高中数学第三章三角恒等变换教材习题本新人教A版必修4

高一数学人教a 版必修四练习：第三章_三角恒等变换3.1.2_第一课时_word 版含解析(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．sin 105°的值为( )A .3＋22 B .2＋12 C .6－24 D .2＋64解析： sin 105°＝sin (45°＋60°)＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝22×12＋22×32＝2＋64. 答案： D2．(2015·新课标全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )A ．－32B .32C ．－12D .12解析： 原式＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin (20°＋10°)＝12. 答案： D3.sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝( ) A ．－32 B ．－12C .12D .32 解析： 利用两角和的正弦公式化简．原式＝sin （30°＋17°）－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°＋cos 30°sin 17°－sin 17°cos 30°cos 17°＝sin 30°cos 17°cos 17°＝sin 30°＝12. 答案： C4．在△ABC 中，若sin (B ＋C )＝2sin B cos C ，那么这个三角形一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形解析： 由sin (B ＋C )＝2sin B cos C 得sin (B －C )＝0，∵B ，C 是△ABC 的两个内角，∴B －C ＝0即B ＝C .答案： D二、填空题(每小题5分，共15分)5．化简sin 50°cos 38°＋cos 50°cos 128°的结果为________．解析： sin 50°cos 38°＋cos 50°cos 128°＝sin 50°cos 38°＋cos 50°(－sin 38°)＝sin 50°cos 38°－cos 50°sin 38°＝sin (50°－38°)＝sin 12°.答案： sin 12°6．已知π4＜β＜π2，sin β＝223，则sin ⎝⎛⎭⎫β＋π3＝________． 解析： ∵π4＜β＜π2，sin β＝223，∴cos β＝13，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＝sin β·cos π3＋cos β·sin π3＝223×12＋13×32＝23＋36＝22＋36. 答案： 22＋367．已知cos (α＋β)＝17，cos (α－β)＝－17，则cos αcos β的值为________． 解析： cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝17，① cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－17，② ①＋②，得2cos αcos β＝0.∴cos αcos β＝0.答案： 0三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知sin α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，cos β＝－513，β为第三象限角，求cos (α＋β)的值．解析： ∵sin α＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. ∵β为第三象限角，且cos β＝－513， ∴sin β＝－1－cos 2β＝－1－⎝⎛⎭⎫－5132＝－1213. ∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×⎝⎛⎭⎫－513－45×⎝⎛⎭⎫－1213＝6365. 9．已知sin α＝55，sin β＝1010，且α和β均为钝角，求α＋β的值． 解析： ∵α和β均为钝角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－255，cos β＝－1－sin 2β＝－31010. ∴cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－255×⎝⎛⎭⎫－31010－55×1010＝22. 由α和β均为钝角，得π＜α＋β＜2π，∴α＋β＝7π4. 能力测评10．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6，3cos A ＋4sin B ＝1，则C 的大小为( )A .π6B .5π6C .π6或5π6D .π3或2π3解析： 由已知可得(3sin A ＋4cos B )2＋(3cos A ＋4sin B )2＝62＋12，即9＋16＋24sin (A ＋B )＝37. 所以sin (A ＋B )＝12.所以在△ABC 中sin C ＝12，所以C ＝π6或C ＝5π6.又1－3cos A ＝4sin B ＞0，所以cos A ＜13. 又13＜12，所以A ＞π3，所以C ＜2π3， 所以C ＝5π6不符合题意，所以C ＝π6. 答案： A11．已知cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π3，则tan α＝________． 解析： cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12cos α－32sin α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝sin αcos π3－cos αsin π3＝12sin α－32cos α，∴⎝⎛⎭⎫12＋32sin α＝⎝⎛⎭⎫12＋32cos α，故tan α＝1. 答案： 112．化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin （2α＋β）sin α－2cos (α＋β)． 解析： (1)原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sin π3－3cos 2π3·cos x －3sin 2π3sin x＝12sin x ＋32cos x ＋sin x －3cos x ＋32cos x －32sin x ＝⎝⎛⎭⎫12＋1－32sin x ＋⎝⎛⎭⎫32－3＋32cos x ＝0.(2)原式＝＝sin [（α＋β）＋α]－2cos （α＋β）sin αsin α ＝sin （α＋β）cos α－cos （α＋β）sin αsin α＝sin [（α＋β）－α]sin α＝sin βsin α. 13．已知cos α＝55，sin (α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求： (1)cos (2α－β)的值；(2)β的值．解析： (1)因为α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， 又sin (α－β)＝1010＞0，∴0＜α－β＜π2. 所以sin α＝1－cos 2α＝255， cos (α－β)＝1－sin 2（α－β）＝31010， cos (2α－β)＝cos [α＋(α－β)]＝cos αcos (α－β)－sin αsin (α－β) ＝55×31010－255×1010＝210.(2)cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos (α－β)＋sin αsin (α－β) ＝55×31010＋255×1010＝22，又因为β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以β＝π4.。

