2016春八年级数学下册第19章《四边形》矩形中的折叠问题

思想方法专题：矩形中的折叠问题——体会折叠中的方程思想及数形结合思想◆类型一折叠中求角度1．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF.若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为( )A．15° B．20° C．25° D．30°第1题图第2题图2．如图，某数学兴趣小组开展以下折纸活动：(1)对折矩形纸片ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；(2)再一次折叠纸片，使点A落在EF 上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN.观察探究可以得到∠ABM 的度数是( )A．25° B．30° C．36° D．45°◆类型二折叠中求线段长3．(2017·安顺中考)如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO＝5cm，则AB的长为( ) A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm第3题图第4题图4．(2017·宜宾中考)如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE 折叠，使点A恰好落在对角线BD上的F处，则DE的长是( )A．3 B.245C．5 D.89165．★(2016·威海中考)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC 的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内的点F处，连接CF，则CF的长为________．◆类型三折叠中求面积6．(2017·鄂州中考)如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F 处，FC交AD于E.(1)求证：△AFE≌△CDE；(2)若AB＝4，BC＝8，图中阴影部分的面积．7．★(2016·福州中考)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上的一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长；(2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积．参考答案与解析1．B 解析：由折叠可知∠EFC＝∠EFC′＝125°.∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DEF＝180°－125°＝55°.根据折叠可知∠BEF＝∠DEF＝55°，∴∠BED ＝10°.∵四边形ABCD为矩形，∠A＝90°，∴∠ABE＝110°－90°＝20°.故选B.2．B 3.C 4.C5.185解析：如图，连接BF交AE于H，由折叠的性质可知BE＝FE，AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，∴AH⊥BF，BH＝FH.∵BC＝6，点E为BC的中点，∴BE＝1 2 BC＝3.又∵AB＝4，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝错误!未定义书签。

FD四边形中的折叠问题折叠可以带来全等图形，在平行四边形中，对角线把它分成全等的三角形，因此在四边形中经常会遇到折叠问题。

解决此类问题的关键是要注意观察折叠前后的图形，发现它们之间的关系，找到边、角中的变量和不变量，寻找全等三角形，同时还会经常综合运用到四边形的有关知识。

一、例题讲解例1 如图，将一张对边平行的纸条先沿EF 折叠，点A 、B 分别落在'A 、'B 处，线段FB '与AD 交于点M ，再将纸条的另一部分CFMD 沿MN 折叠，点C 、D 分别落在'C 、'D 处，且使MD '经过点F ．（1）求证：四边形MNFE 是平行四边形； （2）当翻折角BFE =∠ 度时，四边形MNFE 是菱形．（将答案直接 填写在横线上）（1）证明：由题意可知21∠=∠，∵AD ∥BC , ∴31∠=∠. ∴32∠=∠. ∴MF ME = 同理 FM FN =. ∴FN ME =. 又∵ME ∥FN ,∴四边形MNFE 是平行四边形.（2）60例2 如图，把矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，点B 落在点E 处，EC 与AD 相交于点F.（1）求证：△FAC 是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求△FAC 的周长和面积.（1）证明：由题意可知△AB C ≌△ACD ≌△ACE, 所以∠DAC=∠ACE,所以△FAC 是等腰三角形； （2）解：设CF=AF=x ，且AD=BC=6,CD=AB=4 Rt △CDF 中，DF=AD-AF=6-x 由勾股定理得，2224(6)x x +-= 133x =NEFMD'A'B'C'ABC DNE F MD'A'B'C'ABC D 12 36-x=53Rt △ABC 中，AC=213 △FAC 的周长=263+213 △FAC 的面积=△ACD 的面积-△CDF 的面积=263例3如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知cm CE 6=，cm AB 16=，求BF 的长． 解：由题意可知△ADE ≌△AFE . ∴AF AD =，FE DE =.在矩形ABCD 中，16==AB CD ，CB AD =，︒=∠=∠=∠90D C B ,∵6=CE ,∴10=-==CE CD DE EF .在Rt △CEF 中，822=-=CE EF FC .设x BF =，则x BF FC BC +=+=8, ∴x BC AD AF +===8.在Rt △ABF 中，222AF BF AB =+, 即222)8(16x x +=+,解得 12=x ，即12=BF （cm ）.例4 在梯形纸片ABCD 中，AD BC ∥，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C '处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '． （1）求证：四边形CDC E '是菱形；（2）若BC CD AD =+，试判断四边形ABED 的形状， 并加以证明．（1）证明：根据题意可知CDE C DE '△≌△，CD C DC DE CDE CE C E '''∴===，，∠∠． AD BC ∥，C DE CED '∴=∠∠．CDE CED ∴=∠∠．CD CE ∴=． CD C D C E CE ''∴===．∴四边形CDC E '为菱形．（2）解：当BC CD AD =+时，四边形ABED 为平行四边形． 证明：由（1）知CE CD =．又BC CD AD =+，BE AD ∴=．又AD BE ∥，∴四边形ABED 为平行四边形．FEDCB A。

