八年级数学上册 1 勾股定理专题训练(一)利用勾股定理解决折叠问题 (新版)北师大版

勾股定理中的常考问题6种类型48道【类型一用勾股定理解决折叠问题】1．如图，将长方形ABCD沿着AE折叠，点D落在BC边上的点F处，已知AB=8，BC=10，则EC的长为（）A．4B．3C．5D．2【答案】B【分析】长方形ABCD沿着AE折叠，得AD=AF=BC=10，EF=ED，根据勾股定理得BF=6，则CF=4，设EC=x，ED=8−x，根据勾股定理得EF2=EC2+CF2，即可解得EC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是长方形，∴AD=BC=10，DC=AB=8，∵长方形ABCD沿着AE折叠，∴AD=AF=BC=10，EF=ED，∴BF=√AF2−AB2=√100−64=6，CF=BC−BF=4，设EC=x，ED=8−x，∴EF2=EC2+CF2，即(8−x)2=x2+42，解得x=3，所以EC=3，故选：B．【点睛】本题主要考查了图形折叠以及勾股定理等知识内容，掌握图形折叠的性质是解题的关键．2．如图，有一块直角三角形纸片，∠C=90°，AC=4，BC=3，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（）【答案】C【分析】利用勾股定理求得AB=5，由折叠的性质可得AB=AE=5，DB=DE，求得CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，根据勾股定理可得12+(3−x)2=x2，进而求解即可．【详解】解：∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=√32+42=5，由折叠的性质得，AB=AE=5，DB=DE，∴CE=1，设DB=DE=x，则CD=3−x，在Rt△CED中，12+(3−x)2=x2，，解得x=53故选：C．【点睛】本题考查勾股定理、折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【答案】B【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，再Rt△BCE中利用勾股定理即可求出CE的长度．【详解】解：∵△ADE翻折后与△BDE完全重合，∴AE=BE，设AE=x，则BE=x，CE=8−x，∵在Rt△BCE中，CE2=BE2−BC2，即(8−x)2=x2−62，解得，x=7，4．∴CE=74故选：B【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题中应注意折叠是一种对称变换，属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．4．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，AD为∠BAC的平分线，将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，则DE的长为（）【答案】B【分析】根据勾股定理求得BC，进而根据折叠的性质可得AE=AC，可得BE=2，设DE=x，表示出BD,DE，进而在Rt△BDE【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∴BC=√AC2−AB2=√52−32=4，∵将△DAC沿AD向上翻折得到△DAE，使点E在射线AB上，∴AE=AC，设DE=x，则DC=DE=x,BD=BC−CD=4−x，BE=AE−AB=5−3=2，在Rt△BDE中，BD2+BE2=DE2，即(4−x)2+22=x2，解得：x=52，即DE的长为52故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．5．如图，矩形纸片ABCD的边AB长为4，将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，已知折痕EF长为2√5，则BC长为（）A．4.8B．6.4C．8D．10【答案】C【分析】过点F作FG⊥BC于点G，则四边形ABGF是矩形，从而FG=AB=4，在Rt△EFG中，利用勾股定理求得EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2．设BE=x，则BG=BE+EG=x+2．由∠AFE=∠CEF=∠AEF 得到AE=AF=BG=x+2，从而在Rt△ABE中，有AB2+BE2=AE2，代入即可解得x的值，从而得到BE，CE的长，即可得到BC．【详解】过点F作FG⊥BC于点G∵在矩形ABCD中，∠DAB=∠B=90°∴四边形ABGF是矩形∴FG=AB=4∴在Rt△EFG中，EG=√EF2−FG2=√(2√5)2−42=2设BE=x，则BG=BE+EG=x+2∵在矩形ABCD中，BC∥AD∴∠AFE=∠CEF由折叠得∠CEF=∠AEF∴AE=AF∵在矩形ABGF中，AF=BG=x+2∴AE=AF=x+2∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2∴42+x2=(x+2)2解得x=3即BE=3，AE=5∴由折叠可得CE=AE=5∴BC=BE+EC=3+5=8故选：C【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法．A．7B．136【答案】B【分析】根据题意可得AD=AB=2，∠B=∠ADB，CE=DE，∠C=∠CDE，可得∠ADE=90°，继而设AE=x，则CE=DE=3−x，根据勾股定理即可求解．【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，∴AD=AB=2，∠B=∠ADB，∵折叠纸片，使点C与点D重合，∴CE=DE，∠C=∠CDE，∵∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠ADB+∠CDE=90°，∴AD2+DE2=AE2，设AE=x，则CE=DE=3−x，∴22+(3−x)2=x2，，解得x=136即AE=13，6故选：B【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（）【答案】D【分析】根据将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，可得FD=CF−CD=4−CD，即知当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，用面积法求出CD，即可得到答案．【详解】解：如图：∵将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，∴CF=BC=4，∴FD=CF−CD=4−CD，当CD最小时，FD最大，此时CD⊥AB，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∵2S△ABC=AC⋅BC=AB⋅CD，∴CD=AC⋅BCAB =3×45=125，∴FD=CF−CD=4−125=85，故选：D．【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握翻折的性质．A．73B．154【答案】B【分析】先求出BD=2，由折叠的性质可得DN=CN，则BN=8−DN，利用勾股定理建立方程DN2= (8−DN)2+4，解方程即可得到答案．【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，∴AD=BD=2，∵将Rt△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，∴DN=CN，∴BN=BC−CN=8−DN，在Rt△DBN中，由勾股定理得DN2=BN2+DB2，∴DN2=(8−DN)2+4，∴DN=17，4，∴BN=BC−CN=154故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键．【类型二杯中吸管问题】9．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．不能确定【答案】B【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．【详解】解∶∵CD=5cm,AD=12cm，∴AC=√CD2+AD2=√52+122，露出杯口外的长度为=15−13=2(cm)．故答案为：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．10．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是()A．6cm B．5cm C．3cm D．2cm【分析】根据勾股定理求得AC的长，进而即可求解．【详解】解：根据题意可得图形：AB=12cm，BC=9cm，在Rt△ABC中：AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm)．则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．11．如图，一支笔放到圆柱形笔筒中，笔筒内部底面直径是9cm，内壁高12cm．若这支笔长18cm，则这支笔在笔筒外面部分的长度是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【答案】D【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC的长度．然后求其差．【详解】解：根据题意可得：AB BC=9cm，在Rt△ABC中∶AC=√AB2+BC2=√122+92=15(cm)，所以18−15=3(cm),则这只铅笔在笔筒外面部分长度为3cm．故选：D．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的最短长度是解决问题的关键．12．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm<ℎ≤16cm【分析】根据勾股定理及直径为最大直角边时即可得到最小值，当筷子垂直于底面时即可得到最大值即可得到答案；【详解】解：由题意可得，当筷子垂直于底面时ℎ的值最大，ℎmax=24−8=16cm，当直径为直角边时ℎ的值最小，根据勾股定理可得，ℎmin=24−√82+152=7cm，∴7cm<ℎ≤16cm，故选D．【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是找到最大与最小距离的情况．13．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是（）A．ℎ≤17cm B．ℎ≥16cm C．5cm<ℎ≤16cm D．7cm≤ℎ≤16cm【答案】D【分析】如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出的取值范围．【详解】解：如图1所示，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，=24−8=16cm，∴ℎ最大如图2所示，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，BD=8cm，∴AB=√AD2+BD2=17cm，=24−17=7cm，∴此时ℎ最小∴的取值范围是7cm≤h≤16cm．故选：D．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．A．5B．7C．12D．13【答案】A【分析】根据勾股定理求出h的最短距离，进而可得出结论．【详解】解：如图，当吸管、底面直径、杯子的高恰好构成直角三角形时，h最短，此时AB=√92+122=15（cm），故ℎ＝20−15＝5（cm）；最短故选：A．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．15．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm【答案】D可．【详解】解：由题意，可得这只烧杯的直径是：√102−82=6（cm）．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，能够将实际问题转化为数学问题是解题的关键．16．如图，一根长18cm的牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为h cm，则h的取值范围是（）A．4＜h＜5B．5＜h＜6C．5≤h≤6D．4≤h≤5【答案】C【分析】根据题意，求出牙刷在杯子外面长度最小与最大情况即可得出取值范围．【详解】解：根据题意，当牙刷与杯底垂直时，ℎ最大，如图所示：故ℎ最大=18−12=6cm；∵当牙刷与杯底圆直径、杯高构成直角三角形时，ℎ最小，如图所示：在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，则AB=√BC2+AC2=√52+122=13cm，∵牙刷长为18cm，即AD=18cm，∴ℎ最小=AD−AB=18−13=5cm，∴h的取值范围是5≤h≤6，故选：C．【点睛】本题考查勾股定理解实际应用题，读懂题意，根据牙刷的放置方式明确牙刷在杯子外面长度最小与最大情况是解决问题的关键．【类型三楼梯铺地毯问题】17．如图在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）．A．3米B．4米C．5米D．7米【答案】D【分析】当地毯铺满楼梯时的长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，即可求得地毯的长度．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√52−32=4（米），∵地毯铺满楼梯的长度应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是3+4=7（米）．故选：D．【点睛】此题考查了生活中的平移现象以及勾股定理，属于基础题，利用勾股定理求出水平边的长度是解答本题的关键．18．如图，在高为5m，坡面长为13m的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（）【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：楼梯的水平宽度=√132−52=12m，∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，∴地毯的长度至少是12+5=17(m)．故选B．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．19．如图是楼梯的示意图，楼梯的宽为5米，AC=5米，AB=13米，若在楼梯上铺设防滑材料，则所需防滑材料的面积至少为（）A．65m2B．85m2C．90m2D．150m2【答案】B【分析】勾股定理求出BC，平移的性质推出防滑毯的长为AC+BC，利用面积公式进行求解即可．【详解】解：由图可知：∠C=90°，∵AC=5米，AB=13米，∴BC=√AB2−AC2=12米，由平移的性质可得：水平的防滑毯的长度=BC=12（米），铅直的防滑毯的长度=AC=5（米），∴至少需防滑毯的长为：AC+BC=17（米），∵防滑毯宽为5米∴至少需防滑毯的面积为：17×5=85（平方米）．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理．解题的关键是利用平移，将防滑毯的长转化为两条直角边的边长之和．A．13cm B．14cm C．15cm D．16cm【答案】A【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】如图，由题意得AC=1×5=5(cm)，BC=2×6=12(cm)，故AB=√122+52=13(cm)．故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．21．如图所示：某商场有一段楼梯，高BC＝6m，斜边AC是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是（）A．8m B．10m C．14m D．