第1章复习(专升本高数)

黑龙江统招专升本高等数学第一章初等函数一、考试范围（1）函数的概念：函数的定义、函数的表示法、分段函数、三角函数的图像。

（2）函数的简单性质：单调性、奇偶性、有界性、周期性、定义域、值域。

（3）反函数：反函数的定义、反函数的图象、反函数的定义域、值域。

（4）函数的四则运算与复合运算。

（5）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。

二、学习达成标准（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值。

会求分段函数的定义域、函数值，并会作出简单的分段函数图像。

（2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别。

（3）了解函数y=ƒ（x）与其反函数y=ƒ-1（x）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单调函数的反函数。

（4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程。

（5）掌握基本初等函数的简单性质及其图象。

（6）了解初等函数的概念。

（7）会建立简单实际问题的函数关系式。

三、常用基础公式（1）指数函数运算法则m n m na a a+⋅=； m n m na a a-÷=；()()m n m nn ma aa ⋅==；()nnnab a b =⋅；()nn na ab b =；nnan a an ⎧=⎨⎩为偶数为奇数；(nna a =； 1pp aa -=；(0)a ≠；01a =；(0)a ≠；nm nm a a = （2）对数函数运算公式log log log a a a MN M N=+；log log log aa a MM N N =-；log log m a a M m M =； 1log log m a a M M m =；log log m n a a nM M m =；log log log c a c b b a =；1log log a b b a =； log 1a a =；log m a a m=；log a Na N =；log 10a =；()ln ln ln MN M N =+；lnln ln MM N N =-；ln ln n M n M =；ln10=；ln 1e =；ln m e m = （3）二倍角公式22tan sin 22sin cos 1tan ∂∂=∂∂=+∂；2222221tan cos2cos sin 2cos 112sin 1tan -∂∂=∂-∂=∂-=-∂=+∂；22tan tan 21tan ∂∂=-∂（4）降幂公式()21-22cos sin θθ⎡⎤⎣⎦=；()21+2=2cos cos θθ⎡⎤⎣⎦；()()21-cos 2=1+cos 2tan θθθ （5）半角公式 正负由2∂所在的象限决定1cos sin22∂-∂=±；1cos cos 22∂+∂=±； 1cos 1cos sin tan21cos sin 1cos ∂-∂-∂∂=±==+∂∂+∂； 1cos 1cos sin cot21cos sin 1cos ∂+∂+∂∂=±==-∂∂-∂（6）诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限）()sin sin -∂=-∂；()cos cos -∂=∂；()tan tan -∂=-∂；()cot cot -∂=-∂()()sin 2sin k k z π+∂=∂∈；()()cos 2cos k k z π+∂=∂∈；()()tan 2tan k k z π+∂=∂∈；()()cot 2cot k k z π+∂=∂∈；()sin sin π+∂=-∂；()cos cos π+∂=-∂；()tan tan π+∂=∂；()cot cot π+∂=∂()sin sin π-∂=∂；()cos cos π-∂=-∂；()tan tan π-∂=-∂；()cot cot π-∂=-∂()sin 2sin π-∂=-∂；()cos 2cos π-∂=∂； ()tan 2tan π-∂=-∂；()cot 2cot π-∂=-∂；sin cos 2π⎛⎫+∂=∂ ⎪⎝⎭；sin cos 2π⎛⎫-∂=∂ ⎪⎝⎭； cos sin 2π⎛⎫+∂=-∂ ⎪⎝⎭；cos sin 2π⎛⎫-∂=∂ ⎪⎝⎭； tan cot 2π⎛⎫+∂=-∂ ⎪⎝⎭；tan cot 2π⎛⎫-∂=∂ ⎪⎝⎭； cot tan 2π⎛⎫+∂=-∂ ⎪⎝⎭；cot tan 2π⎛⎫-∂=∂ ⎪⎝⎭四、历年命题趋势研判2014 2015 2016 2017 2018 2019 平均分 题号选择题（1、2） 选择题（1、2） 选择题（1）选择题（1） 选择题（1） 选择题（1） 选择题分值 8844445.6命题趋势：近几年题型、分数稳定，14-15年两道选择考察为定义域及奇偶性，从16年开始，为一道选择，考察为定义域及基本性质。

严格依据大纲编写：笔记目录第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求]1.了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

2.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

3.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

4.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性[复习考试要求]1.理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

2.会求函数的间断点。

3.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

4.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求]1.理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。

会求分段函数的导数。

5.了解高阶导数的概念。

会求简单函数的高阶导数。

6.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用[复习考试要求]1.熟练掌握用洛必达法则求“0·∞”、“∞-∞”型未定式的极限的方法。

