2017-2018年广东省汕头市金山中学高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)

汕头金山中学2017届高三期末考试理科综合参考答案：22.（6分）（1）3.25（2分）；1.79（2分）；（2）C （2分） 23.（9分）（1）c （2分）；（2） 4.1 （4.0～4.2）（2分）；（3）减小，M （2分）；（4） b ，d （3分）.24．（1）开始弹簧比原长缩短x 1，A 处于静止，有 1kx mg = ①（2分） B 刚好离开地面时弹簧比原长伸长x 2，有22kx mg = ②（2分）A 上升的总高度21x x h += ③（1分） 解得kmgh 3=④（3分） （2）B 刚好离开地面时，对A ，有ma kx mg F =--2 ⑤（3分） 解得作用在A 上的拉力大小ma mg F +=3 ⑥（3分） 25．（1）A 球运动至第一次碰前速度为0v ，由动能定理得2021mv qEL =①（1分） A 、B 发生弹性正碰，有B A mv mv mv 30+= ②（1分）22203212121B A mv mv mv ⋅+= ③（1分） 解得第一次碰撞后瞬间A 、B 的速度mqELv v A 220-=-=（方向水平向左）④（2分） mqEL v v B 220==（方向水平向右） ⑤（2分）（2）碰后经时间t 时A 、B 发生第二次正碰，则A 、B 的位移相等，设为x ，取水平向右为正方向，对B ，有t v x B )0(21+=⑥（2分） 对A ，有t v v x A A )(212+=⑦（2分） )(21222A A v v m qEx -= ⑧（1分）解得第二次碰前A 的速度02v v A = ⑨（2分）L x 43=⑩（1分） 因为第二次碰前两物体的速度与第一次碰前完全相同，因此以后相邻两次碰撞之间两物体的的运动情况也完全相同。

（说明1分）到第n 次碰撞时，球A 在水平面上的总位移L n L n L s 133)1(+=-+= （2分）+8OH = CO O NH 分）（－Mn 22+2H 2O 24②取少量该溶液于试管中32溶液,过滤,向滤液中加入AgNO 3溶液,若产生白色沉淀,则说明溶液中有Cl －（2分） B. ①BaSO 4 （1分） ②SO 2+Cl 2 SO 2Cl 2（2分）（4）B 、E （2分）；除去HCl （1分）；D 中品红不褪色，F 中出现白色沉淀（2分）； 29（9分。

2017-2018学年广东省汕头市金山中学高三（上）开学数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z=，则的共轭复数是（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D．+i2．（5分）设集合A={﹣1，0，a}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．{1}B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（0.1）3．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数4．（5分）若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条5．（5分）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为8，则m的值是（）A．±6 B．±8 C．6 D．86．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=4sin（x﹣）B．f（x）=﹣4sin（x+）C．f（x）=﹣4sin（x﹣）D．f（x）=4sin（x+）7．（5分）设O，A，B，M为平面上四点，=+（1﹣λ），λ∈（0，1），则（）A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，B，M四点共线8．（5分）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知函数，其中a，b是常数，若对∀x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），则a+b=（）A．﹣6 B．C．﹣1 D．10．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有刍童，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问：积几何？其意思是说：“今有底面为矩形的屋脊状楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈．问它的体积是多少？”已知一丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如右图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为（）A．5000立方尺 B．5500立方尺 C．6000立方尺 D．6500立方尺11．（5分）已知函数在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A． B．（0，1） C． D．[1，3]12．（5分）在数列{a n}及{b n}中，a n+1=a n+b n+=1．设，则数列{c n}的前n项和为（）A．B．2n+2﹣4 C．3×2n+2n﹣4 D．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（1﹣3x）9的展开式中所有项的系数和为．14．（5分）在直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|，则直线AB的斜率大小是．15．（5分）不等式组的解集是．16．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2都有≥2恒成立，则a的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=cos（﹣B），a=3，c=2．（1）求的值；（2）求tan（﹣B）的值．18．（12分）在数列{a n}中，首项，前n项和为S n，且（1）求数列{a n}的通项（2）如果b n=3（n+1）×2n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是正三角形，△ACP是直角三角形，∠ABP=∠CBP，AB=BP．（1）证明：平面ACP⊥平面ABC；（2）若E为棱PB与P不重合的点，且AE⊥CE，求AE与平面ABC所成的角的正弦值．20．（12分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．21．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．选做题：请在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（m为参数），直线l交曲线C1于A，B两点；以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sin（θ﹣），点P（ρ，）在曲线C2上．（1）求曲线C1的普通方程及点P的直角坐标；（2）若直线l的倾斜角为且经过点P，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．若a＞0，b＞0，且．（I）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2017-2018学年广东省汕头市金山中学高三（上）开学数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z=，则的共轭复数是（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D．+i【解答】解：∵z=，∴z2=（）2=，则=，故的共轭复数是，故选：B2．（5分）设集合A={﹣1，0，a}，B={x|0＜x＜1}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围是（）A．{1}B．（﹣∞，0）C．（1，+∞）D．（0.1）【解答】解：由A={﹣1，0，a}，B={x|0＜x＜1}，又A∩B≠∅，所以a∈B．则实数a的取值范围是（0，1）．故选D．3．（5分）已知，则下列结论正确的是（）A．h（x）=f（x）+g（x）是偶函数B．h（x）=f（x）+g（x）是奇函数C．h（x）=f（x）g（x）是奇函数D．h（x）=f（x）g（x）是偶函数【解答】解：h（x）=f（x）+g（x）=+=，h（﹣x）==﹣=h（x），∴h（x）=f（x）+g（x）是偶函数；h（x）=f（x）g（x）无奇偶性，故选：A．4．（5分）若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形，则该三棱锥与平面α平行的棱有（）A．0条 B．1条 C．2条 D．1条或2条【解答】解：如图所示，四边形EFGH为平行四边形，则EF∥GH，∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD，∵EF⊂平面ACD，平面BCD∩平面ACD=CD，∴EF∥CD，∴CD∥平面EFGH，同理AB∥平面EFGH，故选C．5．（5分）已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为8，则m的值是（）A．±6 B．±8 C．6 D．8【解答】解：根据题意，该双曲线两焦点间的距离为8，即c=4，分2种情况讨论：若双曲线的焦点在x轴上，其方程为，则有，且（1+m）+（|m|﹣1）=16，解可得m=8，若双曲线的焦点在y轴上，其方程为﹣=1，则有，且﹣（1+m）﹣（|m|﹣1）=16，此时无解；即m=8，故选：D．6．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象如图，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=4sin（x﹣）B．f（x）=﹣4sin（x+）C．f（x）=﹣4sin（x﹣）D．f（x）=4sin（x+）【解答】解：由图象可得A=﹣4，==6﹣（﹣2），解得ω=，故函数的解析式可写作f（x）=﹣4sin（x+φ），代入点（6，0）可得0=﹣4sin（+φ），故+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ﹣，又|φ|＜，故当k=1时，φ=，故选B7．（5分）设O，A，B，M为平面上四点，=+（1﹣λ），λ∈（0，1），则（）A．点M在线段AB上B．点B在线段AM上C．点A在线段BM上D．O，A，B，M四点共线【解答】解：∵=+（1﹣λ），λ∈（0，1），∴，∴，因此B，A，M三点共线，即点M在线段AB上．故选A．8．（5分）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：五个人的编号为1，2，3，4，5．由题意，所有事件，共有25=32种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1），（2），（3），（4），（5），（1，3），（1，4），（2，4），（2，5），（3，5），再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况，∴没有相邻的两个人站起来的概率为，故选：C．9．（5分）已知函数，其中a，b是常数，若对∀x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），则a+b=（）A．﹣6 B．C．﹣1 D．【解答】解：若对∀x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，当x≤1时，f（x）=2x+a，由对称性可得，当x＞1时，可得f（x）=f（2﹣x）=2（2﹣x）+a=4+a﹣2x，由x＞1时，可得f（x）=bx﹣2a，即有b=﹣2，4+a=﹣2a，解得a=﹣．则a+b=﹣．故选：D．10．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：今有刍童，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问：积几何？其意思是说：“今有底面为矩形的屋脊状楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈．问它的体积是多少？”已知一丈为10尺，现将该楔体的三视图给出如右图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该楔体的体积为（）A．5000立方尺 B．5500立方尺 C．6000立方尺 D．6500立方尺【解答】解：由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，体积为+×2=5000立方尺，故选A．11．（5分）已知函数在x1处取得极大值，在x2处取得极小值，满足x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A． B．（0，1） C． D．[1，3]【解答】解：f′（x）=x2+ax+b；根据极值的概念知，x1，x2是方程f′（x）=0的两个实数根；∴根据韦达定理得x1+x2=﹣a，x1x2=b；∵x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1）；∴﹣1＜a＜1，﹣1＜b＜0；如图所示：，的几何意义表示平面区域内的点和A（﹣2，﹣1）的直线的斜率，结合图象∈（0，1），故选：B．12．（5分）在数列{a n}及{b n}中，a n+1=a n+b n+=1．设，则数列{c n}的前n项和为（）A．B．2n+2﹣4 C．3×2n+2n﹣4 D．=a n+b n+=1．【解答】解：a n+1a n+1+b n+1=2（a n+b n），令d n=a n+b n，d1=1+1=2则．∴．即a n+b n=2n•b n+1）=（a n+b n）2﹣（a n2+b n2）=2a n•b n（a n+1令a n•b n=e n，e1=1．可得：．∴a n•b n=2n﹣1．则c n=•2n=2n+1．∴c n是首项c1=4，公比q=2的数列．∴数列{c n}的前n项和=2n+2﹣4故选：B．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）二项式（1﹣3x）9的展开式中所有项的系数和为﹣512．【解答】解：令x=1可得：二项式（1﹣3x）9的展开式中所有项的系数和=（﹣2）9=﹣512．故答案为：﹣512．14．（5分）在直角坐标系xoy中，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，且经过点P（1，2）．设点A，B在抛物线C上，直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，|PM|=|PN|，则直线AB的斜率大小是﹣1．【解答】解：由题意设抛物线C的方程为y2=ax（a≠0）．由抛物线C经过点P（1，2），∴22=a×1．得a=4，所以抛物线C的方程为y2=4x．∵|PM|=|PN|，∴∠PMN=∠PNM，∴∠1=∠2，∴直线PA与PB的倾斜角互补，∴k PA+k PB=0．依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为：y﹣2=k（x﹣1）（k≠0），将其代入抛物线C的方程，整理得k2x2﹣2（k2﹣2k+2）x+k2﹣4k+4=0．设A（x1，y1），则x1=，y1=﹣2，∴A．以﹣k替换点A坐标中的k，得B∴k AB==﹣1，故答案为：﹣1．15．（5分）不等式组的解集是（0，）．【解答】解：∵，∴，∴，故不等式组的解集是（0，），故答案为：（0，）．16．（5分）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2都有≥2恒成立，则a的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：；根据恒成立得：恒成立；整理成，x2﹣2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立；∴；∴a≥1；∴a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA=cos（﹣B），a=3，c=2．（1）求的值；（2）求tan（﹣B）的值．【解答】解：（1）∵sinA=cos（B）=sinB，∴A=B，∴b=a=3．∴cosA==，∴=bccosA=3×2×=2．（2）由（1）可得sinA=．∴sinC=sin（π﹣2A）=sin2A=2sinAcosA=，cosC=cos（π﹣2A）=﹣cos2A=sin2A﹣cos2A=，∴tan（）=tan（）=tan（π+C）=tanC==．18．（12分）在数列{a n}中，首项，前n项和为S n，且（1）求数列{a n}的通项（2）如果b n=3（n+1）×2n•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n+1﹣1﹣（2a n﹣1），化为：．又n=1时，，解得a2=，满足．∴数列{a n}是等比数列，首项为，公比为．∴a n=．（2）b n=3（n+1）×2n•a n=（n+1）•3n．∴数列{b n}的前n项和T n=2×3+3×32+4×33+…+（n+1）•3n．∴3T n=2×32+3×33+…+n•3n+（n+1）•3n+1．相减可得：﹣2T n=2×3+32+33+…+3n﹣（n+1）•3n+1=3+﹣（n+1）•3n+1．可得：T n=﹣．19．（12分）如图，三棱锥P﹣ABC中，△ABC是正三角形，△ACP是直角三角形，∠ABP=∠CBP，AB=BP．（1）证明：平面ACP⊥平面ABC；（2）若E为棱PB与P不重合的点，且AE⊥CE，求AE与平面ABC所成的角的正弦值．【解答】（1）证明：∵∠ABP=∠CBP，AB=BP=BC．∴△ABP≌△CBP．∴AP=CP，又△ACP是直角三角形，∴△ACP是等腰直角三角形，∠APC=90°．Q取AC的中点O，连接OP，OB．则OP⊥AC，OB⊥AC．不妨设AC=2．则OP=1，OB=，BP=AB=2．∴OP2+OB2=BP2=4，∴∠BOP=90°．∴OP⊥OB．又OB∩AC=O．∴OP⊥平面ABC．OP⊂平面ACP．∴平面ACP⊥平面ABC．（2）解：在△ABP中，AE⊥BP，∴AE==．可得BE==．在平面BPO内：过点E作EF⊥OB，垂足为点F，则EF⊥平面ABC，连接AF．则∠EAF是AE与平面ABC所成的角．∴，可得EF==．∴sin∠EAF==．20．（12分）设a＞1，函数f（x）=（1+x2）e x﹣a．（1）求f（x）的单调区间；（2）证明f（x）在（﹣∞，+∞）上仅有一个零点；（3）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点M（m，n）处的切线与直线OP平行，（O是坐标原点），证明：m≤﹣1．【解答】解：（1）f′（x）=e x（x2+2x+1）=e x（x+1）2，∴f′（x）≥0，∴f（x）=（1+x2）e x﹣a在（﹣∞，+∞）上为增函数．（2）证明：∵f（0）=1﹣a，a＞1，∴1﹣a＜0，即f（0）＜0，∵f（）=（1+a）﹣a=+a（﹣1），a＞1，∴＞1，﹣1＞0，即f（）＞0，且由（1）问知函数在（﹣∞，+∞）上为增函数，∴f（x）在（﹣∞，+∞）上有且只有一个零点．（3）证明：f′（x）=e x（x+1）2，设点P（x0，y0）则）f'（x）=e x0（x0+1）2，∵y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，∴f′（x0）=0，即：e x0（x0+1）2=0，∴x0=﹣1，将x0=﹣1代入y=f（x）得y0=．∴，∴，要证m≤﹣1，即证（m+1）3≤a﹣，需要证（m+1）3≤e m（m+1）2，即证m+1≤e m，因此构造函数g（m）=e m﹣（m+1），则g′（m）=e m﹣1，由g′（m）=0得m=0．当m∈（0，+∞）时，g′（m）＞0，当m∈（﹣∞，0）时，g′（m）＜0，∴g（m）的最小值为g（0）=0，∴g（m）=e m﹣（m+1）≥0，∴e m≥m+1，∴e m（m+1）2≥（m+1）3，即：，∴m≤．21．（12分）已知椭圆E：+=1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k（k＞0）的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．（Ⅰ）当t=4，|AM|=|AN|时，求△AMN的面积；（Ⅱ）当2|AM|=|AN|时，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4时，椭圆E的方程为+=1，A（﹣2，0），直线AM的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，解得x=﹣2或x=﹣，则|AM|=•|2﹣|=•，由AN⊥AM，可得|AN|=•=•，由|AM|=|AN|，k＞0，可得•=•，整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0无实根，可得k=1，即有△AMN的面积为|AM|2=（•）2=；方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N关于x轴对称，由MA⊥NA．可得直线AM的斜率为1，直线AM的方程为y=x+2，代入椭圆方程+=1，可得7x2+16x+4=0，解得x=﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），则△AMN的面积为××（﹣+2）=；（Ⅱ）直线AM的方程为y=k（x+），代入椭圆方程，可得（3+tk2）x2+2t k2x+t2k2﹣3t=0，解得x=﹣或x=﹣，即有|AM|=•|﹣|=•，|AN|═•=•，由2|AM|=|AN|，可得2•=•，整理得t=，由椭圆的焦点在x轴上，则t＞3，即有＞3，即有＜0，可得＜k＜2，即k的取值范围是（，2）．选做题：请在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程是（m为参数），直线l交曲线C1于A，B两点；以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=4sin（θ﹣），点P（ρ，）在曲线C2上．（1）求曲线C1的普通方程及点P的直角坐标；（2）若直线l的倾斜角为且经过点P，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程是（m为参数），消去m可得x2﹣y2=4，，ρ=2，∴点P的直角坐标为（1，）；（2）直线l的倾斜角为且经过点P，参数方程为，代入x2﹣y2=4，整理可得t2+8t+12=0，设A、B对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=﹣8，t1t2=12，∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=8[选修4-5：不等式选讲]23．若a＞0，b＞0，且．（I）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．。