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3。

2简单的三角恒等变换课后篇巩固探究1。

cos2的值为（)A.B。

C.D。

解析cos2.答案B2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为（）A。

B.—C。

± D。

解析因为α为第一象限角，且tan α=，所以cos α=，而是第一或第三象限角.当是第一象限角时，sin ；当是第三象限角时,sin =—=-,故sin =±.答案C3.若函数f(x）=(1+tan x）cos x，则f=（)A。

B.-C。

1 D.解析∵f(x）=cos x=cos x+sin x=2sin,∴f=2sin=2sin.答案D4。

设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有(）A.b〉a>c B。

a〉b>c C。

a〉c>b D.c>b>a解析因为a=cos 7°+sin 7°=sin 30°·cos 7°+cos 30°·sin 7°=sin 37°，b==tan 38°,c==sin 36°,又tan 38°〉sin 38°>sin 37°>sin 36°.所以b〉a〉c.答案A5。

第三章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．sin105°cos105°的值为( ) A.14 B ．－14C.34D ．－34解析 原式＝12sin210°＝－12sin30°＝－14.答案 B2．若sin2α＝14，π4<α<π2，则cos α－sin α的值是( )A.32B ．－32C.34D ．－34解析 (cos α－sin α)2＝1－sin2α＝1－14＝34.又π4<α<π2， ∴cos α<sin α，cos α－sin α＝－34＝－32. 答案 B3．sin15°sin30°sin75°的值等于( ) A.14 B.34 C.18D.38解析 sin15°sin30°sin75° ＝sin15°cos15°sin30° ＝12sin30°sin30°＝12×12×12＝18. 答案 C4．在△ABC 中，∠A ＝15°，则 3sin A －cos(B ＋C )的值为( ) A. 2 B.22C.32D. 2解析 在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝π， 3sin A －cos(B ＋C ) ＝3sin A ＋cos A ＝2(32sin A ＋12cos A ) ＝2cos(60°－A )＝2cos45°＝ 2. 答案 A5．已知tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ等于( )A ．－65B ．－45C.45D.65解析 原式＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝65.答案 D6．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析 ∵sin2A ＝sin2B ，∴∠A ＝∠B ，或∠A ＋∠B ＝π2.答案 D 7．设a ＝22(sin17°＋cos17°)，b ＝2cos 213°－1，c ＝32，则( ) A ．c <a <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c 解析 a ＝22sin17°＋22cos17°＝cos(45°－17°)＝cos28°，b ＝2cos 213°－1＝cos26°，c ＝32＝cos30°， ∵y ＝cos x 在(0,90°)内是减函数， ∴cos26°>cos28°>cos30°，即b >a >c . 答案 A8．三角形ABC 中，若∠C >90°，则tan A ·tan B 与1的大小关系为( ) A ．tan A ·tan B >1 B. tan A ·tan B <1 C ．tan A ·tan B ＝1D ．不能确定解析 在三角形ABC 中，∵∠C >90°，∴∠A ，∠B 分别都为锐角． 则有tan A >0，tan B >0，tan C <0. 又∵∠C ＝π－(∠A ＋∠B )，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B1－tan A ·tan B <0，易知1－tan A ·tan B >0， 即tan A ·tan B <1. 答案 B9．函数f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数解析 f (x )＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4－sin 2⎝⎛⎭⎫x －π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 ＝sin2x . 答案 A10．y ＝cos x (cos x ＋sin x )的值域是( ) A ．[－2,2] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋22，2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22D.⎣⎡⎦⎤－12，32 解析 y ＝cos 2x ＋cos x sin x ＝1＋cos2x 2＋12sin2x＝12＋22⎝⎛⎭⎫22sin2x ＋22cos2x ＝12＋22sin(2x ＋π4)．∵x ∈R ， ∴当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝1时，y 有最大值1＋22； 当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝－1时，y 有最小值1－22. ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－22，1＋22.答案 C11．已知θ为第二象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.335 B.45 C ．±35D ．±45解析 由sin(π－θ)＝2425，得sin θ＝2425.∵θ为第二象限的角，∴cos θ＝－725.∴cos θ2＝±1＋cos θ2＝± 1－7252＝±35. 答案 C12．若α，β为锐角，cos(α＋β)＝1213，cos(2α＋β)＝35，则cos α的值为( )A.5665 B.1665C.5665或1665D ．以上都不对解析 ∵0<α＋β<π，cos(α＋β)＝1213>0，∴0<α＋β<π2，sin(α＋β)＝513.∵0<2α＋β<π，cos(2α＋β)＝35>0，∴0<2α＋β<π2，sin(2α＋β)＝45.∴cos α＝cos [(2α＋β)－(α＋β)]＝cos(2α＋β)cos(α＋β)＋sin(2α＋β)sin(α＋β) ＝35×1213＋45×513＝5665. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上) 13．若1＋tan α1－tan α＝2012，则1cos2α＋tan2α＝______.解析1cos2α＋tan2α＝1＋sin2αcos2α＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝tan 2α＋1＋2tan α1－tan 2α＝(tan α＋1)21－tan 2α＝1＋tan α1－tan α＝2012.答案 201214．已知cos2α＝13，则sin 4α＋cos 4α＝________.解 ∵cos2α＝13，∴sin 22α＝89.∴sin 4α＋cos 4α＝(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α ＝1－12sin 22α＝1－12×89＝59.答案 5915.sin (α＋30°)＋cos (α＋60°)2cos α＝________.解析 ∵sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sin αcos30°＋cos αsin30°＋cos αcos60°－sin αsin60°＝cos α，∴原式＝cos α2cos α＝12.