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八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.1 直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验证及简单应用学案（新版）华东师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（八年级数学上册第14章勾股定理14.1 勾股定理14.1.1 直角三角形的三边关系第2课时勾股定理的验证及简单应用学案（新版）华东师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第2课时勾股定理的验证及简单应用课前知识管理对于勾股定理的探索，可以采用测量、计算、•观察和动手操作的方法来验证其正确性．课本主要运用拼图的方法,利用两种方法表示同一个图形的面积来验证勾股定理．如图1，是由4个完全相同的直角三角形拼成的，得到一个边长为(a+b）的大正方形和以斜边c为边长的小正方形,有（a+b）2=4×12ab+c2，整理可得a2+b2=c2．对于图2，有S正方形EFGH=c2=（b—a）2+4×12ab，即c2=a2+b2．名师导学互动典例精析：知识点1：用拼图法验证勾股定理例1、请判断一下，下列图形中，哪些可以用来验证勾股定理.【解题思路】①大正方形的面积等于四个直角三角形面积加中间小正方形面积;②中间正方形面积等于大正方形面积减去四个直角三角形面积；③推导不出。
【解】①②可以验证勾股定理。
【方法归纳】勾股定理的验证，主要通过拼接图形的面积来实现.对应练习：请结合以下图形，验证勾股定理.知识点2：方程的思想例2、如图，在△ABC中，AB=15，BC=14， CA=13，求BC边上的高AD．【解题思路】【解】设DC=x，则BD=14－x，在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理可得：（14－2)x+22222(14)56--=，解x x=+=，两式相减得：2215,13AD x AD得:5x=．在Rt△ACD由勾股定理得：AD=12．【方法归纳】由于勾股定理反映了直角三角形三边的数量关系，所以在应用勾股定理解决问题时，要考虑应用定理列方程来求解．对应练习：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于( ）A 2cm B 3cm C 4cm D 5cm知识点3：数形结合的数学思想例3、某市气象台测得一热带风暴中心从A城正西方向300km处，以每小时26km 的速度向北偏东60°方向移动，距风暴中心200km的范围内为受影响区域.试问A 城是否受这次风暴的影响?如果受影响，请求出遭受风暴影响的时间；如果没有受影响，请说明理由。
八年级勾股定理知识点总结大全八年级勾股定理知识点总结勾股定理是初中数学重要的知识点之一，也是数学的经典定理之一。
这个定理的公式很简单，但是背后的数学思想却十分深刻。
本文将从多个角度全面总结和解析八年级勾股定理的相关知识点，让您在学习和应用勾股定理时更加得心应手。
一、勾股定理的概念与表述勾股定理的概念很简单，即在一个直角三角形中，直角边的平方等于斜边上两个其他边长度的平方和。
这个定理可以表述为：设在一个直角三角形 ABC 中，C 为直角，则有 AB²=AC²+BC²。
二、勾股定理的证明方法勾股定理有多种证明方法，我们列举其中几种。
1.图形法证明。
将三角形划分成两个直角三角形，然后用勾股定理证明。
2.代数法证明。
使用代数运算，将勾股定理应用到具体的数字上。
3.几何法证明。
使用几何知识，求一个图形的面积，然后再用勾股定理求得三角形的边长。
三、勾股定理的应用方法1.求未知边长。
利用勾股定理，可以快速计算出一个三角形的任意一条边的长度。
2.判断三角形的形状。
如果知道一个三角形的三条边的长度，就可以通过勾股定理判断它是否为直角三角形。
3.解决日常应用问题。
利用勾股定理，可以解决很多日常生活中的问题，比如建筑、测量等。
四、勾股定理的拓展应用1.勾股定理的推广。
八年级的学生应该知道勾股定理除了直角三角形外，还可以用于等腰直角三角形、等边直角三角形等特殊情况。
2.三角函数的应用。
在数学和物理等学科中，三角函数是经常出现的知识点，而勾股定理和三角函数之间有很密切的联系。
3.计算机图形学的应用。
在计算机图形学中，勾股定理被广泛应用，用于计算三维图形中的距离和位置。
五、勾股定理的基本题型1.已知两边求第三边长度。
2.已知斜边和一个直角边求另外一条直角边。
3.已知两个直角边求斜边的长度。
六、典型例题及解析1.已知一个直角三角形的斜边为10，一条直角边为6，求另一直角边的长。
解析：根据勾股定理，设另一个直角边的长为x，则有x²+6²=10²，解得x=8。
【 - 初中作文】篇一:《初二上数学第一章勾股定理总结》勾股定理知识总结制作人周宇峰一：勾股定理222 直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a+b＝c）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题二：勾股定理的逆定理222如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a+b＝c，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；222222（2）验证c与a+b是否具有相等关系，若c＝a+b，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形222222（若c>a+b，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c<a+b，则△ABC为锐角三角形）。