2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|1＜x2＜4}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x＜2}2．（5分）如果命题“p且q”是假命题，“¬q”也是假命题，则（）A．命题“¬p或q”是假命题B．命题“p或q”是假命题C．命题“¬p且q”是真命题D．命题“p且¬q”是真命题3．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定4．（5分）以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．（x+1）2+y2=1 B．（x﹣1）2+y2=1 C．（x+2）2+y2=4 D．（x﹣2）2+y2=4 5．（5分）“a=3”是“函数f（x）=ax﹣3x有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①④C．②④D．①③7．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A=3，a=1．那么在①处应填（）A．T＞2S？ B．S＞2T？ C．S＜2T？ D．T＜2S？8．（5分）过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A．B．C．D．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，则f（2016）+f（﹣2017）=（）（其中e为自然对数的底）A．1﹣e B．e﹣1 C．﹣1﹣e D．e+110．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14 B．﹣9 C．9 D．1411．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．﹣C．D．﹣12．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．14．（5分）已知α为锐角，向量=（cosα，sinα）、=（1，﹣1）满足=，则sin（α+）=．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为16．（5分）若实数a，b，c满足（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2=0，则|b﹣c|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）在数列{a n}中，a1=4，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．19．（12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式r=，参考数据≈0.55，≈0.95．20．（12分）在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD=EF=CF=2AB=2AD=2，∠DCF=60°，AD⊥平面CDEF．（1）证明：直线CE⊥平面ADF；（2）已知P为棱BC上的点，CP=CB，求二面角P﹣DF﹣A的大小．21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T（t，0），使得•=•？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）=lnx+．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）证明：当a≥时，f（x）＞e﹣x．2017-2018学年广东省汕头市金山中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|1＜x2＜4}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|﹣1＜x＜2}D．{x|﹣1≤x＜2}【解答】解：∵集合A={x|1＜x2＜4}={x|﹣2＜x＜1或1＜x＜2}，B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，∴A∩B={x|1＜x＜2}．故选：A．2．（5分）如果命题“p且q”是假命题，“¬q”也是假命题，则（）A．命题“¬p或q”是假命题B．命题“p或q”是假命题C．命题“¬p且q”是真命题D．命题“p且¬q”是真命题【解答】解：命题“p且q”是假命题，可得p和q至少有一个为假命题，因为“¬q”也是假命题，可得q是真命题，可得p是假命题，A、命题“¬p是真命题，可得命题“¬p或q”是真命题，故A错误；B、因为q是真命题，故命题“p或q”是真命题，故B错误；C、p是假命题，q为真命题，命题“¬p且q”是真命题，故C正确；D、p是假命题，命题“p且¬q”是假命题，故D错误；故选：C．3．（5分）已知数列{a n}为等差数列，其前n项和为S n，2a7﹣a8=5，则S11为（）A．110 B．55 C．50 D．不能确定【解答】解：2a7﹣a8=2（a1+6d）﹣（a1+7d）=a1+5d=a6=5，∴．故选：B．4．（5分）以抛物线y2=8x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为（）A．（x+1）2+y2=1 B．（x﹣1）2+y2=1 C．（x+2）2+y2=4 D．（x﹣2）2+y2=4【解答】解；∵抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），∴所求圆的圆心坐标为（2，0），∵所求圆过坐标原点（0，0），∴其半径为2﹣0=2，∴所求圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，故选：D．5．（5分）“a=3”是“函数f（x）=ax﹣3x有零点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：①充分性：当a=3时，f（x）=3x﹣3x=0，解得x=1，故函数f（x）=3x﹣3x有零点，②因为函数f（x）=ax﹣3x有零点，当a＜0时，函数f（x）单调递减，例如当a=﹣1时，f（x）=﹣x﹣3x，∵f（﹣1）=1﹣=＞0，f（0）=0﹣1=﹣1，∴f（﹣1）•f（0）＜0，∴函数f（x）=﹣x﹣3x有零点，综上可得，“a=3”是“函数f（x）=ax﹣3x有零点”是充分不必要条件，故选：A．6．（5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β．其中正确命题的序号是（）A．②③B．①④C．②④D．①③【解答】解：①当α⊥β，m∥α时，m⊥β不一定成立，所以错误；②利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，故成立；③因为m∥α，则一定存在直线n在β，使得m∥n，又m⊥β可得出n⊥β，由面面垂直的判定定理知，α⊥β，故成立；④m∥α，n∥β，且m∥n，α，β也可能相交，如图所示，所以错误，故选：A．7．（5分）我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺．莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍．为了解决这个新问题，设计右面的程序框图，输入A=3，a=1．那么在①处应填（）A．T＞2S？ B．S＞2T？ C．S＜2T？ D．T＜2S？【解答】解：由题意，S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选：B．8．（5分）过函数图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为（）A．B．C．D．【解答】解：由函数，得f′（x）=x2﹣2x，设函数图象上任一点P（x0，y0），且过该点的切线的倾斜角为α（0≤α＜π），则f′（x）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1≥﹣1，∴tanα≥﹣1，∴0≤α＜或≤α＜π．∴过函数图象上一个动点作函数的切线，切线倾斜角的范围为[0，）∪[，π）．故选：B．9．（5分）已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，则f（2016）+f（﹣2017）=（）（其中e为自然对数的底）A．1﹣e B．e﹣1 C．﹣1﹣e D．e+1【解答】解：∵y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，∴y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，∴函数为奇函数，∵当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，∴f（2016）+f（﹣2017）=f（2016）﹣f（2017）=f（0）﹣f（1）=0﹣（e﹣1）=1﹣e．故选：A．10．（5分）已知Rt△ABC，点D为斜边BC的中点，，，，则等于（）A．﹣14 B．﹣9 C．9 D．14【解答】解：如图，分别以边AC，AB所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，则：；；∴=；∴=，，；∴．故选：D．11．（5分）在平面直角坐标系中，不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，若x，y满足上述约束条件，则z=的最小值为（）A．﹣1 B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵不等式组（r为常数）表示的平面区域的面积为π，∴圆x2+y2=r2的面积为4π，则r=2．由约束条件作出可行域如图，z==1+，而的几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣3，2）连线的斜率．设过P的圆的切线的斜率为k，则切线方程为y﹣2=k（x+3），即kx﹣y+3k+2=0．由，解得k=0或k=﹣．∴z=的最小值为1﹣．故选：D．12．（5分）双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2离心率为e．过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（）A．1+2B．3+2C．4﹣2D．5﹣2【解答】解：设|AF1|=|AB|=m，则|BF1|=m，|AF2|=m﹣2a，|BF2|=m﹣2a，∵|AB|=|AF2|+|BF2|=m，∴m﹣2a+m﹣2a=m，∴4a=m，∴|AF2|=（1﹣）m，∵△AF1F2为Rt三角形，∴|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2∴4c2=（﹣）m2，∵4a=m∴4c2=（﹣）×8a2，∴e2=5﹣2故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．（5分）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．14．（5分）已知α为锐角，向量=（cosα，sinα）、=（1，﹣1）满足=，则sin（α+）=．【解答】解：∵α为锐角，向量=（cosα，sinα）、=（1，﹣1）满足=，∴=cosα﹣sinα=，sin（）=﹣，∴sin（）=﹣，∴sin（α+）=cos（）==．故答案为：．15．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则其外接球的表面积为【解答】解：由已知可得该几何体的是一个以俯视图为底面的三棱锥，其底面是一个边长为2的等腰直角三角形，故底面半径r=，棱锥的高h=，球心在棱锥的高上，且R2=（h﹣R）2+r2，即R=，故外接球的表面积S=4πR2=，故答案为：16．（5分）若实数a，b，c满足（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2=0，则|b﹣c|的最小值是1．【解答】解：∵（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2=0，∴a=2b+1，a=c+lnc．∴2b+1=c+lnc，b=．∴|b﹣c|=，令f（c）=1+c﹣lnc（c＞0），f′（c）=1﹣=，可得：c=1时，函数f（c）取得极小值即最小值，f（1）=2＞0．∴|b﹣c|=≥1，故答案为：1．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17．（10分）在数列{a n}中，a1=4，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前n项和S n．﹣（n+1）a n=2n2+2n．可得：﹣=2，=4．【解答】（1）证明：由na n+1∴数列{}是等差数列，首项为4，公差为2；（2）解：由（1）可得：=4+2（n﹣1）=2n+2．∴a n=2n（n+1）．∴=．∴数列{}的前n项和S n=+…+==．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为．（1）求角C；（2）若△ABC的中线CD的长为1，求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（1）∵由已知及正弦定理可得：=sinC，∴由余弦定理可得：，即，∴由C∈（0，π），可得．（2）由三角形中线长定理得：2（a2+b2）=22+c2=4+c2，由三角形余弦定理得：c2=a2+b2﹣ab，消去c2得：（当且仅当a=b时，等号成立），即．19．（12分）某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y（百斤）与使用某种液体肥料x （千克）之间对应数据为如图所示的折线图．（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）．（若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周周总利润的平均值．附：相关系数公式r=，参考数据≈0.55，≈0.95．【解答】解：（1）由已知数据可得，．…（1分）因为，…（2分）=20…（3分）．…（4分）所以相关系数．…（5分）因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．…（6分）（2）记商家周总利润为y元，由条件可得在过去50周里：当X＞70时，共有10周，此时只有1台光照控制仪运行，周总利润Y=1×3000﹣2×1000=1000元．…（8分）当50≤X≤70时，共有35周，此时有2台光照控制仪运行，周总利润Y=2×3000﹣1×1000=5000元．…（9分）当X＜50时，共有5周，此时3台光照控制仪都运行，周总利润Y=3×3000=9000元．…（10分）所以过去50周周总利润的平均值元，所以商家在过去50周周总利润的平均值为4600元．…（12分）20．（12分）在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD=EF=CF=2AB=2AD=2，∠DCF=60°，AD⊥平面CDEF．（1）证明：直线CE⊥平面ADF；（2）已知P为棱BC上的点，CP=CB，求二面角P﹣DF﹣A的大小．【解答】证明：（1）∵CD∥EF，CD=EF=CF=2，∴四边形CDEF为菱形，∴CE⊥DF，…（1分）又∵AD⊥平面CDEF，∴CE⊥AD，…（2分）又∵AD∩DF=D，∴直线CE⊥平面ADF．…（4分）解：（2）∵∠DCF=60°，∴△DEF为正三角形，取EF的中点G，连接GD，则GD⊥EF，∴GD⊥CD，又AD⊥平面CDEF，∴DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，…（5分）∵CD=EF=CF=2，AB=AD=1，∴E（0，﹣1，），F（0，1，），B（1，1，0），C（0，2，0），…（6分）由（1）知=（0，﹣3，）是平面ADF的法向量，…（7分）=（0，1，），=（1，﹣1，0），==（，0），=（0，2，0），则==（），…（8分）设平面PDF的法向量为=（x，y，z），∴，令z=﹣，得=（﹣6，3，﹣），…（10分）∴cos＜＞===﹣，…（11分）由图知P﹣DF﹣A的平面角是锐角，∴二面角P﹣DF﹣A大小为60°．…（12分）21．（12分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F（1，0），过点F且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P，Q两点，当直线PQ经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°．（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，线段OF上是否存在点T（t，0），使得•=•？若存在，求出实数t的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）根据题意，得c=1；又，所以b2=3，且a2=b2+c2=4，所以椭圆的方程为：；（2）设直线PQ的方程为：y=k（x﹣1），（k≠0），代入，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0；设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为R（x0，y0），则，由得：，所以直线TR为线段PQ的垂直平分线；直线TR 的方程为：，令y=0得：T 点的横坐标，因为k 2∈（0，+∞），所以，所以；所以线段OF 上存在点T （t ，0）， 使得，其中．22．（12分）已知函数f （x ）=lnx +． （1）求函数f （x ）的单调区间； （2）证明：当a ≥时，f （x ）＞e ﹣x ． 【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞）． 由f （x ）的解析式f （x ）=lnx +．得f′（x ）=．分类讨论：①当a ≤0时，f'（x ）＞0恒成立，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增． ②当a ＞0时，则x ∈（0，a ）时，f'（x ）＜0；x ∈（a ，+∞）时，f'（x ）＞0． 所以函数f （x ）在（0，a ）上单调递减，在（a ，+∞）上单调递增． （2）要证明当a ≥时，f （x ）＞e ﹣x ， 即证明当x ＞0，a ≥时，，即xlnx +a ＞xe ﹣x ．令h （x ）=xlnx +a ，则h'（x ）=lnx +1．当0时，f’（x ）＜0；当x时，f’（x ）＞0．所以函数h （x ）在 （0，）上单调递减，在 （）上单调递增．当x=时，h （x ）min =．∴当a ≥时，f （x ）≥a ﹣≥e ﹣1． 令φ（x ）=xe ﹣x ，则φ'（x ）=e ﹣x （1﹣x ）．当0＜x ＜1时，f’（x ）＞0；当x ＞1时，f'（x ）＜0．所以函数φ（x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． 当x=1时，φ（x ）max =e ﹣1．于是，当x ＞0时，φ（x ）≤e ﹣1．②显然，不等式①、②中的等号不能同时成立． 故当a时，f （x ）＞e ﹣x ．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为yxo增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣1＜0}，B=，则A∩B（）A．（﹣∞，2）B．（0，1） C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）2．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（）A．命题：“若y=f（x）是幂函数，则y=f（x）的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件C．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）≥n0”D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题3．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A．B．C．D．4．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺5．（5分）设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．①④D．③④6．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．27．（5分）已知函数f（x）=﹣2|x|+1，定义函数F（x）=，则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调减区间是（）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）10．（5分）在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．11．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]12．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2]C．D．以上均不正确二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）已知向量与夹角为120°，且，则等于．14．