高中数学课本习题功能

高等数学教材习题做不做在学习高等数学的过程中，习题是一个非常重要的环节。

习题的做与不做，常常会在学习效果上产生很大的差别。

那么，我们应该如何看待高等数学教材中的习题呢？是否应该将其视为必须完成的任务呢？首先，我们需要理解高等数学习题的作用。

高等数学习题不仅仅是对课堂知识的巩固，更是培养我们解决实际问题的能力的重要方法。

通过做习题，我们可以更好地理解所学知识的应用，并且锻炼我们的逻辑思维和问题解决能力。

习题是高等数学学习不可或缺的一部分，可以说是检验我们学习成果的有力工具。

其次，习题的量力而行也是至关重要的。

高等数学教材中的习题难度各异，有些习题可能需要较高的数学水平和思维能力才能解答，而有些习题相对简单，适合作为初学者的练习。

因此，我们应该根据自己的实际情况来选择习题。

选择适当的习题，既可以巩固基础知识，提高解题技巧，又能够逐渐培养我们面对复杂问题时的自信心。

此外，习题的做与不做也取决于我们的学习目标和时间安排。

如果我们只是将高等数学作为一门选修课，或者是只追求及格分数，那么做习题可能就不是必要的。

然而，如果我们追求更高的学术水平，或者将高等数学作为未来专业学习的基础，那么习题就显得非常重要了。

通过反复做习题，我们可以将抽象的数学概念转化为实际问题的解决方法，培养我们的数学思维能力和创造力。

综上所述，高等数学教材中的习题对于我们的学习起着重要的作用。

虽然选择做习题与否取决于个人的学习目标和时间安排，但通过合理选择和完成习题，我们可以更好地巩固知识，提高解题能力，为未来的学习和工作奠定坚实的数学基础。

所以，无论我们是否喜欢习题，都应该正确认识其价值，并适当地将其融入到我们的学习中。

５ 拓 展 功 能 ．
性 的步 骤 ： 设 ； 作 差 ； 化 积 ； 判 断符 号． ① ② ③ ④
（ ３）通 过 数 学 习题 运 用 知 识 ． 样 了解 学 生 是 否 理 怎 解 、 握并 会 应用 所学 的定理 、 念 和公 式 了 呢？ 主要 掌 概 还 是 靠 数 学 习 题 ．比如 理 解 “ 列 ” 定 义 并 不 难 ， 排 的 但 要 想 处 理好 排 列 的习 题 却需 要 拥 有 一 些 “ 空 ” “ 插 、 捆 绑 ”“ 序 一 定 ” 技 巧 。 些 技 巧 都 必 须 要 经 过 习题 、顺 的 这 而 取得 ．
维普资讯
一
交流平 台 一
数 学 习 题 的 解 决 之 所 以能 成 为 数 学 教 学 的 重 要 环 节 之 一 。 要 是 它具有 诸 多功 能 ． 些 功 能渗 透 在 习题 主 这 解 题 过程 中 ， 学生进 行 着技 能 的或 思维 的 ， 力 的或 对 智 非 智 力 的 训 练 ，使 学 生 逐 渐 接 近 知 识 功 能 并 达 到 数 学 教 学 大 纲 所 要 求 的培 养 目标 ．
２ 教 育 功 能 ．
高 中 数 学 教 材 的 习 题 大 部 分 都 较 为 基 础 。 与 高 考 题 有 一 定 的距 离 ， 有 拓 展 、 发 和 挖 掘 的 余 地 和 空 间 ． 颇 开 如 高 中 数 学 第 二 册 （ ） 过 例 题 “ 知 口， ｍ 是 正 数 ， 上 通 已 ｂ，
一
无 论 是 素 质 教 育 还 是 应 试 教 育 ，在 中学 数 学 教 学 中 ， 决 数 学 习 题 （ 括 数 学 习 题 考 试 ） 不 失 为 考 核 解 包 都 与 测 试 学 生 知 － 与 能 力 的 一 种 基 本 途 径 ． 学 习 题 可 Ｎ 数 以 较 为 全 面 地 诊 断 学 生 对 于 知 识 的 理 解 、掌 握 及 应 用 的 水 平 。 对 学 生 掌 握 数 学 知 识 、 力 与 否 的 重 要 的 测 是 能 评 手 段 ． 学 习 题 在 学 生 解 决 的 成 败 得 失 过 程 中 足 以 数 暴 露 学 生 学 习 中存 在 的 意 识 、 念 上 的 缺 陷 ， 估 学 习 观 评 环 节潜 在 的不足 ， 鉴别 学生 能力 、 准 的一 面镜 子． 是 水

Ｌ － ｏｌｃ ａＲｅｈ ［ ｕｉ ｓｒ ＥｃｎＰｔ ｎ ａ＼ ｊ－ｔａｒｉ ｄｅ ｃ － ａ ａｅ － ｄ － ｃ
计算机也有类似的办法， 接着我就讲了 计算机的 交换器原
理。 这样处理本例 ， 学生轻轻松松就理解了， 课堂取得了理
想的效果。
３ ． 问题 ， 拓展 别开生面。
嘴： １２３４…，；腿 ： ，，２… ， ，，，， ｎ ４８１， ４ ｎ
像这样， 按照一定顺序排列着的一列数称为数列。朗 朗上Ｅ、 ｌ 形象直观、 老少皆知， 同学们在轻松愉快的的 氛围 中很快掌握 了数列的定义 ， 起到了事半功倍的效果 。
四、 习题素材 ， 变更 使教学内容更广阔 案例 ６必修 １ ４ 页复习参考题 Ｂ组第 ５ ： ： 第 ５ 题
个复杂的流程图， 既有顺序结构， 又有循环结构。 这给学
生“ 当头一棒”许多学生弄不清楚。 ， 笔者在讲授此节内容 时， 采用了化整为零 、 各个击破的办法， 操作如下 ：
笔者先介绍程序框 图， 然后处理下面 ３ 个问题 ： 问题 １设计一个求某同学语文、 、 ： 数学 英语三科总分的流程 图。
问 ５ｙｓ （ｘ１与ｙｓ ｘ 题 ： ｉ ２＋） ＝ｉ 的图象有什么关系？ ＝ｎ ｎ
通过上述问题的拓展， 可有效促进学生掌握对数函数
ｆ １ 华 ≤
、 厶 ，
二
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∈（，ｏ）若函数ｆｘ＝ｇ，ｌ ０＋。， ￣）ｌ ．ｆ ｘ￣ Ｊ
的图象和性质， 使学生体会到“ 山重水复疑无路， 拓展对比 笑开颜” 境界。 的
二、 挖掘 “ 本土” 素材 ， 使教学内容更丰富
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（） ２对于任意的
ｆ ） 华 ≥
厶 ／
二

浅谈数学习题的功能解答习题是学生数学学习活动的一种最常用、最基本的形式。

通过解答习题，不仅可以帮助学生获取知识、巩固和加深对所学知识的理解，也能使学生受到一种“思维体操”的训练,从而使学生从知识技能到思维能力,从智力因素到非智力因素各个方面都得到促进和发展。

数学习题具有多种功能,这些功能体现在数学教学的各个不同环节。

（一）数学习题的知识功能帮助学生获得系统的数学知识,形成必要的数学技能、技巧是数学教学最基本的教学目标，这一目标的实现，离不开解答数学习题.因此，数学习题最基本的功能，就是要让学生通过参与解题活动,获得系统的数学知识，形成必要的数学技能、技巧，这就是数学习题的知识功能.数学习题的知识功能贯穿于学生获得数学知识的各个阶段。

１．通过数学习题获取新知数学的概念、性质、法则、公式、数量关系和解题方法从本质上讲都具有抽象性和形式化的特点，尽管小学数学涉及的这些知识比较简单，但对于孩子来讲还是具有一定的抽象性的。

怎样帮助学生主动获取这些知识，理解其中的内涵，防止囫囵吞枣、死记硬背是小学数学教学中值得注意的问题。

通过典型的、具体的例题帮助学生获取相关的数学知识，是小学数学教学最常用的一种方法。

例题教学通常是一种解决问题过程的教学,通过解题过程的充分展开，让学生经历数学知识的形成和发展的过程，从而帮助学生获得对知识的深刻理解。

例如,我在教学负数时,先向学生出示了两幅情景图，一幅图中显示室内,老师和学生都脱了外套,温度计上显示１6;另一幅图中孩子们穿着厚厚的棉衣在堆雪人,温度计上也显示１６.然后提问:“这两幅图中的温度一样吗?"这样形象直观的让孩子们通过观察发现一个温度在零上,一个温度在零下,温度计上显示的数字虽然一样,但他们表示的意义却决然相反.从而让学生明了负数是表示与正数相反意义的量.这样,学生通过自主观察和思考来解决问题,主动获得了有关负数的这一抽象的意义。

