2019年23-导数应用(二)凹凸拐点图形.ppt

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函数的凹凸性ppt课件

② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
9
10
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
f
(x ) 故函数 2
f
(x) 是
凹函数。
14
（2）由 f (x) 1 1 f (x) 1 1 ax2 x 1 ①
ax2 x 1
当
x
0时， a R ，当
x (0,1]时①即 ax2x恒成立1
a 即
a
1
x2 1
1
x 1
(1 1)2 x2
(1 1)2 1
1 4
恒成立，当
2
2
作
DC
x
轴交
f
(x)
于
D（
x1
2
x2
,
yD )
D
在
f (x)
上
有
：
yD
f
( x1
2
x2
)
yC
f (x1) f (x2 ) 故④不正确 2
11
点评:本题主要考查了 f (x) lg x 函数运算性质以及直
线斜率应用,题目较综合.判断④不正确也可直接利用函数图象的上凸性作结论.
12
定义在 R 上的函数 f (x) 满足：如果对任意 x , x R 都有 12
f
(
x 1
x 2
)
1
f (x ) f (x ) 则称函数 f (x) 是 R 上的凹函数，已知二次函

微积分课件曲线的凹凸性与拐点

二、曲线凹凸的判定
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
f ( x ) 递增
y 0
f ( x ) 递减
b x y 0
定理1 如果 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内具有
二阶导数 , 若在 (a , b ) 内 (1) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凹的; ( 2) f ( x ) 0, 则 f ( x ) 在 [a , b] 上的图形是凸的 .
(3) x0两近旁 f ( x)变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ;
x0两近旁 f ( x)不变号 ,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点 .
4 3 求曲线 y 3 x 4 x 1 的拐点及例2 凹、凸的区间 .
解
2 y 12 x 12 x , y 36 x( x ). 3 2 令y 0, 得 x1 0, x2 . 3
如果对(a , b)内任意两点 x1 , x2 , 恒有 x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) f( ) , 2 2 那末称 f ( x )在(a , b)内的图形是凸的;
y
y f ( x)
A
B
y
y f ( x)
B
A
o
a
b
x
o
a
b
x
曲线上任意一点切线都在曲线弧的下方。凹弧：凸弧：曲线上任意一点切线都在曲线弧的上方。
即证：
f ( 2 ) f (1 ) 0

高等数学导数应用二凹凸拐点图形PPT课件

从而, 点 (x0, f (x0 )) 为曲线 y f (x) 的拐点 .
你能由以上的几个定理归纳出求曲线拐点的步骤吗？
第28页/共56页
求拐点一般步骤
求曲线 y f (x) 拐点的一般步骤 : (1) 求 f (x) 的定义域 (或确定讨论区间 ) ; (2) 计算 f (x) , f (x) , (如需要可求出 f (x)) ; (3) 求拐点可疑点 : 使 f (x) 0 的点和 f (x) 不存在的点 ; (4) 根据定理判别可疑点是否确为拐点 .
且仅在孤立点处出现 f (x) 0 .
第24页/共56页
于是 f (x) (x0 , x0x ) , f (x) (x0 x, x0 ) , 故 f (x) 在 x x0 处取极小值, 从而必有 f (x0 ) ( f (x)) xx0 0 .
使 f (x) 0 及 f (x) 不存在的点 ,
第26页/共56页
定理 ( 判别拐点的充分条件 )
设 f (x) C( I ) , f (x) 在 U(x0 ) (x0 I )内三阶可导. 若 f (x0 ) 0 , 且 f (x0 ) 0 , 则
点 (x0 , f (x0 )) 为曲线 y f (x) 的拐点 .
第27页/共56页
证由于 f (x0 ) 0 , 故不妨设 f (x0 ) 0 .
成立 , 则称曲线
y f (x) 在区间 I 上是凹的 ;
第9页/共56页
例1
分析立方抛物线 y x3 的凹凸性.
分析
f ( x1 x2 ) x13 3x12 x2 3x1x22 x23
2
8
1( 2
f
(x1)
f
(x2 ))