（5分）已知数列{a n}满足a n+1=且a1=，则a2016=．15．（5分）若不等式组所表示的平面区域存在点（x0，y0），使x0+ay0+2≤0成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．18．（12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=CD=BC，∠BCD=，△ABD是等边三角形，AC∩BD=E．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．20．（12分）已知动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，直线l：y=kx+t（t＞0）交y轴于点Q．（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l与轨迹E交于A，B两点，分别以A，B为切点作轨迹E的切线交于点P，若||•||sin∠APB=||•||．试判断实数t所满足的条件，并说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0=λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．选做题：请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求实数m的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣1＜0}，B=，则A∩B（）A．（﹣∞，2）B．（0，1） C．（﹣2，2）D．（﹣∞，1）【解答】解：∵A={x|x2﹣1＜0}={x|﹣1＜x＜1}，B=={x|0＜x＜2}，∴A∩B={X|0＜x＜1}，故选：B．2．（5分）下列有关命题的说法中错误的是（）A．命题：“若y=f（x）是幂函数，则y=f（x）的图象不经过第四象限”的否命题是假命题B．设a，b∈R，则“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的充要条件C．命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是“∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）≥n0”D．若p∨q为假命题，则p，q均为假命题【解答】解：A．命题的逆命题是若y=f（x）的图象不经过第四象限，则y=f（x）是幂函数，错误比如函数y=2x的函数图象不经过第四象限，满足条件，但函数f （x）是指数函数，故命题的逆命题是假命题，则命题的否命题也是假命题，故A正确，B．设f（x）=x|x|，则f（x）=，则当x≥0时，函数f（x）为增函数，当x＜0时，函数f（x）为增函数，∵f（0）=0，∴函数f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数，则若a ＞b ，则f （a ）＞f （b ），即a |a |＞b |b |成立，则“a ＞b”是“a |a |＞b |b |”的充要条件，故B 正确，C ．命题“∀n ∈N *，f （n ）∈N *且f （n ）≤n”的否定形式是“∃n 0∈N *，f （n 0）∉N *或f （n 0）＞n 0”，故C 错误，D ．若p ∨q 为假命题，则p ，q 均为假命题，故D 正确故选：C ．3．（5分）已知某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：由由三视图得该几何体的直观图如图：其中矩形ABCD 的边长AD=，AB=2，高PO=1，AO=OB=1， 则PA=PB=，PD=PC===，PH=，则四棱锥的侧面S=S △PAB +S △PAD +S △PCD +S △PBC =2×1+×+2×2+=3+， 故选：B ．4．（5分）《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何．”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（）A．30尺B．90尺C．150尺D．180尺【解答】解：由题意每天织布的数量组成等差数列，在等差数列{a n}中，a1=5，a30=1，∴S30==90（尺）．故选：B．5．（5分）设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．①④D．③④【解答】解：①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β，故正确；②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β，或m⊂β，故错误；③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α，β关系不能确定，故错误；④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n，故正确故选：C．6．（5分）已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，又∃x0∈R，使ax02+2x0+b=0成立，则的最小值为（）A．1 B．C．2 D．2【解答】解：∵已知a＞b，二次三项式ax2+2x+b≥0对于一切实数x恒成立，∴a＞0，且△=4﹣4ab≤0，∴ab≥1．再由∃x0∈R，使+2x0+b=0成立，可得△=0，∴ab=1，∴a＞1．∴==＞0．∴====．令=t＞2，则==（t﹣2）+4+≥4+4=8，故的最小值为8，故的最小值为=2，故选：D．7．（5分）已知函数f（x）=﹣2|x|+1，定义函数F（x）=，则F（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【解答】解：∵函数F（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称，F（x）==，且F（﹣x）==﹣F（x）故函数F（x）是奇函数，故选：A．8．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调减区间是（）A．B．C．D．【解答】解：∵将函数=2sin（﹣）的图象向右平移个单位长度得到函数y=g（x）的图象，∴g（x）=2sin[（x﹣）﹣]=﹣2cos，∴由2kπ+π≤≤2kπ+2π，解得：4kπ+2π≤x≤4kπ+4π，k∈Z，可得函数y=g（x）的单调减区间是：[4kπ+2π，4kπ+4π]，k∈Z，∴当k=﹣1时，函数y=g（x）的一个单调减区间是：[﹣2π，0]，∴由（﹣，﹣）⊂[﹣2π，0]，可得（﹣，﹣）是函数y=g（x）的一个单调减区间．故选：A．9．（5分）函数f（x）=的图象可能是（）A．（1）（3）B．（1）（2）（4）C．（2）（3）（4）D．（1）（2）（3）（4）【解答】解：f（x）=，可取a=0，f（x）==，故（4）正确；∴f′（x）=，当a＜0时，函数f′（x）＜0恒成立，x2+a=0，解得x=±故函数f（x）在（﹣∞，﹣），（﹣，），（，+∞）上单调递减，故（3）正确；取a＞0，f′（x）=0，解得x=±，当f′（x）＞0，即x∈（﹣，）时，函数单调递增，当f′（x）＜0，即x∈（﹣∞，﹣），（，+∞）时，函数单调递减，故（2）正确函数f（x）=的图象可能是（2），（3），（4），故选：C．10．（5分）在菱形ABCD中，A=60°，AB=，将△ABD折起到△PBD的位置，若三棱锥P﹣BCD的外接球的体积为，则二面角P﹣BD﹣C的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC是二面角P﹣BD﹣C的平面角，PE=CE=，三棱锥P﹣BCD的外接球的半径为R，则，解得R=，设△BCD的外接圆的圆心F与球心O的距离为OF=h，则CF==1，则R2=1+h2，即，解得h=，过P作PG⊥平面BCD，交CE延长线于G，过O作OH∥CG，交PG于H，则四边形HGFO是矩形，且HG=OF=h=，PO=R=，∴，解得GE=，PH=，∴PG=，CG=，∴PC==，∴cos∠PEC==﹣，∴sin∠PEC==．∴二面角P﹣BD﹣C的正弦值为．故选：C．11．（5分）对于函数f（x）和g（x），设α∈{x∈R|f（x）=0}，β∈{x∈R|g（x）=0}，若存在α、β，使得|α﹣β|≤1，则称f（x）与g（x）互为“零点关联函数”．若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，则实数a的取值范围为（）A． B． C．[2，3]D．[2，4]【解答】解：函数f（x）=e x﹣1+x﹣2的零点为x=1．设g（x）=x2﹣ax﹣a+3的零点为β，若函数f（x）=e x﹣1+x﹣2与g（x）=x2﹣ax﹣a+3互为“零点关联函数”，根据零点关联函数，则|1﹣β|≤1，∴0≤β≤2，如图．由于g（x）=x2﹣ax﹣a+3必过点A（﹣1，4），故要使其零点在区间[0，2]上，则g（0）×g（2）≤0或，解得2≤a≤3，故选：C．12．（5分）设，若对任意的正实数x，y，都存在以a，b，c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是（）A．（1，3） B．（1，2]C．D．以上均不正确【解答】解：对于正实数x，y，由于≥=，c=x+y≥2，，且三角形任意两边之和大于第三边，∴+2＞，且+＞2，且+2＞．解得1＜p＜3，故实数p的取值范围是（1，3），故选：A．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．（5分）已知向量与夹角为120°，且，则等于 4 ．【解答】解：∵|a +b |==∴9+|b |2+2×3×|b |×（﹣）=13 ∴|b |=4或|b |=﹣1（舍） 故答案为：414．（5分）已知数列{a n }满足a n +1=且a 1=，则a 2016= ．【解答】解：∵a n +1=且a 1=，则a 2=2a 1﹣1=，a 3=2a 2=，a 4=2a 3=，a 5=2a 4﹣1=，…， 可得：a n +4=a n ． ∴a 2016=a 503×4+4=a 4=． 故答案为：．15．（5分）若不等式组所表示的平面区域存在点（x 0，y 0），使x 0+ay 0+2≤0成立，则实数a 的取值范围是 （﹣∞，﹣1] ． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：若a=0，则不等式x +ay +2≤0等价为x ≤﹣2，此时不满足条件，若a ＞0，则不等式等价为y ≤﹣x ﹣，直线y=﹣x ﹣的斜率k=﹣＜0，此时区域都在直线y=﹣x ﹣的上方，不满足条件．若a ＜0，则不等式等价为y ≥﹣x ﹣，直线y=﹣x ﹣的斜率k=﹣＞0，若平面区域存在点（x0，y0），使x0+ay0+2≤0成立，则只要满足点A（0，2）满足条件不等式此时区域都在直线y=﹣x﹣的上方即可．即0+2a+2≤0，解得a≤﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1]．16．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2cos2=sinA，sin（B﹣C）=4cosBsinC，则=1+．【解答】解：在△ABC中，∵2cos2=sinA，∴1+cosA=sinA，∴1+2cosA+cos2A=sin2A=cos2A．∴cos2A+cosA+=0，解得cosA=﹣或cosA=﹣1（舍）．∴=﹣，∴a2=b2+c2+bc．∵sin（B﹣C）=4cosBsinC，∴sinBcosC=5cosBsinC．即bcosC=5ccosB．∴b×=5c×，即2a2+3c2﹣3b2=0．把a2=b2+c2+bc代入上式得2（b2+c2+bc）+3c2﹣3b2=0，即5c2﹣b2+2bc=0．∴﹣（）2+2+5=0，解得=1+或=1﹣（舍）．故答案为：1+．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcosC+c=2a．（1）求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=，BD=，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，∴代入已知等式得：，整理得：a2+c2﹣b2=ac，∴，∵B∈（0，π），∴；（2）在△ABC中，cosA=，∴sinA=，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=×+×=，∴，设b=7x，c=5x，∵BD为AC边上的中线，BD=，由余弦定理，得BD2=AB2+AD2﹣2AB•ADcosA，∴=25x2+×49x2﹣2×5x××7x×解得x=1，∴b=7，c=5，=bcsinA=×7×5×=10．∴S△ABC18．（12分）为增强市民的节能环保意识，郑州市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区是：[20，25]，[25，30]，[30，35]，[35，40]，[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值，并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40]岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴500名志愿者中，年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）（Ⅱ）用分层抽样的方法，从中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，故X的可能取值为0，1，2，3.，，，．故X的分布列为所以．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD中，平面PCD⊥平面ABCD，且PD=PC=CD=BC，∠BCD=，△ABD是等边三角形，AC∩BD=E．（1）证明：PC⊥平面PAD；（2）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值．【解答】解：（1）在△BCD中，∠BCD=120°，CD=BC，所以∠BDC=∠CBD=30°，又△ABD是等边三角形，所以∠ADB=60°，所以∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，即AD ⊥DC，又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以AD⊥平面PCD，故AD⊥PC．在△PCD中，，所以PD⊥PC．又因为AD∩PD=D，所以PC⊥平面PAD…（6分）（2）解法一：如图，取CD的中点H，连接PH．则在等腰Rt△PDC中，PH⊥DC．又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PH⊥平面ABCD．过点D作PH的平行线l，则l⊥平面ABCD．由（1）知AD⊥DC，故以D为坐标原点O，以直线DA、DC、l分别作为x轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系．设DC=2，则在Rt△PDC中，，PH=1．又在△BCD中，CD=BC，∠BCD=120°，所以BD2=CD2+CB2﹣2CD•CBcos∠BCD=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，故．又因为△ABD是等边三角形，所以．所以P（0，1，1），，C（0，2，0），，即．所以，，．设平面PAB的法向量为，则由，得．令，得y=1，z=5．故为平面PAB的一个法向量．因为PH⊥平面ABCD，故为平面ABCD的一个法向量．故．设二面角P﹣AB﹣C为θ，则由图可知，所以…（12分）解法二：，取CD的中点H，连接PH，连接HE并延长，交AB于F，连接PF．则在等腰Rt△PDC中，PH⊥DC．又因为平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，所以PH⊥平面ABCD．设DC=2，则在Rt△PDC中，，PH=1．又在△BCD中，CD=BC，∠BCD=120°，所以BD2=CD2+CB2﹣2CD•CBcos∠BCD=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，故．△BCD中，DE=EB，DH=HC，所以EH∥BC，且．故∠HED=∠CBD=30°，又∠BEF=∠HED，且∠DBA=60°，所以∠DBA+∠BEF=90°，故EF⊥AB．又因为PH⊥平面ABCD，由三垂线定理可得PF⊥AB，所以∠PFH为二面角P﹣AB﹣C的平面角．在Rt△BEF中，，所以．故．所以在Rt△PHF中，，故．∴二面角P﹣AB﹣C的余弦值为…（12分）20．（12分）已知动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，直线l：y=kx+t（t＞0）交y轴于点Q．（1）求动圆圆心的轨迹E的方程；（2）直线l与轨迹E交于A，B两点，分别以A，B为切点作轨迹E的切线交于点P，若||•||sin∠APB=||•||．试判断实数t所满足的条件，并说明理由．【解答】解：（1）设动圆圆心的坐标为（x，y），半径r，（r＞0），∵动圆过定点R（0，2），且在x轴上截得线段MN的长为4，∴，消去r得x2=4y，故所求轨迹E的方程为x2=4y；（2）实数t是定值，且t=1，下面说明理由，不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，P（x0，y0），由题知Q（0，1），由，消去y得x2﹣4kx﹣4t=0，∴，轨迹E在A点处的切线方程为l1：y﹣y1=（x﹣x1），即y=x ﹣，同理，轨迹E在B处的切线方程为l1：y=x﹣，联立l1，l2：的方程解得交点坐标P（，），即P（2k，﹣t），，由||•||sin∠APB=||•||=2S△APB得⊥，即•=0，=（﹣2k，2t），=（x2﹣x1，），∴﹣2k（x2﹣x1）+2t•=0，即2k（x2﹣x1）（t﹣1）=0，则2k（t﹣1）=0，则t=1，故实数t是定值，且t=1．21．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）有两个零点x1，x2．（1）求a的取值范围；（2）是否存在实数λ，对于符合题意的任意x1，x2，当x0=λx1+（1﹣λ）x2＞0时均有f′（x0）＜0？若存在，求出所有λ的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）f′（x）=a+（x＞0），当a≥0时，f′（x）＞0对x＞0恒成立，与题意不符，当a＜0，f′（x）=a+=，∴0＜x＜﹣时，f′（x）＞0；x＞﹣时f′（x）＜0，即函数f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递减，∵x→0和x→+∞时均有f（x）→﹣∞，∴f（﹣）=﹣1+ln（﹣）＞0，解得：﹣＜a＜0，综上可知：a的取值范围（﹣，0）；（2）由（1）可知f′（x0）＜0⇔x0＞﹣（﹣＜a＜0），由x1，x2的任意性及f′（x1）•f′（x2）＜0知，λ≠0，且λ≠1，∴a=﹣，故x0=λx1+（1﹣λ）x2＞，又∵λ+（1﹣λ）＞，令t=，则t＞0，t≠1，且λ+（1﹣λ）t＞＞0恒成立，令g（t）=lnt﹣（t＞0），而g（﹣1）=0，∴t＞1时，g（t）＞0，0＜t＜1时，g（t）＜0．（*）∴g′（t）=﹣=，令μ=，若μ＜1，则μ＜t＜1时，g′（t）＜0，即函数在（μ，1）单调递减，∴g（t）＞g（1）=0，与（*）不符；若μ＞1，则1＜t＜μ时，g′（t）＜0，即函数g（t）在（1，μ）单调递减，∴g（t）＜g（1）=0，与（*）式不符；若μ=1，解得λ=，此时g′（t）≥0恒成立，（g′（t）=0⇔t=1），即函数g（t）在（0，+∞）单调递增，又g（1）=0，∴t＞1时，g（t）＞0；0＜t＜1时，g（t）＜0符合（•）式，综上，存在唯一实数λ=符合题意．选做题：请考生在22，23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，已知圆C的圆心坐标为（2，0），半径为，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．，直线l的参数方程为：（t为参数）．（1）求圆C和直线l的极坐标方程；（2）点P的极坐标为（1，），直线l与圆C相交于A，B，求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（1）圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=2，代入圆C得：（ρcosθ﹣2）2+ρ2sin2θ=2化简得圆C的极坐标方程：ρ2﹣4ρcosθ+2=0…（3分）由得x+y=1，∴l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1…（5分）（2）由得点P的直角坐标为P（0，1），∴直线l的参数的标准方程可写成…（6分）代入圆C得：化简得：，∴，∴t1＜0，t2＜0…（8分）∴…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|﹣m（m∈R）．（Ⅰ）当m=﹣4时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若存在x0∈R，使得f（x0）≥﹣4，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当m=﹣4时，，∴函数f（x）在（﹣∞，3]上是增函数，在（3，+∞）上是减函数，所以f（x）=f（3）=2．max（Ⅱ），即，令g（x）=x﹣|x+2|﹣|x﹣3|+4，则存在x0∈R，使得g（x0）≥成立，∴，即，∴当m＞0时，原不等式为（m﹣1）2≤0，解得m=1，当m＜0时，原不等式为（m﹣1）2≥0，解得m＜0，综上所述，实数m的取值范围是（﹣∞，0）∪{1}．。

