高数上复习题1-6章

一、填空题1．函数)(x f 在点0x 处极限)(lim 0x f x x →存在是)(x f 在点0x 处连续的_____条件.2．)(x f 在点0x 处连续是函数)(x f 在点0x 处可导的______条件. 3．)(x f 在点0x 处可导是函数)(x f 在点0x 处连续的______条件.4．x ＝3是函数22)3()3sin()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点.5．x ＝3是函数2)3()3sin()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点. 6．x ＝2是函数)2()2tan()(--=x x x f 的_______(可去、跳跃、无穷)间断点.二计算下列极限 1．30sin sin tan limx x x x -→. 2．20)1(sin tan lim --→x x e x x x . 3．)1ln(sin tan lim 20x x xx x +-→. 4．)1(ln sin tan lim 20x x x x x +-→5．232)11(lim n n n +∞→ 6．nn n 3)111(lim ++∞→ 7．n n n 5)11(lim +∞→ 8．242)11(lim n n n -∞→ 9．13)111(lim -∞→--n n n 10．23)11(lim -∞→-n n n第二章练习题1．7sec sin ln 2-+=x x x x y ，求y ' 2．⎰++=21cos ln sin xdx x x x x y 求y '.3．方程y xe y=+1确定函数)(x y y =，求=x dxdy.4．方程0sin cos 52=-++y y y x 确定函数)(x y y =，求dx dy .5．方程0sin 21=+-y y xe y确定函数)(x y y =，求dy dx dy 及.一、利用罗比达法则求极限 1．30sin limx x x x -→ 2．30sin tan limx xx x -→3．)1(ln sin tan lim 20x x x x x +-→ 4．20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→5．)3ln()1ln(lim 2x x x +++∞→ 6．)3ln()1ln(lim 7x x x +++∞→二、求函数251 +=-xy 的凹凸区间和拐点。

释 疑 解 难（第一章）一、证明：若0lim ≠=∞→A a n n ，则当n 充分大时，有2A a n >。

证：因为0lim ≠=∞→A a n n ，所以对2A =ε，N ∃，当N n >，2A A a n <-，即22A A a A A n +<<-若0>A ，则2A a n >若0<A ，则2Aa n <都有2A a n >。

二、函数x x y cos =在),(+∞-∞内是否有界？又当+∞→x 时，这个函数是否为无穷大，为什么？ 解：⑴ 无界。

M ∀，取πn x 20=，M n >，则M n n n x y >==πππ22cos 2)(0。

⑵ 当+∞→x 时，函数x x y cos =不是无穷大。

因为不论X 取得多么大，取X n >有X n x >+=220ππ，使M x y <=0)(0。

三、设)(x f 在]1,0[上连续，)1()0(f f =，证明：]43,0[0∈∃x ，使)41()(00+=x f x f 。

证：令)41()()(+-=x f x f x F因为)(x f 在]1,0[上连续，所以)(x F 在]43,0[上连续。

)41()0()0(f f F -=)21()41()41(f f F -= )43()21()21(f f F -= )0()43()1()43()43(f f f f F -=-= 则0)43()21()41()0(=+++F F F F⑴ 若)0(F 、)41(F 、)21(F 、)43(F 全等于0，则取]43,0[410∈=x 即可；⑵若)0(F 、)41(F 、)21(F 、)43(F 不全为0，这四个函数值中就一定有正有负，在取得正、负函数值之间，]43,0[0∈∃x ，使0)(0=x F ，即)41()(00+=x f x f 。