答案 1216．关于函数f (x )＝cos(2x －π3)＋cos(2x ＋π6)，则下列命题：①y ＝f (x )的最大值为2； ②y ＝f (x )最小正周期是π；③y ＝f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数；④将函数y ＝2cos2x 的图像向右平移π24个单位后，将与已知函数的图像重合．其中正确命题的序号是________． 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2·⎣⎡⎦⎤22cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3－22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋π4 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12， ∴y ＝f (x )的最大值为2，最小正周期为π，故①，②正确．又当x ∈⎣⎡⎦⎤π24，13π24时，2x －π12∈[0，π]，∴y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤π24，13π24上是减函数，故③正确． 由④得y ＝2cos2⎝⎛⎭⎫x －π24＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π12，故④正确． 答案 ①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos α－23，－1，n ＝(sin x,1)，m 与n 为共线向量，且α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.(1)求sin α＋cos α的值； (2)求sin2αsin α－cos α的值．解 (1)∵m 与n 为共线向量， ∴⎝⎛⎭⎫cos α－23×1－(－1)×sin α＝0， 即sin α＋cos α＝23. (2)∵1＋sin2α＝(sin α＋cos α)2＝29，∴sin2α＝－79.∴(sin α－cos α)2＝1－sin2α＝169. 又∵α∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，∴sin α－cos α<0. ∴sin α－cos α＝－43.∴sin2αsin α－cos α＝712. 18．(12分)求证：2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋3π4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 4α－sin 4α＝1＋tan α1－tan α. 证明 左边＝2－2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋π2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α) ＝2－2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α－sin 2α ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2cos 2α－sin 2α＝1＋sin2αcos 2α－sin 2α＝(sin α＋cos α)2cos 2α－sin 2α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝1＋tan α1－tan α. ∴原等式成立．19．(12分)已知函数f (x )＝2cos2x ＋sin 2x －4cos x . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值． 解 (1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos 2π3＋sin 2π3－4cos π3 ＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫322－4×12 ＝－1＋34－2＝－94.(2)f (x )＝2(2cos 2x －1)＋(1－cos 2x )－4cos x ＝3cos 2x －4cos x －1＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－73， ∵x ∈R ，cos x ∈[－1,1]，∴当cos x ＝－1时，f (x )有最大值6； 当cos x ＝23时，f (x )有最小值－73.20．(12分)已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值． 解 (1)解法1：∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴x －π4∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， 于是sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π4sin π4 ＝7210×22＋210×22＝45. 解法2：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210， 即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1， 从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45，或sin x ＝－35，因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故 cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35. sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425.cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.21．(12分)已知函数 f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π4上的最大值和最小值． 解 (1)因为f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－1 ＝4cos x ⎝⎛⎭⎫32sin x ＋12cos x －1＝3sin2x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6所以f (x )的最小正周期为π.(2)－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，当2x ＋π6＝π2时，即x ＝π6，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6时，即x ＝－π6，f (x )取得最小值－1.22．(12分)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4＋cos ⎝⎛⎭⎫x －3π4，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期和最小值；(2)已知cos(β－α)＝45，cos(β＋α)＝－45，0<α<β≤π2，求证：[f (β)]2－2＝0.解 (1)∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋7π4－2π＋sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4＋π2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4， ∴T ＝2π，f (x )的最小值为－2.(2)证明：由已知得cos βcos α＋sin βsin α＝45，cos βcos α－sin βsin α＝－45.两式相加，得2cos βcos α＝0， ∵0<α<β≤π2，∴β＝π2.∴[f (β)]2－2＝4sin 2π4－2＝0.。