2.通过数学习题巩固新知学生通过例题的学习获取新知后,需要通过进一步的解题活动巩固所学知识.因此,练习题的设计和安排就显得十分重要和必要．小学数学教材一般在例题教学后，都编排的相应的练习题,如“做一做”以及每一章节的总练习题等，通过组织学生进行不同层次、不同形式的解题练习，帮助学生及时巩固所学的知识,进一步加深对所学知识的理解.在实际教学中，教师还会针对一些典型习题做精细讲解,以便取得更好的巩固新知的效果。

高中数学教材习题的功能数学习题的解决之所以能成为数学教学的重要环节之一，主要是它具有诸多功能. 这些功能渗透在习题解题过程中，对学生进行着技能的或思维的，智力的或非智力的训练，使学生逐渐接近知识功能并达到数学教学大纲所要求的培养目标.１. 知识功能所有的数学习题最根本的功能就是通过解题使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能技巧. 数学习题的知识功能体现在学生学习数学知识的三个环节中. （１）通过数学习题引入新知识. 学习新知识，最重要的是建立起新旧知识间的联系. 引起学生的思考、在学生原有知识基础上产生疑问就要靠习题来联络. 比如，已知底数２和指数３，就可以求幂23 = 8，那么，如果已知底数２和幂５，即2x = 5，如何求指数ｘ呢？这样一个看似简单的数学习题会毫无疑问地引发学生学习“对数”的兴趣.（２）通过数学习题巩固知识. “在数学中，例子比定律更重要”.在掌握概念的过程中，比形成概念更重要的是概念的同化，也就是把概念有机地、和谐地融入到原有认知结构中. 数学习题能有效地引起学生进行认知活动，如学习了“函数的单调性”后，指导学生做一些判断或证明函数的单调性习题，会让学生加深对单调性的认识，还会使学生熟练操作判断或证明函数的单调性的步骤：①设；②作差；③化积；④判断符号.（３）通过数学习题运用知识. 怎样了解学生是否理解、掌握并会应用所学的定理、概念和公式了呢？主要还是靠数学习题. 比如，理解“排列”的定义并不难，但要想处理好排列的习题却需要拥有一些“插空”、“捆绑”、“顺序一定”的技巧，这些技巧都必须要经过习题而取得.２. 教育功能学生一旦进入解题状态，他的思维活动就具有指定的目的性、方向性、确定性和辨别性，情感亦随之高涨、低落和起伏. 于是，数学学科对学生在智力和非智力方面的教育功能即一并凸现出来. 在智力方面，数学习题帮助学生树立正确的数学观念，形成科学的思维方式与合理的思维习惯，焕发学生的应用意识，激发他们的创造能力，培养数学思维的灵活性、广阔性、批判性及创造性. 在非智力方面，数学习题亦推动着学生个性品质的发展――认真、严谨、自信、耐心、坚定、顽强，从动机、兴趣、情感、意志和性格等心理因素角度对学生的学习活动产生不可低估的定向、动力、引导、维持、调节、控制和强化作用. 数学习题给予学生数学美的熏陶和传统数学成就的展示，潜移默化地对学生进行辩证唯物主义世界观的教育和爱国主义思想的教育.３. 评价功能无论是素质教育还是应试教育，在中学数学教学中，解决数学习题（包括数学习题考试）都不失为考核与测试学生知识与能力的一种基本途径. 数学习题可以较为全面地诊断学生对于知识的理解、掌握及应用的水平，是对学生掌握数学知识、能力与否的重要的测评手段. 数学习题在学生解决的成败得失过程中足以暴露学生学习中存在的意识、观念上的缺陷，评估学习环节潜在的不足，是鉴别学生能力、水准的一面镜子.４. 示范功能一般说来，教材中的例习题都是为诠释本节课的某个定理、定义或公式而配备的，它们是连接理论知识和数学问题之间的桥梁，是一套通向问题解决的解题程序，对解题的思路、解题步骤的表达、书写的格式，图例表格的绘制等均有一定的规范要求，因此它们对解决此类相关问题以及对于此类问题的格式化起到了必要的示范、规范及范例作用，积极促进了学生对产生式“条件”的认知与概括，最终掌握一般的产生式规则. 比如在“异面直线所成的角”一节课中，有一道例题在求“异面直线所成的角”和求“异面直线的距离”的过程中就明确表明了求“角”或求“距离”问题的解题的统一步骤为：①作（辅助线）；②证（哪条线或角为所求）；③算（计算出要求的角或距离），从而也为学生以后求解线面角、二面角、点面距离、线面距离、面面距离等问题作出了良好的规范，也为学生能在考试中可以分步得分、多得分提供了有力的保障.５. 拓展功能高中数学教材的习题大部分都较为基础，与高考题有一定的距离，颇有拓展、开发和挖掘的余地和空间. 如高中数学第二册（上）通过例题“已知ａ，ｂ，ｍ是正数，并且ａ＜ｂ，求证＞”介绍了比较法的证明方法，但事实上也可以强化综合法和分析法；另外，还可以将不等式的问题置身于函数问题中：将ａ，ｂ视为常数，把ｍ当做变量，构造函数ｆ（ｍ） = ，通过判断它在（0,+∞）上是单调增函数而得证. 这样，将不等式拓展上升到函数思想的高度，同时强化了原不等式的结论. 所以，在教学中要注意对习题总结、提炼和灵活运用，从而大大拓宽数学例习题的教学功能，进而拓展学生的思维、培养学生的创造能力.６. 提升功能解题并不是数学教学的根本目的，而只是学习数学的一种手段、一种媒介. 通过解题来达到对数学知识的理解、掌握、应用，深刻领悟高中数学思想与方法，这才是数学教学的本质. “题海无涯，人生有限”，学生要想深入地了解和掌握数学，拥有一个能“点石成金”的手指头的意义远远要胜于点石成金后的“金子”. 教师欲通过覆盖大量题型，使学生以牺牲宝贵的时间为代价来获取较高的数学成绩显然是不可取的. 因此，教师要努力发掘习题中蕴涵的数学思想. 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍应用的意义；数学思想的重要意义在于指导学习者进行有序的科学的探索活动，避免盲目性，为顺利发展解题方法提供保障，同时数学思想也是历年高考的重点. 中学常见的数学思想有：方程与函数的思想、数形结合思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想. 数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法又都是转化与化归思想的具体体现，即将难解的问题转化为熟悉的已掌握的、已解决的问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将实际问题转化为数学问题. 例如：①高中数学第一册（上）习题３．２第２题“在等差数列｛an｝中，已知a5 = -1，a8 = 2，求a1与ｑ，” 体现了方程思想；②第一册（上）P132 “求和：（a - 1） + （ａ２－２）+ … + （an - n）”一题体现了分类讨论思想；③立体几何中，两条异面直线所成角、直线与平面所成的角、面与面所成的角问题最终都化归到平面几何中两条相交直线所成的角，体现了转化的思想；④第二册（上）P69 “到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是ｘ－ｙ＝０吗？为什么？”体现了数形结合的思想.７. 模型功能课本上的诸多例习题为学生提供了模型或结论的功能，就像波利亚在《怎样解题》中说过的“解题是一种实践性的技能、好比说就像游泳一样，在学游泳时，你模仿别人的做法，用手和脚的动作来保持头部位于水面之上，最后你通过操练游泳学会了游泳，在学习解题时，你必须观察和模仿别人在解题时的做法，最后你通过解题学会了解题”.所以，如果学生能在理解的基础上熟记相应的模型或结论的话，将会提高思维的效率. 例如，高中数学教材第二册（上）有一练习题“判断下列各对直线是否平行或垂直，l1：Ax + By + C1 = 0与l2：-Bx + Ay + C2 = 0”，学生在对两条直线作出“垂直”的判断后，教师可以趁热打铁，指导学生记忆与已知直线Ax + By + C = 0垂直的直线的方程的模式，简化了直线方程中的待定系数的计算.８. 联系功能学生在学习高中数学的初始阶段，主要是以知识点为学习的目标，学习要求仅局限于能准确了解、理解、掌握必需的数学概念，发展能获取和运用数学概念和技能所需的过程性技能. 由于后面与之相关的知识还没有接触到，暂时不能进行纵向联系，所以，学生学到的往往是零碎的、散乱的知识点. 而在以后的学习中，学生会发现虽然学习的章节、单元、数学分支不同，但知识的纵向联系与横向联系在习题中水乳交融，综合性能明显. 一道好的数学习题善于将零散的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化、注重各个知识点之间的融会贯通与整合，近几年的高考常在知识的交会点命题就鲜明地体现了数学习题的联系功能. 因此，师生要注意课本上例习题的前后联系作用. 例如，在“空间直线和平面”部分中学习“点到平面的距离”时，学生只会用定义求解，而在“简单几何体”部分学习了棱锥的体积公式后，学生就会接触到求三棱锥的高和体积问题，如果适时加以引导，学生就会惊喜地获得求“点面距离”的第二种方法即“等体积法”，完善了对“点面距离”的认知结构.９. 巩固功能教育心理学认为，练习是促使陈述性知识向智慧技能转化的必要条件. 高中数学教材中的例习题无一例外是为巩固数学知识而“讲”和“设”的. 为了牢固地掌握基础知识，就必须通过例题和习题来巩固. 例如，学生在学习“互斥事件”、“对立事件”概念时，虽然能一字不错地说出它们的定义，但未必能准确地判断两个事件是否为“互斥事件”与“对立事件”，需要借助于书后的练习或其他具体事例进行说明、加强巩固已有认知和新的信息之间的同化与融合. 与此同时，在巩固的基础上，再通过对例习题的反思与深化，达到提高运用知识分析问题和解决问题的目的.１０. 归纳功能数学问题的背景可以是千变万化的，但其中运用的数学思想方法却往往是相通的. 因此，数学习题的功能不止停留在本道习题所蕴涵的数学概念、定义的实质及其所渗透的数学思想、方法上，更延伸为它的高度概括的、归纳的功能，更应最大限度地展现数学本质，包括数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼. 华罗庚先生曾说的“书由越读越厚，再到越读越薄”想必就是这个意思. 这就可以解释为什么很多学生尽管抱怨作了大量的习题，却仍然不能摆脱较低的数学成绩，我认为很大原因在于学生对知识理解得不够深刻、剔透、到位，没有依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，没有形成概念、判断或推理，没有努力挖掘事物的本质、规律及内部联系，不善于总结每个公式、定理的主要用途……因而，有的人即使做了１００道题，也仍然还是１００道题；而有的人做了１００道题，却能把它归结为十个类型题，达到举一反三、由例及类、解一题通十题.【。