四、求极限xx x x e cos 1120)sin 1(lim -→+。

高等数学〔上〕复习题第一章 函数与极限一、单项选择题1.函数y=5-x +ln(x －1)的定义域是( )A. (0，5)B. (1，5)C. (1，5)D. (1，+∞) 2.函数f(x)=21xx -的定义域是〔 〕A.〔-∞，+∞〕B.〔0，1〕C.〔-1，0〕D.〔-1，1〕3.函数45)(2+-=x x x f 的定义域为 〔 〕A. (]1,∞-B. [)+∞,4C. (][)+∞⋃∞-,41,D. ()()+∞⋃∞-,41, 4.函数y=x 1-+arccos21x +的定义域是( ) A. x<1 B.-3≤x ≤1C. (-3，1)D.{x|x<1}∩{x|-3≤x ≤1}5.函数y=2x xln -的定义域是〔 〕A. (-∞，0)B. (2，+∞)C. (0，2)D. (-∞，0) ∪ (2，+∞)6.以下函数中为奇函数的是〔 〕A.y=cos 3xB.y=x 2+sinxC.y=ln(x 2+x 4) D.y=1e 1e x x +-7.函数f(x)=1+xsin2x 是〔 〕 A.奇函数B.偶函数C.有界函数D.非奇非偶函数8.函数y=2a a xx -+(a>0,a ≠1)是〔 〕Ａ.奇函数 B.非奇非偶函数 C.偶函数 D.奇偶性取决于a 的取值9.当x →0时，以下无穷小量与x 为等价无穷小的是〔 〕A. sin 2xB. ln(1+2x)C. xsin x 1D.x 1x 1--+10.当0x →时，2x+x 2sinx1是x 的〔 〕 A.等价无穷小 C.高阶无穷小11.设函数)(x f y =在0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有 A.dy 是h 的等价无穷小； B.dy 是h 的高阶无穷小；C.dy y -∆是比h 高阶的无穷小；D.)(x f dy y -∆是h 的同阶无穷小；12.设2)(,1)(2x x g ex f x =-=-，则当0→x 时〔 〕Ａ.)(x f 是)(x g 的高阶无穷小 Ｂ.)(x f 是)(x g 的低阶无穷小Ｃ.)(x f 是)(x g 的等价无穷小 Ｄ.)(x f 与)(x g 是同阶但非等价无穷小 13.以下极限正确的选项是( )A.11sinlim =∞→x x x B.11sin lim 0=→x x x ；C.1sin lim =∞→x x x ；D.12sin lim 0=→xx x ； 14.=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→2xx x 11lim 〔 〕 2B.21e -2 D.21e-15.nn 211(lim +∞→〕＝〔 〕 Ａ. 0 B. 1 C.不存在 D. 2 16.=+∞→xx x)21(lim 〔 〕 A. e -2 B. e -1 C. e 2 D.e 17.xx x 21sin3lim ⋅∞→=( ) A.∞ B. 0 C. 23 D.32 18.=→2xtan3xlim 0x 〔 〕A.∞B.23C.019.=-ππ→xxsin lim x ( ).B.∞C.-1D.-∞20.=-+-→xx x x x 32112lim 〔 〕 A.21B. 0C. 1D. ∞21.limsin2xxx →∞等于( )A. 0B. 1C.12D. 223.xmxx sin lim0→ (m 为常数) 等于 ( )A.0B. 1C.m1D. m 24. hx )h x (lim 320h -+→ =( )。

习题1-61. 计算下列极限:(1)xx x ωsin lim 0→; 解 ωωωωω==→→x x xx x x sin lim sin lim 00. (2)xx x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→xx x x x x x . (3)xx x 5sin 2sin lim 0→; 解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x . (4)x x x cot lim 0→; 解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→; 解法一 ()2sin lim 2sin 2lim 2cos1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x .解法二 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→x x x x x x x x x x x . (6)n n n x 2sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xxx nn n n n n =⋅=∞→∞→22sin lim 2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)x x x 10)1(lim -→;解 {}11)(10)1()(1010)](1[lim )](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x . (2)x x x 10)21(lim +→; 解 []22210221010)21(lim )21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 2)1(lim +∞→; 解 []222)11(lim )1(lim e xx x xx x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数). 解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 解4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ; 证明 因为nn 11111+<+<, 而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n , 由极限存在准则I, 111lim =+∞→nn . (2)()11 211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明 因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+22222221 211n n n n n n n n n n , 而 1lim 22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n , 所以 ()11 211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)数列2, 22+, 222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在; 证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅). 先证明数列{x n }有界. 当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 当n =k +1时,22221=+<+=+k k x x ,所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增.nn n nn n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221,而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增. 因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的.(4)11lim 0=+→n x x ; 证明 当|x |≤1时, 则有1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n ,1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n ,从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 00=+=-→→x x x x , 根据夹逼准则, 有11lim 0=+→n x x . (5)[]11lim 0=+→xx x . 证明 因为[]x x x 1111≤<-, 所以[]111≤<-xx x . 又因为11lim )1(lim 00==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有[]11lim 0=+→x x x .。