3.5凹凸性与函数图形描绘PPT课件

3.5 曲线的凹凸性与函数作图
• 一.曲线的凹凸性及拐点 • 二.函数图形的描绘
一、凹凸性及拐点
y
y f (x) B
凹
A
oa
bx
y f (x)
y
B
凸
A oa
bx
1.定义设函数f(x)在区间I上除端点外都可导，
x0为I的任一内点，若对 x I( x x0 )，恒有
f (x) f (x0 )(x x0 ) f (x0 ) ( f (x) f (x0)(x x0) f (x0)) 则称函数曲线 y 在f (区x)间I上是(向上)凹的. (凸)
5 补充点，如与坐标轴的交点、间断点、始点、终点.
6 光滑连接各点，绘出函数图形。
例5
作函数 ( x)
1
x2
e2
的图形.
2
解 1 [0,), （偶函数, 图形关于y轴对称）
2 ( x)
令 ( x) 0,
x
x2
e 2,
2
(
x)
(
x
1)(
x
1)
e
x2 2
.
2
得驻点 x 0,
令 ( x) 0,
得 x 1, x 1.
3°列表确定函数增减区间,凹凸区间及极值点与拐点:
x
( x) ( x) ( x)
0 (0,1) 1 (1,)
0
0
1 2
拐点
(1, 1 ) 2e
4 lim ( x) lim
1
x2
e 2 0,
得水平渐近线
y 0.
x
x 2
( x)
1
x2
e2
2
写在最后

《曲线凹凸与拐点》课件

曲线凹凸的计算方法
定义法
通过定义凹凸性，利用二阶导数正负来判断。如果二阶导数大于0，则曲线在相应区间内是凹的；如果二阶导数小于0，则曲线在相应区间内是凸的。
切线法
通过切线斜率判断。在某点处做切线，如果切线斜率在相邻两点之间由负变正，则该点为拐点。
拐点的计算方法
定义法
根据拐点的定义，即函数在某点的左右极限不相等，来确定拐点。
具体应用
在气候学中，通过研究气候数据的曲线凹凸性，可以更好地理解气候变化的规律和趋势。在金融学中，通过研究股票价格的拐点，可以更好地把握股票市场的变化和趋势。
导数符号变化法
通过判断函数在某点附近左右两侧导数的符号变化来确定是否为
拐点。
二阶导数测试法
通过判断二阶导数的符号变化来确定是否为拐点。如果二阶导数在某点处从正变为负或从负变为正，则该点为拐点。
切线方向变化法
通过观察曲线在某点处的切线方向是否发生变化来确定是否为拐点。如果切线方向发生改变，则该点为拐点。
导数法
通过求函数的二阶导数，并令其为0 ，解出相应的x值，再判断该点是否为拐点。
曲线凹凸与拐点计算中的注意事项
初始判断
在计算前应先大致判断函数的形态，以便选择
合适的计算方法。
精确度要求
对于实际应用，应考虑计算结果的精确度，选择合适的数学工具和算
法。
拐点判断
在确定拐点时，应同时考虑左右极限，避免误
拐点是曲线上的一个点，在该点处曲线的切线方向发变符号
在拐点处，曲线的导数由正变负或由负变正。
拐点处凹凸性改变
拐点处切线方向变化
在拐点处，曲线的切线方向发生变化，由上升变为下降或由下降变为上升。

《曲线凹凸性》PPT课件

原点时, 点 M 与某一直线 L 的距离趋于 0, 则称直线 L 为
曲线y = f (x)的渐近线 .
例如, 双曲线
有渐近线
x y0 ab
y
y f(x)
C M ykxb
L PN
o
x
y
但抛物线
无渐近线 .
渐近线分为水平渐近线、铅直渐近线
ox
和斜渐近线三种.
精选ppt
11
机动目录上页下页返回结束
0
4
(极大)
11
6
(拐点)
精选ppt
19
机动目录上页下页返回结束
4) 求渐近线
lim y ,x 3为铅直渐近线
x3
lim y 1,
x
lim y 0 x x
y 1 为水平渐近线无斜渐近线
y
1
36x (x 3)2
,
y
36(3 x) (x 3)3
,
y
72( x (x
6) 3)4
3
9
93 x2
令 y 0, 得x =3, y 不存在的点为x =2,
列 x ( , 2)
2
( 2 , 3 ) 3 (3, )
表 y 不存在 0
y凸
20 9
凹－4
凸
因此,曲线的拐点：( 2 , 2 0 ) , (3, 4);
9
凹区间: ( 2 , 3 ) 凸区精间选p:pt (, 2], [3, ).
弧是向上凸的, 曲线在切线的下方,
而B是弯曲状况的
分界点.
O
A
a
精选ppt
x0
b
x
2
机动目录上页下页返回结束

