刚体的平面运动1答案

理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析第6章 刚体的平面运动分析6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。

曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0ϕ= 0。

试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。

解：ϕc o s )(r R x A += （1） ϕsin )(r R y A+= （2）α为常数，当t = 0时，0ω=0ϕ= 0 221t αϕ= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过θϕϕ+=A因动齿轮纯滚，故有⋂⋂=CP CP 0，即 θϕr R =ϕθr R =， ϕϕrrR A+=（4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R tr R y t r R x A A A αϕαα6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。

试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。

解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。

作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。

则角速度杆AB习题6-1图A BCv 0hθ 习题6－2图 P ωAv CA BC v oh θ 习题6－2解图为6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。

试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。

解：Rv R v A A ==ωRv R v B B 22==ωB A ωω2=6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。

设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30︒，ϕ＝60︒，BC ＝270mm 。

刚体的平面运动作业参考答案1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。

如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角ϕ0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。

答案： 2A 22)(21, 2sin)( , 2cos )(t r R rt r R y t r R x A A αϕαα+=+=+=2． 图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。

齿条AB 与半径为2Rr =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。

求当齿条与曲柄的交角θ =60º时，齿轮的角速度。

答案：顺时针 31ωω=提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。

3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。

设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60º，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。

答案：逆时针顺时针顺时针 rad/s 34 , rad/s 4, rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001O =====BD B AB D B v v ωωω提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。

4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。

某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。

连杆上有一点D ，其位置为DK =31NK ，求D 点的速度。

答案：←=320ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。

5．杆AB 长0.4m ，其端点B 沿与水平成倾角θ =30º的斜面运动，而端点A 沿半径OA =0.6m 的圆弧运动，如图所示。

求当杆AB 水平时，端点B 的速度和加速度。

假设此时OA ⊥AB ，杆OA 的角速度为πrad/s ，角加速度为零。

5、刚体的平面运动5.1内容提要刚体在运动过程中，其上任一点到某一固定面间的距离保持不变，这种运动称为刚体的平面运动。

5.1.1平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度的三种求法如表5-1所示。

通常，瞬心法和投影法应用较多。

瞬心法的关键是确定平面图形在每一瞬时的瞬心位置，表5-2给出了按已知运动条件确定平面图形瞬心位置的几种方法。

表5-1 平面图形内各点的速度的求法方 法 速度表达式基点法 （合成法）‘，MO O M v v v += ω⋅'=M O v MO ’ M O v MO '⊥‘投影法[][]AB B AB A v v =瞬心法AC A v v =ω⋅=CA v A AC v A ⊥5.1.2平面图形内各点的加速度平面图形内任一点的加速度，等于基点O '的加速度与该点绕基点转动的法向加速度与切向加速度的矢量和，即τO M n O M O M a a a a '''++=式中，2ω⋅'='O M a n O M ，方向由点M 指向基点O '；ατ⋅'='O M a O M ，方向垂直于O M '，且指向与α一致。

表5-2 几种常见情况的速度瞬心确定方法刚体运动情况瞬心位置 说明 刚体运动情况瞬心位置说明 轮沿固定面纯滚动瞬心在轮与固定面的接触处 两点速度平行且垂直于两点的连线瞬心位于两点的连线与两速度矢端连线的交点处 已知平面上任意两点速度的方位瞬心在两点速度垂线的交点上 两点速度平行且不垂直于两点的 连线瞬心位于无穷远处，该瞬时，角速度为零，各点速度相等，这种情况称为瞬时平动5.2解题要点5.2.1习题类型刚体平面运动的习题，从运动构件看，有杆和轮子的单独平面运动，以及由它们通过连接点（铰结点或接触点）所组成的平面机构。