2.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。

会利用函数的单调性证明简单的不等式。

3.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。

4.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

5.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求]1.理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

高等数学一专升本自学教材第一章：导数与微分在高等数学一专升本自学教材的第一章中，我们将深入研究导数与微分的概念和性质。

1.1 导数的定义与计算方法导数是函数在某一点上的变化率，它的定义是函数在该点的极限。

我们将介绍导数的定义，并针对常见函数的导数计算方法进行详细讲解。

1.2 导数的几何意义与图像特性导数具有重要的几何意义，它可以描述函数图像的斜率和曲线的凹凸性质。

我们将探讨导数与函数图像之间的关系，并介绍导数曲线的性质。

1.3 微分的定义与应用微分是函数在某一点附近的线性近似，它的定义和计算方法与导数密切相关。

我们将讨论微分的定义，并应用微分进行函数近似与误差估计。

第二章：积分与定积分第三章：一元函数的应用问题第四章：多元函数与多元函数微分法第五章：不定积分与定积分的计算第六章：无穷级数第七章：常微分方程第八章：空间解析几何与向量代数第九章：多元函数微分学第十章：多重积分与曲线积分第十一章：曲面积分、高斯公式与斯托克斯公式在高等数学一专升本自学教材中，我们将通过以上章节的学习，系统地掌握高等数学一所涉及的知识点和技能。

正确认识导数与微分的概念，在实际问题中能够熟练地运用它们；深入理解积分与定积分的含义，灵活运用积分方法解决各种实际问题；掌握一元函数的应用问题的解决方法；了解多元函数的基本概念与性质，掌握多元函数微分法；掌握不定积分与定积分的计算方法和技巧；学习无穷级数及其求和方法；掌握常微分方程的基本概念和解法；理解空间解析几何和向量代数的基本概念和性质；深入学习多元函数微分学的基本概念和方法；掌握多重积分与曲线积分的计算技巧；了解曲面积分、高斯公式和斯托克斯公式的基本理论和应用。

通过自学教材的系统学习和实际问题的练习与应用，我们可以全面提升高等数学一的知识和技能水平，为专升本考试做好充分准备，进一步提升个人学术能力和就业竞争力。

高等数学一专升本自学教材，期待与你一同开启数学学习的新篇章！。

第一章极限和连续第一节极限[复习考试要求].了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。

会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。

.了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。

.理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。

会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。

会运用等价无穷小量代换求极限。

.熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。

第二节函数的连续性[复习考试要求].理解函数在一点处连续与间断的概念，理解函数在一点处连续与极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。

.会求函数的间断点。

.掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。

.理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学第一节导数与微分[复习考试要求].理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。

.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。

.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。

.掌握隐函数的求导法与对数求导法。

会求分段函数的导数。

.了解高阶导数的概念。

会求简单函数的高阶导数。

.理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。

第二节导数的应用[复习考试要求].熟练掌握用洛必达法则求“·∞”、“∞∞”型未定式的极限的方法。

.掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。

会利用函数的单调性证明简单的不等式。

.理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值与最小值的方法，会解简单的应用题。

.会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。

.会求曲线的水平渐近线与铅直渐近线第三章一元函数积分学第一节不定积分[复习考试要求].理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。