数学学习与研究2016.14【摘要】教材习题是高中数学教材中的重要组成部分,也是教师教学及学生学习中至关重要、不可或缺的一部分.教材习题是教材编写者精心研究思考后编制而成的,都是经过精选、具有一定代表性的.充分合理利用教材中的习题可以使其在教学中发挥多种有益作用.教科书是根据教学大纲编写而成的,它具体反映了大纲对每个知识点的要求、范围和程度,教科书中的习题则可以说是大纲的一面镜子,它体现了大纲的要求和目标.【关键词】高中数学;教材习题;教学作用高中数学教材习题的多种教学作用:1.复习尧巩固作用习题位于每一小节后面,内容与该节知识紧密相关.让学生学完每一小节知识后,可马上利用习题来巩固自己所学知识.学生通过做习题,对所学知识进行复习,使所学知识在大脑中重现,可加强记忆.在做教材习题的过程中,学生自己可以发现学习中的问题,促使大脑认真回忆、思考、归纳、整理,使课堂上所学的数学定义、定理等知识系统化、网络化,加深对知识的理解.可以说,做习题的过程实际上是通过对知识的应用来加深对所学知识的理解过程.如学习了必修一“集合”一节后,学生通过做习题1.1的A 组的第5题巩固所学的元素与集合的关系及集合与集合的关系.帮助学生熟悉“∈、∉、⊆、⊇”等数学符号的正确使用.2.评价作用习题位于相应小节、章节后面,在教学过程中,教师通过教材习题了解学生是否理解、掌握并应用所学的定理、概念和公式的情况.学生在学习完一小节知识后马上检验自己的学习情况,为其之后的学习计划提供参考;每一章后的复习参考可以检验学生这一章知识的掌握情况及对该章知识的综合运用情况,方便了解其遗忘与薄弱部分,达到查缺补漏的作用.教材习题可诊断学生对知识的理解、掌握及应用的水平,是对学生掌握数学知识、能力与否的重要的测评手段.学生在完成必修五习题3.2的A、B 组习题及检验核对答案后就可以根据完成情况来分析自己的不足.比如,是A 组1题有错的话,那么就可以相应地分析是计算问题还是没有掌握到一元二次不等式的解法,从而进一步制订合理有效的学习方法.3.总结作用习题的编制注重对知识点的充分利用,教学过程中,通过做习题,来总结对应章节所学知识,总结哪些知识是重点、难点.方便教师在今后的教学中把握方向,为学生之后的学习提供指示作用.例如必修五中“2.3等差数列的前n 项和”后对应的练习,虽然仅仅包含3道题,但我们不难总结出本节的主要内容是等差数列求和公式,利用等差数列求和公式解题.4.示范作用通过对教材习题类型的比较研究了解具体的定义、定理怎样利用,可能会出现在怎样的题型中,为具体的教学提供示范作用,有助于教师根据所悟题型改编类似题目,进一步加深学生对该知识的熟悉与利用.如必修一中“1.3.1单调性与最大(小)值”的练习题中的第4题,证明函数f (x )=-2x +1在上是减函数.由此我们知道单调性这个知识点会考查证明题.通过完成此题总结归纳这类题的求解思路、方法,同时通过类似的题如“判断函数f (x )=1(x +1)的单调性”等一系列题目来熟悉这类题的作答.5.课前预习和导入的作用数学习题的编制各式各样,充分利用某些习题作为学生的课前预习作业和教学中的导入.通过数学习题引入新知识,在学习了新课程内容后再回过头来解决习题.这样扩充了习题的作用又解决了问题,在这个过程中还会加深学生对该题的印象.例如必修五中“2.5等比数列的前n 项和”的练习题3“某市近10年的国内生产总值从2000亿元开始以10豫的速度增长,这个城市近10年的国内生产总值一共是多少?”利用这个实际应用型题作为引入,最终解决此题关键在于求解计算2000+2000×1.1+2000×1.1×1.1+…+2000×1.19,为了求解,结合前面所学等比数列,把这个式子看作是求以a 1=2000为首项,1.1为公比q 的等比数列的前10项的和.对于现在的学生来说只能用一个加一个的方式来做,这样计算太复杂,从而引出能否用简便方法,像等差数列求和一样由公式而引出课题.最后推导出公式,此题就迎刃而解了.6.联系作用教材中习题的编制,特别是每一章后面的复习参考题把多个知识联系在一起或者一个习题可以利用多种方式,多个不同角度求解.习题善于将零散的知识点串联起来,并将他们系统化、综合化,注重各个知识点之间的融会贯通与整合,近几年的高考常在知识的交会点命题就鲜明地体现了习题的联系作用.因此,师生要注意教材习题的联系作用.在必修一的第一章复习参考题A 组中的第10题.“已知函数y =x -2.(3)它在(0,+∞)上是增函数还是减函数?(4)它在(-∞,0)上是增函数还是减函数?”当我们学必修一时解决这道题只能用单调性的定义相关知识解决,而当我们之后学习了选修1-1“第三章导数及应用”或者选修2-2“第一章导数及应用”后就可以用导数相关知识来解决了.这样前后联系,使解题有了更多可选择的方法,拓展学生思维.7.模型作用数学教材中的诸多习题为学生提供了模型的作用,就像波利亚在《怎样解题》中说过的“解题是一种实践性的技能、好比说就像游泳一样,在学游泳时,你模仿别人的做法,用手和脚的动作来保持头部位于水面之上,最后你通过操练游泳学会了游泳,在学习解题时,你必须观察和模仿别人在解题时的做法,最后你通过解题学会了解题”.所以,如果学生能在理解的基础上熟记相应的模型的话,将会提高思维的效率,减小解题的思维难度.例如,必修二习题3.2中B 组的第4题“已知直线l 1,l 2方程分别是l 1:A 1x +B 1y +C 1=0(A 1,B 1不同时为0),l 2:A 2x +B 2y +C 2=0(A 2,B 2不同时为0),且A 1A 2+B 1B 2=0,求证l 1⊥l 2.”这是一个证明题,老师可以充分利用这道题讲解证明的过程,解题的要点.让学生理解掌握这一类型的题.在学生理解深刻掌握牢固后,教师还可以趁热打铁,引导学生理解记忆两条相互垂直的直线的方程的模型,以后学生在答题过程中,看到类似的题就会容易联想到这道题及其思路,为解题提供有用参考,起到模型作用.人教A 版高中数学教材习题的教学作用◎杨佳佳(西华师范大学,四川南充637002)◎孙海(西华师范大学,四川南充637002)147. All Rights Reserved.。

一、高中数学例题设计的研究背景及重要意义在实际的高中数学教学中，例题的解答能够有效地促进课堂教学效率的提升，更能让学生深刻理解知识，掌握基本的解答思路，让学生的解题能力得到提高。