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．cos 75°cos 30°＋sin 75°sin 30°等于( ) A .22B ．－22C .2D ．－2解析： 原式＝cos (75°－30°) ＝cos 45°＝22. 答案： A2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cos α＝1213，sin β＝－35，则cos (α－β)的值为( )A ．－6365B ．－3365C .6365D .3365解析： ∵α为锐角，且cos α＝1213，∴sin α＝1－cos 2α＝513.∵β为第三象限角，且sin β＝－35，∴cos β＝－1－sin 2β＝－45，∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1213×⎝⎛⎭⎫－45＋513×⎝⎛⎭⎫－35＝－6365.故选A .答案： A3．设向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，b ＝(cos 53°，cos 37°)，则a ·b 等于( ) A .32 B .12 C ．－32D ．－12解析： a ·b ＝(cos 23°，cos 67°)·(cos 53°，cos 37°) ＝cos 23°cos 53°＋cos 67°cos 37° ＝cos 23°cos 53°＋sin 23°sin 53° ＝cos (23°－53°) ＝cos (－30°) ＝32. 故选A . 答案： A4．已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，若a ＝(cos A ，sin A )，b ＝(cos B ，sin B )且a ·b ＝1，则△ABC 一定是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析： 因为a ·b ＝cos A cos B ＋sin A sin B ＝cos (A －B )＝1，且A ，B ，C 是三角形的内角， 所以A ＝B ，即△ABC 一定是等腰三角形． 答案： B二、填空题(每小题5分，共15分)5．cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°＝________． 解析： cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°－sin (180°＋75°)sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° ＝cos (75°－15°)＝cos 60°＝12.答案： 126．化简cos (α－55°)·cos (α＋5°)＋sin (α－55°)·sin (α＋5°)＝________. 解析： 原式＝cos [(α－55°)－(α＋5°)]＝cos (－60°)＝12.答案： 127．已知sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为________．解析： ∵sin α＝1517，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1－sin 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫15172＝－817， ∴cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－817＋22×1517＝7234.答案：7234三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知α，β为锐角，且cos α＝45，cos (α＋β)＝－1665，求cos β的值．解析： 因为0＜α，β＜π2，所以0＜α＋β＜π.由cos (α＋β)＝－1665，得sin (α＋β)＝6365.又因为cos α＝45，所以sin α＝35.所以cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos (α＋β)cos α＋sin (α＋β)sin α ＝⎝⎛⎭⎫－1665×45＋6365×35＝513. 9．若x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，且sin x ＝45，求2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x 的值．解析： ∵x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，sin x ＝45，∴cos x ＝－35.∴2cos ⎝⎛⎭⎫x －2π3＋2cos x＝2⎝⎛⎭⎫cos x cos 2π3＋sin x sin 2π3＋2cos x＝2⎝⎛⎭⎫－12cos x ＋32sin x ＋2cos x＝3sin x ＋cos x ＝435－35＝43－35.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式A 级 基础巩固一、选择题1．sin 15°sin 75° 的值为( ) A.12 B.32 C.14 D.34解析：原式＝sin 15°cos 15°＝12(2sin 15°cos 15°)＝12sin 30°＝14. 答案：C2．已知sin α＝23，则cos (π－2α)＝( ) A ．－53 B ．－19 C.19 D.53 解析：因为sin α＝23， 所以cos (π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2 α)＝－1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝－19. 答案：B3.1－sin 24°等于( )A.2cos 12° B ．