三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
2224. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a+b＝c，?那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.?应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．篇二:《八年级上数学第十四章勾股定理》本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网第十四章勾股定理练习一、填空题1、一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边长为．2、直角三角形一直角边长为6cm，斜边长为10cm，则这个直角三角形的面积为斜边上的高为，斜边上的中线是。
14.1.2直角三角形的判定一、教学目标（一）知识技能：探索直角三角形的判定条件—勾股定理逆定理（二）过程方法：用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，体会数形结合的思想.（三）情感态度：通过对直角三角形判别条件的探索，树立大胆猜想，勇于探索的创新精神.通过介绍有关的历史资料，激发解决问题的愿望二、重点、难点重点：探究直角三角形的判定条件难点：勾股定理的逆定理与勾股定理的联系及综合应用.三、教学方法启发引导，分组讨论四、教学媒体多媒体课件演示五、教学过程：温故知新，知识链接什么是勾股定理？这个定理中的条件和结论分别是什么？创设情境，建模引入试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它们是一些什么样的三角形：（1）a=3,b=4,c=5（2）a=4,b=6,c=8（3）a=6,b=8,c=10得出结论：如果三角形的三边长A.B.c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 提问：这个结论和勾股定理有什么区别？思考活动：解决书本中古埃及人结绳画直角的道理.指导应用,例题示范例1：判断由线段A.B.c组成的三角形是不是直角三角形.若是，指出哪条边所对的角是直角.（1）a=7，b=24，c=25；（2）a=13，b=11，c=9；（3）a=1,b=2,c；（4）a:b:c=6:8:10.解：（1）∵72+242=625252=625∴以（1）中线段A.B.c长组成的是直角三角形，边长25所对的角是直角.（2）不是直角三角形（3）∵122=4∴以（3）中线段A.B.c长组成的是直角三角形，边长2所对的角是直角.（4）∵62+82=102∴以（4）中线段A.B.c长组成的是直角三角形，边长c所对的角是直角.例2：已知△ABC，AB=n2－1，BC=2n，AC=n2+1（n为大于1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.解：AB2+BC2=（n2－1）2+（2n）2= n4－2 n2+1+4 n2= n4+2 n2+1=（n2+1）2=AC2这个三角形是直角三角形，且边AC所对的角是直角.六、归纳小结，反思提高1.（由学生总结）怎么样判定一个三角形是直角三角形？有几种方法？（有一个角是直角（两锐角互余）、垂直、勾股定理的逆定理）2.（由学生总结）运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：⑴找先判断哪一边最大（不妨假设c最大）；⑵算分别用代数方法计算出a2+b2和c2的值；⑶比判断a2+b2与c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形. 七、作业习题。
勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2． 点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ． 由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）． 点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用ABC直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便. 点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2, 点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段． 针对练习:1．下列说法正确的是（ ）A ．若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D ．若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为203．