广东省汕头市金山中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合，，则M∩N=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]2．（5分）已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数周期为π，其图象的一条对称轴是x=，则此函数的解析式可以为（）A．y=sin（+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x﹣）4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．⊥5．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）6．（5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．3B．2C．D．17．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）8．（5分）设向量=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积：⊗=（a1，a2）⊗（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知向量=（，4），=（，0），点P在y=cosx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）在区间[，]上的最大值是（）A．4B．2C．D．二、填空题：（本大题共5小题，作答6小题，每小题5分，共30分.）必做题（9～13题）9．（5分）函数y=的定义域为．10．（5分）图中阴影部分的面积等于．11．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是．12．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．13．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．二.选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则∠PAB=．（坐标系与参数方程选做题）15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M 到曲线C上的点的距离的最小值．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+ϕ0 π2πAsin（ωx+ϕ）0 0 ﹣0（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g （x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a 的最小值．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t≥，求u=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f（u+t）的最值．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣4n+4，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，令b n=，T n=b121+b222+b323+…+b n2n，求T n；（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i•c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令c n=1﹣（n为正整数），求数列{c n}的变号数．20．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．21．（14分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．广东省汕头市金山中学2017-2018学年高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合，，则M∩N=（）A．（﹣1，+∞）B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2]考点：指数函数的单调性与特殊点；交集及其运算；其他不等式的解法．专题：计算题．分析：由题意，可先化简两个集合，得，，再由交集的运算求出交集，即可选出正确答案．解答：解：由题意，，∴M∩N={x|﹣1≤x＜2}∩{x|x＞﹣1}=（﹣1，2），故选C．点评：本题考查求集合的交，解分式不等式，指数不等式，解题的关键是正确化简两个集合及理解交的运算．2．（5分）已知α，β角的终边均在第一象限，则“α＞β”是“sinα＞sinβ”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：取特值验证可得α＞β不是sinα＞sinβ的充分条件；α＞β不是sinα＞sinβ的必要条件，所以α＞β是sinα＞sinβ的即不充分也不必要条件．解答：解：由题意得当α=390°，β=60°时有sinα＜sinβ所以α＞β不是sinα＞sinβ的充分条件．当sinα=，sinβ=时因为α，β角的终边均在第一象限所以不妨取α=60°，β=390°所以α＞β不是sinα＞sinβ的必要条件．因此α＞β是sinα＞sinβ的即不充分也不必要条件．故选D．点评：本题以判断是否是充要条件作为考查工具考查三角函数的知识点，由于本题是选择题因此可以利用特值的方法判断．特值法是做选择题时一种快速灵活简便的方法．3．（5分）函数周期为π，其图象的一条对称轴是x=，则此函数的解析式可以为（）A．y=sin（+）B．y=sin（2x+）C．y=sin（2x﹣）D．y=sin（2x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：通过函数的周期排除A，利用图象的一条对称轴是x=，验证函数是否取得最值得到选项即可．解答：解：∵函数的周期为π，∴ω=2，A不正确；函数的图象的一条对称轴是x=，∴2x﹣=，y=sin（2x﹣）取得最大值，故选：D．点评：本题考查三角函数的基本性质的应用，基本知识的考查．4．（5分）设、都是非零向量，下列四个条件中，一定能使+=成立的是（）A．=﹣B．∥C．=2D．⊥考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据向量共线定理，可得若+=成立，则向量、共线且方向相反，对照各个选项并结合数乘向量的含义，可得本题答案．解答：解：由+=得若=﹣=，即，则向量、共线且方向相反，因此当向量、共线且方向相反时，能使+=成立，对照各个选项，可得B项中向量、的方向相同或相反，C项中向量向量、的方向相同，D项中向量、的方向互相垂直．只有A项能确定向量、共线且方向相反．故选：A点评：本题考查了数乘向量的含义与向量共线定理等知识，属于基础题．5．（5分）方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，e）D．（3，4）考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：令f（x）=ln（x+1）﹣，得出f（1）f（2）＜0，从而得出答案．解答：解：令f（x）=ln（x+1）﹣，而f（1）=ln2﹣2＜0，f（2）=ln3﹣1＞0，∴方程ln（x+1）﹣=0，（x＞0）的根存在的大致区间是（1，2），故选：B．点评：他考查了函数的零点问题，特殊值代入是方法之一，本题属于基础题．6．（5分）已知向量、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=（）A．3B．2C．D．1考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：将|2﹣|=平方，然后将夹角与||=1代入，得到||的方程，解方程可得．解答：解：因为、的夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，所以42﹣4•+2=10，即||2﹣2||﹣6=0，解得||=3或||=﹣（舍），故选A．点评：本题解题的关键是将模转化为数量积，从而得到所求向量模的方程，利用到了方程的思想．7．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．解答：解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8．（5分）设向量=（a1，a2），=（b1，b2），定义一种向量积：⊗=（a1，a2）⊗（b1，b2）=（a1b1，a2b2）．已知向量=（，4），=（，0），点P在y=cosx的图象上运动，点Q在y=f（x）的图象上运动，且满足（其中O为坐标原点），则y=f（x）在区间[，]上的最大值是（）A．4B．2C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：设=（x0，y0），=（x，y），由题意可得y0=cosx0，再把=（x，y）=+，化简为（，4y0），可得x0=2x﹣，y0=y．故有y=4cos（2x﹣），再根据余弦函数的定i义域和值域求得y=f（x）在区间[，]上的最大值．解答：解：设=（x0，y0），=（x，y），由题意可得y0=cosx0，=（x，y）=+=+（，0）=（，4y0）+（，0）=（，4y0），即x=，y=4y0；即x0=2x﹣，y0=y．∴y=cos（2x﹣），y=4cos（2x﹣）．∵点Q在y=f（x）的图象上运动，∴f（x）=4cos（2x﹣）．当时，，∴当时，f（x）取得最大值为4，故选：A．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．二、填空题：（本大题共5小题，作答6小题，每小题5分，共30分.）必做题（9～13题）9．（5分）函数y=的定义域为（2，+∞）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．解答：解：要使函数f（x）有意义，则log2x﹣1＞0，即log2x＞1，解得x＞2，故函数的定义域为{x|x＞2}，故答案为：{x|x＞2}或（2，+∞）点评：本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．10．（5分）图中阴影部分的面积等于1．考点：定积分．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据题意，所求面积为函数3x2在区间[0，1]上的定积分值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．解答：解：根据题意，该阴影部分的面积为=x3=（13﹣03）=1故答案为：1点评：本题求曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．11．（5分）已知是R上的减函数，则a的取值范围是．考点：对数函数的单调性与特殊点；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h （x）=log a x在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1），代入解不等式可求a的范围解答：解：由函数f（x）为单调递减函数可得，g（x）=（3a﹣1）x+4a在（﹣∞，1]，函数h（x）=log a x在（1，+∞）单调递减，且g（1）≥h（1）∴∴故答案为：点评：本题主要考查了分段函数的单调性的应用，解题的关键主要应用一次函数与对数函数的单调性，要注意在端点值1处的处理．12．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若=，则的值是．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，做出要用的向量的模长，表示出要求得向量的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于0，得到结果．解答：解：∵，====||=，∴||=1，||=﹣1，∴=（）（）==﹣=﹣2++2=，故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积的运算．本题解题的关键是把要用的向量表示成已知向量的和的形式，本题是一个中档题目．13．（5分）已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若在区间（0，1）内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式恒成立，则实数a的取值范围是[15，+∞）．考点：不等式；函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：由于表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，故函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故有f′（x）=﹣2x＞1 在（1，2）内恒成立，即a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立，由此求得a的取值范围．解答：解：由于表示点（p+1，f（p+1））与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，因实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．∵不等式恒成立，∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．由函数的定义域知，x＞﹣1，∴f′（x）=﹣2x＞1 在（1，2）内恒成立．即a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，故x=2时，y=2x2+3x+1 在[1，2]上取最大值为15，∴a≥15，故答案为[15，+∞）．点评：本题考查斜率公式的应用，函数的恒成立问题，以及利用函数的单调性求函数的最值．二.选做题（14、15题，只能从中选做一题，两题都选只计算14题得分）（几何证明选讲选做题）14．（5分）如图，PA是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，PA=，PB=1，则∠PAB=30°．考点：与圆有关的比例线段；弦切角．专题：选作题；立体几何．分析：连接OA，则OA⊥PA，利用切割线定理，求出PO，OA，即可求出∠PAB．解答：解：连接OA，则OA⊥PA．∵PA是圆O的切线，∴PA2=PB•PC，∵PA=，PB=1，∴PC=3，∴PO=2，OA=1，∴sin∠PAB=，∴∠PAB=30°．故答案为：30°．点评：本题考查切割线定理，考查学生的计算能力，属于基础题．（坐标系与参数方程选做题）15．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为（α为参数）．求点M 到曲线C上的点的距离的最小值5﹣．考点：简单曲线的极坐标方程；圆的参数方程．专题：计算题．分析：利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把点M的坐标化为直角坐标，进而即可求出直线OM的方程；再把曲线C的参数方程化为化为普通方程，再利用|MA|﹣r即可求出最小值．解答：解：由曲线C的参数方程（α为参数），化成普通方程为：（x﹣1）2+y2=2，圆心为A（1，0），半径为r=，由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离的最小值为|MA|．故答案为：5﹣．点评：充分利用极坐标与普通方程的互化公式及点M到曲线（圆）C上的点的距离的最小值为|MA|﹣r是解题的关键．三、解答题：（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：x x1x2x3ωx+ϕ0 π2πAsin（ωx+ϕ）0 0 ﹣0（Ⅰ）请写出上表的x1、x2、x3，并直接写出函数的解析式；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g （x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得ω、φ的值，得到函数解析式，进一步求得x1、x2、x3；（Ⅱ）由函数图象平移求得，求出最高点和最低点的坐标，进一步求出三角形OPQ的边长，由余弦定理求得∠OQP的大小．解答：解：（Ⅰ）由表可知，+φ=，+φ=，解得，ω=，φ=．由x1+=0、x2+=π、x3+=2π，得，，．∴；（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移个单位得到函数，∵P、Q分别为该图象的最高点和最低点，∴．∴OP=2，PQ=4，，∴．∴．点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，考查了余弦定理的应用，训练了五点作图法，是中档题．17．（12分）设函数．（Ⅰ）求f（x）的最大值，并写出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若．求a 的最小值．考点：余弦定理；三角函数的化简求值；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）把函数解析式第一项利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并整理后，再利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，由余弦函数的值域得到余弦函数的最大值为1，可得出函数f（x）的最大值，并根据余弦函数的图象与性质得出此时x的范围，即可确定出使f（x）取最大值是x的集合；（Ⅱ）由f（B+C）=，将B+C代入第一问化简后的式子中，利用诱导公式化简后得到cos （2A﹣）的值，由A为三角形的内角，得出2A﹣的范围，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出cosA的值，再利用余弦定理表示出a2=b2+c2﹣2bccosC，利用完全平方公式化简后，将b+c及cosC的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，可得出a的最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=cos（2x﹣）+2cos2x=（cos2xcos+sin2xsin）+（1+cos2x）=cos2x﹣sin2x+1=cos（2x+）+1，（3分）∵﹣1≤cos（2x+）≤1，即cos（2x+）最大值为1，∴f（x）的最大值为2，（4分）要使f（x）取最大值，cos（2x+）=1，即2x+=2kπ（k∈Z），解得：x=kπ﹣（k∈Z），则x的集合为{x|x=kπ﹣（k∈Z）}；（6分）（Ⅱ）由题意，f（B+C）=cos[2（B+C）+]+1=，即cos（2π﹣2A+）=，化简得：cos（2A﹣）=，（8分）∵A∈（0，π），∴2A﹣∈（﹣，），则有2A﹣=，即A=，（10分）在△ABC中，b+c=2，cosA=，由余弦定理，a2=b2+c2﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=4﹣3bc，（12分）由b+c=2知：bc≤=1，当且仅当b=c=1时取等号，∴a2≥4﹣3=1，则a取最小值1．（14分）点评：此题考查了余弦定理，三角函数的化简求值，余弦函数的图象与性质，基本不等式，两角和与差的余弦函数公式，二倍角的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．18．（14分）已知函数f（x）=x2﹣ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）图象与x轴异于原点的交点M处的切线为l1，g（x﹣1）与x轴的交点N处的切线为l2，并且l1与l2平行．（1）求f（2）的值；（2）已知实数t≥，求u=xlnx，x∈[1，e]的取值范围及函数y=f（u+t）的最值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）分别求出f（x）、g（x﹣1）的导数，由l1与l2平行，得它们的斜率相等，即有切线的斜率相等，得到a的方程，解出a，即可得到f（2）；（2）u=xlnx，当x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，则u在[1，e]单调递增，即可得到取值范围；又化简y=f（u+t）=u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，考虑与区间的关系抛，由t有u=≤0，即函数在[0，e]上单调递增，即可得到最值．解答：解：（1）y=f（x）图象与x轴异于原点的交点M（a，0），f′（x）=2x﹣a，y=g（x﹣1）=ln（x﹣1）图象与x轴的交点N（2，0），g′（x﹣1）=，由题意可得l1，l2的斜率相等，即，则a=1，∴f（x）=x2﹣x，f（2）=22﹣2=2；（2）u=xlnx，当x∈[1，e]时，u′=lnx+1＞0，∴u=xlnx在[1，e]单调递增，则u的取值范围是：0≤u≤e；又y=f（u+t）=u2+（2t﹣1）u+t2﹣t图象的对称轴u=，抛物线开口向上，由t有u=≤0，即函数在[0，e]上单调递增；y min=y|u=0=t2﹣t，，综上：当t时，；．点评：本题考查导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率，考查运用导数判断单调性，以及应用单调性求最值，同时考查两直线的位置关系以及运算能力，属于中档题．19．（14分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2﹣4n+4，（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}中，令b n=，T n=b121+b222+b323+…+b n2n，求T n；（3）设各项均不为零的数列{c n}中，所有满足c i•c i+1＜0的正整数i的个数称为这个数列{c n}的变号数．令c n=1﹣（n为正整数），求数列{c n}的变号数．考点：数列的求和；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用a n与s n的关系求通项公式；（2）由题意得b n=n，，利用错位相减法求和；（3）根据变好数的定义，列出不等式求解即可．解答：解：（1）∵，∴S1=1…（1分）又当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣5…（3分）所以…（4分）（2）∵，∴b n=n，…（5分）…（6分），∴…（9分）（3）解法一：由题设…（10分）∵n≥3时，，∴n≥3时，数列{c n}递增…（12分）∵，由，可知a4•a5＜0，即n≥3时，有且只有1个变号数；又∵c1=﹣3，c2=5，c3=﹣3，即c1•c2＜0，c2•c3＜0，∴此处变号数有2个．…（13分）综上，数列{c n}共有3个变号数，即变号数为3．…（14分）解法二：由题设…（10分）n≥2时，令；又∵c1=﹣3，c2=5，∴n=1时也有c1•c2＜0．…（13分）综上得：数列{c n}共有3个变号数，即变号数为3．…（14分）点评：本题主要考查求数列的通项公式、前n项和知识，考查公式法及错位相减法的运用能力和学生的运算求解能力，综合性强，属于难题．20．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n，交l于点A，交⊙M于另一点B，且AO=OB=2．（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；（Ⅲ）过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．考点：圆锥曲线的综合；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；压轴题．分析：（I）根据可求出p的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出⊙M的方程；（II）先表示出然后根据点在抛物线上将y消去，求关于x 的二次函数的最小值即可；（III）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦，设点Q（﹣1，t），根据QS2=QM2﹣4=t2+5，求出直线ST的方程，使直线与t无关，可求出定点坐标．解答：解：（Ⅰ）因为，即p=2，所以抛物线C的方程为y2=4x（2分）设⊙M的半径为r，则，所以⊙M的方程为（x﹣2）2+y2=4（5分）（Ⅱ）设P（x，y）（x≥0），则=x2﹣3x+2+y2=x2+x+2（8分）所以当x=0时，有最小值为2（10分）（Ⅲ）以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦（11分）设点Q（﹣1，t），则QS2=QM2﹣4=t2+5，所以⊙Q的方程为（x+1）2+（y﹣t）2=t2+5（13分）从而直线ST的方程为3x﹣ty﹣2=0（*）（14分）因为一定是方程（*）的解，所以直线ST恒过一个定点，且该定点坐标为（16分）点评：本题主要考查了圆的方程和抛物线方程，以及向量数量积的最值和直线恒过定点问题，是一道综合题，有一定的难度．21．（14分）已知函数f（x）=x2+a（x+lnx），x＞0，a∈R是常数．（1）求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数y=f（x）图象上的点都在第一象限，试求常数a的取值范围；（3）证明：∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：计算题；证明题；分类讨论；导数的综合应用．分析：（1）求出函数f（x）的导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到切线方程；（2）讨论a=0，a＞0，a＜0，运用对数函数的性质，以及分离参数，构造函数应用导数求极值、最值，即可得到a的范围；（3）设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，计算g（1），g（e），讨论当a＞e（e﹣1）2或时，由零点存在定理，即可得证；当时，求出g（x）的最小值，判断它小于0，再由零点存在定理，即可得证．解答：（1）解：函数f（x）=x2+a（x+lnx）的导数f′（x）=2x+a（1+），f（1）=1+a，f′（1）=2+2a，则函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线为y﹣（1+a）=（2+2a）（x﹣1），即y=（1+a）（2x﹣1）；（2）解：①a=0时，f（x）=x2，因为x＞0，所以点（x，x2）在第一象限，依题意，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0；②a＞0时，由对数函数性质知，x∈（0，1）时，lnx∈（﹣∞，0），alnx∈（﹣∞，0），从而“∀x＞0，f（x）=x2+a（x+lnx）＞0”不成立；③a＜0时，由f（x）=x2+a（x+lnx）＞0得，设，g′（x）=+，x （0，1） 1 （1，+∞）g′（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗则g（x）≥g（1）=﹣1，从而，﹣1＜a＜0；综上所述，常数a的取值范围﹣1＜a≤0．（3）证明：直接计算知，设函数g（x）=f′（x）﹣=2x﹣（e+1）+﹣，，，当a＞e（e﹣1）2或时，＜0，因为y=g（x）的图象是一条连续不断的曲线，所以存在ξ∈（1，e），使g（ξ）=0，即ξ∈（1，e），使f′（ξ）=；当时，g（1）、g（e）≥0，而且g（1）、g（e）之中至少一个为正，由均值不等式知，，等号当且仅当时成立，所以g（x）有最小值，且，此时存在ξ∈（1，e）（或），使g（ξ）=0．综上所述，∀a∈R，存在ξ∈（1，e），使f′（ξ）=．点评：本题考查导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，同时考查函数的零点存在定理，以及分类讨论的思想方法，属于综合题．。