2cos 12° C ．cos 12°－sin 12° D ．sin 12°－cos 12°解析：1－sin 24°＝sin 2 12°－2sin 12°cos12°＋cos 212°＝ （sin 12°－cos 12°）2＝|sin 12°－cos 12°|＝cos 12°－sin 12°.答案：C4．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14，则sin 2α的值为( )A.78 B ．－78 C.34 D ．－34解析：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝14，所以sin 2α＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－116×2＝78.答案：A5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2 α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于()A.22 B.33 C. 2 D.3解析：因为sin 2 α＋cos 2α＝14，所以sin 2 α＋cos 2 α－sin 2 α＝cos 2 α＝14所以cos α＝±12.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝12，sin α＝32.所以tan α＝ 3.答案：D二、填空题 6．已知tan α＝－13，则sin 2α －cos 2 α1＋cos 2α＝________． 解析：sin 2α－cos 2 α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2 α1＋2cos 2α－1＝ 2sin αcos α－cos 2 α2cos 2 α＝tan α－12＝－56. 答案：－56 7．已知sin θ2＋cos θ2＝233，那么sin θ＝________，cos 2θ＝________． 解析：因为sin θ2＋cos θ2＝233， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ2＋cos θ22＝43， 即1＋2sin θ2cos θ2＝43，所以sin θ＝13， 所以cos 2θ＝1－2sin 2 θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝79. 答案：13 798．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，则sin 2x 的值等于________． 解析：法一：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝725， 所以 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝725. 法二：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝35，得22(sin x －cos x )＝－35， 所以sin x －cos x ＝－325，两边平方得 1－sin 2x ＝1825， 所以sin 2x ＝725. 答案：725三、解答题9．化简：tan 70°cos 10°(3tan 20°－1)． 解：原式sin 70°cos 70°·cos 10°·⎝ ⎛⎭⎪⎫3sin 20°cos 20°－1＝ sin 70°cos 70°·cos 10°·3sin 20°－cos 20°cos 20°＝ sin 70°cos 70°·cos 10°·2sin （－10°）cos 20°＝ －sin 70°cos 70°·sin 20°cos 20°＝－1. 10．已知tan α＝17，tan β＝13，并且α、 β均为锐角，求α＋2 β的值． 解：因为tan β＝13，所以tan 2 β＝2tan β1－tan 2 β＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34，所以tan(α＋2 β )＝tan α＋tan 2 β1－tan αtan 2 β＝17＋341－17×34＝1. 0＜tan α＝17＜1，0＜tan β＝13＜1， 又已知α， β均为锐角，所以0＜α＜π4，0＜ β ＜π4，0＜2 β ＜π2， 所以0＜α＋2 β ＜3π4. 又tan(α＋2 β )＝1，所以α＋2 β＝π4. B 级 能力提升1．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2 x ，x ∈R 的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 C.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22＋12，22＋12 D.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22－12，22－12 解析：y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝ 22⎝⎛⎭⎪⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝ 22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋12. 因为x ∈R，所以2x －π4∈R ，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4∈[－1，1]， 所以函数y 的值域是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－22＋12，22＋12.答案：C2．已知等腰三角形底角的余弦值等于45，则这个三角形顶角的正弦值为________． 