第一章自测题一、填空题（每题 3 分，共 18 分）sin x tan x1. lim.x 0 ln 12x32.3x1x. lim2x 1x x23.已知 lim 2x2ax b3，此中为 a,b 常数，则a， b.x1x14.若 f x sin 2x x e2 ax 1, x0 在,上连续，则 a.a,x05.曲线 f ( x)x1的水平渐近线是，铅直渐近线是.x24x 316.曲线y2x 1 e x的斜渐近线方程为.二、单项选择题（每题 3 分，共 18 分）1.“对随意给定的0,1，总存在整数 N ，当 n N 时，恒有 x n a 2 ”是数列 x n收敛于 a 的.A. 充足条件但非必需条件B.必需条件但非充足条件C. 充足必需条件D.既非充足也非必需条件2x,x022.设 g x x ,x 0则 g f x.x2,x ， f x0x,x02 x2 , x 0B.2 x2 , x 0C.2 x2 , x 0D.2 x2 , x 0A.2 x, x 0 2 x, x 0 2 x, x 02 x, x 03.以下各式中正确的选项是.1xA．lim1e x 0x1xC. lim1ex x1xB.lim1ex 0x1x D.lim1e-1x x4.设x0 时，e tan x1 与x n是等价无量小，则正整数n.A. 1B. 2C. 3D. 4优选文库1 e5. 曲线 ye1x 2x 2.A. 没有渐近线B.仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．以下函数在给定区间上无界的是.A.1sin x, x(0,1]B.1sin x, x(0, )xxC.11 x(0,1] D.1 x(0, )sin,x sin ,xxx三、求以下极限（每题5 分，共 35 分）1. lim x 2x 2x 24x1 312． limx e 2 xxx 013. lim 12n 3n nnx 2sin14． limxx2x 2 15. 设函数 f xa xa 0, a 1 ，求 lim12 ln f 1 f 2 L f n .nn优选文库12 e x sin x6． lim4xx 01 e x7． lim1cosx x 01cos x四、确立以下极限中含有的参数（每题5 分，共 10 分）1. limax 22x b 2x 1x2x22． lim xax 2 bx 2 1xa xb x五、议论函数 f ( x)x , x在 x 0 处的连续性， 若(a 0,b 0, a 1,b 1)0,x不连续，指出该中断点的种类. （此题 6 分）优选文库sin t 六、设 f ( x)limt x sin xxsin tsin x，求 f ( x) 的中断点并判断种类.（此题7分）七、设 f ( x) 在 [0,1]上连续，且 f (0) f (1).证明：必定存在一点0,1，使得2f ( ) f1. （此题6分）2第二章自测题一、填空题（每题 3 分，共 18 分）1.设2.设4.设5.设f (x) 在 x0可导，且 f ( x0 ) 0, f ( x0 )f1cos x2，则 f ( x). 3.xy f (e sin x ) ，此中 f ( x) 可导，则 dyy1.arccos x ，则 y21，则 lim hf1.x0h hx.1dx dx2.6. 曲线xy 1 x sin y 在点1 ,的切线方程为.二、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）1. 以下函数中，在x0 处可导的是.2.设 y f (x) 在 x0处可导，且 f ( x0 )2，则lim f ( x02Vx) f ( x0Vx).VxV x0A. 6B.6C.1D.1 663.设函数 f ( x) 在区间 (,) 内有定义，若当 x(,) 时恒有 | f ( x) |x2，则 x0 是f ( x) 的.A. 中断点B.连续而不行导的点C. 可导的点，且 f (0)0D.可导的点，且 f (0)04.sin x, x00处 f ( x) 的导数.设 f ( x)x，则在 xx2 ,0A. 0B.1C.2D.不存在5.设函数 f (u) 可导， y f (x2 ) 当自变量 x 在x 1 处获得增量 Vx时，相应的函数增量 Vy 的线性主部为，则 f(1).A. 1B.C.1D.三、解答题（共67 分）1.求以下函数的导数（每题 4 分，共16 分）(1) y ln e x 1 e2 x(2) y x 111 xa a x(3)y x a a x a a(4)y (sin x)cos x2. 求以下函数的微分（每题 4 分，共 12 分）(1) y x ln x sin x2cot21(2)y e x(3) y x21x 1x3. 