.熟练掌握不定积分的基本公式。

专升本高数一知识点归纳专升本高等数学是许多专科生在进入本科学习阶段时必须掌握的一门课程，它涵盖了多个数学领域的基础知识点。

以下是专升本高等数学一的主要知识点归纳：一、函数与极限- 函数的概念：定义域、值域、奇偶性、周期性。

- 极限的定义：数列极限、函数极限。

- 无穷小的比较：高阶无穷小、低阶无穷小。

- 极限的运算法则：加、减、乘、除、复合函数的极限。

二、导数与微分- 导数的定义：导数的几何意义、物理意义。

- 基本初等函数的导数公式：幂函数、三角函数、指数函数、对数函数。

- 高阶导数：二阶导数、三阶导数。

- 微分的概念：可微性、微分的几何意义。

- 微分中值定理：罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

三、积分学- 不定积分：换元积分法、分部积分法。

- 定积分：定积分的性质、几何意义、定积分的计算。

- 广义积分：无穷限广义积分、无界函数的广义积分。

- 定积分的应用：面积、体积、平均值问题。

四、微分方程- 一阶微分方程：可分离变量方程、一阶线性微分方程。

- 高阶微分方程：特征方程、二阶常系数线性微分方程。

- 微分方程的应用：物理、工程等领域的应用。

五、级数- 数项级数：正项级数、交错级数、绝对收敛级数。

- 幂级数：幂级数的收敛半径、泰勒级数。

- 傅里叶级数：三角级数、傅里叶级数的性质。

六、多元函数微分学- 偏导数：一阶偏导数、二阶偏导数。

- 全微分：全微分的定义、几何意义。

- 多元函数的极值：拉格朗日乘数法。

七、多元函数积分学- 二重积分：二重积分的计算、几何意义。

- 三重积分：三重积分的计算方法。

结束语：专升本高等数学的学习不仅要求学生掌握数学的基本概念和运算技巧，还要求能够运用这些知识解决实际问题。

通过以上知识点的归纳，希望能帮助同学们更好地复习和掌握专升本高等数学的主要内容，为未来的学习和工作打下坚实的基础。

专升本高等数学考试知识点汇总第一章函数、极限和连续考试重点及复习规划本章出题在19分–29分之间，是出题最多的一章，考点也比较多，但本章内容很多学生在专科阶段都系统学习过，学习时结合书中例题掌握每个知识点，独立完成同步练习、真题聚焦和模拟训练.考点1.确定两个函数是否为同一函数—09年出过一题，其他年份没有出.考点2.求复合函数或函数值或复合函数的外层函数或内层函数考点3.求函数的定义域—必考，是选择题第一题或填空一第一题，类型一出题最多.考点4.涉及函数性质的有关题目—必考，选择题的第二题.考点5.涉及反函数的有关题目考点6.有关极限概念及性质的题目.考点7.利用极限的运算法则有极限或由极限有待定系数.考点8.无穷小量阶的比较.考点9.利用极限的收敛准则及两个重要极限求极限.考点10.求复杂函数的极限—计算题第一题考点11.分段函数求待定常数或讨论分段函数的连续性—必考考点12.指出函数间断点的类型—必考考点13.利用零点定理确定方程根的存在性或证明含有ξ的等式—间断考.第二章导数与微分考试重点及复习规划本章出题在15分–19分之间，计算题有一题5分，本章知识点不多，题型也比较固定.理解和掌握各类函数求导方法;掌握利用导数定义求导数或极限;理解导数的几何意义;掌握函数连续、可导和可微之间的关系;并能利用微分不变性求导数或微分.复合函数求导非常灵活，并注意每一步的求导变量，只有多做一些练习题，才能生巧、才能准确，不出错误.考点1.利用导数的定义，求极限或导数或讨论函数在某点可导性—必考考点2.解析式函数求导函数(某点导数)或高阶导数.考点3.参数方程确定函数求导—必考考点4.若干函数连乘、除、乘方、开方所构成的复合函数求导数.考点5.解析式显函数求微分.考点6.隐函数求导或求微分.考点7.幂指函数求导数或微分.考点8.含有复合的抽象函数求导数或微分.考点9.涉及曲线的切线或法线方程等其他题目.第三章导数的应用考试重点及复习规划本章考点比较多，是前两章的应用，有14个考点，5个必出考点，一般出题在25分左右，能够拉开分数题目往往都在该章出.考点1.指出函数在给定的区间上是否满足罗尔定理、拉格朗日定理或满足定理求定理中值.考点2.利用罗尔定理证明方程根的存在性或含有ξ的等式.考点3.利用拉格朗日定理证明连体不等式.考点4.利用洛必达法则及其他方法求函数极限考点5.求函数的单调增区间或减区间.考点6.求函数的极值或极值点.考点7.利用函数的单调性证明单体不等式.考点8.证明方程有且只有一个实根.考点9.求函数在闭区间上最大值和最小值及由极值或最值求有关待定系数-----极值的直接应用考点10.函数极值的实际应用-----函数的最优化问题------简单建模问题考点11.求曲线的凹向区间.考点12.求曲线的拐点坐标.考点13.求函数某种形式的渐近线------必出考点考点14.函数极值、最值、单调性、凹向性、拐点等结合综合题.第四章不定积分考试重点及复习规划本章知识点不多，考点只有6个，一定出只有2个考点，但不定积分是微分的逆运算，学生不能很快适应，开始感觉不易接受，需要多做、多思考，本章又是后面定积分、二重积分的基础。

专升本高数复习资料 1 / 19 第一章极限和连续 第一节极限

[复习考试要求] .了解极限的概念（对极限定义等形式的描述不作要求）。会求函数在一点处的左极限及右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 .了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 .理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量及无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等价）。会运用等价无穷小量代换求极限。 .熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 第二节函数的连续性 [复习考试要求] .理解函数在一点处连续及间断的概念，理解函数在一点处连续及极限存在之间的关系，掌握判断函数（含分段函数）在一点处连续性的方法。 .会求函数的间断点。 .掌握在闭区间上连续函数的性质会用它们证明一些简单命题。 .理解初等函数在其定义区间上的连续性，会利用函数连续性求极限。