24m【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出AB的长，再根据楼梯高为BC的高＝6m，楼梯的宽的和即为AB的长，再把AB、BC的长相加即可．【详解】∵△ABC是直角三角形，BC＝6m，AC＝10m∴AB＝√AC2−BC2＝√102−62＝8（m），∴如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为AB+BC＝8+6＝14（米）．故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系.22．某酒店打算在一段楼梯面上铺上宽为2米的地毯，台阶的侧面如图所示，如果这种地毯每平方米售价为80元，则购买这种地毯至少需要（）A．2560元B．2620元C．2720元D．2840元【答案】C【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．【详解】利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为√132−52=12米、5米，∴地毯的长度为12+5=17米，地毯的面积为17×2=34平方米，∴购买这种地毯至少需要80×34=2720元．故选C.【点睛】本题考查的知识点是勾股定理的应用，生活中的平移现象，解题关键是要注意利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．23．如图所示：是一段楼梯，高BC是3m，斜边AC是5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m【答案】C【详解】楼梯竖面高度之和等于AB的长．由于AB=√AC2−BC2=√52−32=4，所以至少需要地毯长4＋3＝7（m）．故选C24．如图，是一段楼梯，高BC是1.5m，斜边AC是2.5m，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯（）A．2.5m B．3m C．3.5m D．4m【答案】C【分析】当地毯铺满楼梯时其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得AB，然后求得地毯的长度即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=√2.52−1.52=2因为地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和所以地毯的长度至少是1.5+2=3.5（m）故选C．【点睛】本题考查了图形平移性质和勾股定理，解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理.【类型四最短路径问题】25．如图，透明圆柱的底面半径为6厘米，高为12厘米，蚂蚁在圆柱侧面爬行．从圆柱的内侧点A爬到圆柱的外侧点B处吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．(π≈3)【答案】30【分析】把圆柱的侧面展开，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵透明圆柱的底面半径为6厘米，∴透明圆柱的底面周长为2×6π=厘米≈36厘米，作点A关于直线EF的对称点A′，连接A′B，则A′B的长度即为它爬行最短路程，×36=18厘米，∴A′A=2AE=24厘米，AB=12∴A′B=√AB2+A′A2=√182+242=30(cm)，故答案为：30．【点睛】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算．【答案】10【分析】将圆柱侧面展开，由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，再由勾股定理求出．【详解】解：根据圆柱侧面展开图，cm，高为8cm，∵圆柱的底面半径为6π∴底面圆的周长为2×6×π=12cm，π×12=6cm，∴BC=8cm，AC=12由图形可知蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程即为AB的长，AB=√AC2+BC2=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理，将立体图形转化成平面图形求解是解题的关键．27．如图有一个棱长为9cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到C点（C点在一条棱上，距离顶点B 3cm处），需爬行的最短路程是cm．【答案】15【分析】首先把正方体展开，然后连接AC，利用勾股定理计算求解即可．【详解】解：如图，连接AC，由勾股定理得，AC=√92+(9+3)2=15，故答案为：15．【点睛】本题考查了正方体的展开图、勾股定理的应用，解题的关键在于明确爬行的最短路线．28．如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的内壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖处的最短距离是厘米．【答案】10【分析】将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′P的长度即为所求，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：将杯子侧面展开，作A关于杯口的对称点A′，连接PA′，最短距离为PA′的长度，)2+(6−1.5+1.5)2=10(厘米)，PA′=√PE2+EA′2=√(162最短路程为PA ′=10厘米．故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．【答案】20【分析】先把圆柱的侧面展开，连接AS ，利用勾股定理即可求得AS 的长．【详解】解：如图，∵在圆柱的截面ABCD 中，AB =24π，BC =32，∴AB =12×24π×π=12，BS =12BC =16， ∴AS =√AB 2+BS 2=20，故答案为：20．【点睛】本题考查平面展开图−最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解题的关键．30．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm ，底面周长为16cm ，在杯内壁离杯底4cm 的点A 处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm ，且与蜂蜜相对的点B 处，则蚂蚁从外壁B 处到内壁A 处所走的最短路程为 cm ．（杯壁厚度不计）【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，作B′D⊥AE，交AE延长线于点D，连接AB′，BB′=1cm,AE=9−4=5(cm)，由题意得：DE=12∴AD=AE+DE=6cm，∵底面周长为16cm，×16=8(cm)，∴B′D=12∴AB′=√AD2+B′D2=10cm，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为AB′=10cm，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．31．如图所示，ABCD是长方形地面，长AB=20m，宽AD=10m．中间竖有一堵砖墙高MN=2m．一只蚂蚱从A点爬到C点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是．【答案】s≥26m【分析】连接AC，利用勾股定理求出AC的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加4m，原图长度增加4m，则AB=20+4=24m，连接AC，∵四边形ABCD是长方形，AB=24m，宽AD=10m，∴AC=√AB2+BC2=√242+102=26m，∴蚂蚱从A点爬到C点，它要走的路程s≥26m．故答案为：s≥26m．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．【答案】5【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长，∵圆柱高3米，底面周长2米，∴AC2=22+1.52=6.25，∴AC=2.5，∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．故答案为5．【点睛】本题考查了平面展开−最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．【类型五旗杆高度问题】【答案】6m【分析】设AD=x，在△ABC中，利用勾股定理列出方程，解之即可．【详解】解：∵BF=2m，∴CE=2m，∵DE=1m，∴CD=CE−DE=1m，设AD=x，则AB=x，AC=AD−CD=x−1，由题意可得：BC⊥AE，在△ABC中，AC2+BC2=AB2，即(x−1)2+32=x2，解得：x=5，即AD=5，∴旗杆AE的高度为：AD+DE=5+1=6m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．34．荡秋千是深受人们喜爱的娱乐项目，如图，小丽发现，秋千静止时踏板离地面的垂直高度DE=0.5m，将它往前推送至点B，测得秋千的踏板离地面的垂直高度BF=1.1m，此时水平距离BC=EF=1.8m，秋千的绳索始终拉的很直，求绳索AD的长度．【答案】3m【分析】设绳索AD的长度为xm=(x−0.6)m，在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【详解】解：设秋千的绳索AD长为xm，则AB为xm，∵四边形BCEF是矩形，∴BF=CE=1.1m，∵DE=0.5m，∴CD=0.6m则AC为(x−0.6)m在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，即：(x−0.6)2+1.82=x2解得：x=3∴绳索AD的长度为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若m=1米，n=5米，求旗杆AB的长．【答案】12米【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，推出x2+52=(x+1)2，可得x=12，由此解决问题.【详解】解：设AB=x米，因为∠ABC=90°，所以在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：x2+52=(x+1)2，解之，得：x=12，所以，AB的长为12米，答：旗杆AB的长为12米．【点睛】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.【答案】风筝的高度CE为61.68米．【分析】利用勾股定理求出CD的长，再加上DE的长度，即可求出CE的高度．【详解】解：在Rt△CDB中，由勾股定理，得CD=√CB2−BD2=√652−252=60(米)．∴CE=CD+DE=60+1.68=61.68(米)．答：风筝的高度CE为61.68米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．37．看着冉冉升起的五星红旗，你们是否想过旗杆到底有多高呢？某数学兴趣小组为了测量旗杆高度，进行以下操作：如图1，先将升旗的绳子拉到旗杆底端，发现绳子末端刚好接触到地面；如图2，再将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现绳子末端距离地面2m．请根据以上测量情况，计算旗杆的高度．【答案】17米【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】解：如图所示设旗杆高度为x m，则AC=AD=x m，AB=(x−2)m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2(x−2)2+82=x2解得：x=17，答：旗杆的高度为17m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是构造直角三角形．38．同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2= AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB−1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB−1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB−1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12= (AB−1)2+52．39．学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度，得到如下信息：①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1）；②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离CD为1米，到旗杆的距离CE为6米（如图2）．根据以上信息，求旗杆AB的高度．【答案】9米【分析】设AB=x，则AC=x+1，AE=x−1，再根据勾股定理可列出关于x的等式，解出x即得出答案．【详解】解：设AB=x依题意可知：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，AC=x+1，AE=x−1，CE=6，根据勾股定理得：AC2=AE2+CE2，即：(x+1)2=(x−1)2+62，解得：x=9答：旗杆AB的高度是9米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．结合题意，利用勾股定理列出含未知数的等式是解题关键．40．如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】12米【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【详解】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为(x+1)米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52=(x+1)2，解得，x=12，答：旗杆的高度为12米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题关键．【类型六航海问题】【答案】30海里/小时【分析】先根据题意结合方位角的描述求出∠ABC=90°以及AB、BC的长，再利用勾股定理求出AC的长即可得到答案．【详解】解：如图所示，由题意得，∠HAB=90°−60°=30°，∠MBC=90°−∠EBC=60°，∵AH∥BM，∴∠ABM=∠BAH=30°，∴∠ABC=∠ABM+∠MBC=90°，∵巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点C处追上走私船，∴BC=18×0.5=9海里，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12海里，BC=9海里，∴AC=√AB2+BC2=15海里，∴我军巡逻艇的航行速度是15=30海里/小时，0.5答：我军巡逻艇的航行速度是30海里/小时．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意在Rt△ABC中利用勾股定理求出AC的长是解题的关键．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为处有一艘轮船准备沿直线向点多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN＝CM＝500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】（1）由题意，得：∠NCA＝54°，∠SCB＝36°；。