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2 D． 34．如图，数轴上的点A 所表示的数为x ，则x 2—10的立方根为（ ）A．．．2 D．-25．把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（）A． 2倍B． 4倍C． 6倍D． 8倍6．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m，当它把绳子的下端拉开5 m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm7．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（）A．42 B．32 C．42 或32D．37 或 338．如图，直线l上有三个正方形a b c，，，若a c，的面积分别为5和11，则b的面积为（）（Ａ）4 （Ｂ）6 （Ｃ）16（Ｄ）559.已知直角三角形的周长为21，求它的面积.10.直角三角形的面积为120，斜边长为26，求它的周长.11.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=13cm，AC于BC之和等于17cm，求CD的长.类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是 cm2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可．根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12．所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm2）．类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示l出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，线段即可．下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169解析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2 = a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C.类型之四：勾股定理的应用 （一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长.（二）求面积（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．点评由勾股定理，直角边长为1，1的直角三角形的斜边长就是去就可得到“勾股树”，请你试试看．（四）证明平方关系例4：已知：如图，在ABC∆中，∠E，求证：222BEAEAC-=.解析：根据勾股定理，在ACDRt∆中，在ADERt∆中，222DEAEAD+=，在Rt∆222BEBDDE-=，∴222222BDAECDDEAEAC-+=-+=又∵CDBD=，∴222BEAEAC-=.点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用一、选择题1、有六根细木棒，它们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（）（A）2、4、8 （B）4、8、10 （C）6、8、10 （D）8、10、122、木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么他要选择的三根木条的长度应符合下列哪一组数据？（）A.25，48，80 B．15，17，62 C．25，59，74 D．32，60，683、如果直角三角形的三条边2，4，a，那么a的取值可以有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个4、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2厘米，则斜边的长是（）（A）2厘米（B）4厘米（C）6厘米（D）8厘米5、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）（A）S1+S2>S3（B）S1+S2<S3（C）S1+S2=S3（D）S12+S22=S32二、填空题1、若直角三角形斜边长为6，则这个三角形斜边上的中线长为______.2、如果直角三角形的两条直角边的长分别是5cm和12cm，那么这个直角三角形斜边上的中线长等于 cm．3、如图，CD是Rt⊿ABC斜边AB上的中线，若CD=4，则AB= ．4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C＝1：2：3．已知BC＝3cm，则AB＝ cm．5、如图，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为 .6、如图：有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米． 