将抽象的数学知识以具体的计算步骤运算得出结果的形式，让学生更好地掌握出题人的意图，这对学生数学思维能力的发展有非常重要的作用而且教师在进行例题设计时，应该充分考虑多方面的影响因素，把课程教学的基本内容与新课程标准的理念结合起来，使例题的设计符合学生现有的知识水平，符合学生解答问题的基本难度要求，一旦忽略了这些问题，学生的学习兴趣会受到影响，而且教学的发展也会与教学的基本目标出现偏差，严重浪费学生课堂的宝贵时间。

二、高中数学例题的有效设计形式（一）一题多解一题多解的题目设计需要从不同的角度按照不同的思路和不同的方法进行，让学生对问题进行思考后，可以给出题目的正确答案。

这种例题的设计能够让学生的学习积极性得到调动，也能让学生的创新思维得到发展，还可以积累更多的解题经验，例1当 x，y满足条件x>0，y>0，且x+y+xy=2时，x+y的最小值为（二）多题一解在数学的习题中有很多题目都可以用同样的方法来求解，这也是让学生在完成很多相同知识点的练习之后对题目的解答方式以及相关的知识点进行提炼、归纳的过程，使学生能够更好地发现知识点的本质，例2 （1）对实验室中现有的8个座椅进行摆放，8个座椅上有3个人要就座，要求这3个人每个人的左右均有空位，那么一共有多少种不同的就座方法呢？（2）在拍照时需要让4个男生和6个女生排成一排，唯一的要求就是4个男生互不相邻，那么一共有多少种不同的排队方法？（3）在会议室的前面一共有15盏灯，这15盏灯排成一排，为了节约用电，老师要求关掉其中的6盏灯，而且相邻的灯不能全部关掉，两端的灯也不能关掉，那么有多少种不同的关灯方案呢？针对以上的三个问题，虽然问题内容的呈现各不相同，但是在实际解决问题的时候采取的方法是一样的，那就是学生在学习有顺序的排列组合时经常会使用的插空法。

分析人教A版高中数学教材习题的教学作用作者：沈波来源：《中学课程辅导·教师通讯》2017年第17期【内容摘要】人教A版高中数学教材中有大量习题，这些习题对教师教学和学生学习有重要作用，这些习题有的可以引出知识点，有的能对知识点进行巩固，有的能检测学生的学习情况，对教学有重要作用。

【关键词】人教A版高中数学教材习题教学作用数学教学与习题有不可分割的作用，习题是数学教学的基础，也是数学教学的依托，更为数学教学提供了方向。

因此数学教材习题的作用不言而喻，本文笔者简要分析人教A版高中数学教材习题（以下简称习题）的教学作用。

一、预习导入在学习新课程前教师都会要求学生进行预习，但学生在预习时有时会找不到方向，学生常常在预习时，只是简单的了解知识点，背诵一些概念，公式，预习效果不佳，其实教材中的习题可以帮助学生有效的进行预习，学生在看习题时能明确概念的意义，并且能自我进行分析，以此来完成预习，达到较好的预习效果。

例如在预习“集合”这部分内容时，学生通过看习题，“小于10的所有自然数组成的集合”，学生可以通过这道习题来分析上文提到的集合用A表示，那么就需要设这个集合为A，再来分析题目小于10的自然数是0-9，这样学生就能自然而然的将这个集合表示出来，而学生通过自己对每一道例题的分析就可以了解到所要学习的每一个知识点，当遇到自己难以解决的问题时，就知道这是课堂上要重点学习的内容，预习效果快速提升。

除了預习习题还有导入的作用，例如指数函数在正式的内容前，就出示了一个关于《未来20年我国发展前景分析》的习题，让学生根据给出的数据进行分析，然后又给出了一个生物死亡后，碳与死亡年数的关系习题，让学生进行分析，这两个内容都与指数函数有关联，学生在分析问题时，教师就可以说一年一年来计算是不是过于复杂，从而将指数函数引出，这种导入的形式很自然，并且容易让学生对指数函数的学习产生兴趣。

二、课堂示范教师在讲解一些概念、公式时，只去将文字或是只告诉学生每一个字母代表什么，学生不容易理解，因此教师需要进行相应的示范，帮助学生来理解概念、公式，一些知识点教师讲解完成了，但是学生却并不知道应该在哪些题型中应用，这是习题也能起示范作用，教材习题最贴近教材的知识点，因此能起到良好的示范作用。

简论数学练习题的教学功能【摘要】：如何加强数学练习题的作用，最大限度地发挥其教学功能，为全面提高教学质量服务，本文通过多角度阐述了练习题在辅助教学中的理解功能、释疑功能、深化功能、反馈功能、主体功能、中介功能，论证了其教学内涵与功能的丰富性与重要性。

【关键词】：练习题；功能；教学现行高中数学课本中的习题共有三类：练习题、习题和复习参考题。

安排循序渐进，难度依次递增，作用相辅相成。

然而在教学中，不少学生甚至有的教师只重视后两类的作用，轻视或忽视练习题的教学价值，认为可有可无，可做可不做。

本文就课本练习题的教学跟你作一简论，以期引起足够重视。

练习题的特点在于难度小、针对性强、覆盖面广，其题型多样、设置活泼，具有很强的时效性，它主要应用于新授课课堂教学中。

这就决定了练习题具有如下教学功能。

1、理解功能帮助学生理解知识是数学教师的首要任务。

在新授课教学中，由于学生初次接触一些新的数学概念或新的数学方法，多数学生常处在“似懂”的层次上，这就需要教师能及时布置一些练习，使学生当堂理解。

课本练习题难度小，密切结合教学内容，最适合学生初步练习，最易帮助学生特别是一些中、差生及时理解所学知识，熟悉所学方法。

例如在“双曲线的几何性质”一节中，就涉及到诸如实轴、虚轴、渐近线、准线及共轭双曲线等一系列重要概念，学生对它们的理解程度如何，事关这一章教学的成败。

为让学生及时理解这些内容，理解这些内容，课本在其后安排了多道习题，涵盖了本节所有内容。

通过这些练习题，使学生理解双曲线的有关性质，初步熟悉方法，同时加深对第二定义的理解，等等。

只要教师能及时地组织学生搞好这些练习，绝大多数学生就能够准确地理解本节内容，这样，就能为本章的后继教学奠定坚实的基础。

2、释疑功能有些教学难点，尽管教师尽心组织，但仍有部分学生存在不同程度的疑虑和困惑。

及时帮助学生释疑解惑，对于学生准确理解和正确应用知识都是非常重要的。

课本中有些练习题就是提醒教师注意这个问题，并运用它帮助学生释疑解惑。

挖掘课本习题功能提高高中生学习效率作者：徐义来源：《中学课程辅导·教师通讯》2020年第03期【内容摘要】高考作为目前大学招生的一个重要渠道，对于高中学生而言具有非常重要的意义，而高考招考制度改革对于高中数学而言具有极大的冲击力，同时也对老师的教学质量和教学内容也造成了很大的影响。

随着高考改革进程的加快，也导致为了最大限度满足高考的要求，数学学习及教学策略必须进行调整，以此来促进教学能力提升，帮助学生提高学习效率。

本文就简要分析了高考改革背景下挖掘课本习題功能提高高中生学习效率的策略研究，希望能够帮助高中一线的数学教师，为他们提供一定的经验和方向。

【关键词】课本习题高中生高中数学学习效率一、高中苏教版数学课本习题设置规律高中数学作为高中教育阶段非常重要的一门学科，在高考中具有举足轻重的作用。

学好数学能够在一定程度上促进其他学科的学习，并能在一定程度上锻炼学生们的逻辑思维的连贯性和思维的严谨性。

苏教版的数学课本习题在题目的分类上较为细致，遵循学生思维发展的规律，将题目分为“感受·理解”“思考·运用”“探究·拓展”三个层次，教师通过学生的习题质量，可以准确把握学生的学习情况，而学生也能通过习题，找到自身学习知识的漏洞。

同时苏教版高中数学在每一章节结束之后都有本章测试，便于教师对章节学习后的测评，也能让学生将章节中分散的知识点集合起来，提升学生的综合学习能力。

苏教版的数学课本习题设计会对习题进行分层，可以根据教学难度的梯等，和学生学习程度的等次进行分层联系，达到更好的练习效果。

二、挖掘课本习题功能提高高中生学习效率的策略研究1.加强课本习题在课堂教学中的运用很多的教师不重视课本习题，总是利用课外的习题对学生进行学习指导，但是这样的方式就好像是盖房子不打根基，地表是不够稳固的。

因此要加强教师课本习题在课堂教学中的运用，教师可以将概念先引出来，在课本习题中挑选关于考查概念性质的习题进行分析讲解，例如，选择题、判断题等，让学生们通过做这些题牢固掌握概念，根据学生的回答情况，再进行其他教学内容的引入，这样学生会对学习的基本概念掌握牢固，提升学生的学习效率①。