第二章一元函数微分学 第一节导数及微分 [复习考试要求] .理解导数的概念及其几何意义，了解可导性及连续性的关系，会用定义求函数在一点处的导数。 .会求曲线上一点处的切线方程及法线方程。 .熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。 .掌握隐函数的求导法及对数求导法。会求分段函数的导数。 .了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。 .理解微分的概念，掌握微分法则，了解可微和可导的关系，会求函数的一阶微分。 第二节导数的应用 [复习考试要求] .熟练掌握用洛必达法则求“·∞”、“∞∞”型未定式的极限的方法。 专升本高数复习资料 2 / 19 .掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法。会利用函数的单

调性证明简单的不等式。 .理解函数极值的概念，掌握求函数的驻点、极值点、极值、最大值及最小值的方法，会解简单的应用题。 .会判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点。 .会求曲线的水平渐近线及铅直渐近线

第三章一元函数积分学 第一节不定积分 [复习考试要求] .理解原函数及不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。 .熟练掌握不定积分的基本公式。 .熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换及简单的根式代换）。 .熟练掌握不定积分的分部积分法。 .掌握简单有理函数不定积分的计算。 第二节定积分及其应用 [复习考试要求] .理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件 .掌握定积分的基本性质 .理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。 .熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。 .掌握定积分的换元积分法及分部积分法。 .理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。 .掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。

河南高数专升本知识点汇总高等数学是一门专业课程，对于河南高数专升本考试来说，掌握相关的知识点是非常重要的。

本文将对河南高数专升本考试涉及的知识点进行汇总和总结，以帮助考生更好地备考和复习。

第一章：极限与连续 1. 极限的概念：数列极限、函数极限的定义和性质； 2.极限的运算法则：函数极限的四则运算法则、复合函数的极限、函数极限存在的条件； 3. 无穷小量与无穷大量：无穷小量的概念、无穷小量的性质、无穷大量的概念、无穷大量的性质； 4. 函数的连续性：连续函数的定义、连续函数的性质、间断点与间断函数。

第二章：一元函数微分学 1. 导数的概念：导数的定义、导数的几何意义、可导与导函数的关系； 2. 导数的运算法则：和差、积、商的求导法则、复合函数的求导法则、参数方程求导； 3. 高阶导数与隐函数求导：高阶导数的概念、隐函数求导的方法； 4. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理。

第三章：一元函数积分学 1. 不定积分：不定积分的定义、不定积分的运算法则、换元积分法、分部积分法； 2. 定积分：定积分的定义、定积分的性质、牛顿-莱布尼茨公式； 3. 反常积分：反常积分的概念、无穷限的反常积分、无界函数的反常积分。

第四章：多元函数微分学 1. 偏导数：偏导数的定义、偏导数的计算、高阶偏导数； 2. 全微分：全微分的定义、全微分的性质、全微分的计算； 3. 隐函数的偏导数：隐函数求偏导的方法； 4. 多元函数的极值：局部极值的判定、全局极值的判定。

第五章：多元函数积分学 1. 二重积分：二重积分的概念、二重积分的计算、二重积分的性质； 2. 三重积分：三重积分的概念、三重积分的计算、三重积分的性质； 3. 曲线积分：曲线积分的概念、第一类曲线积分、第二类曲线积分； 4. 曲面积分：曲面积分的概念、第一类曲面积分、第二类曲面积分。

第六章：常微分方程 1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、解、通解、特解； 2. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、线性微分方程、一阶线性齐次微分方程； 3. 高阶微分方程：常系数线性齐次微分方程、常系数线性非齐次微分方程。