三、解答题一、选择题1、如图，字母A 所代表的的正方形的面积为（数字表示该正方形的面积）（ ） A 、13B 、85C 、8D 、都不对2、在Rt△ABC 中，有两边的长分别为3和4，则第三边的长（ ） A 、5B 、7C 、5或7D 、5或113、等腰三角形底边上的高是8，周长是32，则三角形的面积是（ ） A 、56B 、48C 、40D 、324、若线段a 、b 、c 能构成直角三角形，则它们的比为（ ） A 、2:3:4B 、3:4:6C 、5:12:13D 、4:6:75、一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5cm ，则长方形的面积（ ） A 、25cmB 、225cmC 、210cmD 、275cm6、一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（ ） A 、1:2:1B 、1:2:1C 、1:4:1D 、12:1:27、斜边长25，一条直角边长为7的直角三角形面积为（ ） A 、81B 、82C 、83D 、848、若直角三角形中，有一个锐角为 30，且斜边与较短直角边之和为18，则斜边长为（ ） A 、4cmB 、6cmC 、8cmD 、12cm9、如图△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，下面等式错误的是（ ）第6题图第5题图A 、AC 2+DC 2=AD 2B 、AD 2－DE 2＝AE 2C 、AD 2=DE 2+AC 2D 、BD 2－BE 2＝41BC 210.图是2002年8 月北京第24届国际数学家大会会标，由4 个全等的直角三角形拼合而成.若图中大小正方形面积分别是6221和4，则直角三角形的两条直角边长分别为（ ） A 、6，4B 、6221，4 C 、6221，421 D 、6， 421二、填空：1、在△ABC 中， ∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ∠B ∠C 的对边 （1）若a=6，c=10则b= （2）若a=12，b=5 则c= （3）若c=25，b=15则a= （4）若a ＝16，b=34则b=2、三边长分别为1，1，1的三角形是 角三角形.3、在△ABC 中，AB=10，AC=8，BC=6，则△ABC 的面积是4、如图点C 是以为AB 直径的半圆上的一点，4,3,90==︒=∠BC AC ACB 则图中阴影部分的面积是6、在Rt△ABC 中，3:5:,90=︒=∠AC AB C 且BC=136则AC=7、直角三角形的一直角边为8cm ，斜边为10cm ，则这个直角三角形的面积是 斜边上的高为8、△ABC 中， ︒=∠︒=∠30,90a C 则a:b:c=9、三角形三个内角之比为1：2：3，它的最长边为a ，那么以其余两边为边所作的正方形面积分别为10、有两根木条，长分别为60cm 和80cm ，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条x 长度的取值范围 三解答题1、如如图要建一个苗圃，它的宽是a=4.8厘米，高b=3.6米.苗圃总长是10米（1）求苗圃的占地面积（2）覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米?2、如图在四边形ABCD中，12=︒∠∠BCADBAD求正方形DCEFCBD=AB︒=,4,390,,=90=的面积3、如图在锐角△ABC中，高AD=12，AC=13，BC=14求AB的长4、八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们把一根竹竿插到离湖边1米的水底，只见竹竿高出水面1尺，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变）竿顶和湖沿的水面刚好平齐，求湖水的深度和竹竿的长．5、如图己知在△ABC中，DE∠︒==∠垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，BC,15,90︒求AC长．6、某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园，如图80∠AC=ACB米，BC=60,90=︒米，若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，己知水渠的造价是10元/米，则点D在距A点多远，水渠的造价最低，最低价是多少？勾股定理及应用勾股定理是数学史上一颗璀璨的明珠，在西方数学史上称之为“毕达哥拉斯定理”． 例1 已知一直角三角形的斜边长是2，周长是，求这个三角形的面积． 分析 由斜边长是2，周长是角边的平方和为4，列关于两直角边的方程，只需求出两直角边长的积，即可求得三角形的面积．本题中用到数学解题中常用的“设而不求”的技巧，要熟练掌握． 解：设直角三角形的两直角边为a 、b ，根据题意列方程得：2222,22a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩即224,a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ ②式两边同时平方再减去①式得： 2ab=2，∴12ab=12．∴S=12．因此，这个三角形的面积为12． 练习11．已知：如图2-1，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．2-12．已知：长方形ABCD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=2，AD ≠DC ，长方形ABCD 的面积为S ，沿长方形的对称轴折叠一次得到一个新长方形，求这个新长方形的对角线的长． 