《勾股定理》专题训练一、知识要点：1、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c ，那么 a2 + b2= c2。

公式的变形：a2 = c2- b2， b2= c2-a2 。

2、勾股定理的逆定理如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2 + b2= c2，那么三角形ABC 是直角三角形。

这个定理叫做勾股定理的逆定理.该定理在应用时，要注意处理好如下几个要点：①已知的条件：某三角形的三条边的长度.②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方.③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角.④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。

注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。

②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。

常见勾股数有：（3，4，5）(5，12，13) (6，8，10)(7，24，25)(8，15，17)(9，12，15)4、最短距离问题：主要运用的依据是两点之间线段最短。

二、考点剖析考点一：利用勾股定理求面积1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆．2. 如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系．3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）A. S1- S2= S3B. S1+ S2= S3C. S2+S3< S1D. S2- S3=S14、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。

5、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S S12、、S S S S S S341234、，则+++=_____________。

专题训练(一) 利用勾股定理解决折叠问题1．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm2．如图，长方形ABCD 的边AD 沿折痕AE 折叠，使点D 落在BC 上的F 处，已知AB ＝6，△ABF 的面积是24，则FC 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( )A.252 cmB.152cm C.254 cm D.154cm 4．如图，在长方形纸片ABCD 中，AB ＝8 cm ，把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF ＝254cm ，则AD 的长为( )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．7 cm5．(铜仁中考)如图，在长方形A BC D 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )A ．3 B.154C ．5 D.1526．如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为________．7．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝________.8．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6 cm ，AC ＝8 cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，将它的锐角A 翻折，使得点A 落在BC 边的中点D 处，折痕交AC 边于点E ，交AB 边于点F ，则DE 的值为________．参考答案 1．A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.7 7.1.5 8.6 cm 2 9.133。

（苏科版）八年级上册数学《第3章 勾股定理》专题 利用勾股定理解决折叠问题【例题1】（2021•西城区校级模拟）如图，Rt △ABC 中，AB ＝18，BC ＝12，∠B ＝90°，将△ABC 折叠，使点A 与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．10【变式1-1】（2023•滕州市校级开学）如图，有一张三角形纸片Rt△ABC，两直角边AC＝4，BC＝8，将△ABC折叠，使点B与A重合，折痕为FE，则AE的长为（ ）A．3B．4C．5D．8【变式1-2】（2022秋•鼓楼区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB、AC 于点D、E，若AC＝8，BD＝5，则CE的长度是．【变式1-3】如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【变式1-4】（2021•鞍山一模）如图的三角形纸片中，AB＝8，BC＝6，AC＝5，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长是（ ）A．7B．8C．11D．14【变式1-5】（2022秋•高邮市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点D、E 分别在AC、BC边上．现将△DCE沿DE翻折，使点C落在点H处．连接AH，则AH长度的最小值为（ ）A．0B．2C．4D．6【变式1-6】（2022秋•秦淮区校级月考）如图，将三角形纸片ABC沿AD折叠，使点C落在BD边上的点E处．若BC＝12，BE＝2，则AB2﹣AC2的值为（ ）A．20B．22C．24D．26【变式1-7】（2022•天津模拟）如图，Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，∠B＝90°，M，N分别是边AC，AB上的两个动点．将△ABC沿直线MN折叠，使得点A的对应点D落在BC边的三等分点处，则线段BN的长为（ ）A ．3B ．53C ．3或53D ．3或154【变式1-8】（2023•从化区一模）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点F 在AC 上，并且CF ＝2，点E 为BC 上的动点（点E 不与点C 重合），将△CEF 沿直线EF 翻折，使点C 落在点P处，PE 的长为83，则边EF 的长为（ ）A ．83B ．3C ．103D ．4【变式1-9】（2022春•鲤城区校级期中）如图，矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，点P 在BC 边上．将△CDP 沿DP 折叠，点C 落在点E 处．PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP ＝OF ．则AF 的长为（ ）A ．2B ．85C ．175D ．135【变式1-10】如图，在△ABC 中，D 为BC 中点，连接AD ，把△ABD 沿着AD 折叠得到△AED ，连接EC ，若DE ＝5，EC ＝6，AB ＝AD 的长是（ ）A．4B．5C．6D．7【变式1-11】直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC如图折叠，使点A与点B重合，则折痕DE的长是（ ）A．252B．152C．254D．154【变式1-12】如图，三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，折叠△ABC使点A与点B重合，DE为折痕，求DE的长．【例题2】（2023春•新市区期中）如图，将长方形纸片ABCD 折叠，使边DC 落在对角线AC 上，折痕为CE ，且D 点落在对角线D ′处．若AB ＝3，AD ＝4，则ED 的长为（ ）A ．1B ．43C ．32D ．3【变式2-1】（2023春•越秀区校级期中）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝3，点E 为BC 上一点，把△CDE 沿DE 翻折，C 恰好落在AB 边上的F 处，则CE 的长是（ ）A ．53B ．32C ．43D ．2【变式2-2】（2022秋•锦江区期末）如图，长方形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝25，将此长方形折叠，使点D 与点B 重合，折痕为EF ，则BE 的长为（ ）A ．12B ．8C ．10D ．13【变式2-3】（2022秋•胶州市校级月考）如图，矩形ABCD中，AB＝16，BC＝8，将矩形沿AC折叠，点D落在点D'处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）A．12B．20C．16D．40【变式2-4】（2022•斗门区一模）如图所示，矩形纸片ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，现将其沿EF 对折，使得点C与点A重合，则AF的长为 ．【变式2-5】（2022秋•历城区期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E在边AB上，且BE＝4，BC＝6，将△CBE沿直线CE翻折，使点B落在点G，延长EG交CD于点F，则线段FG的长为 ．【变式2-6】（2023•泰山区校级一模）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为（ ）A．10B．9.8C．D．【变式2-7】如图，矩形纸片ABCD，AB＝8，BC＝12，点M在BC边上，且CM＝4，将矩形纸片折叠使点D落在点M处，折痕为EF，则AE的长为 ．【变式2-8】（2023春•武汉期末）如图，点E是矩形ABCD的边BC上的中点，将△ABE折叠得到△AFE，点F在矩形内部，AF的延长线交CD于点G，若AD＝12，CG＝4，则AB的长为（ ）A．7B．8C．9D．10【变式2-9】（2022秋•梅县区校级期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E，G分别在边BC，AB上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；把△DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处，HF＝1，BF＝8，则矩形ABCD的面积为（ ）A．420B．360C．D．【变式2-10】（2022秋•城阳区校级月考）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB＝3cm，BC＝5cm，则重叠部分△DEF的面积是（ ）cm2．A．2B．3.4C．4D．5.1【变式2-11】（2022秋•宝安区期末）如图，在长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AB上一点，将△BCE沿CE翻折至△FCE，延长CF交AB于点O，交DA的延长线于点G，且EF＝AG，则BE的长为 ．【变式2-12】（2023春•东莞市校级月考）如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且BE＝3．（1）求CF的长；（2）求AB的长．【例题3】（2022春•永嘉县校级期末）如图，将边长为8cm正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC 边的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【变式3-1】如图，将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q 处，折痕为FH，则线段AF的长是（ ）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【变式3-2】（2022春•桂林期末）如图，正方形ABCD的边长为4，将正方形折叠，使顶点D落在BC 边上的点E处，折痕为GH，若BE：EC＝3：1，则线段CH的长是（ ）A．3B．158C．1D．2【变式3-3】（2022春•荔城区校级月考）如图，在边长为7的正方形ABCD 中，E 为BC 边上一点，F 为AD 边上一点，连接AE 、EF ，将△ABE 沿EF 折叠，使点A 恰好落在CD 边上的A ′处，若A ′D ＝2，则B ′E 的长度为（ ）A ．2714B ．137C ．2514D ．2【变式3-4】（2023•南京一模）如图，在正方形ABCD 中，E 是CD 边上一点，将△ADE 沿AE 翻折至△AD ′E ，延长ED ′交BC 于点F ．若AB ＝15，DE ＝10，则BF 的长是 ．【变式3-5】（2022春•社旗县期末）如图，点E 和点F 分别在正方形纸片ABCD 的边CD 和AD 上，连接AE ，BF ，沿BF 所在直线折叠该纸片，点A 恰好落在线段AE 上点G 处．若正方形纸片边长12，DE ＝5，则GE 的长为（ ）A ．4913B ．5013C ．4D ．3【变式3-6】（2022春•长清区期末）如图1，将正方形纸片ABCD 对折，使AB 与CD 重合，折痕为EF 如图2，展开后再折叠一次，使点C 与点E 重合，折痕为GH ，点B 的对应点为点M ，EM 交AB 于N ，AD ＝4，则CH 的长为（ ）A ．52B ．65C ．34D ．54【变式3-7】（2022秋•和平区期末）如图，已知正方形ABCD 面积为2，将正方形ABCD 沿直线EF 折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）A B ．2C ．8D ．【变式3-8】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）．如果DM ：MC ＝3：2，则DE ：DM ：EM ＝（ ）A ．7：24：25B ．3：4：5C ．5：12：13D ．8：15：17【变式3-9】如图，正方形ABCD中，CD＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．（1）求证：△ABG≌△AFG；（2）求GC的长；（3）求△FGC的面积．。