2017-2018学年广东省汕头市金山中学高三（上）摸底数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，则A∩B=（）A．{（1，2）} B．（1，2）C．{1，2} D．{（1，2），（﹣1，﹣2）}2．如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6 B．C．D．23．已知p：在△ABC中，若AB＜BC，则sinC＜sinA；q：已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的必要不充分条件．在p∧q，p∨q，（￢p）∨q，（￢p）∧q中，真个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（）A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6} 5．已知数列{a n}，{b n}，满足a1=b1=3，a n+1﹣a n==3，n∈N*，若数列{c n}满足c n=b，则c2017=（）A．92016B．272016 C．92017D．2720176．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（）A．2 B．C．D．37．已知，为同一平面内的两个向量，且=（1，2），||=||，若+2与2﹣垂直，则与的夹角为（）A．0 B．C．D．π8．已知函数g（x）=2cos2x，若在区间上随机取一个数x，则事件“g（x）≥”发生的概率为（）A．B．C．D．9．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种10．已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式f（y﹣3）+f（）=0恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．11．已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2 C．D．12．若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，） D．（1，+∞）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．求值（+x）dx= ．14．如果（3x ﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是．15．已知正三角形ABC边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C 间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为．16．已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a ，则的取值范围是．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．（1）写出cosA与cosQ的关系式；（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．18．（12分）某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：K2=．19．（12分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C ⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC 的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．20．（12分）已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M 的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得•为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xe tx﹣e x+1，其中t∈R，e是自然对数的底数．（Ⅰ）若方程f（x）=1无实数根，求实数t的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）内为减函数，求实数t的取值范围．选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD 交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（sinθ+cosθ+）．（1）写出曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB的面积的最大值．24．已知函数f（x）=|x﹣a|+|x+1|（1）若a=2，求函数f（x）的最小值；（2）如果关于x的不等式f（x）＜2的解集不是空集，求实数a的取值范围．2016-2017学年广东省汕头市金山中学高三（上）摸底数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2016•衡水校级模拟）已知集合A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，则A∩B=（）A．{（1，2）} B．（1，2）C．{1，2} D．{（1，2），（﹣1，﹣2）}【考点】交集及其运算．【专题】方程思想；定义法；集合．【分析】根据集合交集的定义转化求方程组的公共解即可．【解答】解：∵A={（x，y）|y=x+1}，B={（x，y）|y=4﹣2x}，∴A∩B={（x，y）|}={（x，y）|}={（1，2）}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义转化求方程组的公共解是解决本题的关键．2．（2016•太原三模）如果复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．﹣6 B． C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】先将复数化简，确定其实部和虚部，利用实部和虚部互为相反数，可求b的值．【解答】解：由题意，==∵复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数∴∴b=，故选：C．【点评】本题以复数为载体，考查复数的化简，考查复数的基本概念，属于基础题．3．（2016•朔州校级三模）已知p：在△ABC中，若AB＜BC，则sinC＜sinA；q：已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的必要不充分条件．在p∧q，p∨q，（￢p）∨q，（￢p）∧q中，真个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复合的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】首先分别分析两个的真假，然后根据复合真假的判断选择．【解答】解：p：在△ABC中，若AB＜BC，则sinC＜sinA；根据正弦定理得到p是真；q：已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的必要不充分条件；由a＞1⇒；推不出a＞1，因为a可能小于0；故q是假；所以p∧q是假，p∨q是真，（￢p）∨q是假，（￢p）∧q是假，故在p∧q，p∨q，（￢p）∨q，（￢p）∧q中，真个数为1个；故选：A．【点评】本题考查了复合真假的判断；首先要正确判断两个的真假；然后根据复合真假的判定方法解答．4．（2016•张家口模拟）执行如图所示的程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值的集合是（）A．{1，2，3，4，5} B．{1，2，3，4，5，6} C．{2，3，4，5} D．{2，3，4，5，6} 【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，构造关于a的不等式组，解不等式组可得正整数a的可能取值的集合．【解答】解：输入a值，此时i=0，执行循环体后，a=2a+3，i=1，不应该退出；再次执行循环体后，a=2（2a+3）+3=4a+9，i=2，应该退出；故，解得：1＜a≤5，故输入的正整数a的可能取值的集合是{2，3，4，5}，故选：C【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知框图，采用模拟循环的方法，构造关于a的不等式组，是解答的关键．5．（2016秋•汕头校级月考）已知数列{a n}，{b n}，满足a1=b1=3，a n+1﹣a n==3，n∈N*，若数列{c n}满足c n=b，则c2017=（）A．92016B．272016 C．92017D．272017【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】本题可先等差数列{a n}和等比数列{b n}的通项，再利用数列{c n}的通项公式得到所求结论．【解答】解：∵数列{a n}，满足a1=3，a n+1﹣a n=3，n∈N*，∴a n=a1+（n﹣1）d=3+3（n﹣1）=3n．∵数列{b n}，满足b1=3，=3，n∈N*，∴b n=b1q n﹣1=3×3n﹣1=3n．∵数列{c n}满足c n=b，∴c2017==b3×2017=272017．故选D．【点评】本题先利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的通项，再用通项公式求出新数列中的项，本题思维量不大，属于基础题．6．（2015秋•运城期末）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（）A．2 B． C． D．3【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为x，底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为1，2，高为2，根据几何体的体积是2求出x，再根据正视图为直角三角形求出其面积．【解答】解：由三视图知几何体为一四棱锥，且四棱锥的高为x，底面是直角梯形且自己梯形的两底边分别为1，2，高为2，∴几何体的体积V=××2×x=2⇒x=x=2．∴正（主）视图的面积S=×2×2=2．故选A．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及三视图的数据所对应的几何量．7．（2016•山西模拟）已知，为同一平面内的两个向量，且=（1，2），||=||，若+2与2﹣垂直，则与的夹角为（）A．0 B．C．D．π【考点】平面向量数量积的运算．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】计算||，||，根据向量垂直列方程得出，代入向量的夹角公式计算夹角余弦．【解答】解：||=，||=，∵（+2）⊥（2﹣），∴（+2）•（2﹣）=2+3﹣2=0，即10+3﹣=0，∴=﹣．∴cos＜，＞==﹣1．∴＜，＞=π．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，向量垂直与向量数量积的关系，属于中档题．8．（2016秋•汕头校级月考）已知函数g（x）=2cos2x，若在区间上随机取一个数x，则事件“g（x）≥”发生的概率为（）A． B． C． D．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】先求出不等式0≤x≤π，2cos2x≥对应的解集，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵0≤x≤π，2cos2x≥，∴0≤x≤或≤x≤π，则对应的概率P==，故选：C．【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出不等式等价条件是解决本题的关键．9．（2015•安徽一模）某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（）A．36种B．38种C．108种D．114种【考点】计数原理的应用．【专题】排列组合．【分析】分类讨论：①甲部门要2个电脑特长学生和一个英语成绩优秀学生；②甲部门要1个电脑特长学生和1个英语成绩优秀学生．分别求得这2个方案的方法数，再利用分类计数原理，可得结论．【解答】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法．根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种，故选A．【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．10．（2014秋•杭州期末）已知f（x）是定义在R上的增函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若对任意的x，y∈R，等式f（y﹣3）+f（）=0恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题；数形结合；函数的性质及应用；直线与圆．【分析】由平移规律，可得y=f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），结合函数的单调性等式可化为y﹣3=﹣，平方即可得到y为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，再由直线的斜率公式，=可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，通过图象观察，过O的直线OA，OB的斜率即为最值，求出它们即可．【解答】解：函数y=f（x）的图象可由y=f（x﹣1）的图象向左平移1个单位得到，由于y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，则y=f（x）的图象关于原点对称，则f（x）为奇函数，即有f（﹣x）=﹣f（x），则等式f（y﹣3）+f（）=0恒成立即为f（y﹣3）=﹣f（）=f（﹣），又f（x）是定义在R上的增函数，则有y﹣3=﹣，两边平方可得，（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，即有y=3﹣为以（2，3）为圆心，1为半径的下半圆，则=可看作是半圆上的点与原点的连线的斜率，如图，k OA==3，取得最大，过O作切线OB，设OB：y=kx，则由d=r得，=1，解得，k=2，由于切点在下半圆，则取k=2﹣，即为最小值．则的取值范围是．故选C．【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，考查直线的斜率和直线和圆的位置关系，考查数形结合的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．11．（2016•邯郸二模）已知点A是抛物线M：y2=2px（p＞0）与圆C：x2+（y﹣4）2=a2在第一象限的公共点，且点A到抛物线M焦点F的距离为a，若抛物线M上一动点到其准线与到点C 的距离之和的最小值为2a，O为坐标原点，则直线OA被圆C所截得的弦长为（）A．2 B．2C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合．【专题】转化思想；分析法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得圆的圆心和半径，运用抛物线的定义可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，设出A，C，F的坐标，代入抛物线的方程可得p，由抛物线的定义可得a，求得C到直线OA的距离，运用圆的弦长公式计算即可得到所求值．【解答】解：圆C：x2+（y﹣4）2=a2的圆心C（0，4），半径为a，|AC|+|AF|=2a，由抛物线M上一动点到其准线与到点C的距离之和的最小值为2a，由抛物线的定义可得动点到焦点与到点C的距离之和的最小值为2a，可得A，C，F三点共线时取得最小值，且有A为CF的中点，由C（0，4），F（，0），可得A（，2），代入抛物线的方程可得，4=2p•，解得p=2，即有a=+=，A（，2），可得C到直线OA：y=2x的距离为d==，可得直线OA被圆C所截得的弦长为2=．故选：C．【点评】本题考查圆的弦长的求法，注意运用抛物线的定义和三点共线和最小，同时考查弦长公式和点到直线的距离公式的运用，属于中档题．12．（2016•安庆校级模拟）若过点P（a，a）与曲线f（x）=xlnx相切的直线有两条，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（0，）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】方程思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】设切点为（m，mlnm），求出导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式可得=，设g（m）=，求出导数和单调区间，可得最大值，由题意可得0＜＜，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：设切点为（m，mlnm），f（x）=xlnx的导数为f′（x）=1+lnx，可得切线的斜率为1+lnm，由切线经过点P（a，a），可得1+lnm=，化简可得=，（*），由题意可得方程（*）有两解，设g（m）=，可得g′（m）=，当m＞e时，g′（m）＜0，g（m）递增；当0＜m＜e时，g′（m）＞0，g（m）递减．可得g（m）在m=e处取得最大值，即有0＜＜，解得a＞e．故选：B．【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想，以及运算能力，属于中档题．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（2016秋•汕头校级月考）求值（+x）dx= ln2+6 ．【考点】定积分．【专题】计算题；转化思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：（+x）dx=（lnx+）|=ln4+8﹣ln2﹣2=ln2+6．故答案为：ln2+6．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．14．（2016•陕西一模）如果（3x﹣）n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是21 ．【考点】二项式系数的性质．【专题】计算题；二项式定理．【分析】先通过给x赋值1得到展开式的各项系数和；再利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为﹣3得到展开式中的系数．【解答】解：令x=1得展开式的各项系数和为2n∴2n=128解得n=7∴展开式的通项为T r+1=令7﹣=﹣3，解得r=6∴展开式中的系数为3C76=21故答案为：21．【点评】本题考查求展开式的各项系数和的方法是赋值法，考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．15．（2016•大连校级模拟）已知正三角形ABC边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD的外接球的表面积为7π．【考点】球的体积和表面积．【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．【分析】三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积．【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC﹣A1B1C1的中，底面边长为1，1，，由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的外接球的球心为O，外接球的半径为r，棱柱的高为，球心到底面的距离为，三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为：=1∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=7π．故答案为：7π．【点评】本题考查空间想象能力，计算能力；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的距离相等，说明中心就是外接球的球心，是本题解题的关键，仔细观察和分析题意，是解好数学题目的前提．16．（2016•临沂二模）已知正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，lnb≥a，则的取值范围是．【考点】不等式的综合．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】由题意可求得≤7；由lnb≥a可得≥（b≥），设函数f（x）=（x≥），利用其导数可求得f（x）的极小值，也就是的最小值，于是问题解决．【解答】解：∵正数a，b满足5﹣3a≤b≤4﹣a，∴5﹣3a≤4﹣a，∴a≥．∵5﹣3a≤b≤4﹣a，∴﹣3≤≤﹣1．从而≤7，∵lnb≥a，∴≥（b≥），设f（x）=（x≥），则f′（x）=，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0，∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值．∴f（x）min=f（e）=e．∴≥e，∴的取值范围是．故答案为：．【点评】本题考查不等式的综合应用，得到≥（b≥），通过构造函数求的最小值是关键，也是难点，考查分析与转化、构造函数解决问题的能力，属于难题．三、解答题：（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2016•张家口模拟）凸四边形PABQ中，其中A、B为定点，AB=，P、Q为动点，满足AP=PQ=QB=1．（1）写出cosA与cosQ的关系式；（2）设△APB和△PQB的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积．【考点】余弦定理；三角形的面积公式．【专题】解三角形．【分析】（1）在三角形PAB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，在三角形PQB中，利用余弦定理列出关系式表示出PB2，两者相等变形即可得到结果；（2）利用三角形面积公式分别表示出S与T，代入S2+T2中，利用同角三角函数间的基本关系化简，将第一问确定的关系式代入，利用余弦函数的性质及二次函数的性质求出最大值，以及此时凸四边形PABQ的面积即可．【解答】解：（1）在△PAB中，由余弦定理得：PB2=PA2+AB2﹣2PA•AB•cosA=1+3﹣2cosA=4﹣2cosA，在△PQB中，由余弦定理得：PB2=PQ2+QB2﹣2PQ•QB•cosQ=2﹣2cosQ，∴4﹣2cosA=2﹣2cosQ，即cosQ=cosA﹣1；（2）根据题意得：S=PA•AB•sinA=sinA，T=PQ•QB•sinQ=sinQ，∴S2+T2=sin2A+sin2Q=（1﹣cos2A）+（1﹣cos2Q）=﹣+cosA+=﹣（cosA﹣）2+，当cosA=时，S2+T2有最大值，此时S四边形PABQ =S+T=．【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．18．（12分）（2016•太原三模）某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别关系，随机抽取50名学生，得到如表的数据表：（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选课倾向的变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握大；（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷．若从这8人中任选3人，记倾向“平面几何选讲”的人数减去与倾向“坐标系与参数方程”的人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望．附：K2=．【考点】独立性检验的应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）利用K2=，求出K2，与临界值比较，即可得出结论；（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，求出相应的概率，即可求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“不等式选讲”，k=0，所以这两种选择与性别无关；选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”，K2=≈6.969＞6.635，∴有99%的把握认为选倾向“坐标系与参数方程”与倾向“平面几何选讲”与性别有关；选倾向“平面几何选讲”与倾向“不等式选讲”，K2=≈8.464＞7.879，∴有99.5%的把握认为选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关，综上所述，选倾向“平面几何选讲与倾向“不等式选讲”与性别有关的把握最大；（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生人数的比例为20：12=5：3，从中抽取8人进行问卷，人数分别为5，3，由题意，ξ=﹣3，﹣1，1，3，则P（ξ=﹣3）==，P（ξ=﹣1）==，P（ξ=1）==，P（ξ=1）==，ξ的分布列数学期望Eξ=（﹣3）×+（﹣1）×+1×+3×=．【点评】本题主要考查独立性检验、分层抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．19．（12分）（2016•河南模拟）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为正方形，延长AB到D，使得AD=BD，平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，A1C1=AA1，∠C1A1A=．（Ⅰ）若E，F分别为C1B1，AC的中点，求证：EF∥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；向量法；空间角．【分析】（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，则EG∥A1B1，从而GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，从平面GEF∥平面ABB1A1，由此能证明EF∥平面ABB1A1．（Ⅱ）连结AC1，推导出AC1⊥AA1，从而AC1⊥平面ABB1A1，再求出AC1⊥AB，AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取A1C1的中点G，连结FG，EG，在△A1B1C1中，EG为中位线，∴EG∥A1B1，∴GE⊄平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，∴GE∥ABB1A1，同理得GF∥平面ABB1A1，又GF∩GE=G，∴平面GEF∥平面ABB1A1，∵EF⊂平面GEF，∴EF∥平面ABB1A1．解：（Ⅱ）连结AC1，在△AA1C1中，，，∴由余弦定理得=+﹣2AA1×A1C1cos∠AA1C1=，∴AA1=AC1，△A1AC1是等腰直角三角形，AC1⊥AA1，又∵平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，∴AC1⊥平面ABB1A1，∵AB⊂平面ABB1A1，∴AC1⊥AB，又∵侧面ABB1A1为正方形，∴AA1⊥AB，分别以AA1，AB，AC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），A1（1，0，0），B1（1，1，0），C1（0，0，1），C（﹣1，0，1），D（0，2，0），∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1），=（﹣1，0，1），=（0，1，0），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，0，1），设平面CB1D的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，1，3），cos＜＞===，∴平面A1B1C1与平面CB1D所成的锐二面角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．（12分）（2016秋•汕头校级月考）已知圆O：x2+y2=4，点F（，0），以线段MF为直径的圆内切于圆O，记点M的轨迹为C（1）求曲线C的方程；（2）若过F的直线l与曲线C交于A，B两点，问：在x轴上是否存在点N，使得•为定值？若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】（1）设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，通过|OQ|+|QG|=|OG|=2，推出|F′M|+|MF|=4．说明点M的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．然后求解曲线C 的方程；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣），联立直线方程和椭圆方程，利用根与系数的关系得到A，B的横坐标的和与积，代入•，由•为定值求得m值，验证斜率不存在时适合得答案．【解答】解：（1）设FM的中点为Q，切点为G，连OQ，QG，则|OQ|+|QG|=|OG|=2，取F关于y轴的对称点F′，连F′M，故|F′M|+|MF|=2（|OQ|+|QG|）=4．点M的轨迹是以F′，F为焦点，长轴长为4的椭圆．其中，a=2，c=，b=1，则曲线C的方程为+y2=1；（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=k（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得．则△＞0，，若存在定点N（m，0）满足条件，则有=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2+===．如果要上式为定值，则必须有，解得m=，此时=．验证当直线l斜率不存在时，也符合．故存在点N（，0）满足•为定值．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、向量的数量积、椭圆性质的合理运，是中档题．21．（12分）（2016•太原三模）已知函数f（x）=xe tx﹣e x+1，其中t∈R，e是自然对数的底数．（Ⅰ）若方程f（x）=1无实数根，求实数t的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）内为减函数，求实数t的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）先确定原方程无负实数根，令g（x）=，求出函数的值域，方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t∉（﹣∞，]，从而求出t的范围；（Ⅱ）利用函数f（x）是（0，+∞）内的减函数，确定t＜1，再分类讨论，即可求实数t的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=1，可得x=e x（1﹣t）＞0，∴原方程无负实数根，故有=1﹣t．令g（x）=，则g′（x）=，∴0＜x＜e，g′（x）＞0；x＞e，f′（x）＜0，∴函数g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，∴函数g（x）的最大值为g（e）=，∴函数g（x）的值域为（﹣∞，]；方程f（x）=1无实数根，等价于1﹣t∉（﹣∞，]，∴1﹣t＞，∴t＜1﹣，∴当t＜1﹣时，方程f（x）=1无实数根；（Ⅱ）f′（x）=e tx由题设，x＞0，f′（x）≤0，不妨取x=1，则f′（1）=e t（1+t﹣e1﹣t）≤0，t≥1时，e1﹣t≤1，1+t≤2，不成立，∴t＜1．①t≤，x＞0时，f′（x）=e tx≤（1+﹣），由（Ⅰ）知，x﹣e x+1＜0，∴1+﹣＜0，∴f′（x）＜0，∴函数f（x）是（0，+∞）内的减函数；②＜t＜1，＞1，∴ln＞0，令h（x）=1+tx﹣e（1﹣t）x，则h（0）=0，h′（x）=（1﹣t）[﹣e（1﹣t）x]0＜x＜ln，h′（x）＞0，∴h（x）在（0，ln）上单调递增，∴h（x）＞h（0）=0，此时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，ln）上单调递增，有f（x）＞f（0）=0与题设矛盾，综上，当t≤时，函数f（x）是（0，+∞）内的减函数．【点评】本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查学生分析解决问题的能力，难度大．选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑．22．（10分）（2016•漳州一模）如图，AB是⊙O的直径，C、F是⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延长线于点D．连接CF交AB于点E．（1）求证：DE2=DB•DA；（2）若DB=2，DF=4，试求CE的长．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】计算题；证明题；选作题；转化思想；综合法．【分析】（1）连接OF，利用切线的性质及角之间的互余关系得到DF=DE，再结合切割线定理证明DE2=DB•DA，即可求出DE．（2）求出BE=2，OE=1，利用勾股定理求CE的长．【解答】（1）证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．。

