属于A的元素组成的集合。

二、数列和极限1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的一列数，可以按照顺序排列或者按照递推公式得到。

2. 数列的极限如果对于数列{an}，当n趋于无穷大时，数列中的数a_n（n 为正整数）趋于某个常数A，那么称数列{an}的极限为A。

3. 数列的极限存在性(1) 单调有界准则：如果数列{an}单调递增且有上界（或数列单调递减且有下界），那么{an}必定收敛。

(2) 夹逼准则：如果对于数列{an}，有两个数列{bn}和{cn}，其中{bn}≤{an}≤{cn}，且lim{bn}=lim{cn}=A，则数列{an}的极限也是A。

(3) 子数列收敛准则：如果数列{an}的任意子列都收敛于同一极限A，则数列{an}也收敛于A。

三、函数与极限1. 函数的定义和表示方法函数是一种映射关系，将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。

2. 函数的极限如果当自变量趋近某个特定值时，函数的值趋近于某个常数L，那么称函数在这个特定值处的极限为L。

3. 函数的连续性(1) 函数在某个点a处连续，当且仅当该点的极限值等于函数在该点的值，即lim{h→0} f(a+h) = f(a)。

(2) 若函数f(x)在[a,b]上连续，则在该区间上f(x)有界。

(3) 若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(x)≠0，则在该区间上1/g(x)也连续。

高等数学第一章整理老师 PPT 形成笔记 第一章 1、设 x, y 为两个变量， D为数集，若对 ∀ x ∈ D ，按某一对应关系 f ，总有唯一确定的一个数 y 与 x 相对应，则 称对应关系 f 是定义在 D 上的函数， 习惯上也称 y 是 x 的函数， 记作  y = f ( x ) x ∈ D ) ,其中 x 称为自变量， y 称 （ 为因变量，也称对应于自变量 x 的函数值．    2、函数的三要素:定义域，值域，对应法则  3、对于函数 y=f(x)，当该函数有实际意义时，它的定义域按实际意义确定．当函数没有实际意义时，它的定义域是 指使函数有意义的全体实数，这样的定义域称为自然定义域，一般所说的定义域大多指自然定义域．  4、函数的表示法： （1）图形法（2）表格法（3）解析法  5、函数的几种特性：函数的单调性  、函数的有界性、函数的奇偶型性、函数的周期性  6、 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ， 区间 I ⊂ D． 如果对于 I 上任意两点  x1及x2， x1 < x2 时， 当 恒有 f ( x1 ) < f ( x 2 )  成立，则称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调增加；如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 ，当 x1 < x 2 时，恒有f (x1) > f (x2) 成立，则称函数 f ( x) 在区间 I 上单调减少．  单调增加和单调减少的函数统称为单调函数． 从图象上看,  增函数的图象自左向右逐渐上升;  减函数的图象自左向右逐渐下降．  7、对于给定的数列{      },如果当  n  无限递增大时，数列趋近于某一确定的常数  a  ，则称 a 为数列的极限，或称数 列收敛于 a，记为 lim xn = a 或 xn → a (n → ∞)  n →∞9、 如果数列没有极限，就说数列是发散的。

大一高数第一章知识点笔记
大一高数第一章主要讲解了函数的基本概念和性质，包括函数的定义、分类、表达式、图像等。

首先，函数是一种数学模型，它描述了自变量与因变量之间的关系。

其中，自变量是函数的输入，因变量是函数的输出。

函数的定义可以用规则、集合、表达式等来表示。

函数可以分为一元函数和多元函数。

一元函数只有一个自变量，如y = 2x+1。

多元函数有多个自变量，如 z = 2x+3y。

函数的表达式可以用数学符号表示，如 y = 2x+1。

这里的y是因变量，x是
自变量，2和1是常数。

函数的表达式可以用图像来表示，在平面直角坐标系中，把自变量x作为横坐标，因变量y作为纵坐标，函数图像就是一条曲线。

函数还有其他性质，如单调性、导函数、单调递增/递减等。

其中单调性指函
数图像是单调递增或递减的，导函数是函数的导数，可以用来研究函数的变化率。

在学习本章内容时，需要注意基本概念和定义的理解，并结合练习题练习掌握相关知识。

同时，也要注意对相关定理和公式的掌握，以便在进行解题时能够灵活运用。

总之，大一高数第一章知识点是基础性且重要的，在学习这些知识时需要注重理解基本概念和定义，并结合练习题练习掌握相关知识。

此外，还要注意对相关定理和公式的掌握，以便在进行解题时能够灵活运用。

在学习过程中，可以通过分析例题和做习题来巩固所学知识。

在理解这些知识点后，就可以通过解决相关应用问题来检验自己的学习效果。