解析：设此三角形的底角为α，顶角为 β，则cos α＝45，sin α＝35， 所以sin β＝sin (π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×45＝2425. 答案：24253．(2014·江苏卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值． 解：(1)由题意知cos α＝－ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫552＝－255， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝ 22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)sin 2α＝2sin αcos α＝－45， cos 2α＝2cos 2 α－1＝35， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－33＋410.。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式一、A组1.(2016•陕西渭南阶段性测试)=()A.-B.-C.D.解析:原式=cos2-sin2=cos,故选D.答案:D2.若sin 2α=,且α∈,则cos α-sin α的值是()A. B. C.- D.-解析:(cos α-sin α)2=1-sin 2α=1-.∵α∈,∴cos α-sin α<0,∴cos α-sin α=-.答案:C3.已知向量a=(3,-2),b=(cos α,sin α),若a∥b,则tan 2α的值为()A. B.- C. D.-解析:由已知可得3sin α-(-2)cos α=0,∴tan α=-.∴tan 2α==-.答案:B4.若f(x)=2tan x-,则f的值为()A.-4B.-C.8D.4解析:∵f(x)=,∴f=8.答案:C5.设sin α=,tan(π-β)=,则tan(α-2β)=()A.-B.-C.D.解析:∵sin α=,α∈,∴cos α=-,∴tan α=-.又tan(π-β)=,∴tan β=-,∴tan 2β==-.∴tan(α-2β)==.答案:D6.若sin,则cos的值是.解析:∵sin=cos,∴cos=cos 2=2cos2-1=2×-1=-.答案:-7.(2016•广东深圳南山区期末)已知sin(π+α)=,则cos 2α=. 解析:∵sin(π+α)=-sin α=,∴sin α=-,∴cos 2α=1-2sin2α=1-2×.答案:8.化简:=.解析:原式==tan 2α.答案:tan 2α9.已知函数f(x)=cos2-sin cos .(1)求函数f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(α)=,求sin 2α的值.解:(1)因为f(x)=cos2-sin cos=(1+cos x)-sin x-=cos,所以函数f(x)的最小正周期为2π,值域为.(2)由(1)知,f(α)=cos,所以cos.所以sin 2α=-cos=-cos=1-2cos2=1-.10.(2016•北京朝阳区高一期末)已知函数f(x)=sin2x+sin x cos x-2.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)的单调增区间.解:(1)∵f(x)=sin2x+sin x cos x-2=sin 2x-2=sin,∴f(x)的最小正周期T==π.(2)由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z可解得f(x)的单调增区间是(k∈Z).二、B组1.已知sin ,cos =-,则角α的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵sin α=2sin cos =-<0,cos α=cos2-sin2=-<0,∴角α的终边在第三象限.答案:C2.若向量a=(2,sin x),b=(cos2x,2cos x),则函数f(x)=a·b的最小正周期是()A. B.π C.2π D.4π解析:∵f(x)=a·b=2cos2x+2sin x cos x=1+cos 2x+sin 2x=1+sin ,∴f(x)=a·b的最小正周期是π.答案:B3.化简等于()A. B.tan 2α C. D.tan α解析:原式====tan 2α.答案:B4.若θ∈,sin 2θ=,则sin θ=.解析:因为θ∈,所以2θ∈,所以cos 2θ<0,cos 2θ=-=-.又cos 2θ=1-2sin2θ=-,所以sin2θ=,所以sin θ=.答案:5.(tan 10°-)sin 40°的值为.解析:原式=·sin 40°=·sin 40°=·sin40°==-1.答案:-16sin +sin ,则的值为. 解析:∵sin +sin ,∴sin αcos +cos αsin +sin αcos -cos αsin , 即sin α=,∴sin α=.∴===.答案:7.已知cos <x<,求的值.解:=.易知cos x+sin x=sin ,cos x-sin x=cos.∵<x<,∴+x<2π,又∵cos ,∴sin =-.∵sin 2x=-cos =-cos , ∴原式=-sin 2x=cos=cos==-.8f(x)=5cos2x+sin2x-4sin x cos x.(1)求f;(2)若f(α)=5,α∈,求角α.解:f(x)=5cos2x+sin2x-4sin x cos x=5cos2x+5sin2x-2sin 2x-4sin2x=5-2sin 2x-2(1-cos 2x)=3-2sin 2x+2cos 2x=3-4=3-4=3-4sin .(1)f=3-4sin=3-4sin =3-4.(2)由f(α)=5,得sin =-.由α∈,得2α-, ∴2α-π,即α=.。