河南专升本（云飞）版高数教材课后习题答案第一章 函数 极限 连续同步练习一一、 选择题 1、 答案：C解：偶次根号下不能取负值，又在分母上，不能为0，可有012>-x ；反三角函数的定义域是[]1,1-，可得1121≤-≤-x.解这个题目只需解不等式组 210011112x x x⎧->⎪⇒≤<⎨-≤-≤⎪⎩，因此选C. 2、 答案：D解：函数相同要求定义域和对应法则都相同. A 中的对应法则不同，x 表示任意实数，而2x 则只是正实数；B 、C 定义域不同. D 只是一个函数的两种不同表达形式. 3、 答案：D解：三角函数都是周期函数，所以A 、C 一定是周期函数，对于B 有22cos 1sin 2xx y -==，显然是周期函数. 4、 答案：D解：求一函数的反函数就是反解出x 即可.对于本题就是由dcx bax y --=解得a cy b dy x --=，再将x ，y 互换即可. 5、 答案：B解：首先反三角函数的定义域是[]1,1-，因此121≤+≤-u ，可得13-≤≤-u ，即123-≤-≤-x ，从而可知x 的取值范围是[]1,1-.二、 填空题 6、 答案：[]πe,1解：)(x f 的定义域是[]π,0，即π≤≤x 0，那么对)(ln x f 来说，有π≤≤x ln 0，由此可解得x 的范围是[]πe,1.7、 答案：x x 22-解：由题目中)1(2)1(34)1(222242+++=++=+x x x x x f ，可知函数t t t f 2)(2+=.再用2-x 来替换t ，即x x x x x f 2)2(2)2()2(22-=-+-=-就可得到结果了. 8、 答案：21x x+ 解：要求)(x f 的表达式，可令x t 1=，即t x 1=.由21)1(xx x f +=可知21)(t t t f +=，所以)(x f =21x x+. 9、 答案：x解：本题已知)(x f 的表达式，求)1(xf 得表达式.所以只需把函数式中的自变量x 换成x1即可.10、答案：π解：正弦函数的周期是π2，x x f sin )(=则是将正弦函数图像中在x 轴以下的部分翻到上面去，具体图形如下由图可知，其周期是π.11、解：()f x 在真数的位置，故有()0f x >，又ln ()f x 在分母上，故ln ()0f x ≠.由此可解得()0f x >且()1f x ≠. 12、答案：11(3)2x y e -=- 解：求反函数就是将原函数中的x 反解出来.由111ln(23)ln(23)1(3)2y y x x y x e -=++⇒+=-⇒=-，再将x 和y 互换位置即可.三、解答题13、求下列函数的定义域.（1）解：由题意可知：cos 0x >；从而解得(2,2)(0,1,2,)22x k k k ππππ∈-+=±±， 所以该函数的定义域就是(2,2)(0,1,2,)22k k k ππππ-+=±±.（2）解：由题意可知：10ln(1)010x x x -≠⎧⎪+≥⎨⎪+>⎩；从而解得)()0,11,x ∈⋃+∞⎡⎣，所以该函数的定义域是)()0,11,⋃+∞⎡⎣.（3）解：由题意可知：2302113x x ⎧-≥⎪⎨--≤≤⎪⎩；从而解得x ⎡∈-⎣，所以该函数的定义域就是⎡-⎣.（4）解：由题意可知：sin 010110x x x x ≥⎧⎪+⎪>⎨-⎪-≠⎪⎩；从而解得)0,1x ∈⎡⎣， 所以该函数的定义域就是)0,1⎡⎣.14、解：因为()f x 的定义域是[]0,1，所以对2()f x 来说就有201x ≤≤，解得有11x -≤≤；对(cos )f x 来说就有0cos 1x ≤≤，解得有[2,2(0,1,2,)22x k k k ππππ⎤∈-+=±±⎥⎦. 所以2()f x 的定义域就是[]1,1-，(cos )f x 的定义域是[2,2(0,1,2,)22k k k ππππ⎤-+=±±⎥⎦.15、解：(1)xf e +的定义域是[]1,1-，也就是说11x -≤≤，从而有1111x e e e -+≤+≤+，所以()f x 的定义域就是11,1e e -⎡⎤++⎣⎦.16、解：因为2()1f x x x =-+，所以2()12f x x x +=-+，所以[]222)1(2)(2)1f f x x x x x +=-+--++（，整理后也就是 []22)1(2)(1)1f f x x x x x +=-+-++（.17、解：令1t x =，即1x t =，则222221111()()(1)11t f f t x t t t t ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥===⎢⎥+⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，所以221()(1)f x x x =+. 18、解：当0x ≤时，()xf x e =，所以11(1)f e e--==，0(0)1f e ==； 当0x π<≤时，()f x x π=，所以(2)2f π=，()f e e π=； 当x π>时，()ln f x x =，所以(2)ln(2)f ππ=. 19、证明：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，其定义域都是D ，则对任意的x D ∈，都有()()f x f x -=-，()()g x g x -=.∴()()()()f x g x f x g x --=-，也就是说()()f x g x 在定义域内是奇函数. 20、解：因为()f x 是(),-∞+∞内的奇函数，所以对任意的(),x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-.从而有()(22)()(22)()()xx x x F x f x f x F x ---=+-=-+=-，所以可知()F x 在(),-∞+∞内是奇函数.21、解：当1x -∞<<时，()f x x =对应的反函数是x y =，此时1y -∞<<； 当14x ≤≤时，2()f x x =对应的反函数是x =，此时有116y ≤≤；当4x <<+∞，()2x f x =对应的反函数是ln ln 2yx =，此时有16y <<+∞. 