高中数学课本习题功能细选高中数学课本习题功能菁选扩展阅读高中数学课本习题功能菁选（扩展1）——高中数学课后教学反思3篇高中数学课后教学反思1随着课程的逐步深入，可能导致学生对高中数学课程的难以理解和教师对高中数学课程的难以教学的问题出现。

为了有更好的教学效果，我们用情境创设来提高我们的教学质量，让学生在情境中不知不觉地理解和记住某些知识，在情境中学习，在快乐中学习。

一、情境创设的对象和意义我们针对教学中出现的一系列问题，比如说学生对于比较难的知识点听不懂；对长久以来的机械教学感到厌倦，不想听，这时我们需要对教学方法进行调整，给学生创造一个不一样的课堂，吸引学生的眼球，丰富多彩的情境不仅提高了学生的积极性，而且对于课堂的效率也有非常显著的提高。

二、情境创设的原则情境创设的根本目的是对学生的自身发展具有良好的促进意义，我们不但注重情景的模拟，还要在情境创设中对学生的未来有影响，教会他们面对问题的分析方法，其中最重要的是指导学生对于世界观的认知，找出普遍的规律，积极思考，情境创设在无形中对于学生有深远的影响。

在情境创设中，我们最基本的是要保证教学内容的准确性，保证与教材相一致，假如创设的教学的内容都有问题，那么无论如何创设情景都是一个失败的案例，只能为你带来麻烦，给学生带来负担。

其次，教学是合理的教学，是在现有基础上的教学，是有侧重点的教学，情境创设出一个能被大家所理解的所看到的浅显的内容才是好的教学案例。

我们在情境创设中忌讳华而不实的教学方法。

最后，我们要根据学生现有的认知水进行情境创设，过高过低的估计都不利于教学的进行。

情境创设要量身定做，争取达到最完美的教学效果。

另外，情境创设更要注重创新，与时俱进。

作为国家未来栋梁的二十一世纪的学生，正在努力接受着新知识的滋养，我们不能把过去的例子一遍一遍的重复，创新的案例使教学事半功倍。

与此同时，教师与学生的关系也正在微妙变化着，我们根据与学生之间的关系变更教学策略，引导学生对数学的正确思考方式，让学生真正爱上数学。

·备课助手·◇　山东　徐希楼 课本习题是对每一章节内容的浓缩总结，具有一定的代表性与探究性．高中数学教师如果能合理利用课本习题，不仅可以辅助学生掌握落实知识点，还可以提高学生解题能力．因此，本文对如何通过课本习题培养学生解题能力进行研究，以期给教师教学提供参考．在人教版高中数学教材中，每一章节都会配有相应的习题．许多教师认为那些习题过于简单，并未要求学生进行探究，相反布置难度较大的问题，从而导致许多学生的基础知识没有得到落实，影响教师后续教学内容的开展．１　通过课本习题培养学生解题能力的意义课本习题是对每一章节知识点的总结，它将知识点融入简单问题中，能帮助学生巩固、落实该阶段所学知识点．同时，因为课本习题较为基础，所以一道题的解法就不仅只限于一种，往往可以通过一道题变形出许多衍生题．因此，教师不仅可以利用课本习题培养学生一题多解的解题能力，还可以将课本习题进行变换，拓宽学生思维，培养学生利用同一个知识点解决不同问题的能力，使学生在不断的练习中熟练掌握知识点及其可能包含的特殊用法．２　通过课本习题培养学生解题能力的策略２．１　一题多解，发散学生思维高中数学试题往往切入点新奇，不同的解题方法以及思考角度难度往往是不同的，为了让学生能够在解题中快速准确地找出合适的解题方法，教师就应该在平时练习中注重培养学生一题多解的能力，让学生从不同的角度剖析问题，发散学生思维，使学生解题能力得到提高．若问题难度过大，仅仅是解出来就会耗费大量时间，所以课本习题更利于锻炼学生解题能力．例如，在解决课本中解析几何的习题时，教师可以引导学生从代数和几何两个角度进行解答．利用代数的方法，需要学生把条件中的点、线段、平面等信息，以及题目所给的附加条件代数化，再利用代数的方法使问题获解．而几何的方法就是教师在教学时，引导学生准确找到几何体的几何信息，例如，明确每一条线、每一个面在空间中的位置关系，通过空间坐标轴选择不同的底面，再利用点乘等方法求出最终结果．通常代数的方法适合计算能力较强的学生，而几何的方法适合空间想象能力较强的学生．教师不应该强制学生选择某一特定的解题方法，而应该让学生通过练习选择适合自己的方法，这样才能够让学生通过平时的练习，在考试时又快又准地找到最佳解题方案，加快学生的解题速度．通过一题多解，不仅使学生的思维得到了发散，同时还提高了学生的解题能力．２．２　梳理习题，夯实基础知识教师若忽略课本习题，让学生大量练习难题，容易导致学生的基础知识得不到巩固，而且学生会因无法解决难题而产生挫败感，从而厌恶数学，抗拒学习数学．因此，为了帮助学生夯实基础知识，教师应该合理利用课本，循序渐进，梳理课本习题，让学生通过课本习题的练习理解知识点，熟练掌握知识点的用法．例如，数列是学生进入高中后才接触的，等差数列、等比数列以及数列前几项和等许多概念都需要学生去消化、掌握．复杂的数列求和公式往往是学生学习的难点．因此，教师可以借助课本习题安排教学内容，让学生从简单的求公比、公差开始，再慢慢练习较复杂的数列求和，逐步击破各个知识点，并在反复练习中熟练掌握公式，提高解题能力．同时，在学生独自梳理课本习题时，审题能力也会有所提高，从而能有效减少在考试时因理解错题意而丢分的现象．具有代表性的课本习题还可以帮助学生分辨重点以及考点，使学生在今后温习时能抓住侧重点，提升学生的学习效率．２．３　一题多变，提升应试能力高中数学的考题往往有着灵活多变的特点，如何让学生准确抓住试题考点，如何培养学生举一反三的能力，这是高中数学教师在安排课程内容时需要考虑的重点．课本习题往往是基础题，是所有重要知识点的综合．因此，教师可以把课本习题当作“题根”，通过５２·备课助手·一题多解、变式训练等方法来锻炼学生灵活应试能力，进而增强学生的答题能力．例如，教师在教授解三角形的知识点后，可以安排学生完成课本习题．这样不仅可以缩短教师寻找题目的时间，提高教师的教学效率．同时，教师还可以带领学生对课本习题进行探究：“如果题目不是简单求边长及角度，那出题者还可以结合什么知识点出题呢？”通过教师的询问，利用简单的课本习题引发学生思考，锻炼学生的探究能力，提高学生的做题水平．２．４　联系实际，紧贴试题内容根据素质教育的需要，现在的考试题越来越生活化，旨在让学生具有解决实际生活问题的能力．同时，高中数学难度大、跨度广的特点也要求教师在教学过程中必须激发学生数学学习的兴趣．因此，教师在进行教学时应该贴合实际，将生活情境与课本习题相结合，使学生知晓数学的实用性．例如，教师讲授有关统计与概率的知识点时，就可以让学生先完成课本习题，使学生了解并掌握平均数、中位数、众数等的概念及计算．在学生完成课本习题后，教师可以将习题进行改编，变成可实际探究的问题，比如计算全班学生的平均身高，全班学生身高的中位数及众数等．教师可以让学生分组进行统计和计算．同时，教师也要对学生的探究过程进行总结，比如引导学生在计算众数时，可以通过画树状图来整理数据，在计算中位数时可以将数据按从大到小的顺序进行排列等．将习题与实际结合，不仅可以让学生熟悉知识点，还可以让学生在实际计算中掌握解题技巧，使学生的解题能力得到进一步的提高．３　结语鉴于课本习题的基础性与综合性，教师可以通过梳理课本习题来夯实学生的数学基础，可以将试题进行改编，借助一题多变、一题多解来提高学生的解题能力，同时，教师将课本习题与生活实际情境联系也可以激发学生学习数学的热情．（作者单位：山东省临沂第三中学）◇　山东　张维信　唐兆合在新时期背景下，分层教学被广泛地应用到各个地区教学当中，这是对传统教学方式的一种转变和创新，有利于教师根据学生的实际情况和不同学生的学习特点进行不同层次的教学与练习，符合素质教育对高中教学改革的要求，可提高高中数学教学的育人功能，使每个学生的学习潜能和能力都能得到激发和提高．１　分层教学的概念分层教学指导思想是教师在教学过程中，通过分层的方式将学生的知识水平和潜力进行区分，根据学生不同的学习特点和需求采用不同的方式进行区别，从而采用不同的教学方法．通过分层教学可以使学生学习的整体水平得到提升，使教师在相互作用的分层教学中提高教学效率，也有利于提高学生的学习成绩和质量．在分层教学过程中，要根据学生的学习成绩和潜能进行分组，并让学生在小组之间相互配合，共同进步．同时，根据学生小组内的实际情况制订适合小组成员成长和学习的教学目标与方式，按照循序渐进的原则进行教学．分层教学中主要强调以下几点：第一，充分考虑学生在学习过程中现有的知识和能力水平．第二，教师在教学过程中要采用分层次的方式进行教学，满足不同学生学习需求．第三，要确保采用分层教学的过程中，所有学生的学习成绩和能力得到提高，达到提高课堂教学质量的目标．２　分层教学应用在高中数学教学中的必要性２．１　符合素质教育需要“以人为本”是当前素质教育所强调的核心理念，强调教师在教学过程中要充分尊重学生的差异性和主体性，善于调整和打破以往灌输式的传统教学方式，重视和关注每个学生的学习特点及个性发展趋势，进而促进整体学生的全面发展．分层教学的主要实施特点是因材施教，教师可以通过分层教学的各个环节来激发学生学习兴趣，特别是提高能力较弱学生６２。

㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １３高中数学教材习题的教学作用探究高中数学教材习题的教学作用探究Һ张士祥㊀（山东省广饶县第一中学，山东㊀东营㊀２５７３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ教材习题是教学中非常重要的资源之一，它会对学生的实际学习效果产生非常重要的影响．人教Ｂ版教材中的习题大部分是根据教学大纲的要求设计的，这些习题经过教材编写者的精心研究，更加符合学生的实际学习特点，也基本反映出教学大纲对学生知识掌握程度的基本要求，教师在教学中引导学生进行教材习题的解答会有更强的代表性．本文主要对教材习题发挥的多种教学作用进行了探究．ʌ关键词ɔ高中数学；教材习题；教学作用；举例分析一㊁教材习题设计的主要特点随着新课程标准的大力推进，高中数学教材从内容到形式都做出了相应的改动，改动后更符合学生的认知发展需求的特点，也更能满足素质教育的基本需求，让学生和教师通过相互配合在课堂上能够取得更加丰厚的学习成果．教材的习题设计呈现出以下两个方面的特点．１．习题的设计更加丰富多样相比于以往教材中单一的题型设计，经过改革后的教材习题设计最大的亮点就是练习题的类型越来越丰富了．例如，原来的教材以方程求解㊁计算和求证作为主要的练习内容，现在增加了选择题㊁填空题㊁讨论题㊁研究题等不同的题型．题目类型的丰富对学生来讲是很有意义的，它可以让学生更好地发现学习的趣味性，也能让学生的创新能力㊁讨论交流能力和数学表达能力得到更好的发展．特别是讨论和研究类型问题的出现，教师更可以组织学生进行开放的习题讨论，让学生的思维得到更好的发展．这种全新的㊁丰富的题型设计对学生学习能力以及研讨能力的提升是很有帮助的．２．题目内容的设计会更加注重知识的联合使用在高中数学的学习中，每一个知识点都不是独立存在的，而且真正重要的数学考试中，题目也不会只考一个知识点，经常是对多个知识点的综合考查．而原来教材的习题设计只涉及了本章本节的知识点，题目考查的范围比较狭窄，而且考查的内容也是比较单一的．经过改革之后的习题会更加注重考查学生对数学知识的全面掌握，尽可能地要求学生运用多种知识点结合的形式进行习题的解答，不仅能够锻炼学生的综合能力，也能让学生在学习的过程中更好地建立知识点之间的联系，习题中知识点的交叉出现也会更好地体现数学知识的实用性，以此推动学生个人能力的全面发展．二㊁教材习题设计的重要教学作用１．习题的设计有课前导入的作用高中阶段学生能够接触到的数学习题是多种多样的，而教材当中丰富的习题形式也可以为教师提供更加广阔的教学途径．教师可以利用教材习题进行课堂的导入，以习题引导学生思维的发展，让学生能够对数学知识有更加浓厚的学习兴趣，这样不仅可以让习题发挥重要的作用，同时解决了教学当中课堂导入环节的难题，也让学生对这些知识有了深刻了解．例如，在学习等比数列的前ｎ项和Ｓｎ＝ａ１（１－ｑｎ）１－ｑ时，教师完全可以拿出一个具体的案例 已知数列１，２，４，８，１６， 求该数列前ｎ项的和 来开展教学，让学生通过对案例的分析推导公式，这有助于学生对基本公式的扎实记忆．这是课本上设计的一道典型习题，也是学生在进行等比数列学习的时候非常经典的一道题目．这道题目只给出了数列的前５项，需要学生自己去发现数列当中的基本规律，通过观察和计算，学生可以把这个数列以另外一种形式写下来，也就能很轻松地发现其中的规律：１，２１，２２，２３，２４， ，学生可以发现在这个数列当中后一项是前一项的２倍，这时候教师就可以给学生引入等比数列的概念，然后试着让学生总结等比数列求和公式．２．习题的设计有复习巩固的作用事实上，教材当中给出的相关习题的设计都是围绕本单元或本节的教学内容提出的，大部分习题都是为了总结课堂上学过的知识点．这样一来，如果学生完成了某一知识点的学习，就可以通过相关的练习题进行更加及时的巩固练习，这有助于学生增强学习效果，而且学过的知识点也能更加清晰地在学生大脑中呈现，对学生记忆的深化是很有帮助的．复习巩固的过程事实上也是在帮助学生对学习过程中的问题和不足进行反思，让学生能够仔细思考，并且在头脑当中更好地进行知识点的整合，从而对这些知识点有系统化的认识．例如，教师在带领学生学习了有关 集合 的知识之后，就可以找到相关的类型题让学生进行巩固练习．如：已知集合Ｐ＝｛ｙ｜ｙ＝４ｘ，ｘ＞０｝，Ｑ＝｛ｙ｜ｙ＝２ｘ＋１，ｘɪＲ｝，求ＰɘＱ．这两个集合表示的都是数集，学生在初次解题时非常容易出现错误．学生结合自己学过的知识，首先应该充分考虑集合Ｐ与集合Ｑ的特点，其次要考虑目标ｙ属于实数的范围，是集合Ｐ和Ｑ中的一个元素与之对应的函数的值域．因此，通. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２１ １３过计算可得Ｐ＝｛ｙ｜ｙ＞０｝，Ｑ＝｛ｙ｜ｙ＞１｝，即得ＰɘＱ＝｛ｙ｜ｙ＞１｝．这样的习题练习不仅有助于学生更好地掌握元素和集合之间的基本关系，也能更加明确集合当中一些特定的数学符号的使用方法．３．习题的设计有模型的作用教材中设计的大部分习题都能给学生的学习提供很好的模型，让学生在解决相关问题或者是其他类型题的时候也能找到模型依据．解题的过程是一个循序渐进的实践过程，这也是对学生实践能力的一种培养．如果学生没有解题的思路，教师可以让学生通过模仿其他人解决问题的基本做法掌握相关的模型和解决问题的方式．比如在讲解证明题时，课堂上教师首先应该让学生了解解决证明题的基本方法的要点和基本步骤，还可以通过对课本中习题的拓展设计，加深学生的印象，为学生接下来高质量的答题奠定扎实的基础．４．习题的设计有示范的作用习题设计示范作用的体现主要是让学生通过集体的问题解答来完成的．每一个学生对知识的掌握水平有所不同，而解决问题的思路和方法的选择也不尽相同，所以学生结合这些基础的知识以及相关的定义㊁定理在题目当中进行具体的应用，也是一种良好的示范．正确的解题方法以及解题思路能够让学生更高质量地完成解题的过程，而教师也可以适当对这些习题进行改编，让学生的个人能力得到进一步的发展，还可以结合改编之前和改编之后的题目类型进行解题方式的总结，加深学生对知识的理解和应用．５．习题的设计有联系总结的作用习题的设计越来越体现知识点之间的紧密联系，特别是章节复习题，题目内容的选择更是会把本章的知识点联系在一起，甚至会和学生已经学过的其他知识点进行串联设计，这样的题目设计能够帮助学生进行知识系统化㊁综合化的整合，也能让学生在解题的时候选择更加多种多样的方式，知识点之间实现了融会贯通，对学生相关知识体系以及数学思维的发展都有十分重要的影响．这就体现了教材对学生知识点总结复习的指导作用，题目的设计往往也都是结合知识点当中的重点㊁难点内容展开的，使学生可以更准确地把握学习的方向．例如，学生学过了增减函数的相关内容之后进行题目的练习，但是题目的设计往往不仅体现了增减函数的知识点，还会把单调函数的定义引入其中，这就是习题对知识点的重要的联系作用．学生只有扎实地把握函数的相关知识点才可以很好地解决这一类问题，从而更好地提高个人的学习效率．６．习题的设计有课堂评价的作用事实上，学生解答题目的过程也是反馈教师教学成果的过程．每一位数学教师都可以通过相关的练习题了解学生的学习状态，了解学生是否真正扎实地掌握了课堂上讲解的知识点，能否准确地把这些知识点应用到实际解决问题的过程当中．所以很多教师都会选择在教学之后利用课本当中的习题进行随堂测验，检查学生的实际学习情况．因为教师充分了解到课本习题的设计特点，所以也会更好地利用这些特点让学生进行及时的复习巩固，同时能让学生在解决问题的过程中把自己学习的水平更好地展现出来．通过解答课本习题，学生答题的准确率以及出现的问题可以及时地反馈给教师，而教师也能更好地了解到学生在学习当中还有哪些不足之处，有助于教师未来教学方法的改变以及教学内容的有针对性地选择，给学生提出更有针对性的学习方法的建议．三㊁教材习题讲解的正确策略选择基于上述介绍的教材习题对学生个人能力提升以及学习发展的重要作用，教师在给学生进行练习题目的讲解时也应该注重倾听学生内心最真实的想法，让学生能够在课堂上进行更加完善的交流和沟通．即便有一些学生提出的观点和问题有不正确的地方，教师也应该结合这些问题，给予学生更多的关注，而不是急于否定学生的观点．若学生基础知识掌握不牢或者是思考问题的方法存在误区和缺陷，教师应该做的是通过习题的练习发现学生的问题，并且积极引导学生，让学生也能意识到自己的问题，在未来的学习当中进行改进．教师对知识的讲解并不是课堂上最主要的内容，对习题的讲解也不应该局限在解题方法的正确选择上，而应该把学生可能在解决这道题的时候遇到的瓶颈讲解清楚，并带领学生进行更深层次的探讨，让学生再遇到此类问题的时候能够使用正确的方法．教师应该以充分了解学生的实际学习情况作为教学的前提，帮助学生掌握更多的解题技巧，奠定更加扎实的知识基础，只有学生能够经得住细节的考验，思考问题的方式方法才会有提升，也能让学生逐渐在数学学习中树立信心，在未来的练习中少走弯路．习题的改动和设计都是为了让学生能够在实际的学习过程当中实现更好的发展，希望学生能够通过课本习题的练习，让自己的个人能力得到更好的提升，而教师也要重视习题的重要作用，充分关注学生的实际发展情况和学习情况，在给学生讲解习题的过程当中联系相关数学知识，做好复习巩固工作，帮助学生构建更加完善的数学学习框架，让学生的个人能力从根本上得到发展，也让学生能够通过习题的练习加深对知识的理解，从而扎实地提高自身的数学素养．ʌ参考文献ɔ［１］何丽杰．基于深度剖析高中数学教材中习㊁例题的研究［Ｊ］．科教导刊－电子版（上旬），２０１８：１７０．［２］张锐梅．高中数学教材习题的功能［Ｊ］．数学学习与研究：教研版，２００８：１２５－１２６．［３］孟祥礼，孟祥东．对一道高中数学教材练习题答案的商榷［Ｊ］．中学数学杂志，２００２：１０．. All Rights Reserved.。