《曲线的凹凸与拐点》课件

《曲线的凹凸与拐点》ppt课件
contents
目录
• 曲线凹凸的定义与性质 • 判断曲线凹凸的方法 • 曲线的拐点及其性质 • 曲线凹凸与拐点的应用 • 总结与思考
01
曲线凹凸的定义与性质
凹凸的定义
凹函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函数值$f(x_1) > f(x_2)$，则称该函数为凹函数。
通过学习更多的函数曲线，加深对凹凸性和拐点的理解。
探索应用领域
了解曲线凹凸性和拐点在实际问题中的应用，如物理学、工程学等。
对实际应用的展望
工程设计
在工程设计中，了解曲线的凹凸性和拐点有助于优化设计，如桥梁、建筑等结构的稳定性分析。
数据分析
在数据分析中，可以利用曲线凹凸性和拐点的知识，对数据进行
凸函数
对于曲线上的任意两点$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$），如果函数值$f(x_1) < f(x_2)$，则称该函数为凸函数。
凹凸的性质
01
凹函数的图像呈下凹状，凸函数的图像呈上凸状。
02
在凹函数中，中点的函数值小于两端点的函数值；在凸函数中，中点的函数值大于两端点的函数值。
凸函数的定义
对于函数$f(x)$在区间$[a,b]$上，如果对任意$x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）都有 $f(x_1) - f(x_2) > frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} (x_1 - x_2)$，则称$f(x)$在区间 $[a,b]$上为凸函数。
凹凸的判断方法
计算二阶导数
拐点的连续性判定
若函数在拐点处的一阶导数存在且二阶导数改变符号，则该点为拐点的充分必要条件是该点连续。

《曲线的凹凸与拐点》PPT课件

定理 2 如果 f ( x)在( x0 , x0 )内存在二阶导
数,则点x0 , f ( x0 )是拐点的必要条件是 f "( x0 ) 0 .
证 f ( x) 二阶可导, f ( x) 存在且连续,
7
又( x0 , f ( x0 ) )是拐点, 则 f ( x) [ f ( x)]在x0两边变号, f ( x)在x0取得极值,由可导函数取得极值的条件, f ( x) 0.
13
例4 假定f(x)在x=x0处具有直到n阶的连续导数，且
f ( x0 ) f ( x0 ) f (n1)( x0 ) 0,但 f (n)( x0 ) 0
这里n为奇数≥3，则( x0 , f ( x0 ))是拐点
证记 g( x) f ( x) 则 g(n3)( x0 ) f (n)( x0 ) 0 由高阶导数判定极值的方法知
x0 , x2 ]上
x1 x2 x0 分别应用L—定理，得
f ( x0 ) f ( x1 ) f (1 )h ( x1 1 x0 )
f ( x2 ) f ( x0 ) f (2 )h ( x0 2 x2 )
两式相减，得
2 f ( x0 ) [ f ( x1 ) f ( x2 )] [ f (1 ) f (2 )]h
y cos x sin x .
令 y 0,
得
x1
3 4
,
7 x2 4 .
f (3) 2 0,
4
f (7) 2 0,
4
12
在[0,2]内曲线有拐点为 (3 ,0), (7 ,0).
4
4
注意: 若 f ( x0 ) 不存在,点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能是连续曲线 y f ( x)的拐点.

曲线的凸凹性与拐点课件

凸函数的性质
凸函数的性质
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x_1, x_2 \in I$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
凸函数的性质还包括
如果函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则对于任意$x \in I$，都有$f(\frac{x + x}{2}) \leq f(x)$。
定义
对于函数$f(x)$，如果$f''(x_{0})=0$ 且$f'(x_{0})\neq 0$，那么点 $(x_{0},f(x_{0}))$称为函数$f(x)$的拐点。
拐点的求法
求解方法一
直接求解法。通过观察函数的导数形式，确定导数在某一点为零，然后进一步求解二阶导数在该点的值，判断其是否为零。
VS
极值的意义
极值反映了函数在某一点附近的变化情况，是局部的、暂时的最大值或最小值。
极值的求法
01
02
03
04
判断函数的单调性
根据导数与函数单调性的关系，判断函数在某区间内的单调性，
寻找极值点。
求导数
根据函数表达式求出导数，并找到导数为零的点。
判断导数的符号
判断导数在零点附近的符号变化，以确定极值的存在性。
凹函数的几何特征
曲线开口向下，即函数图像是向内凹的。
凹函数的性质
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $f(x_{1}) \leq f(x_{2})$。
若函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，则对于任意$x_{1}, x_{2}$在$I$上，都有 $\frac{f(x_{1})}{x_{1}} \leq \frac{f(x_{2})}{x_{2}}$。