轧东卡州北占业市传业学校<第一章勾股定理>专题练习〔一〕双解问题例1 一个三角形的两边长是5和12，要使其成为一个直角三角形，那么第三边长应为多少？变式：1.小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为41m，15m，第三边上的高为9m，请你帮小强计算这块菜地的面积．2.在△ABC中，AB=15，AC=13，高CD=12，求三角形的周长．〔二〕折叠问题中利用勾股定理建立方程例2 如图，在长方形ABCD中，AD=10cm，AB=8cm，E是CD上一点，假设以AE为折痕，将△ADE翻折，点D 恰与BC边上的点F重合，求△AEF的面积．变式：1．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，现将它折叠，使点B与点C重合，折痕DE的长为．2．长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，那么DE= cm．2题 3题3．如下列图，在长方形纸片ABCD中，AB=3，BC=4，现将顶点A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，那么重垒局部△AEF的面积为．例3 把图一的矩形纸片ABCD折叠，B，C两点愉好重合落在AD边上的点P处〔如图二〕，∠MPN=90°，PM=3，PN=4，〔1〕求△PMN的周长；〔2〕求矩形纸片ABCD的面积．变式：如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5，在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 交于点K ，得到△MNK．〔1〕假设∠1=70°，求∠MKN 的度数．〔2〕△MNK 的面积能否小于12？假设能，求出此时∠1的度数；假设不能，试说明理由． 〔三〕勾股定理逆定理的应用例4 在△ABC 中，a=22mn -，b=2mn ，c=22m n +，其中m, n 是正整数，且m>n ，试判断△ABC 是不是直角三角形．变式:1.以下各组线段中的三个长度①9、12、15；②7、24、25；③32、42、52；④3a、4a 、5a 〔a>0〕； ⑤m 2-n 2、2mn 、m 2+n 2〔m 、n 为正整数，且m>n 〕其中可以构成直角三角形的有〔 〕 A ．5组 B ．4组 C ．3组 D ．2组2. 设一个直角三角形两直角边分别为a 、b ，斜边上的高为h ，斜边长为c ，那么以c h +、a b +、h为边的三角形的形状是 三角形．3.四边形ABCD 中，∠C=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积〔四〕勾股定理及逆定理与图形面积的整体计算例5 直角三角形的周长为92，斜边长为2，求它的面积． 变式：1．如图，△ABC 中，AB=AC ，AD=4，AD 为高，△ABC 的周长为16，S △ABC = .2．假设三角形的三边a 、b 、c 满足a +b =10，ab =18，c =8，那么此三角形是三角形．3.．如图，△ABC 中，∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，三角形内有一点P到各边的距离相等，那么这个距离是〔 〕A. 1B. 3C. 4D. 5(五)勾股定理及逆定理的综合应用例6 如下列图，一根旗杆在离地面5米处断裂，旗杆顶部落承离杆底12米的A处，旗杆断裂前有多高？变式：现有一长25cm的云梯，架靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，那么梯子可以到达墙的高度为m，假设梯子顶端下滑了4m，那么梯子底部在水平方向滑动了m．例7 如下列图，一圆柱油罐底面积的周长为24m，高为6m，一只壁虎从距底面1m的A处爬行到对角B处去捕食，它爬行的最短路线长为多少？例8 如下列图，高速公路的同侧有A、B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1=2km，BB1=4km，且A1B1=8km．现在在高速公路的A1B1之间设一个出口P，使A、B两个村庄到P的距离之和最短，那么这个最短距离是多少？变式：1. 如图，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的外表从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？2.公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°，点A处有一所，AP=160米，假设拖拉机在行驶时，周围100米内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行使时，是否会受到影响？请说明理由，如果受到影响，拖拉机的速度是18千米/小时，那么受影响的时间为多少？例9 如图，四边形ABCD、EFGH、NHMC都是正方形，边长分别为1，2，c；A，B，N，E，F五点在同一直线上，正方形NHMC的面积=变式：如图，四边形ABCD，EFGH，NHMC都是正方形，边长分别为a、b、c，A、B、N、E、F五点在同一直线上，那么c= 〔用含有a，b的代数式表示〕．例10 某公司的大门如下列图，其中四边形ABCD是长方形，上部是以AD为直径的半圆，其中AB=2.3m，BC=2m，现有一辆装满货物的卡车，高为2.8m，宽为1.6m，问这辆车能否通过公司大门？并说明你的理由．变式:，如图△ABC中，∠C=90°，M为AB中点，∠PMQ=90°，求证PQ2=AP2+BQ2．。

2019-2020勾股定理折叠问题（含答案）知识点睛1.折叠问题处理思路：（1）找折痕；（2）设未知数，表达线段、转移线段；（3）利用勾股定理列方程．一、单选题1．在直线L上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（）A．5 B．4 C．6 D．102．如图,将矩形纸片ABCD沿EF折叠,使D点与BC边中点D重合,若BC=8,CD=6,则CF长为（）A．1.5 B．5C．2 D．133．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A ．1.8B ．2.4C ．3.2D ．3.64．如图,直角三角形纸片两直角边长分别为6,8,按如图折叠,使A 与B 重合,折痕为DE,则S △BCE ：S △BDE 等于（ ）A ．2：5B ．14：25C ．16：25D ．4：215．如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=5CM ，BC=10CM ，CD 上有一点E ，ED=2cm ，AD 上有一点P ，PD=3cm ，过点P 作PF ⊥AD ，交BC 于点F ，将纸片折叠，使点P 与点E 重合，折痕与PF 交于点Q ，则PQ 的长是( ).A.413 cmB.3cmC.2cmD.27cm 6．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，点E 在边CD 上，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，若点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为（ ）A ．53B ．35C ．43D ．347．如图，有一块Rt △ABC 的纸片，∠ABC=900,AB ＝6，BC ＝8，将△ABC 沿AD 折叠，使点B 落在AC 上的E 处，则BD 的长为( )A.3B.4C.5D.68．将宽为1cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是（ ）A ．1cmB ．2cmC ．33cmD ． 233cm 9．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4cm ，BC ＝8cm ，如果将该矩形沿对角线BD 折叠，那么图中阴影部分的面积（ ）cm 2.A ．8B ．10C ．15D ．2010．如图，Rt △ABC 中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（ ）A．53B．52C．4 D．511．如图矩形ABCD中，AB=3，BC=3，点P是BC边上的动点，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C1处，则点B到点C1的最短距离为（）A．5 B．4 C．3 D．212．如图①是一个直角三角形纸片，∠A=30°，将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图②，再将②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，若折痕DE的长是cm，则BC的长是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm二、填空题13．如图，将边长为的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在处，折痕为，则线段的长为____．14．如图，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝3，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线M折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为_____．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，若CD＝4，CE＝3，则AB的长为_____．16．如图，纸片中，，，，点在边上，以为折痕折叠得到，与边交于点，若为直角三角形，则的长是____．17．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角(∠D，∠C)向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD＝3，BC＝4，则EF的长为______．18．如图，在△ABC中，AB=20，AC=12，BC=16，把△ABC折叠，使AB落在直线AC上，则重叠部分（阴影部分）的面积是_____．19．如图，在ABC中，AB=AC=6，∠BAC=90°，点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE 折叠，B、C两点重合于点F，若DE=5，则AD的长为_____．20．如图，矩形纸片ABCD中，，，点E、F在矩形ABCD的边AB、AD上运动，将△沿EF折叠，使点在BC边上，当折痕EF移动时，点在BC边上也随之移动则的取值范围为______．21．如图，矩形ABCD中，AB=8,AD=5，点E为DC边上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D 的对应点D’落在矩形ABCD的对称轴上时，DE的长为____________.22．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q 处，折痕为FH，则线段AF的长是____cm．三、解答题23．小丽剪了一些直角三角形纸片，她取出其中的几张进行了如下的操作：操作一：如图，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE.（1）如果AC=6cm，BC=8cm，试求△ACD的周长.（2）如果∠CAD：∠BAD=4：7，求∠B的度数.操作二：如图，小丽拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE重合，已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，你能求出CD的长吗？操作三：如图，小丽又拿出另一张Rt △ABC 纸片，将纸片折叠，折痕CD ⊥AB 。