矩形中的折叠问题山东省枣庄市峄城区第二十八中学 潘歌 邮编：277300折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

对于折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

一、求角度例1 如图 把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °．【解析】在矩形折叠问题中，折叠前后的对应角相等来解决。

解：根据矩形的性质AD ∥BC ，有∠EFG =∠FEC =58°，再由折叠可知，∠FEC =∠C ′EF =58°，由此得∠BEG =64°例2 将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD = 度．【解析】折叠前后的对应角相等．解：BC 、BD 是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC ，∠EBD = ∠HBD 则∠CBD = 90°．例4 如图 四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ）（A ）34 （B ）33 （C ）24 （D ）8【解析】在矩形折叠问题中，求折痕等线段长度时，往往利用轴对称性转化相等的线段，再借助勾股定理构造方程来解决．解：由折叠可知，AE =AB =DC =6，在Rt △ADE 中AD =6，DE =3由勾股定理，得AD =33，设EF =x ，则FC =x -33，在Rt △EFC 中由勾股定理求得x =32,则EF =32，在Rt △AEF 中，由勾股定理得AF =A ．A B CDEFA B E C D F G C 'D 'C三、求图形面积例5如图3-1所示，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成图3-2所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ）A ．234cmB ．236cmC ．238cmD ．240cm解析：折叠后重合部分为直角三角形． 解：重合部分其面积为22122=⨯⨯，因此着色部分的面积=长方形纸条面积 － 两个重合部分三角形的面积，即20×2－2×2＝36（2cm ）．故选B ．∴62 + (8 - x )2 = x2解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754 cm2四、数量及位置关系例7 如图 将矩形纸片ABCD 沿对角线BD 折叠，点C 落在点E处，BE 交AD 于点F ，连结AE ．证明：（1）BF DF =． （2）AE BD ∥ 【解析】（1）欲证明BF =DF ，只需证∠FBD =∠FDB ； （2）欲证明AE BD ∥，则需证AEB DBE ∠=∠。