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y x 3 是凸的.
在 (0, ) 上 ,
f(
x1 x2 1 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ) , 2 2
y x 3 是凹的.
y
在 (, 0) 上 ,
y x 3 是凸的,
此时 y 0 .
yx
3
在 (0, ) 上 ,
O
x
此时
y x 3 是凹的,
y 0 .
y 3 x 2 ,
y 6 x ,
x 0 时,
y 0 ,
有何体会？
点 (0, 0) 是曲线凹凸性的分界点 .
能不能根据函数的二阶导数的符号来判别函数所对应的曲线的凸凹性呢？
判别可微函数的凸凹性主要是对
1 ( f ( x1 ) f ( x2 )) 2 x1 x2 f( ) 2
如果 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 恒有
x1 x2 1 f( ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ) 2 2
成立 , 则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凹的 .
凹凸性的一般性定义是……
y
y f ( x)
Q
凸
P
a x1
O
x
y弦 f ( x1 )
y
y f ( x)
Q
凹
P
O
a x1
x
y弦 f ( x1 )
x2 b
x
弦线 PQ 的方程 :
f ( x2 ) f ( x1 ) ( x x1 ) x2 x1
点 x 的坐标:
曲线位于弦线下方 :
x x1 (1 ) x2 , (0, 1)
f ( x) y弦
第六章一元微积分的应用
本章学习要求：
熟练掌握求函数的极值、最大最小值、判断函数的单调性、判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法。能运用函数的单调性、凸凹性证明不等式。掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法。能熟练求解相关变化率和最大、最小值的应用问题。知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变力作功、液体的压力等。能利用定积分定义式计算一些极限。
即
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
1. 曲线凹凸性的定义及其判别法
设 f ( x) C( I ) , (0, 1) .
如果 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 恒有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )

第六章一元微积分的应用
第三节曲线的凹凸性、
函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性、拐点二、曲线的渐近线
三、函数图形的描绘
一、曲线的凹凸性、拐点
我们说一个函数单调增加, 你能画出函数所对应的曲线的图形吗?
y
?!
.
A
B
.
x
O
f ( x) ( a , b ) 时 , 它的图形的形式不尽相同.
y
凹
y f ( x)
O
x1
x1 x2 2
x2
x
O
x1
x1 x2 2
x2
x
定义
设 f ( x) C( I ) .
如果 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 恒有
f(
x1 x2 1 ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ) 2 2
成立 , 则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凸的 ;
x2
b
x
弦线 PQ 的方程 :
f ( x2 ) f ( x1 ) ( x x1 ) x2 x1
点 x 的坐标:
曲线位于弦线上方 :
x x1 (1 ) x2 , (0, 1)
f ( x) y弦
即
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
例1Βιβλιοθήκη 分析分析立方抛物线 y x 3 的凹凸性.
2 3 x13 3x12 x2 3x1 x2 x2 x1 x2 f ( ) 8 2 3 1 x13 x2 ( f ( x1 ) f ( x2 )) 2 2
在 (, 0) 上 ,
x1 x2 1 f( ) ( f ( x1 ) f ( x2 ) ) , 2 2
进行比较.
有什么公式能把以上的函数值与函数的
二阶导数联系在一起呢?
设 f ( x) C ( [a, b] ) , 在 (a, b) 内有二阶导数 .
x1 x2 ,则 x1 , x2 (a, b) , 令 x0 2 x x x x x1 x0 x1 1 2 1 2 2 2 x x x x x2 x0 x2 1 2 2 1 2 2 x2 x0 ( x1 x0 ) f ( ) 由泰勒公式 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f (1 ) 有 f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x1 x0 ) ( x1 x0 ) 2 2! f ( 2 ) f ( x2 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x2 x0 ) ( x2 x0 ) 2 2!
成立 , 则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凸的 ;
如果 x1 , x2 I ( x1 x2 ), 恒有
f ( x1 (1 ) x2 ) f ( x1 ) (1 ) f ( x2 )
成立 , 则称曲线 y f ( x) 在区间 I 上是凹的 ;
一般说来, 对于一个区间上单调的函数的
图形都存在一个需要判别弧段位于相应的弦线的“上方”或“下方”的问题 .
在数学分析中将这种问题称为曲线 (函数)的凹凸性问题 .
简单地说 , 在区间 I 上 :
曲线弧段位于相应的弦线上方时, 称之为凸的; 曲线弧段位于相应的弦线下方时, 称之为凹的.
y
凸
y f ( x)