汕头市金山中学2017届高三第一学期期末考试数学（文科）第I 卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{2,0,2,4}M =-，2{|9}N x x =<，则M N = （ ） A ．{0,2}B ．{2,0,2}-C ．{0,2,4}D ．{2,2}-2.已知3,5a b == ，a 与b 不共线，向量ka b + 与ka b -互相垂直，则实数k 的值为 A.53 B.35 C.35± D.53± 3.如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，点P 是平面1111A B C D 内一点，则三棱锥P BCD -的正视图与侧视图的面积之和为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．己知命题p ：“a ＞b”是“2a ＞2b ”的充要条件；q ：x e R x x ln ,<∈∃，则（ ） A ．￢p ∨q 为真命题 B ．p ∧￢q 为假命题 C ．p ∧q 为真命题 D ．p ∨q 为真命题5.已知()()6,2,1m -=-=和共线，则圆锥曲线221x y m+=的离心率为 A.36 B.2 C.32D.36或2 6.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小1份为 A ．53 B ．103 C ．56 D ．1167 .sin()cos()0,322πππααα++-=-<<则2cos()3πα+等于( )A.45-B.35- C.45 D.358．函数的图象如图所示，为了得到g （x ）=cos2x 的图象，则只需将f （x ）的图象（ ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9.=+=⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≥a z ay x z x y y xy y x 无数个，则取得最大值的最优解有若满足已知,,22),(（）A ．1B ．-1C ．1或-1D ．无法确定10．在∆ABC 中，点D 满足BD =34BC ，当E 点在线段AD 上移动时，若AE =AB λ +AC μ，则22(1)t λμ=-+的最小值是（）ABC ．910 D ．41811.已知函数()f x 的定义域为R ，对于12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，且()11f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为 （ ）A ．()+∞,1B ．(,1)-∞C ．(1,0)(0,3)-D ．(,0)(0,1)-∞12．已知集合M={(x,y )|y f (x )=},若对于任意11(x ,y )M ∈,存在22(x ,y )M ∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:①M={1(x,y )|y x=};②M={1(x,y )|y sin x =+};③M={2(x,y )|y log x =}; ④{(,)2}x M x y y e ==-.其中是“垂直对点集”的序号是 （ A ．①②B ．②③C ．①④D ．②④第II 卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）第15题图13 公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a = 14．均值不等式已知0,0,43>>=+y x xy y x 则x y +的最小值是15．如图CD CB AD AC AD AB ，AB D ABC 3,,3,===∆且上的点为线段中在，则B cos = ． 16.已知函数⎩⎨⎧>≤≤=),1(log ),10(sin )(2014x x x x x f π若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则c b a ++的取值范围是三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈. （Ⅰ）证明数列{}2nnS 为等差数列； （Ⅱ）求12...n S S S +++. 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点,E F 分别为AB 和PD 的中点. （1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求三棱锥P BEF -的体积. 19. （本小题满分12分）某商店计划每天购进某商品若干件，商店每销售一件该商品可获利润60元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损10元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利40元.（1）若商品一天购进该商品10件，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：件，n N ∈）的函数解析式；（2）商店记录了50天该商品的日需求量n （单位：件，n N ∈），整理得下表：若商店一天购进10件该商品，以50天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间[500,650]内的概率. 20.(本小题满分12分)已知椭圆Γ的中心在原点，焦点在x 轴，离心率为22，且长轴长是短轴长的2倍. （1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设()0,2P 过椭圆Γ左焦点F 的直线l 交Γ于B A ,两点,若对满足条件的任意直线l ,不等式()R ∈≤⋅λλ恒成立,求λ的最小值.21．（本小题满分12分）已知函数)(ln )1()(R a x a xax x f ∈+--=． （Ⅰ）当10≤<a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数a ，使得至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，说明理由．.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 的极坐标方程为=4sin()3πρθ-，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系xOy .(Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中R ϕ∈），求||PQ 的最大值.23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|3||2|f x x x t =-++，t R ∈. (Ⅰ)当1t =时，解不等式()5f x ≥；（Ⅱ）若存在实数a 满足()|3|2f a a +-<，求t 的取值范围.数学（文科）参考答案二、填空题：13.1 14. 232+ 15.16. )2015,2( 三、解答题：17. 解：（Ⅰ）证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=，┄ ┄┄2分整理得11122n nn n S S ++-=， ┄┄4分 所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列. ┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅，┄┄┄┄┄┄7分 令12n n T S S S =+++212222n n T n =⋅+⋅++⋅①┄┄┄┄┄┄8分21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ②┄┄┄┄┄┄┄9分①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅ ，┄┄┄┄┄┄10分 整理得12(1)2n n T n +=+-⋅. ┄┄┄┄┄┄┄12分18. 解：（1）作//FM CD 交PC 于M ，连接ME . ┄┄┄┄1分 ∵点F 为PD 的中点，∴1//2FM CD ，又1//2AE CD ，∴//AE FM ， ∴四边形AEMF 为平行四边形，∴//AF EM ， ┄┄┄┄3分∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴直线//AF 平面PEC .┄┄┄┄5分（2）连接ED ，在ADE ∆中，1AD =，12AE =，60DAE ∠=， ∴2222211132cos 601()212224ED AD AE AD AE =+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯= ，┄┄6分∴2ED =，∴222AE ED AD +=，∴ED AB ⊥.┄┄┄┄7分 PD ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PD AB ⊥，PD ED D = ，PD ⊂平面PEF ，ED ⊂平面PEF ，∴AB ⊥平面PEF .┄┄┄┄9分111222PEF S PF ED ∆=⨯⨯=⨯=， ∴三棱锥P BEF -的体积P BEF B PEF V V --==13PEF S BE ∆=⨯⨯1132==分 19.解：（1）当日需求量10n ≥时，利润为6010(10)4040200y n n =⨯+-⨯=+；当日需求量10n <时，利润为60(10)1070100y n n n =⨯--⨯=-. 所以利润y 关于需求量n 的函数解析式为40200(10,)70100(10,)n n n N y n n n N +≥∈⎧=⎨-<∈⎩.┄┄┄┄6分 （2）50天内有4天获得的利润为390元，有8天获得的利润为460元，有10元获得的利润为530元，有14天获得的利润为600元，有9天获得的利润为640元，有5天获得的利润为680元.若利润在区间[500,650]内，日需求量为9、10、11，其对应的频数分别为10、14、9. 则利润在区间[500,650]内的概率为10149335050++=.20. 【解析】（1）依题意, ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222222c b a a cba , ……1分解得22a =,21b =,∴椭圆Γ的标准方程为2212x y +=. …3分（2）设1122(,),(,)A x y B x y ,∴11221212(2,)(2,)(2)(2)PA PB x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+,当直线l 垂直于x 轴时,121x x ==-,12y y =-且2112y =,此时1(3,)PA y =- ,21(3,)(3,)PB y y =-=-- ,∴22117(3)2PA PB y ⋅=--=.…6分 当直线l 不垂直于x 轴时,设直线l :(1)y k x =+,由22(1)22y k x x y =+⎧⎨+=⎩,得2222(12)4220k x k x k +++-=,∴2122412k x x k +=-+,21222212k x x k -=+, ……8分 ∴21212122()4(1)(1)PA PB x x x x k x x ⋅=-+++++ 2221212(1)(2)()4k x x k x x k =++-+++ 2222222224(1)(2)41212k k k k kk k -=+⋅--⋅++++2217221k k +==+217131722(21)2k -<+. ……11分 要使不等式PA PB λ⋅≤(λ∈R )恒成立,只需max 17()2PA PB λ≥⋅=,即λ的最小值为172. ……12分 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()'22111x a x a a f x x x x--+=+-=…………………………2分 (1)当01a <<时，由()'0fx >得，x a 0<<或1>x ，由()'0f x <得，a x <<1故函数()f x 的单调增区间为()0,a 和()1,+∞,单调减区间为(),1a …………4分(2)当1a =时,()'0f x ≥,()f x 的单调增区间为()0,+∞…………………………5分（Ⅱ）先考虑“至少有一个0(0,)x ∈+∞，使00()f x x >成立”的否定“(0,)x ∀∈+∞，()f x x ≤恒成立”。