求以下函数的二阶导数（每题 5 分，共 10 分）（1）y cos2x ln x1 x（2）y1 x4. 设 f ( x)e x , x 1在 x 1可导，试求 a 与 b . （此题 6分）ax b, x15. 设 f ( x)sin x , x 0 ，求 f ' ( x) . （此题 6 分）ln(1 x), x 026. 设函数 yy( x) 由方程 lnxxy 2 1所确立，求 dy . （此题 6 分）y7. 设 yx a ln tan tcost2y(x) 由参数方程2，求 dy , d y 2 . （此题 6 分）y a sin tdx dxx1 tt 38. 求曲线在 t1处的切线方程和法线方程 . （此题 5 分）3y 1 2t 22t第三章 自测题一、填空题（每题 3 分，共 15 分）3若 a0, b0 均为常数，则 lim a x b x x1..2x02.lim11.x2x tan xx 03.lim arctan x x.3x 0ln(1 2x )4.曲线 y e x2的凹区间，凸区间为.5.若 f ( x)xe x，则 f ( n ) ( x) 在点 x处获得极小值 .二、单项选择题（每题 3 分，共 12 分）1.设 a,b 为方程 f ( x)0 的两根， f ( x) 在 [ a,b] 上连续， (a, b) 内可导，则 f (x)0 在(a,b) 内.A. 只有一个实根B.起码有一个实根C. 没有实根D.起码有两个实根2.设 f (x) 在 x0处连续，在x0的某去心邻域内可导，且x x0时， ( x x0 ) f ( x)0 ，则f ( x0 ) 是.A. 极小值B.极大值C. x0为f ( x)的驻点D.x0不是 f ( x) 的极值点3.设 f (x) 拥有二阶连续导数，且f(0)0 ， lim f( x) 1 ，则.x 0| x |A. f (0)是 f (x) 的极大值B. f (0)是 f (x) 的极小值C．(0, f (0))是曲线的拐点D．f(0) 不是 f (x) 的极值， (0, f (0))不是曲线的拐点4.设 f (x) 连续，且 f(0)0 ，则0，使.A. f ( x)在(0, )内单一增添 .B. f ( x) 在 (,0) 内单一减少.C.x(0,) ，有 f (x) f (0)D.x (,0) ，有 f ( x) f (0) .三、解答题 ( 共 73 分)1. 已知函数f ( x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f (1)0 ，优选文库证明在 (0,1) 内起码存在一点f ( )使得 f ( ). （此题 6 分）tan2. 证明以下不等式（每题 9 分，共 18 分）（1）当 0a b 时，b alnbb a .ba a（2）当 0 x时，2x sin x x .23. 求以下函数的极限（每题8 分，共 24 分）（ 1） lim e x e x2xx 0xsin x优选文库12（ 2）lim(cos x)sin xx 01（ 3）lim(1 x) x exx 04. 求以下函数的极值（每题 6 分，共 12 分）12（ 1）f ( x) x3(1 x)3x2x , x0（ 2）f ( x)x 1 , x05. 求y2x. （此题 6 分）的极值点、单一区间、凹凸区间和拐点ln x16. 证明方程x ln x0 只有一个实根.（此题7分）e第一章自测题一、填空题（每题 3 分，共 18 分）1. 2.3.4.5.水平渐近线是，铅直渐近线是6.二、单项选择题（每题 3 分，共 18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6． C三、求以下极限（每题 5 分，共 35分）解： 1.. 2．. 3.，又. 4．. 5.. 6．，，因此，原式.7．.四、确立以下极限中含有的参数（每题 5 分，共 10 分）解： 1.据题意设，则，令，令得，故．2．左边，右边故，则．五、解：，故在处不连续，所以为六、解：，而，故，的间断点，，故为的第一类（可去）中断点，均为的第二类中断点．七、证明：设，明显在而，，，故由零点定理知：必定存在一点，使，即优选文库第二章自测题一、填空题（每题 3 分，共 18 分）1. 2.3. 4.5.6.或二、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67 分）解： 1.(1).(2).(3).(4)两边取对数得，两边求导数得，.2. 求以下函数的微分（每题 4 分，共 12 分）(1).(2).(3).优选文库3. 求以下函数的二阶导数（每题 5 分，共 10 分）（1）.（2），.4.首先在处连续，故，故，。