3．若线段a 、b 、c 能组成直角三角形，则它们的比值可以是（ ） A ．1：2：4 B ．1：3：5 C ．3：4：7 D ．5：12：13例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 、C 重合，•若其长BC 为a ，宽AB 为b ，则折叠后不重合部分的面积是多少？分析 图形沿EF 折叠后A 、C 重合，可知四边形AFED ′与四边形CFED 全等，则对应边、角相等，∴AF=FC ，且FC=AE ，则△ABF ≌△AD ′E ，•由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积．解：∵图形沿EF 折叠后A 、C 重合， ∴四边形AFED ′与CFED 关于EF 对称， 则四边形AFED ′≌四边形CFED ． ∴∠AFE=∠CFE ．∴AF=FC ，∠D ′=∠D=∠B=90° AB=CD=AD ′． ∵AD ∥BC ， ∴∠AEF=∠EFC ． ∴∠AEF=∠AFE ． 则AE=AF ．∴Rt △ABF ≌Rt △AD ′E ． 在Rt △ABF 中，∵∠B=90°， ∴AB 2+BF 2=AF 2．设BF=x ，b 2+x 2=（a-x ）2，∴x=222a b a-．∴S=2S △ABF =2×12bx=2×12·b ·222a b a -=22()2b a b a-．练习21．如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．2．如图2-4，一架长2.5m 的梯子，斜放在墙上，梯子的底部B•离墙脚O•的距离是0.7m ，当梯子的顶部A 向下滑0.4m 到A ′时，梯子的底部向外移动多少米？2-22-32-43．如图2-5，长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若将该矩形折叠，使C点与A点重合，•则折叠后痕迹EF的长为（）A．3.74 B．3.75 C．3.76 D．3.77例3 试判断，三边长分别为2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1（n为正整数）•的三角形是否是直角三角形？分析先确定最大边，•再利用勾股定理的判定定理判断是否为直角三角形．解：∵n为正整数，∴（2n2+2n+1）-（2n2+2n）=2n2+2n+1-2n2-2n=1>0，（2n2+2n+1）-（2n+1）=2n2+2n+1-2n-1=2n2>0．∴2n2+2n+1为三角形中的最大边．又（2n2+2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1，（2n2+2n）2+（2n+1）2=4n4+8n3+8n2+4n+1．∴（2n2+2n+1）2=（2n2+2n）2+（2n+1）2．∴这个三角形是直角三角形．练习31．若△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形2．如图2-6，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且EC=14BC，猜想AF•与EF的位置关系，并说明理由．2-63．△ABC中的三边分别是m2-1，2m，m2+1（m>1），那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1．B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2m．C．△ABC是直角三角形，但斜边长由m的大小而定．D．△ABC不是直角三角形．例4 已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5．求证：△ABC是直角三角形．分析欲证△ABC是直角三角形，在已知两边AC、BC的情况下求边AB的长，比较困难；但注意到CD是边AB的中线，我们延长CD到E，使DE=CD，•从而有△BDE•≌△ADC，这样AC、BC、2CD就作为△BCE的三边，再用勾股定理的逆定理去判定．证明：延长CD到E，使DE=CD，连结BE．∵AD=BD，CD=ED，∠ADC=∠BDE．∴△ADC≌△BDE（SAS）．∴BE=AC=12．∴∠A=∠DBE．2-7∴AC∥BE．在△BCE中，∵BC2+BE2=52+122=169．CE2=（2CD）2=（2×6.5）2=169．∴BC2+BE2=CE2．∴∠EBC=90°．又∵AC∥BE，∴∠ACB=180°-∠EBC=90°．∴△ABC是直角三角形．练习41．已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2c 2-b 2c 2=a 2-b 2，试判断△ABC 的形状． 先阅读下列解题过程： 解：∵a 2c 2-b 2c 2=a 4-b 4， ① ∴c 2（a 2-b 2）=（a 2+b 2）（a 2-b 2）． ② ∴c 2=a 2+b 2． ③ ∴△ABC 为直角三角形． ④问：（1）上述推理过程，出现错误的一步是________； （2）本题的正确结论是________．2．如图2-8，△ABC 的三边分别为AC=5，BC=12，AB=13，将△ABC 沿AD 折叠，使AC 落在AB 上，求折痕AD 的长．3．