CBA广东省汕头市金山中学10届高三上期期末试题数学（文科）第一部分 选择题（共50分）本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟. 参考公式:222(1)(21)126n n n n +++++=一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．原点到直线052=-+y x 的距离为（ ）A ．1B ．3C ．2D ．52．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为 （ ）A ．30B ．25C ．20D ．153．等比数列{}n a 中，若2a 、4a 是方程221180x x -+=的两根，则3a 的值为( ) A ．2 B ．2± C ．2 D ．3± 4．设22:200,:10p x x q x -->-<，则p 是q 的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5．2()(sin cos )1f x x x =--是（ ） A ．最小正周期为2π的偶函数B ． 最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为π的奇函数6．已知直线l α⊥平面，直线m β⊆平面，则下列四个命题：①//l m αβ⇒⊥； ②//l m αβ⊥⇒；③//l m αβ⇒⊥；④//l m αβ⊥⇒，其中正确的是（ ） A ．①② B ．③④ C ．②④ D ．①③7．若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是（ ）A ．直角梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形xyo 7 8 994 4 6 4 7 38．如图已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A 、B 分别为60°和45°， 现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角形ABC 内的概率为（ ）A.3316π+ B. 334π+ C.433π+ D.1633π+ 9. 已知二次函数1)12()1(2++-+=x n x n n y ，当n 依次取1,2,3,4,,10⋅⋅⋅⋅⋅⋅时，其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为（ ）A.1 B ．1110 C.1112 D.121110．如图，点P 在边长为1的正方形ABCD 上运动，设点M 为CD 的中点，当点P 沿A B C M →→→运动时，点P 经过的路程设为x ，△APM 面积设为y ，则函数()y f x =的图象只可能是下图中的（ ）A ．B ．C ．D ．第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分． 11. 0,021.x y x y xy >>+=且，则的　最大值12．右图是2018年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某 民族舞蹈打出的百分制分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分 后，所剩数据的方差为 。