从分析方法分，有单纯的平面运动分析，还有刚体的平面运动和点的合成运动的综合分析。

运动学部分复习题一、是非题（正确用√，错误用×，填入括号内。

）1、对于平移刚体，任一瞬时，各点速度大小相等而方向可以不同。

(×)2、在刚体运动过程中，若刚体内任一平面始终与某固定平面平行，则这种运动就是刚体的平面运动。

(× )3. 在自然坐标系中，如果速度v = 常数，则加速度a = 0。

（×） 4、点的法向加速度与速度大小的改变率无关。

( √ )5、如果知道定轴转动刚体上某一点的法向加速度，就可确定刚体转动角速度的大小和转向。

(× )6、平移刚体上各点的运动轨迹一定是直线。

(× )7、若动点相对动系的轨迹是直线，动系相对静系的运动是直线平动，则动点的绝对运动也一定是直线运动。

(×)8、在研究点的合成运动时，所选动点必须相对地球有运动（√）9、若动系的牵连运动为定轴转动，则肯定存在哥氏加速度C a。

(× ) 10、速度瞬心的速度为零，加速度也为零。

（ × ）11、基点法中平面图形绕基点转动的角速度与瞬心法中平面图形绕瞬心转动的角速度相同。

(√)二、选择题（请将正确答案的序号填入括号内。

）1、已知一动点作圆周运动，且其法向加速度越来越大，则该点运动的速度( A ) 。

A)越来越大； B)越来越小； C)保持不变； D)无法确定。

2、点的加速度在副法线轴上的投影( B )。

A)可能为零； B)一定为零； C)保持不变； D)无法确定。

3、动点的运动方程以弧坐标表示为)(t f s =，且沿坐标轴正向运动，但越来越慢，则 (D )。

(A)0<dt ds , 022<dt s d ； (B)0>dt ds, 022>dts d ；(C)0<dt ds , 022>dt s d ； (D)0>dt ds, 022<dts d 。

4、一绳缠绕在轮上，绳端系一重物，其以速度v 和加速度a向下运动，则绳上两点A 、D 和轮缘上两点B 、C 的速度、加速度之间关系为( D )。

第九章刚体的平面运动1．平面运动刚体相对其上任意两点的（ ）。

① 角速度相等，角加速度相等② 角速度相等，角加速度不相等③ 角速度不相等，角加速度相等④ 角速度不相等，角加速度不相等正确答案：①2．在图示瞬时，已知O 1A = O 2B ，且O 1A 与O 2 B 平行，则（ ）。

① ω1 = ω2，α1 = α2② ω1≠ω2，α1 = α2③ ω1 = ω2，α1 ≠α2④ ω1≠ω2，α1 ≠α2正确答案：③3．设平面图形上各点的加速度分布如图①~④所示，其中不可能发生的是（ ）。

正确答案：②4．刚体平面运动的瞬时平动，其特点是（ ）。

① 各点轨迹相同；速度相同，加速度相同② 该瞬时图形上各点的速度相同③ 该瞬时图形上各点的速度相同，加速度相同④ 每瞬时图形上各点的速度相同正确答案：②5．某瞬时，平面图形上任意两点A 、B 的速度分别v A 和v B ，如图所示。

则此时该两点连线中点C 的速度v C 和C 点相对基点A的速度v CA 分别为（ ）和（ ）。

① v C = v A + v B ② v C = ( v A + v B )/2③ v C A = ( v A - v B )/2 ④ v C A = ( v B - v A )/2正确答案：② ④α1α2 ①②③④6．平面图形上任意两点A 、B 的加速度a A 、a B 与连线AB 垂直，且a A ≠ a B ，则该瞬时，平面图形的角速度ω和角加速度α应为（ ）。

① ω≠0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α ≠0④ ω = 0，α = 0正确答案：③7．平面机构在图示位置时，AB 杆水平，OA 杆鉛直。

若B 点的速度v B ≠0，加速度τB a = 0，则此瞬时OA 杆的角速度ω和角加速度α为（ ）。

① ω = 0，α ≠0② ω≠0，α = 0③ ω = 0，α = 0④ ω≠0，α ≠0正确答案：②8．在图示三种运动情况下，平面运动刚体的速度瞬心：（a ）为（ ）；（b ）为（ ）；（c ）为（ ）。