如图2-9，△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内一点，满足PA=3，PB=1，•PC=2，求∠BPC 的度数．例5 如图2-10，△ABC 中，AB=AC=20，BC=32，D 是BC 上一点，且AD ⊥AC ，求BD 的长． 分析 若作AE ⊥BC 于E ，如图2-11，利用勾股定理可求出AE=12，AD 是Rt•△ADC 的直角边．∴AD=CD-AC ，若设DE=x ，借助于AD 这个“桥”可以列出方程． 解：作AE ⊥BC 于E ． ∵AB=AC ，AE ⊥BC ，∴BE=EC=12BC=12×32=16．在Rt △AEC 中，AE 2=AC 2-CE 2=202-162=144， ∴AE=12． 设DE=x ，则在Rt △ADE 中，AD 2=AE 2+DE 2=144+x 2， 在Rt △ACD 中，AD 2=CD 2-AC 2=（16+x ）2-202． ∴144+x 2=（16+x ）2-202 解得x=9．∴BD=BE-DE=16-9=7．2-102-11练习51．如图2-12，△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D．求证：AD2=AC2+BD2．2-12 2．如图2-13，AB⊥AD，AB=3，BC=12，CD=13，AD=4，求四边形ABCD的面积．2-133．如图2-14．长方体的高为3cm，底面是正方形，边长为2cm，现有绳子从A出发，沿长方形表面到达C处，问绳子最短是多少厘米？2-14。
勾股定理知识点总结及常见题型勾股定理是解直角三角形的一个有力且重要的工具,新课程标准对勾股定理及其逆定理的要求是“掌握”和“应用”,并使用定理解决一些简单的实际问题.勾股定理是每年河南中考必考内容,不单独命题考查,常以综合题的形式展开考查. 在不同版本的初中数学教材中,勾股定理及其逆定理的内容单独成章,全章共分为3节:勾股定理的探索及内容、勾股定理的逆定理和勾股定理的应用.熟练掌握掌握本章内容是每一个学生必须完成的任务. 下面就本章的内容进行知识点梳理和常见题型总结.知识点一 勾股定理的内容直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为b a ,,斜边为c ,那么有:222c b a =+.注意:1. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.2. 勾股定理仅用于直角三角形的求解,不能直接用于其它非直角三角形的求解.3. 根据勾股定理,已知直角三角形的两边长,可以求出第三条边的长度.4. 注意上面的公式中“c ”不一定是斜边,所以在用勾股定理解直角三角形时,要注意分类讨论.5. 公式的变形:222222,,a c b b c a b a c -=-=+=.6. 勾股定理的使用对象是直角三角形,所以在应用勾股定理时要先在过程里面说明三角形是直角三角形,还要弄清楚直角边和斜边.若不确定斜边,则要展开分类讨论.例1. 在△ABC 中,已知︒=∠90C ,10,6==c a ,求b . 解:在△ABC 中,∵︒=∠90C ∴△ABC 是直角三角形 ∵10,6==c a∴由勾股定理得:86102222=-=-=a c b .注意: ∵︒=∠90C ,所以C ∠的对边c 就是斜边.习题1. 求下列直角三角形中未知边的长度.图（1）x86图（2）y135习题2. 已知直角三角形的两边长分别为3和4,求第三条边的长度.（提醒:长度为4的边,可能是直角三角形的直角边长,也可能是直角三角形的斜边长,所以本题要分两种情况进行讨论）习题3. 如图（3）所示,求等腰三角形ABC 的面积.图（3）655BA知识点二 勾股定理的证明勾股定理是一个非常重要的定理,它的证明方法很多,但初中阶段最常见的证明方法是拼图法:用几个相同的直角三角板拼成一个几何图形,根据图形之间的面积关系列出等式,从而证明勾股定理.证明一: 如图（4）,用4个相同的直角三角板拼成一个边长为c 的大正方形和一个边长为()a b -的小正方形,则有:图（4）abc()22214c a b ab =-+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.证明二: 如图（5）,用4个相同的直角三角板拼成一个边长为()b a +的大正方形和一个边长为c 的小正方形,则有:图（5）bc ba()22214b a c ab +=+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.证明三: 如图（6）,用两个相同的直角三角板可以拼成一个上底为a ,下底为b ,高为()b a +的直角梯形,则有:图（6）bc ba()222121212b a c ab +=+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.重要结论 与勾股定理有关的面积结论（1）如图（7）所示,以直角三角形的三边为边长,向外作三个正方形,则三个正方形的面积关系为:213S S S +=.图（7）图（8）图（9）（2）如图（8）所示,以直角三角形的三条边为直径向外作三个半圆,则三个半圆的面积关系为:213S S S +=.（3）如图（9）所示,以直角三角形的三条边为斜边长（或直角边长）,向外作三个等腰直角三角形,则这三个等腰直角三角形的面积关系为:213S S S +=. （4）如图下页（10）所示,以直角三角形的三条边为边长向外作三个等边三角形,则这三个等边三角形的面积关系为:213S S S +=.