重视高中教材中例、习题的功能
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重视高中教材中例、习题的功能-中学数学论文
重视高中教材中例、习题的功能
贵州省安顺市西秀区安大学校龚蓉曦
例、习题教学是实施数学教学的一个重要组成部分，它包含了许多思维训练活动。

下面以全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（下）P117页一道例题为例，谈谈例、习题在教学中的作用。

深入研究我们不难发现，对于问题的推广拓展可以采用特殊方法，同时结合教材上例题的结论（就近联想），创造符合例题结论的条件，常常可以达到化腐朽为神奇的作用。

（责任编辑：章若昆）。

高中数学教材习题的功能数学习题的解决之所以能成为数学教学的重要环节之一，主要是它具有诸多功能. 这些功能渗透在习题解题过程中，对学生进行着技能的或思维的，智力的或非智力的训练，使学生逐渐接近知识功能并达到数学教学大纲所要求的培养目标.１. 知识功能所有的数学习题最根本的功能就是通过解题使学生获得系统的数学知识，形成必要的技能技巧. 数学习题的知识功能体现在学生学习数学知识的三个环节中. （１）通过数学习题引入新知识. 学习新知识，最重要的是建立起新旧知识间的联系. 引起学生的思考、在学生原有知识基础上产生疑问就要靠习题来联络. 比如，已知底数２和指数３，就可以求幂23 = 8，那么，如果已知底数２和幂５，即2x = 5，如何求指数ｘ呢？这样一个看似简单的数学习题会毫无疑问地引发学生学习“对数”的兴趣.（２）通过数学习题巩固知识. “在数学中，例子比定律更重要”.在掌握概念的过程中，比形成概念更重要的是概念的同化，也就是把概念有机地、和谐地融入到原有认知结构中. 数学习题能有效地引起学生进行认知活动，如学习了“函数的单调性”后，指导学生做一些判断或证明函数的单调性习题，会让学生加深对单调性的认识，还会使学生熟练操作判断或证明函数的单调性的步骤：①设；②作差；③化积；④判断符号.（３）通过数学习题运用知识. 怎样了解学生是否理解、掌握并会应用所学的定理、概念和公式了呢？主要还是靠数学习题. 比如，理解“排列”的定义并不难，但要想处理好排列的习题却需要拥有一些“插空”、“捆绑”、“顺序一定”的技巧，这些技巧都必须要经过习题而取得.２. 教育功能学生一旦进入解题状态，他的思维活动就具有指定的目的性、方向性、确定性和辨别性，情感亦随之高涨、低落和起伏. 于是，数学学科对学生在智力和非智力方面的教育功能即一并凸现出来. 在智力方面，数学习题帮助学生树立正确的数学观念，形成科学的思维方式与合理的思维习惯，焕发学生的应用意识，激发他们的创造能力，培养数学思维的灵活性、广阔性、批判性及创造性. 在非智力方面，数学习题亦推动着学生个性品质的发展――认真、严谨、自信、耐心、坚定、顽强，从动机、兴趣、情感、意志和性格等心理因素角度对学生的学习活动产生不可低估的定向、动力、引导、维持、调节、控制和强化作用. 数学习题给予学生数学美的熏陶和传统数学成就的展示，潜移默化地对学生进行辩证唯物主义世界观的教育和爱国主义思想的教育.３. 评价功能无论是素质教育还是应试教育，在中学数学教学中，解决数学习题（包括数学习题考试）都不失为考核与测试学生知识与能力的一种基本途径. 数学习题可以较为全面地诊断学生对于知识的理解、掌握及应用的水平，是对学生掌握数学知识、能力与否的重要的测评手段. 数学习题在学生解决的成败得失过程中足以暴露学生学习中存在的意识、观念上的缺陷，评估学习环节潜在的不足，是鉴别学生能力、水准的一面镜子.４. 示范功能一般说来，教材中的例习题都是为诠释本节课的某个定理、定义或公式而配备的，它们是连接理论知识和数学问题之间的桥梁，是一套通向问题解决的解题程序，对解题的思路、解题步骤的表达、书写的格式，图例表格的绘制等均有一定的规范要求，因此它们对解决此类相关问题以及对于此类问题的格式化起到了必要的示范、规范及范例作用，积极促进了学生对产生式“条件”的认知与概括，最终掌握一般的产生式规则. 比如在“异面直线所成的角”一节课中，有一道例题在求“异面直线所成的角”和求“异面直线的距离”的过程中就明确表明了求“角”或求“距离”问题的解题的统一步骤为：①作（辅助线）；②证（哪条线或角为所求）；③算（计算出要求的角或距离），从而也为学生以后求解线面角、二面角、点面距离、线面距离、面面距离等问题作出了良好的规范，也为学生能在考试中可以分步得分、多得分提供了有力的保障.５. 拓展功能高中数学教材的习题大部分都较为基础，与高考题有一定的距离，颇有拓展、开发和挖掘的余地和空间. 如高中数学第二册（上）通过例题“已知ａ，ｂ，ｍ是正数，并且ａ＜ｂ，求证＞”介绍了比较法的证明方法，但事实上也可以强化综合法和分析法；另外，还可以将不等式的问题置身于函数问题中：将ａ，ｂ视为常数，把ｍ当做变量，构造函数ｆ（ｍ） = ，通过判断它在（0,+∞）上是单调增函数而得证. 这样，将不等式拓展上升到函数思想的高度，同时强化了原不等式的结论. 所以，在教学中要注意对习题总结、提炼和灵活运用，从而大大拓宽数学例习题的教学功能，进而拓展学生的思维、培养学生的创造能力.６. 提升功能解题并不是数学教学的根本目的，而只是学习数学的一种手段、一种媒介. 通过解题来达到对数学知识的理解、掌握、应用，深刻领悟高中数学思想与方法，这才是数学教学的本质. “题海无涯，人生有限”，学生要想深入地了解和掌握数学，拥有一个能“点石成金”的手指头的意义远远要胜于点石成金后的“金子”. 教师欲通过覆盖大量题型，使学生以牺牲宝贵的时间为代价来获取较高的数学成绩显然是不可取的. 因此，教师要努力发掘习题中蕴涵的数学思想. 数学思想方法是从数学内容中提炼出来的数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，有着普遍应用的意义；数学思想的重要意义在于指导学习者进行有序的科学的探索活动，避免盲目性，为顺利发展解题方法提供保障，同时数学思想也是历年高考的重点. 中学常见的数学思想有：方程与函数的思想、数形结合思想、分类讨论的思想、转化与化归的思想. 数形结合的思想体现了数与形的相互转化；函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法又都是转化与化归思想的具体体现，即将难解的问题转化为熟悉的已掌握的、已解决的问题；将抽象的问题转化为具体直观的问题；将实际问题转化为数学问题. 例如：①高中数学第一册（上）习题３．