初二（上）数学复习《勾股定理》解答题专练1．（2017秋•常熟一中期中）如图所示，OA⊥OB，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在B 处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机器人行走的路程BC．2．（2018秋•吴江区期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC 的长．3．（2018秋•吴江区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝3，动点P从点C出发，沿着CB运动，速度为每秒1个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：（1）求BC上的高；（2）当t为何值时，△ACP为等腰三角形？4．（2018秋•相城区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm如果将该矩形沿对角线BD折叠，求图中阴影部分的面积．5．（2018秋•太仓市期中）如图，有一公路AB和一铁路CD在点A处交汇，且∠BAD＝30°，在公路的点P处有一所学校（学校看作点P，点P与公路AB的距离忽略不计），AP＝320米，火车行驶时，火车周围200米以内会受到噪音的影响，现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶，该动车车身长200米，动车的速度为180千米/时，那么在该动车行驶过程中．（1）学校P是否会受到噪声的影响？说明理由；（2）如果受噪声影响，那么学校P受影响的时间为多少秒？6．（2018秋•太仓市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝2，点D 为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，求折痕DF的长．7．（2018秋•高新区期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BD＝8，∠ACD＝45°．（1）求线段AD的长；（2）求△ABC的周长．8．（2018秋•高新区期中/13年苏州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．（1）若AC＝1，BC＝．求证：AD2+CF2＝BE2；（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）9．（2018秋•高新区期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P 从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．10．（2016秋•工业园区期中）中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．11．（2017秋•苏州期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．（1）求证：AB⊥BC．（2）若AB＝5CD，AD＝21，求四边形ABCD的周长．12．（2016秋•相城区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DBC＝90°，若AD＝4cm，AB＝3cm，BC＝12cm，求CD的长及四边形ABCD的面积．13．（2016秋•相城区期中）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D为BC边上一点（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）求证：DE2＝BD2+CD2．14．（2017秋•高新区期中）如图，在直角坐标系中，长方形纸片ABCD的边AB∥CO，点B 坐标为（8，4），若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．（1）求证：△DEF为等腰三角形；（2）求折痕EF的长．答案与解析1．（2017秋•常熟一中期中）如图所示，OA⊥OB，OA＝45cm，OB＝15cm，一机器人在B 处发现有一个小球自A点出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从B处出发以相同的速度匀速直线前进去拦截小球，在点C处截住了小球，求机器人行走的路程BC．【分析】小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，得出BC＝AC，由勾股定理可求得BC的长．【解答】解：∵小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，运动时间相等，即BC＝CA，设AC为x，则OC＝（45﹣x），由勾股定理可知OB2+OC2＝BC2，又∵OA＝45，OB＝15，把它代入关系式152+（45﹣x）2＝x2，解方程得出x＝25（cm）．答：如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是25cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，理解题意找出等量关系是解题关键，再由勾股定理即可得到答案．2．（2019春•谢家集区期中）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：设AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．【点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．3．（2018秋•吴江区期中）如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝3，动点P从点C出发，沿着CB运动，速度为每秒1个单位，到达点B时运动停止，设运动时间为t秒，请解答下列问题：（1）求BC上的高；（2）当t为何值时，△ACP为等腰三角形？【分析】（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出答案；（2）分别利用①当AP＝AC时，②当AC＝CP′时，③当AP″＝CP″时，结合锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：（1）∵32+42＝52，∴△ABC是直角三角形，设BC上的高为x，则×AB×AC＝×BC×x，∴×3×4＝×5x，解得：x＝2.4，故BC边上高为2.4；（2）①当AP＝AC时，过A作AD⊥BC，则CD＝DP，∵cos C＝＝，∴CD＝AC cos C＝3×＝，∴CP＝2CD＝，∵P的速度为每秒1个单位，∴t＝；②当AC＝CP′时，∵AC＝3，∴CP′＝3，∴t＝3；③当AP″＝CP″时，过P″作P″E⊥AC，∵AC＝3，AP″＝CP″，∴EC＝1.5，∵CP″＝＝＝2.5，则t＝2.5．综上所述：t＝s或3s或2.5s．【点评】此题主要考查了勾股定定理以及逆定理、锐角三角函数关系，正确利用分类讨论求解是解题关键．4．（2018秋•相城区期中）如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm如果将该矩形沿对角线BD折叠，求图中阴影部分的面积．【分析】根据轴对称的性质及矩形的性质就可以得出BE＝DE，由勾股定理就可以得出DE的值，由三角形的面积公式就可以求出结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝16cm，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDB＝∠CBD．∵折叠∴△CBD≌△C′BD，∴∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE．设DE为x，则AE＝16﹣x，BE＝x，由勾股定理，得AB2+AE2＝BE2．∴64+（16﹣DE）2＝DE2．∴DE＝10∴图中阴影部分的面积＝×DE×AB＝40（cm2）【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．5．（2018秋•太仓市期中）如图，有一公路AB和一铁路CD在点A处交汇，且∠BAD＝30°，在公路的点P处有一所学校（学校看作点P，点P与公路AB的距离忽略不计），AP＝320米，火车行驶时，火车周围200米以内会受到噪音的影响，现有一列动车在铁路CD上沿AD方向行驶，该动车车身长200米，动车的速度为180千米/时，那么在该动车行驶过程中．（1）学校P是否会受到噪声的影响？说明理由；（2）如果受噪声影响，那么学校P受影响的时间为多少秒？【分析】（1）如图作PH⊥CD于H．求出PH与200比较即可；（2）当PE＝PF＝200时，动车在线段EF上时，受噪声影响，求出EF的长即可解决问题；【解答】解：（1）如图作PH⊥CD于H．在Rt△APH中，∵∠P AH＝30°，P A＝320m，∴PH＝P A＝160m，∵160＜200，∴学校P会受到噪声的影响．（2）当PE＝PF＝200时，动车在线段EF上时，受噪声影响，∵EF＝2FH＝＝240m，180千米/时＝50米/秒∵＝8.8秒，答：学校P受影响的时间为8.8秒．【点评】本题考查勾股定理、解直角三角形、路程、速度．时间之间的关系等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，注意统一单位．6．（2018秋•太仓市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2，BC＝2，点D 为斜边AB的中点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，使点A与点E重合，求折痕DF的长．【分析】只要证明△CDF∽△ACB，可得＝，由此求出DF即可；【解答】解：在Rt△ACB中，∵AB＝2，BC＝2，∠ACB＝90°，∴AC＝＝4，∵AD＝DB，∴CD＝DA＝DB＝，∴∠DCA＝∠A，∵∠CDB＝∠CDE，∠FDE＝∠FDA，∴∠CDF＝90°，∴∠CDF＝∠ACB，∴△CDF∽△ACB，∴＝，∴＝，∴DF＝．（方法二：设AF＝EF＝x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x，再在Rt△DCF中，求出DF即可）【点评】本题考查翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．7．（2018春•花都区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BD＝8，∠ACD＝45°．（1）求线段AD的长；（2）求△ABC的周长．【分析】（1）由AD⊥BC可得出∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求出AD的长；（2）由AD⊥BC、∠ACD＝45°可得出△ACD为等腰直角三角形，结合AD的长度可得出CD、AC的长度，再利用周长的定理即可求出△ABC的周长．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°．在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝10，BD＝8，∴AD＝＝6．（2）∵AD⊥BC，∠ACD＝45°，∴△ACD为等腰直角三角形，又∵AD＝6，∴CD＝6，AC＝6，∴C△ABC＝AB+BD+CD+AC＝24+6．【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及三角形的周长，解题的关键是：（1）在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD的长；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CD、AC的长．8．（2015秋•宝山区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD、BE、CF分别是三边上的中线．（1）若AC＝1，BC＝．求证：AD2+CF2＝BE2；（2）是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD、BE、CF的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a2+b2＝c2的3个正整数a、b、c称为勾股数．）【分析】（1）连接FD，根据三角形中线的定义求出CD、CE，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得FD＝AC，然后分别利用勾股定理列式求出AD2、CF2、BE2即可得证；（2）设两直角边分别为a、b，根据（1）的思路求出AD2、CF2、BE2，再根据勾股定理列出方程表示出a、b的关系，然后用a表示出AD、CF、BE，再进行判断即可．【解答】（1）证明：如图，连接FD，∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD＝BC＝，CE＝AC＝，FD＝AC＝，由勾股定理得，AD2＝AC2+CD2＝12+（）2＝，CF2＝CD2+FD2＝（）2+（）2＝，BE2＝BC2+CE2＝（）2+（）2＝，∵+＝，∴AD2+CF2＝BE2；（2）解：设两直角边分别为a、b，∵AD、BE、CF分别是三边上的中线，∴CD＝a，CE＝b，FD＝AC＝a，由勾股定理得，AD2＝AC2+CD2＝b2+（a）2＝a2+b2，CF2＝CD2+FD2＝（a）2+（b）2＝a2+b2，BE2＝BC2+CE2＝a2+（b）2＝a2+b2，不妨设：AD2+CF2＝BE2，∴a2+b2+a2+b2＝a2+b2，整理得，a2＝2b2，∴AD＝b，CF＝b，BE＝b，∴CF：AD：BE＝1：：，∵没有整数是和的倍数，∴不存在这样的Rt△ABC．当CF2+BE2＝AD2时，同法可证．CF显然不能作为斜边，此种情形不存在．综上所述，不存在这样的Rt△ABC．【点评】本题考查了勾股定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，用两条直角边分别表示出三条中线的平方是解题的关键，也是本题的难点．9．（2017秋•连云区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若点P 从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足P A＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．【分析】（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，根据勾股定理列方程即可得到结论；（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，根据勾股定理列方程即可得到结论；【解答】解：（1）设存在点P，使得P A＝PB，此时P A＝PB＝2t，PC＝4﹣2t，在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（4﹣2t）2+32＝（2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，P A＝PB；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，CP＝2t，此时BP＝7﹣2t，PE＝PC＝2t﹣4，BE＝5﹣4＝1，在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣4）2+12＝（7﹣2t）2，解得：t＝，∴当t＝时，P在△ABC的角平分线上．【点评】本题考查了勾股定理，关键是根据等腰三角形的判定，三角形的面积解答．10．（2017秋•东台市期中）中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA＝45海里，OB＝15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C处截住了渔船．（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．【分析】（1）由题意得，我渔政船与不明船只行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．（2）利用第（1）题中的BC＝AC设BC＝x海里，则AC＝x海里．在直角三角形BOC 中，BC＝x海里、OC＝（45﹣x）海里，利用勾股定理列出方程152+（45﹣x）2＝x2，解得即可．【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；（2）设BC为x海里，则CA也为x海里，∵∠O＝90°，∴在Rt△OBC中，BO2+OC2＝BC2，即：152+（45﹣x）2＝x2，解得：x＝25，答：我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里．【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．11．（2017秋•苏州期中）已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD2+CD2＝2AB2，CD⊥AD．（1）求证：AB⊥BC．（2）若AB＝5CD，AD＝21，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）理由勾股定理的逆定理证明∠ABC＝90°即可；（2）设CD＝k，则AB＝BC＝5k，由∠ABC＝90°，可得AC2＝50k2，在Rt△ACD中，根据AC2＝CD2+AD2，构建方程即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AC．∵CD⊥AD，∴AD2+CD2＝AC2，∵AD2+CD2＝2AB2，AB＝BC，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．（2）设CD＝k，则AB＝BC＝5k，∵∠ABC＝90°，∴AC2＝50k2，在Rt△ACD中，∵AC2＝CD2+AD2，∴50k2＝212+k2，∴k＝3，∴CD＝3，AB＝BC＝15，∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+AD+CD＝54．【点评】本题考查勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．12．（2016秋•相城区期中）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠DBC＝90°，若AD＝4cm，AB＝3cm，BC＝12cm，求CD的长及四边形ABCD的面积．【分析】先根据勾股定理求出BD的长度，然后可根据勾股定理求出CD的长度，分别求出△ABD和△BCD的面积，即可求得四边形ABCD的面积．【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝＝＝5（cm），在Rt△BCD中，CD＝＝＝13（cm），S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝×3×4+×5×12＝36（cm2），即四边形ABCD的面积为36cm2．【点评】本题考查了勾股定理的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．13．（2016秋•相城区期中）已知△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点D为BC边上一点（1）求证：△ACE≌△ABD；（2）求证：DE2＝BD2+CD2．【分析】（1）易证∠EAC＝∠DAB，即可证明△ACE≌△ABD；（2）根据（1）中结论可得EC＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，即可求得∠ECD＝90°，易求得BC得长，即可求得EC的长，在Rt△ECD中，根据勾股定理即可求得DE的长．【解答】（1）证明：∵∠EAC+∠CAD＝∠EAD＝90°，∠CAD+∠DAB＝∠BAC＝90°，∴∠EAC＝∠DAB，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS）；（2）∵△ACE≌△ABD，∴EC＝BD，∠ACE＝∠B＝45°，∴∠ECD＝∠ACE+∠ACB＝90°，∵等腰直角△ABC中，AC＝BC，∴EC＝BD＝BC﹣CD，∴在Rt△ECD中，DE2＝BD2+CD2【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△ACE≌△ABD是解题的关键．14．（2017秋•高新区期中）如图，在直角坐标系中，长方形纸片ABCD的边AB∥CO，点B 坐标为（8，4），若把图形按如图所示折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．（1）求证：△DEF为等腰三角形；（2）求折痕EF的长．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得AB∥OC，又由折叠的性质可得：∠BEF＝∠OEF，即可证得∠OEF＝∠OFE，则可得OE＝OF；（2）首先设BE＝OE＝x，则AE＝9﹣x，可得方程（8﹣x）2+32＝x2，继而求得点E，F 的坐标，即可求得折痕EF的长．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥OC，∴∠BEF＝∠OFE，由折叠的性质可得：∠BEF＝∠OEF，∴∠OEF＝∠OFE，∴OE＝OF，∴△DEF是等腰三角形；（2）设BE＝OE＝x，则AE＝8﹣x，在Rt△AEO中，AE2+OA2＝OE2，∴（8﹣x）2+42＝x2，解得：x＝5，∴OF＝OE＝5，AE＝OG＝3，∴E（3，4），F（5，0），∴EF＝＝2．【点评】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．。