所以()f x的反函数就是1,1()16ln ,16ln 2x x f x x x x -⎧-∞<<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪<<+∞⎩.22、将下列复合函数分解成几个简单函数或者基本初等函数. （1）解：32arcsin ,,1y u u v v x ===-. （2）解：2lg ,2y u v v w x x ====+. 23、解：设圆锥的底半径是R ，高是h. 由题意可知：313V R h π=，所以有R =，根据实际情况，可知该函数的定义域是()0,+∞.同步练习二一、选择题 1、 答案：D解：当0x →时，21x →，1sin x 不存在（即∞→x 1），sin 1x x→，()31sin 0x x x +→，无穷小量乘以有界变量极限是0. 2、 答案：C解：当1x →时，101x x -→+，21121x x x -=+→-，11x x +→∞-， e eeexxxx x x x x x x x ====→→--→-→1limln 11limln 11111111lim lim .3、答案：B解：当0x →时，x cos 1-与2x 等价，又因为 ∞==→→21022301lim lim x x x x x ，由定义可知23x 是比2x 低阶的无穷小量，即0x →时，23x 是比x cos 1-低阶的无穷小量. 4、答案：C解：无论x 取何值，函数x sin 、x 1sin 都是有界函数，当0x →时，x x sin 、x x 1sin 都是无穷小量乘以有界变量还是无穷小量，x1显然是无穷大量，A 、B 、D 都正确.5、答案：D解：本题考查两个重要极限中的一个，有e xx x =+∞→)11(lim 和e x x x =+→10)1(lim 这两种形式，通过对照可知答案是D.二、填空题 6、答案：0解：223225252sin lim (2sin )lim lim()2001x x x x x xx x x x x x→∞→∞→∞+++=⋅+=⋅=++. 7、答案：5,2==a m解：由题上已知的极限可知，当∞→x 时，1432++x x 与2++x ax m 是同阶无穷小，故可知2=m ，又53321143lim 2143lim 2222==++++=++++∞→∞→a x xa x x x ax x x x x ，可知5=a . 8、答案：6解：由题意知：13)(lim 3)(lim==∞→∞→x xf xx f x x ，即3)(lim =∞→x xf x ，所以可知6)(2lim =∞→x xf x . 9、答案：βα 解：βαβαααβα=⋅=→→x x x x x x sin lim sin lim00.10、答案：ab e解：ab xad ab axx xadab a x x d bx x e x a xax a x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=++∞→+⋅∞→+∞→∞→)(lim )()1(lim )1(lim )1(lim .11、答案：x解：利用重要极限中的第一个，x x x xx xnn n n n n n nn =⋅==∞→∞→∞→22sinlim 212sinlim 2sin2lim .12、答案：同阶非等价解：当0→x 时，1-xe 与x 等价，故1lim 1lim 220202-=-=-→-→x x x e x x x ，所以12--x e 与2x 是同阶非等价的无穷小量.三、计算题13、求下列极限.（1）解：2121222lim 12222lim 33233=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n . （2）解：21)32(32lim 3)2(332lim =-⋅+=-⋅+⋅∞→∞→nn n n n n .（3）解：212lim 2)1(lim ...21lim 2222=+=+=+++∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n . （4）解：22lim 2lim 211)211(2121...4121==--∞→+++∞→n n n n .（5）解：)121121...5131311(lim )12)(12(1...531311(lim +--++-+-=++++⋅+⋅∞→∞→n n n n n n 1)1211(lim =--=∞→n n . （6）解：111sin lim1sinlim==∞→∞→nn nn n n .（7）解：34)3234(lim )3234(324)311(lim )311(lim e e nn nn n n n n n ==+=+--⋅∞→-∞→∞→. （8）解：523)1(lim )2)(3()1)(2(lim 623lim 222232-=-+=+-++=--++-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x x .（9）解：)1)(1()1)(2(lim 131lim )1311(lim 2132131++--+=--++=---→→→x x x x x x x x x x x x x 112lim21-=++--=→x x x x .（10）解：1)sin(lim sin lim =--=-→→xx x x x x πππππ.（11）解：)13)(1()13)(13(lim 113lim2121x x x x x x x x x x x x ++--++-+--=----→→ 42)13)(1(2lim)13)(1()1(2lim121-=++-+-=++---=→→x x x x x x x x x . （12）解：e x e x x x x x x x x =++⋅=++=++∞→++∞→+∞→2525)21(3)1221(lim )1221(lim )1232(lim . （13）解：[]33sec 2sec 32)cos 1(lim )cos 1(lim e x x xx xx =+=+→→ππ.