２第２题“在等差数列｛an｝中，已知a5 = -1，a8 = 2，求a1与ｑ，” 体现了方程思想；②第一册（上）P132 “求和：（a - 1） + （ａ２－２）+ … + （an - n）”一题体现了分类讨论思想；③立体几何中，两条异面直线所成角、直线与平面所成的角、面与面所成的角问题最终都化归到平面几何中两条相交直线所成的角，体现了转化的思想；④第二册（上）P69 “到两坐标轴距离相等的点组成的直线的方程是ｘ－ｙ＝０吗？为什么？”体现了数形结合的思想.７. 模型功能课本上的诸多例习题为学生提供了模型或结论的功能，就像波利亚在《怎样解题》中说过的“解题是一种实践性的技能、好比说就像游泳一样，在学游泳时，你模仿别人的做法，用手和脚的动作来保持头部位于水面之上，最后你通过操练游泳学会了游泳，在学习解题时，你必须观察和模仿别人在解题时的做法，最后你通过解题学会了解题”.所以，如果学生能在理解的基础上熟记相应的模型或结论的话，将会提高思维的效率. 例如，高中数学教材第二册（上）有一练习题“判断下列各对直线是否平行或垂直，l1：Ax + By + C1 = 0与l2：-Bx + Ay + C2 = 0”，学生在对两条直线作出“垂直”的判断后，教师可以趁热打铁，指导学生记忆与已知直线Ax + By + C = 0垂直的直线的方程的模式，简化了直线方程中的待定系数的计算.８. 联系功能学生在学习高中数学的初始阶段，主要是以知识点为学习的目标，学习要求仅局限于能准确了解、理解、掌握必需的数学概念，发展能获取和运用数学概念和技能所需的过程性技能. 由于后面与之相关的知识还没有接触到，暂时不能进行纵向联系，所以，学生学到的往往是零碎的、散乱的知识点. 而在以后的学习中，学生会发现虽然学习的章节、单元、数学分支不同，但知识的纵向联系与横向联系在习题中水乳交融，综合性能明显. 一道好的数学习题善于将零散的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化、注重各个知识点之间的融会贯通与整合，近几年的高考常在知识的交会点命题就鲜明地体现了数学习题的联系功能. 因此，师生要注意课本上例习题的前后联系作用. 例如，在“空间直线和平面”部分中学习“点到平面的距离”时，学生只会用定义求解，而在“简单几何体”部分学习了棱锥的体积公式后，学生就会接触到求三棱锥的高和体积问题，如果适时加以引导，学生就会惊喜地获得求“点面距离”的第二种方法即“等体积法”，完善了对“点面距离”的认知结构.９. 巩固功能教育心理学认为，练习是促使陈述性知识向智慧技能转化的必要条件. 高中数学教材中的例习题无一例外是为巩固数学知识而“讲”和“设”的. 为了牢固地掌握基础知识，就必须通过例题和习题来巩固. 例如，学生在学习“互斥事件”、“对立事件”概念时，虽然能一字不错地说出它们的定义，但未必能准确地判断两个事件是否为“互斥事件”与“对立事件”，需要借助于书后的练习或其他具体事例进行说明、加强巩固已有认知和新的信息之间的同化与融合. 与此同时，在巩固的基础上，再通过对例习题的反思与深化，达到提高运用知识分析问题和解决问题的目的.１０. 归纳功能数学问题的背景可以是千变万化的，但其中运用的数学思想方法却往往是相通的. 因此，数学习题的功能不止停留在本道习题所蕴涵的数学概念、定义的实质及其所渗透的数学思想、方法上，更延伸为它的高度概括的、归纳的功能，更应最大限度地展现数学本质，包括数学知识的内在联系；数学规律的形成过程；数学思想方法的提炼. 华罗庚先生曾说的“书由越读越厚，再到越读越薄”想必就是这个意思. 这就可以解释为什么很多学生尽管抱怨作了大量的习题，却仍然不能摆脱较低的数学成绩，我认为很大原因在于学生对知识理解得不够深刻、剔透、到位，没有依靠思维能力对感性材料进行一系列的抽象和概括、分析和综合，没有形成概念、判断或推理，没有努力挖掘事物的本质、规律及内部联系，不善于总结每个公式、定理的主要用途……因而，有的人即使做了１００道题，也仍然还是１００道题；而有的人做了１００道题，却能把它归结为十个类型题，达到举一反三、由例及类、解一题通十题.【。

谈高中数学课本习题功能-摘要：波利亚在《怎样解题》中说:“解题是一种实践性的技能,好比说就像游泳一样，在学游泳时,你模仿别人的做法,用手和脚的动作来保持头部位于水面之上，最后你通过操练游泳学会了游泳。

关键词:高中数学；习题ﻭ课本上的例习题不是题目的简单堆砌,而是典型的、精选的、具有代表性的题目，我们不但应该会做，而且还应该对课本例习题进行反思,既要反思解题过程，又要反思教材一定会通过例习题向我们传达些什么，因此，我们应该充分发挥课本的例习题功能。

ﻭ一、示范功能ﻪﻭ例题是连接理论知识与问题之间的桥梁，示范性强，如对解题的思路指导,解题步骤的表达,书写的格式，图例表格的绘制等均有一定的规范要求,复习时应该重视教材例题的示范作用,充分挖掘其内涵和外延，做到事半功倍的复习效果.ﻪ例、《数学。

第二册（上)》P27“例1:已知都是实数,且求证:。

”ﻪ本题课本给出了三种证法：即综合法、比较法和分析法，而每一种证法都给出了详细解答步骤,书写格式十分规范，能给学生很好的示范作用,如,用分析法证明时“要证,只需证明,即只需证明。

…①由于因此①式等价于…②,将②式展开、化简,得…③因为都是实数,所以③式成立,即①式成立。

原命题得证。

”同时，解题思路也清晰自然，本题用了三种证法说明了证明不等式的方法是多种多样的,启示我们要根据不等式的特点灵活地选择恰当的证法,一般地说，如果能用分析法寻找出证明某个不等式的途径,那么就能用综合法证明不等式,同时，还启发我们是否能用比较法来证明。

二、模型功能波利亚在《怎样解题》中说:“解题是一种实践性的技能，好比说就像游泳一样，在学游泳时，你模仿别人的做法,用手和脚的动作来保持头部位于水面之上,最后你通过操练游泳学会了游泳。

在学习解题时，你必须观察和模仿别人在解题时的做法,最后你通过解题学会了解题。

”课本上的有些例习题能给我们提供模型或者结论的功能,如果我们能在理解的基础上熟记相应的模型和结论的话，将会使我们提高思维的效率。

教材分析吴立宝等：数学教材习题“七功能”
本文选自：新青年数学教师工作室微信平台
教材分析是教师的基本功之一。

随着2020新学年的到来，根据教育部《普通高中数学课程标准(2017年版)》编写的6+1套高中数学教材均已亮相，受到大家的关注和喜爱。

本期推荐天津师大吴立宝教授等的文章，引用格式为：
吴立宝，等.数学教材习题“七功能”[J].教学与管理，2014(11)：66–68.文章摘要：
习题是数学教科书的重要组成部分，主要有消化巩固新知、拓展延伸新知、综合运用新知、思维能力训练、思想方法渗透、诊断反馈补救与育人等功能。

对于教科书习题功能的全面认识，有助于教师充分发挥教科书习题的价值，提高课堂教学效率。