2018届高三理综上学期期末试卷（汕头市金山中学带答案）
5 c 汕头金中学3)溶解性
水乙醇乙醚
甲苯92无色液体，易燃，易挥发-95110608669不溶易溶易溶
苯甲酸122白色片状或针状晶体122424812659微溶易溶易溶
主要实验装置和流程如下
图1 回流搅拌装置图2 抽滤装置
实验方法一定量的甲苯和n4溶液置于图1装置中，在90℃时，反应一段时间，再停止反应，按如下流程分离出苯甲酸和回收未反应的甲苯。

（1）操作I为；操作II为。

（2）如果水层呈紫色，要先加亚硫酸氢钾，然后再加入浓盐酸酸化。

加亚硫酸氢钾的目的是。

（3）白色固体B的主要成分为，其中可能含有的主要杂质是。

（4）下列关于仪器的组装或者使用正确的是。

A．抽滤可以加快过滤速度，得到较干燥的沉淀
B．安装电动搅拌器时，搅拌器下端不能与三颈烧瓶底、温度计等接触
c．图1回流搅拌装置可采用酒精灯直接加热的方法
D．图1冷凝管中水的流向是上进下出
（5）称取122 g产品，配成1000 L溶液。

取其中2500 L溶液于锥形瓶中，滴加酚酞作为指示剂，用浓度为01000 l·L－1的H标准溶液进行滴定，消耗了甲基丙醛；（4）；
（5）；
（6）15；
（7）cH2=cH2 cH3cH2H cH3cH。