（14）解：1ln )1(lim ln )1ln(lim )1ln(lim 10100==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=+→→→e x x x x x x x x x ααα.（15）解：111)111(111lim )1(lim ----∞→∞→=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+e x x x x x x x x .（16）解：[]1)11ln(lim )11ln(lim 1lnlim ln )1ln(lim =+=+=+=-+∞→∞→∞→∞→n n n n n nn n n n n n n n . （17）解：)93()93)(93(limsin 93lim 22220220x x x x x x x x -+-+--=--→→61931lim 20=-+=→x x . （18）解：2132421lim 32421)(lim 3242lim222-=+++-=+++-=+++-∞→-∞→-∞→xxx x x x x x x x x x x . （19）解：255sin lim 533sin lim 35sin lim 3sin lim 5sin 3sin lim00000-=-=-=-→→→→→xxx x x x x x x x x x x x x x .（20）解：111lim1ln limln 11111111lim lim -----→-→====→→e eeexxx xx x xx xx x x .14、解：因为x xx tt t t e t x t x x f =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+=∞→∞→)1(lim )1(lim )()0(≠x ，所以2)2(ln 2ln ==e f .15、解：当0→x 时，2221~11ax ax -+，x x ~sin ，所以12121lim sin 11lim 220220===-+→→a xax x ax x x ，即得2=a . 16、解：由题中极限32lim22=-+-→x ax x x 可知，a x x +-2和2-x 是同阶无穷小量，即当2→x 时，都是无穷小量，故有0)(lim 22=+-→a x x x ，所以可以解得2-=a .17、解：极限值是b ，可知当1-→x 时，423+--x ax x 与1+x 是同阶无穷小量，即有0)4(lim 231=+---→x ax x x ，故得4=a .又b x x x x x x x x x x x x x ==--=+-+-=++---→-→-→10)4)(1(lim 1)4)(1)(1(lim 144lim 11231，即得10=b .18、解：当-→1x 时，+∞→-x 11，从而有211arctan π→-x ；当+→1x 时，-∞→-x11，从而有211arctanπ-→-x .也就是说，2)(lim 1π=-→x f x ，2)(lim 1π-=+→x f x .19、解：当-→1x 时，11)(2--=x x x f ，所以2)1(lim 11lim )(lim 1211=+=--=---→→→x x x x f x x x ； 当+→1x 时，1)1sin()(--=x x x f ，所以有11)1sin(lim )(lim 11=--=++→→x x x f x x .同步训练三一、选择题1、 答案：A解：)(x f 在0x x =处连续需满足三个条件：在0x x =处有定义；)(x f 在0x x =处极限存在；)(x f 在0x x =处的极限值等于该点处得函数值.显然可知)(lim 0x f x x →存在是)(x f 在0x x =处连续的必要而非充分条件.2、 答案：A解：显然0=x 不在函数的定义域内，故一定是间断点.又01sinlim )(lim 0==→→xx x f x x ，也即满足左右极限存在且相等，对照定义可知0=x 是)(x f 的可去间断点. 二、填空题3、 答案：充分必要解：)(x f 在0x x =处连续需满足三个条件：在0x x =处有定义；)(x f 在0x x =处极限存在；)(x f 在0x x =处的极限值等于该点处得函数值.)(0x f 存在就表明)(x f 在0x x =处有定义，等式)()(lim 00x f x f x x =→成立又满足后两条，所以是充分必要条件.4、 答案：a ，一，跳跃解：对已知的函数没有定义的点是a x =，1lim )(lim =--=++→→ax ax x f ax ax ，而 1lim )(lim -=--=--→→ax ax x f ax ax ，显然)(lim )(lim x f x f a x a x -+→→≠，所以由定义可知a x =是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.5、 答案：一，可去解：1cos 1lim sin lim tan lim)(lim 0000=⋅==→→→→xx x x x x f x x x x .6、 答案：一解：0)(lim 1sin lim )(lim 00=≠==-++→→→x f xxx f x x x ，由定义可知0=x 是)(x f 的第一类间断点.7、答案：](1,-∞-，)[∞+,3 解：32)(2--=x x x f 的定义域是]()[∞+⋃-∞-,31,，又该函数是初等函数复合成的，所以在定义域内是连续的，因此连续区间就是](1,-∞-，)[∞+,3. 8、答案：31 解：)(x f 在0=x 处连续，所以有31)(sin lim sin lim)(lim 000=====→→→x f a ax ax a x ax x f x x x ，所以31=a .9、答案：2解：函数)(x f 在0=x 处连续，所以有22sin lim )(lim )23(lim )(lim 020====+-=--++→→→→xxx f k k x x x f x x x x ，所以2=k . 