一、选择题1．如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（ ）A ．12B ．13C ．15D ．242．下列各组数据，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A ．5、6、7B ．6、8、10C ．1.5、2、2.5D ．3、2、7 3．在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A ．0.3，0.4，0.5B ．9，40，41C ．2，3，4D ．1，2，34．《九章算术》奠定了中国传统数学的基本框架，是中国古代最重要的数学著作之一．其中第九卷《勾股》章节中记载了一道有趣的“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”．意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子底部3尺远，问原处还有多高的竹子？（备注：1丈10=尺）这个问题的答案是（ ）A ．4尺B ．4.5尺C ．4.55尺D ．5尺5．下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（ ） A ．2,3,4a b c ===B ．5,6,8a b c ===C ．5,12,13a b c ===D ．7,15,12a b c ===6．下列各组数中是勾股数的是（ ） A ．4，5， 6B ．1.5，2， 2.5C ．11，60， 61D ．13，2 7．下列四组数中，是勾股数的是（ ） A ．5,12,13B ．4,5,6C ．2,3,4D ．2,58．如图，已知ABC 中，45ABC ∠=︒，F 是高AD 和BE 的交点，5AC =2BD =，则线段DF 的长度为（ ）A．22B．2 C．3D．19．如图，分别以直角三角形ABC的三边为斜边向外作直角三角形，且AD CD=，CE BE=，AF BF=，这三个直角三角形的面积分别为1S，2S，3S，且19S=，216S=，则S3S=（）A．25 B．32 C．7 D．1810．一个长方体盒子长24cm，宽10cm，在这个盒子中水平放置一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．10cm B．24cm C．26cm D．28cm11．下列几组数中，是勾股数的是( )A．1，2，3B．0.3，0.4，0.5 C．15，8，17 D．35，45，112．如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．514 B．8 C．16 D．64二、填空题13．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8．现将ABC如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE．则CECB的值是__________．14．如图，在直线l 上依次摆放着7个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别是4，6，8，正放置的四个正方形的面积分别是1234,,,S S S S ，则1234S S S S +++=__________．15．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处，已知CD =1，∠B =30°，则AC 的长是__________．16．如图所示的正方形网格中，A ，B ，C ，D ，P 是网格线交点．若∠APB ＝α，则∠BPC 的度数为 ____（用含α的式子表示）．17．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是_________18．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的是________________．19．如图，圆柱形容器中，高为1m，底面周长为4m，在容器内壁离容器底部0.4m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为______m（容器厚度忽略不计）．20．一根长16cm牙刷置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱形水杯中．牙刷露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是___．三、解答题21．如图，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°，（1）求证△ACD≌△BCE；（2）求AD的长．22．如图，△ABC中，AB＝AC，BC＝4cm，作AD⊥BC，垂足为D，若AD＝4cm，求AB的长．23．学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化，已知AD=4米，CD=3米，AD⊥DC，AB=13米，BC=12米.(1)若连接AC，试证明:OABC是直角三角形；(2)求这块地的面积.24．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度，我们称每个小正方形的顶点为“格点”．（1）若格点C 在线段AB 右侧，且满足AC BC =，则当ABC ∆的周长最小时，ABC ∆的面积等于 ．（2）若格点D 在线段AB 左侧，且满足AD BD ⊥，则ABD ∆的面积等于 (以上两问均直接写出结果即可）．25．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止已有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图1所示摆放，其中b a >，点E 在线段AC 上，点B 、D 在边AC 两侧，试证明：222+=a b c ．证明：如图2，连结DB 、DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-． ∵ABC DAE △≌△， ∴ABC DAE ∠=∠． ∵ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒，∴90ABC BAC ∠+∠=︒，∴DAB ∠=______+______=_______． ∵ADB DCB ADCB S S S =+=△△四边形_________． ∴222+=a b c ． 26．问题背景：在ABC 中，AB 、BC 、AC 51013积．小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点ABC （即ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需求ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积．（1）请你求出ABC 的面积； 思维拓展：（2）我们把上述求ABC 面积的方法叫做构图法．若ABC 5a 、2a 、17a （0a >），请利用图②的正方形网格（每个小正方形的边长为a ）画出相应的ABC ，并求出它的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】设旗杆的高度为x m ，则AC x =m ，AB=()1x +m ，BC=5，利用勾股定理即可解答． 【详解】设旗杆的高度为x m ，则AC x =m ，AB=()1x +m ，BC=5m ， 在Rt ABC 中，222AC BC AB +=()22251x x ∴+=+解得：12x = 故选：A ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，利用勾股定理与方程的结合解决实际问题．2．A解析：A 【分析】利用勾股定理的逆定理计算判断即可． 【详解】∵2256253661+=+=≠2749=， ∴5、6、7不能作为直角三角形的三边长， ∴选项A 错误；∵22866436100+=+==210100=， ∴6、8、10能作为直角三角形的三边长， ∴选项B 正确；∵221.52 2.254 6.25+=+==22.5 6.25=， ∴1.5、2、2.5能作为直角三角形的三边长， ∴选项C 正确；∵222347+=+==27=， ∴2能作为直角三角形的三边长，∴选项D 正确； 故选A ． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握逆定理并进行准确计算是解题的关键．3．B解析：B 【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数，成为勾股数，据此可判断． 【详解】A ．0.3、0.4、0.5，不是正整数，所以不是勾股数，选项错误；B ．9、40、41，是正整数，且满足22294041+=，是勾股数，选项正确；C ．2、3、4，是正整数，但222234+≠，所以不是勾股数，选项正确；D ．1 故选：B ． 【点睛】本题考查了勾股数的判定方法，解题关键是要看这组数是否为正整数，且满足最小两个数的平方和等于最大数的平法．4．C解析：C 【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设原处还有x 尺的竹子，则斜边为（10−x ）尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10−x ）尺，根据勾股定理得：x 2＋32＝（10−x ）2， 解得：x ＝4.55 故选C ． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．5．C解析：C 【分析】由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案． 【详解】 解：22222223134,a b c +=+=≠= 故A 不符合题意；22222256618,a b c +=+=≠= 故B 不符合题意；22222251216913,a b c +=+=== 故C 符合题意； 22222271219315,a c b +=+=≠= 故D 不符合题意；故选：.C 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”是解题的关键6．C解析：C 【分析】根据勾股数的定义判断即可． 【详解】解：A 、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意； B 、1.5， 2.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； C 、112+602＝612，三个数都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；D 不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意； 故选：C ． 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握满足a 2+b 2＝c 2的三个正整数，称为勾股数．7．A解析：A 【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A. ∵5，12，13是正整数，且52+122=132，∴5，12，13是勾股数；B. ∵42+52≠62，∴4，5，6不是勾股数；C. ∵22+32≠42，∴2，3，4不是勾股数；D. ∵∴1故选A ． 【点睛】此题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a ，b ，c 为正整数，且满足a 2+b 2=c 2，那么，a 、b 、c 叫做一组勾股数．8．D解析：D 【分析】先证明△BDF ≌△ADC ，得到 【详解】解：∵AD 和BE 是△ABC 的高线， ∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°， ∴∠DBF+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°， ∴∠DBF=∠CAD ， ∵45ABC ∠=︒， ∴∠BAD=45°， ∴BD=AD ， ∴△BDF ≌△ADC ， ∴在Rt △BDF 中，1==．故选：D 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明△BDF ≌△ADC 是解题关键．9．A解析：A 【分析】根据△ADC 为直角三角形且AD=CD ，可得到22211111=2224S AD AC AC =⨯=，同理可得到221=4S BC 及231=4S AB ，在△ACB 中，由勾股定理得出：222AB AC BC =+，继而可得312S S S =+，代入计算即可． 【详解】解：∵△ADC 为直角三角形，且AD=CD ， ∴在△ADC 中，有222AC AD CD =+，∴222AC AD =，即AC =，∴22211111=2224S AD AC AC =⨯=， 同理可得：221=4S BC ，231=4S AB ， ∵∠ACB=90︒，∴222AB AC BC =+，即312111444S S S =+，∴312S S S =+， ∵19S =，216S =， ∴3129+16=25S S S =+=， 故答案为：A ． 【点睛】本题考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面积关系是解题的关键．10．C解析：C 【分析】根据题意可知木棒最长是底面长方形的对角线的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：长方体的底面是长方形，水平放置木棒，当木棒为该正方形的对角线时木棒最长，26=， 则最长木棒长为26cm ， 故选：C ． 【点睛】本题考查立体图形、勾股定理，由题意得出木棒最长是底面长方形的对角线的长是解答的关键．11．C解析：C 【分析】根据勾股数的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】A. 1中不全是正整数，不是勾股数，不符合题意，B. 0.3，0.4，0.5中都不是正整数，不是勾股数，不符合题意，C. 152+82=172，且15，8，17都是正整数，是勾股数，符合题意，D.35，45，1中不全是正整数，不是勾股数，不符合题意， 故选C ． 【点睛】本题主要考查勾股数的定义，熟练掌握“满足222+=a b c ，且a ，b ，c 是正整数，则a ，b ，c 叫做勾股数”是解题的关键．12．D解析：D【分析】设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，代入得到2225289a +=，计算求出答案即可．【详解】如图，设直角三角形的三边长分别为a 、b 、c ，由题意得222+=a b c ，∴2225289a +=，∴字母A 所代表的正方形的面积264a =，故选：D ．．【点睛】此题考查以弦图为背景的证明，熟记勾股定理的计算公式、理解三个正方形的面积关系是解题的关键．二、填空题13．【分析】先设CE=x 再根据图形翻折变换的性质得出AE=BE=8-x 再根据勾股定理求出x 的值进而可得出的值【详解】解：设CE=x 则AE=8-x ∵△BDE 是△ADE 翻折而成∴AE=BE=8-x 在Rt △B 解析：724【分析】先设CE =x ，再根据图形翻折变换的性质得出AE =BE =8-x ，再根据勾股定理求出x 的值，进而可得出CE CB的值． 【详解】 解：设CE =x ，则AE =8-x ，∵△BDE 是△ADE 翻折而成，∴AE =BE =8-x ，在Rt △BCE 中，BE 2=BC 2+CE 2，即（8-x ）2=62+x 2，解得x =74，∴CE CB=746=724， 故答案为：724． 【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，熟知“折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等”的知识是解答此题的关键．14．12【分析】如图易证△CDE ≌△ABC 得AB2+DE2=DE2+CD2=CE2同理FG2+LK2=HL2S1+S2+S3+S4=4+8=12【详解】解：如图∵∴∵在△CDE 和△ABC 中∴△CDE ≌△解析：12【分析】如图，易证△CDE ≌△ABC ，得AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2，同理FG 2+LK 2=HL 2，S 1+S 2+S 3+S 4=4+8=12．【详解】解：如图，∵EDC CBA ACE 90∠∠∠===︒，EC CA =，ECD ACB ACB CAB 90∠∠∠∠+=+=︒，∴ECD ACB ∠∠=， ∵在△CDE 和△ABC 中，EDC CBA ECD CAB EC CA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDE ≌△ABC （AAS ），∴AB=CD ，BC=DE ，∴AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2=8，同理可证FG 2+LK 2=HL 2=4，∴S 1+S 2+S 3+S 4=CE 2+HL 2=4+8=12．故答案为：12．【点睛】本题考查了全等三角形的证明，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明AB 2+DE 2=DE 2+CD 2=CE 2是解题的关键．15．【分析】由折叠的性质可得CD=DE=1∠C=∠AED=90°由直角三角形的性质可求BD的长再运用勾股定理可求解【详解】解：∵将△ABC折叠使点C落在斜边AB上的点E处∴CD=DE=1∠C=∠AED=【分析】由折叠的性质可得CD=DE=1，∠C=∠AED=90°，由直角三角形的性质可求BD的长，再运用勾股定理可求解．【详解】解：∵将△ABC折叠使点C落在斜边AB上的点E处，∴CD=DE=1，∠C=∠AED=90°，∵∠B=30°，∴BD=2DE=2，AB=2AC，∴BC=BD+CD=2+1=3，由勾股定理得，222=+AB BC AC∴4222=+AC BC AC∴AC=【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握折叠的性质是本题关键．16．【分析】由图可知AC的长根据勾股定理可以求得PAPC的长再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC的形状从而可以得到∠CPA的度数然后即可得到∠BPC=∠CPA−∠APB的度数【详解】设网格的长度为1则︒解析：90-α【分析】由图可知AC的长，根据勾股定理可以求得PA、PC的长，再利用勾股定理的逆定理可以判断△PAC的形状，从而可以得到∠CPA的度数，然后即可得到∠BPC=∠CP A−∠APB的度数．【详解】设网格的长度为1，则==，AC=6222+=AP PC AC∴△PAC为等腰直角三角形∴∠CPA=90︒∴∠BPC=∠CPA−∠APB=90-α︒︒故答案为：90-α【点睛】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．17．2021【分析】根据勾股定理求出生长了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和结合图形总结规律根据规律解答即可【详解】解：如图由题意得正方形A的面积为1由勾股定理得正方形B的面积+正方形C的面积=1∴解析：2021【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故答案为：2021．【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．18．①②③【分析】①由条件证明△ABD≌△ACE就可以得到结论；②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE就可以得出∠BDC=90°而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°由∠解析：①②③【分析】①由条件证明△ABD≌△ACE，就可以得到结论；②由△ABD≌△ACE就可以得出∠ABD=∠ACE，就可以得出∠BDC=90°而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出结论；④△BDE为直角三角形就可以得出BE2=BD2+DE2，由△DAE和△BAC是等腰直角三角形就有DE2=2AD2，BC2=2AB2，就有BC2=BD2+CD2≠BD2就可以得出结论．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ．故①正确；∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ABD=∠ACE ．∵∠CAB=90°，∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BDC=180°-90°=90°．∴BD ⊥CE ；故②正确；③∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ABC=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°．∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；④∵BD ⊥CE ，∴BE 2=BD 2+DE 2．∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，∴DE 2=2AD 2，BC 2=2AB 2．∵BC 2=BD 2+CD 2≠BD 2，∴2AB 2=BD 2+CD 2≠BD 2，∴BE 2≠2（AD 2+AB 2）．故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键． 19．【分析】将容器侧面展开建立A 关于EC 的对称点A′根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求【详解】如图将容器侧面展开作A 关于EC 的对称点A′连接A′B 交EC 于F 则A′B 即为最短距离∵高为1m 底面周【分析】将容器侧面展开，建立A 关于EC 的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B 的长度即为所求．【详解】如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为1m，底面周长为4m，在容器内壁离容器底部0.4m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.6m与蚊子相对的点A处，∴A′D=42=2(m)，BD=1+0.6-0.4=1.2(m)，∴在直角△A′DB中，A′B=2222234A'D BD2 1.25+=+=(m)，故答案是：234．【点睛】本题考查了平面展开－最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．20．3≤h≤4【分析】先根据题意画出图形再根据勾股定理解答即可【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大h最大=16-12=4cm当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小如图所示：此时AB==13cm故h=1解析：3≤h≤4【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【详解】解：当牙刷与杯底垂直时h最大，h最大=16-12=4cm．当牙刷与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，==13cm ，故h=16-13=3cm ．故h 的取值范围是3≤h≤4．故答案是：3≤h≤4．【点睛】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，有一定难度．三、解答题21．（1）见解析；（2）AD=9．【分析】（1）根据已知条件先证出∠BCE=∠ACD ，根据SAS 证出△ACD ≌△BCE ；（2）根据（1）中△ACD ≌△BCE 得出AD=BE ，再根据勾股定理求出AB ，然后根据∠BAC=∠CAE=45°，求出∠BAE=90°，在Rt △BAE 中，根据AB 、AE 的值，求出BE ，从而得出AD ．【详解】解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE ，即∠BCE=∠ACD ，又∵AC=BC ，DC=EC ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC BCE ACD DC EC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△ACD ≌△BCE （SAS ）．（2）∵△ACD ≌△BCE （SAS ），∴AD=BE ，∵AC=BC=6，∴，∵∠BAC=∠CAE=45°，∴∠BAE=90°，在Rt △BAE 中，AE=3，∴，∴AD=9．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、勾股定理，关键是根据题意作出辅助线，证出△ACD ≌△BCE ．22．25【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵AB＝AC，BC＝4cm，AD⊥BC，∴BD＝12BC＝2，∵AD＝4cm，∴在直角三角形ABD中AB＝22AD BD+＝25cm．【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．23．（1）见解析；（2）这块地的面积是24平方米.【分析】（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）∵AD=4，CD=3，AD⊥DC，由勾股定理可得：AC=2222435AD CD+=+=，又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2 ，∴△ABC是直角三角形；（2）△ABC的面积-△ACD的面积=115123422⨯⨯-⨯⨯=24（m2），所以这块地的面积是24平方米.【点睛】本题考查了勾股定理及勾股定理逆定理的应用，在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.反之也成立.24．（1）2.5；（2）2或2.5或1.5【分析】（1）根据格点C在线段AB右侧，且满足AC=BC，画出周长最小的格点△ABC，即可求出△ABC的面积；（2）根据格点D在线段AB左侧，且满足AD⊥BD，分别画出格点△ABD，即可得三角形的面积．【详解】解：（1）如图，△ABC 即为所求；△ABC 的面积为：1552⨯⨯=2.5， 故答案为：2.5；（2）如图点D 1，D 2，D 3 即为所求；△ABD 的面积分别为：12222⨯⨯=2， 1552⨯⨯=2.5， 1132⨯⨯=1.5， 故答案为：2或2.5或1.5．【点睛】此题主要考查了格点图形的性质，把握格点图形的定义，正确画出格点三角形是解决问题的关键．25．见详解【分析】先推出DAB ∠=90°，再根据ADB DCB ADCB S S S =+=△△四边形ADC ACB S S +△△，即可得到结论．【详解】证明：如图2，连结DB 、DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，则DF EC b a ==-． ∵ABC DAE △≌△，∴ABC DAE ∠=∠．∵ABC 是直角三角形，90ACB ∠=︒， ∴90ABC BAC ∠+∠=︒，∴DAB ∠=∠DAE+∠BAC=90°． ∵ADB DCB ADCB S S S =+=△△四边形212c +1()2a b a -． 又∵21122ADC ACB ADCB S S S b ab =+=+△△四边形，∴212c +1()2a b a -=21122b ab +， ∴222+=a bc ．【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，添加辅助线，利用割补法表示图形的面积，是解题的关键．26．（1） 3.5ABC S =△；（2）作图见解析；23ABC S a =△．【分析】（1）利用网格图及割补法求解图形面积；（2）结合勾股定理作图，然后利用割补法求图形面积【详解】解：（1）11133123132 3.5222ABC S ⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭△ （2）22512AB a a ==+；2222211BC a a ==+；221714AC a a ==+． 所做ABC 如图所示21112422243222ABC S a a a a a a a a a ⎛⎫=⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭△． 【点睛】本题考查了勾股定理及作图的知识，解答本题关键是仔细理解问题背景，构图法求三角形的面积是经常用到的，同学们注意仔细掌握．。