2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换练习新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.2 简单的三角恒等变换练习新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2 简单的三角恒等变换题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分）1．函数y＝错误!的最小正周期等于( )A.错误! B．πC．2π D．3π2。

错误!＝（）A．1 B．2C. 2 D。

错误!3．函数y＝3sin 4x＋错误!cos 4x的最大值是( )A. 3 B．2 错误!C．3 D．64．函数f(x）＝(1＋tan x)cos x的最小正周期为（）A．2π B.错误!C．π D.错误!5．函数y＝cos2错误!＋sin2错误!－1是（)A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数6．如果函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图像关于直线x＝－错误!对称，则实数a的值为（)A．2 B．－2C．1 D．－17．已知函数f(x)＝错误!sin ωx＋cos ωx(ω〉0)，y＝f(x)的图像与直线y＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是( )A.错误!，k∈ZB。

错误!，k∈ZC.错误!,k∈ZD。

错误!，k∈Z二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．函数f(x）＝sin x－cos x的单调递增区间是____________________．9．已知sin（α＋错误!)＋sin α＝－错误!，－错误!<α<0，则cos α＝________．10．函数y＝sin 2x3＋cos（错误!＋错误!）的图像中相邻的两条对称轴之间的距离是________．11．已知函数f（x）＝cos 2x－2 3sin xcos x，给出下列结论:①存在x1，x2，当x1－x2＝π时，f(x1)＝f(x2)成立；②f(x）在区间[－错误!，错误!］上单调递增;③函数f(x）的图像关于点(错误!，0)中心对称;④将函数f（x）的图像向左平移错误!个单位后所得图像与g（x）＝2sin 2x的图像重合．其中正确结论的序号为________．三、解答题（本大题共2小题，共25分)得分12．(12分）已知函数f（x）＝4cos xsin 错误!－1.(1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x)在区间错误!上的最大值和最小值．13。

3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式课时过关·能力提升基础巩固 112−sin215°的值是( )A .√64B.√6-√24 C.√32D.√34解析:原式=12−1-cos (2×15°)2=cos30°2=√34.答案:D2已知sin α-cos α=√2,α∈(0,π),则sin 2α=() A.-1 B.−√22C.√22D.1解析:将sin α-cos α=√2两端同时平方得,(sin α-cos α)2=2,整理得1-2sin αcos α=2,于是sin2α=2sin αcos α=-1,故选A .答案:A3若tan θ+1tanθ=4,则sin 2θ=( )A .15B.14C.13D.12解析:由tan θ+1tanθ=4,得sinθcosθ+cosθsinθ=4,即2sin2θ=4,sin 2θ=12.答案:D4若x =π12,则cos2x −sin2x 的值等于( )A .14B.12C.√22D.√32解析:当x =π12时,cos 2x-sin 2x=cos2x=co s (2×π12)=cos π6=√32.答案:D5化简√1-sin1+√1-cos12的结果是( )A .si n 12B.cos 12C .2si n 12−cos 12D.2cos 12−sin 12 答案:B 6tan π81-tan 2π8= .解析:原式=12×2tan π81-tan 2π8=12tan (2×π8) =12tan π4=12.答案:127在△ABC 中,cos A =513,则sin 2A = ,cos 2A = ,tan 2A = . 解析:∵0<A<π,∴sin A =√1-cos 2A =1213.∴sin2A=2sin A cos A =120169,cos2A=2cos 2A-1=2×(513)2−1=50169−1=−119169,tan 2A =sin2A cos2A =−120119. 答案:120169 −119169 −1201198已知cos 2θ=√23,则cos4θ+sin4θ= .解析:cos 4θ+sin 4θ=(cos 2θ+sin 2θ)2-2sin 2θcos 2θ=1−12sin22θ=1−12(1−cos22θ)=1−12[1-(√23)2]=1118.答案:11189已知函数f (x )=sin 2x+2sin x cos x+3cos 2x ,x ∈R ,求f (x )的周期及值域. 解f (x )=1-cos2x 2+sin 2x +3(1+cos2x )2=2+sin2x+cos2x=2+√2sin (2x +π4).∴函数f (x )的周期为π,值域为[2−√2,2+√2].10在△ABC 中,若sin A sin B=cos 2C 2,试判断△ABC 的形状. 解sin A sin B=cos 2C 2=1+cosC 2=1-cos (A+B )2,即2sin A sin B+cos(A+B )=1,∴2sin A sin B+cos A cos B-sin A sin B=cos A cos B+sin A sin B=cos(A-B )=1.∵-π<A-B<π,∴A-B=0,即A=B.∴△ABC 是等腰三角形.。

2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式练习新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章三角恒等变换3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式练习新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3．1。

2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式题号1234567891011得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．sin 7°cos 37°－sin 83°cos 53°＝（)A．－错误! B.错误!C。

错误! D．－错误!2．已知α＋β＝错误!π，则（1＋tan α）·(1＋tan β）＝（)A．－1 B．－2C．2 D．33．已知△ABC的三个内角分别是A,B,C，若sin C＝2cos Asin B，则△ABC一定是( ) A．直角三角形 B．正三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形4．已知tan （α＋β)＝13，tan β＝错误!，则tan α＝（ ） A 。