A B C D F E 八年级期中复习------折叠问题 11、如图,四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠,使点B 恰好落在CD 边的中点E 处,折痕为AF ．若CD ＝6,则AF 等于A ．4B ．3C ．4D ．82、如图,将矩形ABCD 纸片沿对角线BD 折叠,使点C 落在C′处,BC′交AD 于E,若∠DBC ＝°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中45°的角虚线也视为角的边有A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个3、把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠, EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是A 、85°B 、90°C 、95°D 、100°4、如图,点O 是矩形ABCD 的中心,E 是AB 上的点,沿CE 折叠后,点B 恰好与点O 重合,若BC ＝3,则折痕CE 的长为A 、23B 、332C 、3 D 、65、如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=6,D,E 分别在 AB 、AC 上,将△ABC 沿DE 折叠,使点A 落在点A′处,若A′为CE 的中点,则折痕DE 的长为A 、B 、2C 、3D 、46、如图,在Rt△ABC 中,∠ABC=90°,∠C=60°,AC=10,将BC 向BA 方向翻折过去,使点C 落在BA 上的点C′,折痕为BE,则EC 的长度是A 、53B 、535-C 、1053-D 、553+7、如图,把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后,点C,D 分别落在C′,D′的位置上,EC′交AD 于点G ．已知∠EFG ＝58°,那么∠BEG= °．8、如图,将纸片△ABC 沿DE 折叠,点A 落在点A′处,已知∠1+∠2=100°,则∠A= ____________度．八年级期中复习------折叠问题29、如图,矩形纸片ABCD 中,已知AD =8,折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合,点B 落在点F 处,折痕为AE,且EF=3,则AB 的长为10、如图所示,将矩形纸片ABCD 折叠,使点D 与点B 重合,点C 落在点C′处,折痕为EF,若∠EFC′＝1250,那么∠ABE 的度数为A ．150B ．200C ．250D ．300 11、如图,在△ABC 中,∠C=90°,点D 在AC 上,将△BCD 沿着直线BD 翻折,使点C落在斜边AB 上的点E 处,DC=5cm,则点D 到斜边AB 的距离是 cm ．12、点D 、E 分别在等边△ABC 的边AB 、BC 上,将△BDE 沿直线DE 翻折,使点B 落在B 1处,DB 1、EB 1分别交边AC 于点F 、G ．若∠ADF＝80o,则∠CGE＝ ．13、把一张矩形纸片ABCD按如图方式折叠,使顶点B和顶点D重合,折痕为EF．若BF＝4,FC＝2,则∠DEF的度数是_ ．14、如图所示,在△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,将△ABC折叠,使点C与点A重合,折痕为DE,则△ABE的周长为．15、如图,在矩形纸片ABCD中,AB＝2cm,点E在BC上,且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠,点B恰好与AC上的点B1重合,则AC＝ cm．16、将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示图形．若∠CED′＝56°,则∠AED的大小是．17、如图,将长8 cm,宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠,使点A与C重合,则折痕EF的长等于 cm．。

对学生进行知识、方法、能力梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而形成能力。

进一步提高学生综合解决数学问题的能力，掌握数学方法和技能。

一共有四个问题，问题一为小组合作，大约十分钟后交流，分享成果，总结规律，找到方法。

然后从问题二至问题四自主尝试。

问题一：把一个矩形的纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C落在E处，BE与AD交于M点，折叠后出现的相等的线段有______________________________________(不包括AB=CD，AD=BC)折叠后出现的相等的角有________________(不包括∠A=∠C和∠AMB=∠DME)（你是用什么方法得到的？）（1）你能从中找到全等三角形吗？若存在请证明。

（2）重合部分是什么图形？并说明理由。

（3）当AB=3,BC=4,重合部分面积是多少呢？设计意图：学生通过多种方法，合作探究，解决折叠问题中具有代表性的问题。

教师适时加以点拨，整理思路总结规律和方法。

成果展示，提炼方法展示环节是学生展示自我，体验成功的重要手段。

师生评价与生生评价相结合。

学生小结：通过这四个问题的解决，可以发现，解决图形中的折叠问题时，需要发现折叠后出现的等腰三角形、直角三角形是解决问题的关键。

自主尝试，运用方法问题二：折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB=4，BC=5，求EC的长。

问题三：把矩形ABCD如图折叠，使顶点B和D重合，折痕为EF，（1）找出图中的全等的三角形，并证明。

（2）重合部分是什么图形？证明你的结论。

（3）连接BE，判断四边形BEDF是什么特殊四边形？BD与EF有什么关系？并证明（4）若AB=3,BC=4，求折痕EF的长？（你有几种求法？）问题四：折叠矩形ABCD的一边AB，使点B落在对角线AC上的点F处，若AB=3,BC=4，求折痕AE的长。

设计意图：举一反三，让学生运用学会的方法和思路来解决问题，形成触类旁通的数学能力。