例1. (1)如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件 平面示意图，根据图中的尺寸(单位： mm ),计算两圆孔中心A 和B 的距离为(2)如图2,直线I 上有二个正方形a, b, 的面积分别为5和11,则b 的面积为( C . 16D . 55点评：以上两例都是勾股定理的直接运用,当已知直角三角形的两边，求第第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析:勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一 起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和简单的解答题典例剖析分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可.解：(1)由已知得：AC=150-60=90, BC=180-60=120,由勾股定理得:AB 2=902+1202=22500,所以 AB=150 (mm )(2)由勾股定理得：b=a+c=5+11=16,故选C .60]15060c)图2三边时，往往要借助于勾股定理来解决.例2.如图3,正方形网格的每一个小正方形的边长都是1,试求Z AE2A2 Z A4E2C4 Z A4E5C4 的度数.、图3解：连A3E2. Q A3A2A]A2, A2E2A2E2,A3A2E2 AA2E2 90o,Rt △ A3A2E2如Rt △ A1A2E2(SAS).5 A-I E2A3 E2 A2由勾股定理，得：C4E5 22 12 ,5 C3E2 , A4E5 、42 12 ,17 A3E2 ,2Q A4C4AC B 2 , △ A4C4E5◎△ A3C3E2 (SSS).A3 E2C3A4 E5C4A1E2 A2A4E2C4 A4 E5C4 A3E2C4 A4 E2C4 A3E2C3 A2E2C4 •由图可知△ E2C2C4为等腰直角三角形. A2E2C4 45o.即A,E2A2A4E2C4 A4E5C4 45° .点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：(1)任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得.(2)利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如45°、90°、135°, 便一目了然.以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力.专练一：〔、△ ABC 中，/ A :/ B:/ C=2 : 1: 1, a，b，c分别是/ A、/ B、/ C 的对边，则下列各等式中成立的是( )(A) a2b2c2; (B) a22b2; (C) c22a2; (D) b22a22、若直角三角形的三边长分别为2, 4, X，则x的可能值有( )(A) 1 个；(B) 2 个；(C) 3个；(D) 4 个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为( )(A) 10.5 米; ( B) 7.5 米; (C) 12 米; (D) 8 米4、下列说法中正确的有( )(1)如果/ A+ / B+Z C=3: 4: 5,则厶ABC是直角三角形；(2) 如果/ A+Z B= Z C,那么△ ABC是直角三角形；(3)如果三角形三边之比为6: 8:10,则ABC是直角三角形；(4)如果三边长分别是n21,2n,n21(n 1)，则ABC是直角三角形。