错误! B 。

错误!C.711D.13185．在△ABC 中，若tan B ＝错误!，则这个三角形是（ )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．若0<α〈错误!，－错误!<β<0，cos(错误!＋α）＝错误!，cos （错误!－错误!)＝错误!，则cos （α＋错误!)＝（ ）A.错误! B ．－错误!C.错误! D ．－错误!7．已知sin 2α＝错误!(错误!<2α〈π)，tan(α－β）＝错误!，则tan （α＋β)＝（ )A ．－2B ．－1C ．－错误! D.错误!二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．若cos （α＋β）cos α＋sin （α＋β)sin α＝－错误!，且450°〈β<540°，则sin （60°－β）＝________．9．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝错误!，且x,y 均为锐角，则tan(x －y ）＝________．10．“在△ABC 中,cos Acos B ＝________＋sin Asin B”,已知横线处是一个实数．甲同学在横线处填上一个实数a ，这时C 是直角；乙同学在横线处填上一个实数b ，这时C 是锐角;丙同学在横线处填上一个实数c ，这时C 是钝角．实数a,b ，c 的大小关系是________________．11．下列式子的结果为错误!的有________(填序号)．①tan 25°＋tan 35°＋错误!tan 25°tan 35°;②2(sin 35°cos 25°＋sin 55°cos 65°)；③错误!.三、解答题（本大题共2小题，共25分）得分12．(12分）已知向量a＝(cos α，sin α),b＝(cos β，sin β)，｜a－b｜＝错误!。

分层训练·进阶冲关A组基础练(建议用时20分钟)1.已知cos x=,则cos 2x= ( D )A.-B.C.-D.2.已知α∈,tan=,那么sin 2α+cos 2α的值为( A )A.-B.C.-D.3.已知α为锐角,且7sin α=2cos 2α,则sin= ( A )A. B.C. D.4.sin 20°cos10°-cos 160°sin 10°=( D )A.-B.C.-D.5.(2018·贵阳高一检测)已知sin+sin α=,则sin的值是( D )A.-B.C.D.-6.如果tan θ=2,那么1+sin θcos θ= ( B )A. B. C. D.7.计算:cos cos=.8.的值是2.9.若θ∈(0,π),且sin 2θ=-,则cos θ-sin θ=-.10.tan 20°+tan 40°+tan 20°tan40°=.11.已知tan α=,tanβ=,且α,β均为锐角,求α+2β的值.【解析】tan 2β==,tan(α+2β)==1.因为α,β均为锐角,且tan α=<1,tan β=<1,所以α,β∈,所以α+2β∈,所以α+2β=.12.已知cos α-sin α=,且π<α<,求的值.【解析】因为cos α-sin α=,所以1-2sin αcos α=,2sin αcos α=.又因为α∈,所以sin α+cos α=-=-,所以====-.B组提升练(建议用时20分钟)13.已知sin 2α=,则cos2= ( A )A. B. C. D.14.若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为( D )A. B.- C. D.-15.已知α是第二象限角,且sin(π-α)=,则sin 2α的值为-.16.已知0<α<,0<β<,tan(α+β)=2tan α,4tan=1-tan2,则α+β=.17.已知0<α<,sin α=.(1)求的值.(2)求tan的值.【解析】(1)由0<α<,sin α=,得cos α=,所以===20.(2)因为tan α==,所以tan===.18.已知cos=,x∈.(1)求sin x的值.(2)求sin的值.【解析】(1)因为x∈,所以x-∈.sin= =,sin x=sin=sin cos+cos sin =×+×=.(2)因为x∈,所以cos x=-=-=-,sin 2x=2sin xcos x=-,cos 2x=2cos2x-1=-.所以sin=sin 2xcos +cos 2xsin=-.C组培优练(建议用时15分钟)19.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ= ( B )A.-B.-C.D.20.已知向量a=(3sin α,cos α),b=(2sin α,5sin α-4cos α),α∈,且a⊥b.(1)求tan α的值.(2)求cos的值.【解析】(1)因为a⊥b,所以a·b=6sin2α+5sin αcos α-4cos2α=0,由于cos α≠0, 所以6tan2α+5tan α-4=0,解得tan α=-或tan α=.因为α∈,所以tan α<0,所以tan α=-.(2)因为α∈,所以∈.由tan α=-,求得tan =-或tan =2(舍去).所以sin =,cos =-,所以cos=cos cos -sin sin=-×-×=-.关闭Word文档返回原板块。