10、答案：-2解：函数)(x f 在1=x 处连续，因此有a x a x f x x f x x x x -=====--++→→→→πcos lim )(lim 22lim )(lim 1111，所以2-=a .11、答案：2ba =解：函数)(x f 在0=x 处连续，所以有22sin lim )(lim )(lim )(lim 020b x bx x f a bx a x f x x x x ====+=++--→→→→，因此可得到关系式2ba =. 三、解答题12、解：函数)(x f 在0=x 处连续，所以0lim )(lim )0(210===-→→x x x ex f f .13、解：由题意可知，需构造一个分段函数)(x F ，使其在0≠x 时的表达式就是222)31ln()(x x x f +=.6ln )31(lim ln )31ln(lim )(lim )(lim )0(66312022022==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+=+===→→→→e x x x f x F F x x xx x x .因此构造的连续函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,60,)31ln()(222x x x x F x .14、解：显然已知函数在每个分段区间内是连续的，关键是区间端点.先考虑点0=x 处，11lim )(lim 1)(lim 00=-===++-→→→x x f x f x x x ，)(x f 在该点处有定义且1)0(=f ，所以0=x 是)(x f 的连续点.再看点3=x ，13lim )(lim 21lim )(lim 3333==≠=-=++--→→→→xx f x x f x x x x ，所以3=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.因此，)(x f 在()()+∞⋃∞-,33,内连续，3=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.15、解：显然已知函数在每个分段区间内函数都是连续的，关键是区间端点.先考虑在点1-=x 处，3)3(lim )(lim 2)arcsin (lim )(lim 1111πππ=-=≠=-=--++-→-→-→-→x x f x x f x x x x ，所以1-=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.再看点0=x ，函数在该点处无定义，显然是间断点，并且x x f x x f x x x x ++--→→→→===-=0lim )(lim 0)arcsin (lim )(lim ，所以0=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是可去间断点.因此可知)(x f 在()()()+∞⋃-⋃-∞-,00,11,上连续；1-=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点；0=x 是函数)(x f 的第一类间断点，并且是可去间断点. 16、解：因为)(x f 在()+∞∞-,内是连续的，所以在1=x 处也是连续的.1)(lim )(lim 2)1(1)(lim )(lim 21111+=+====-=-=++--→→→→a x a x f f b x b x f x x x x ，也就是解等式21=-b 和21=+a ，从而有1=a ，3=b . 17、求下列函数的间断点，并指出间断点的类型. （1）解：1-=x 是xxx f +=1)(的无定义点，又因为∞=+=-→-→x x x f x x 1lim )(lim 11，所以1-=x 是)(x f 的第二类间断点，并且是无穷间断点.（2）解： x x x f --=11)(2在1=x 处无定义，又因为2)1(lim 11lim)(lim 1211=+=--=→→→x xx x f x x x ，所以1=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是可去间断点. （3）解：1=x 是11arctan)(-=x x f 的无定义点，又因为 211arctan lim )(lim 211arctanlim )(lim 1111ππ-=-=≠=-=--++→→→→x x f x x f x x x x ，所以1=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.（4）解：21±=x 是142)(22-+=x x x x f 的无定义点，又因为 4112lim 142lim )(lim 21222121=-=-+=-→-→-→x x x x x x f x x x ，∞=-+=→→142lim )(lim 222121x x x x f x x ，所以21-=x 是第一类间断点，并且是可去间断点；21=x 是第二类间断点，并且是无穷间断点. 18、下列函数在0=x 处是否连续？ （1）解：)0(0lim )(lim 210f ex f x x x ===-→→，所以0=x 是)(x f 的连续点.（2）解：1sin lim sin lim 1sin lim sin lim )(lim 0000-=-=≠===--+++→→→→→xxx x x x xx x f x x x x x ，所以0=x 是)(x f 的第一类间断点，并且是跳跃间断点.（3）解：xx x f x x x x f x x x x x sin lim )(1)1ln(lim )1ln(lim )(lim 01000+---→→→→===+=+=，所以0=x 是)(x f 的连续点. 19、求下列极限。