小专题(二) 利用勾股定理解决折叠与展开问题类型1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝5 cm ，BC ＝10 cm ，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为( )A.252 cmB.152 cmC.254 cm D.154cm2．如图所示，有一块直角三角形纸片，∠C ＝90°，AC ＝4 cm ，BC ＝3 cm ，将斜边AB 翻折，使点B 落在直角边AC 的延长线上的点E 处，折痕为AD ，则CE 的长为( )A ．1 cmB ．1.5 cmC ．2 cmD ．3 cm3．(青岛中考)如图，将长方形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，若AB ＝6，BC ＝9，则BF 的长为( )A ．4B ．3 2C ．4.5D ．54．如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．65．(铜仁中考)如图，在长方形ABCD 中，BC ＝6，CD ＝3，将△BCD 沿对角线BD 翻折，点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于点E ，则线段DE 的长为( )A ．3 B.154 C ．5 D.1526．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( )A．210－2B．6C．213－2D．47．如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，将△ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE，则△ABE 的周长为________．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB 边的C′点，那么△ADC′的面积是________．9．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的锐角A翻折，使得点A落在BC边的中点D处，折痕交AC边于点E，交AB边于点F，则DE的值为________．10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝________．11．为了向建国六十六周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(1)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的长方形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处，请你根据①②步骤解答下列问题：计算EC，FC的长．类型2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题1．如图，一圆柱体的底面周长为24 cm，高AB为5 cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是( )A．6 cm B．12 cmC．13 cm D．16 cm2．如图，圆柱形玻璃杯，高为12 cm，底面周长为18 cm，在杯内离杯底4 cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm.3．如图，在一个长为2 m，宽为1 m的长方形草地上，放着一根长方体的木块，它的棱和场地宽AD平行且棱长大于AD，木块从正面看是边长为0.2 m的正方形，一只蚂蚁从点A处到达C处需要走的最短路程是________m(精确到0.01 m)．4．一位同学要用彩带装饰一个长方体礼盒．长方体高6 cm，底面是边长为4 cm的正方形，从顶点A到顶点C′如何贴彩带用的彩带最短？最短长度是多少？5．如图，一个长方体形状的木柜放在墙角处(与墙面和地面均没有缝隙)，有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径；(2)当AB＝4，BC＝4，CC1＝5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．参考答案类型11．D 2.A 3.A 4.D 5.B 6.A 7.7 8.6 cm29.13310．1.511.因为△ADE与△AFE关于AE对称，所以△ADE≌△AFE.所以DE＝FE，AD＝AF.因为BC＝20 cm，AB＝16 cm，所以CD＝16 cm，AD＝AF＝20 cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF＝12 cm.所以CF＝20－12＝8(cm)．因为四边形ABCD是长方形，所以∠C＝90°.设CE＝x，则DE＝EF＝16－x，在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16－x)2＝64＋x2.解得：x＝6.所以EC＝6 cm.答：EC＝6 cm，CF＝8 cm.类型21．C 2.15 3.2.604．把长方体的面DCC′D′沿棱C′D′展开至面ABCD上，如图．构成矩形ABC′D′，则A到C′的最短距离为AC′的长度，连接AC′交DC于O，易证△AOD≌△C′OC.∴OD＝OC.即O为DC的中点，由勾股定理，得AC′2＝AD′2＋D′C′2＝82＋62＝100，∴AC′＝10 cm.即从顶点A沿直线到DC中点O，再沿直线到顶点C′，贴的彩带最短，最短长度为10 cm.5．(1)如图，木柜的表面展开图是两个矩形ABC′1D1和ACC1A1.蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图所示的AC′1和AC1两种．(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段A1B1到C′1，爬过的路径的长l1＝42＋（4＋5）2＝97.蚂蚁沿着木柜表面经线段BB1到C1，爬过的路径的长l2＝（4＋4）2＋52＝89.∵l1>l2，∴最短路径的长是89.。