图（10）重要结论 在长方体中,能放进木棒的最大长度如图（11）所示,已知长方体的长、宽、高分别为c b a ,,,则长方体中能放进木棒的最大长度为222c b a ++.图（11）c ba D C BA事实上,在Rt △ABC 中,由勾股定理得:2222b a BC AB AC +=+=在Rt △ACD 中,由勾股定理得:22222c b a CD AC AD ++=+=.显然,AD 的长度即为长方体中能放进木棒的最大长度.知识点三 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长c b a ,,满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.以上便是勾股定理的逆定理,可以用来判断已知三边长度的三角形是否为直角三角形.在应用勾股定理的逆定理时,同学们要注意: （1）已知的条件:某三角形三条边的长度.（2）满足的条件:最长边的平方=最小边的平方+中间边的平方. （3）得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最长边的对角是直角. （4）如果不满足（2）,则这个三角形不是直角三角形.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的一种重要的方法,因此也叫作直角三角形的判定定理,使用方法是: （1）首先确定最长边,不妨设最长边为c ; （2）分别计算处2c 和22b a +:①若222c b a =+,则三角形是直角三角形; ②若222c b a ≠+,则三角形不是直角三角形.勾股数 满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数.常见的勾股数如3 , 4 , 5 ; 6 , 8 ,10 ; 5 , 12 , 13 ; 8 , 15 , 17 ; 7 , 24 , 25. 例2. 如图（12）所示,在四边形ABCD 中,3,2,2,1,====⊥AD CD BC AB BC AB ,求四边形ABCD 的面积.图（12）DCBA分析:勾股定理用于求直角三角形的边长,勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是否为直角三角形,题目经常对两个定理同时考查.图形当中如果没有直角三角形,则需要添加辅助线构造直角三角形. 解:连结AC ,∵BC AB ⊥ ∴△ABC 是直角三角形 由勾股定理得:5212222=+=+=BC AB AC∵()93,94525222222===+=+=+AD CD AC∴222AD CD AC =+ ∴△ACD 为直角三角形 ∴5125212121+=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆ACD ABC ABCD S S S 四边形.例3. 若三角形三边长分别为c b a ,,,且满足()44222b a c b a -=-,试判断这个三角形的形状.解:()44222b a c b a -=-()()()()()()()()0222222=---+-++=-+b a c b a b a b a b a b a c b a b a ∵c b a ,,为三角形的三边长 ∴0=-b a 或0222=--b a c ∴b a =或222b a c +=∴这个三角形为等腰三角形或直角三角形.习题4. 如图（13）所示,在△ABC 中,若17,8,6,10====AC AD BC AB ,求△ABC 的面积.图（13）D CBA习题5. 如图（14）所示,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,9,15,20===DB BC AC . （1）求CD 的长;（2）△ABC 是直角三角形吗?为什么?图（14）DCBA知识点四 勾股定理的应用主要有两方面的应用:（1）已知直角三角形的两边长,求第三条边的长;（2）已知一边长,另两条边的长度之间存在着一定的数量关系,通过设未知数利用勾股定理列方程来求解直角三角形. 本章主要问题有:1. 折叠问题习题6. 如图（15）所示,长方形纸片ABCD ,沿折痕AE 折叠边AD ,使点D 落在BC 边上的点F 处,已知24,8==∆ABF S AB ,求EC 的长.图（15）F EDCBA2. 网格问题习题7. 如图（16）所示,设正方形网格的每个小正方形的边长为1,格点△ABC 中,AB 、BC 、AC 三边的长分别为31015、、. （1）请在正方形网格中画出格点△ABC ; （2）格点△ABC 的面积为_________.图（16）3. 判断三角形形状问题习题8. 已知△ABC 的三边c b a ,,满足c b a c b a 262410338222++=+++,求 △ABC 的面积.4. 梯子问题习题9. 一架云梯长25 m,如图（17）那样斜靠在一面墙上,云梯底端离墙7 m. （1）这架云梯的顶端距地面有多高?（2）如果云梯的顶端下滑了4 m,那么它的底部在水平方向也滑动了4 m 吗?图（17）5. 航海问题习题10. 如图（18）所示,甲船以16海里/时的速度离开港口,向东南航行,乙船在同时同地向西南航行,已知他们离开港口一个半小时后分别到达B 、A 两点,且知AB =30海里,问乙船每小时航行多少海里?图（18）6. 最值问题习题11. 如图（19）所示,正方形ABCD 的边长为2,点E 为边BC 的中点,点P 在对角线BD 上移动,则PC PE 的最小值是_________.图（19）PE DCBA。
