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云南省昭通市实验中学高一数学《不等式恒成立问题》课件

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人教A版高中数学必修第一册第二章微专题2不等式恒成立、能成立问题课件

人教A版高中数学必修第一册第二章微专题2不等式恒成立、能成立问题课件
等式恒成立，即x2＋mx－4x－m＋4>0恒 成立， 则关于x的方程x2＋mx－4x－m＋4＝0的判别式Δ＝(m－4)2－4(－m＋ 4)<0， 即m2－4m<0，解得0<m<4，所以实数m的取值范围为{m|0<m<4}．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
探究2 在给定范围上的恒成立问题 [典例讲评] 2．(1)若对任意的x>0，x2－mx＋1>0恒成立，则实数m的 取值范围是___{_m_|m__<_2_}____． (2)∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围．
反思领悟 在给定范围上的恒成立问题
(1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0． (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx ＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0．
(1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的 最小值或最大值，求得参数的取值范围．
[学以致用] 3．(1)不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的
取值范围是( )
√A．{a|a>4，或a<－4}
B．{a|－4<a<4}
C．{a|a≥4，或a≤－4}
D．{a|－4≤a≤4}
(2)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值
范围是( )
√A．{a|－1≤a≤4}

高考数学微专题3不等式中的存在与恒成立问题3.1利用数形结合法求解课件

高考数学微专题3不等式中的存在与恒成立问题3.1利用数形结合法求解课件

函 数 f(x)≤0 在 区 间 [1 ， ＋ ∞) 上 恒 成 立 ， 则 当 a> － 1 时 ，
f1＝lna＋1－e＋a≤0， fx0＝－x0－ex0＋a≤0.
①设 g(a)＝ln(a＋1)＋a－e，a∈(－1，＋
∞)，可知 g(a)在区间(－1，＋∞)上单调递增，又 g(e－1)＝ln(e－1＋1)
主题4 不等式
微专题3 不等式中的存在与恒成立问题 3.1 利用数形结合法求解不等式恒成立问题
内容索引
问题背景 思维模型 典型例题 自主探究
内容索引
不等式恒成立问题是近几年模拟考试、高考的热门考点，需要 学生熟练掌握求解此问题的三种常见方法(数形结合、分离参数、 构造函数)．而我们在利用常见方法求解此问题时，方法的合理选 择成为难点，合理的方法结合熟练的计算会让问题变得简单，不合 理的方法会导致简单问题复杂化，增加计算、思维等各方面的难 度．因此，选择合适的方法是能否顺利解决此类问题的关键．
0<x<12，logax≥x2，则只需
loga12≥14，即
1 loga2
1
≥logaa4，所以
a14≥12，即
a≥116，所以116≤a<1；当
x≥12时，
f(x)＝a1x≥x2，此时若对任意 x≥12，1ax≥x2，即 ln a1x≥ln x2，
即 lna1≥2lxn x，则只需 ln1a≥2lxn xmax.令 g(x)＝2lxn x，则 g′(x)＝2－x22ln x，当
内容索引
k(t)与曲线 g(t)相切时，设切点为(x0，y0)，则－e1t20－t10＝ba，且bat0＋4＝e1t0－ ln t0，整理，得 3＋ln t0＝e2t0，解得 t0＝1e，此时ba＝－2e.

1.3.1-4不等式恒成立问题的解法ppt课件

1.3.1-4不等式恒成立问题的解法ppt课件

①
对称轴为x a . 2
O
1
xa
2
2
a
≤
0
2
a≥0
f (0) ≥ 0
8②Oxa Nhomakorabea2③
O1 2
令f (x) x2 ax 1≥ 0,对称轴为x a . 2
1 2
0
f
a 2
( a) 2
1 2
≥0
1
a
0
x
a 2
a≥1
f
22 (1)≥0
5 2
≤
a
≤ -1
2
综上①②③，a
≥
-
5
2
9
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
C （
）
A.0
B.-2
C.- 5 2
D.-3
法三：验证法：令f (x) x2 ax 1, 对称轴为x a . 当a=0时，f ( x) x2 1≥ 0在（0,1 ]恒成立。 2
2 当a 2时，f (x) x2 2x 1 （x 1）2在（0,1 ]恒成立。
由x (0,1 ]， a ≥ (x 1 ).
2
x
Q (x 1 )在(0,1 ]上是减函数, x2
(x
1 x )max
5 2
a ≥- 5
2
7
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2 则a的最小值为 （ ）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法二：令f (x) x2 ax 1,
2
4
2
10
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，

不等式中的恒(能)成立问题课件-2025届高三数学一轮复习

不等式中的恒(能)成立问题课件-2025届高三数学一轮复习

故a的取值范围是
1
−∞,
2e
.
3.已知函数f（x）＝exsin x.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
解：（1）∵f（x）＝exsin x，x∈R，
∴f'（x）＝exsin
x＋excos
令f'（x）＞0，则sin +
x＝
π
4
2exsin

π
+
4
，
＞0，
π
3π
解得2kπ－ ＜x＜2kπ＋ ，k∈Z，
重难专攻（一）
不等式中的恒（能）
成立问题
利用导数研究不等式恒（能）成立问题，一般可转化为最值问题处理.若a
＞f（x）对x∈D恒成立，则只需a＞f（x）max；若a＜f（x）对x∈D恒成立，则只
需 a＜f（x）min.若存在x0∈D，使a＞f（x0）成立，则只需a＞f（x）min；若存在
x0∈D，使a＜f（x0）成立，则只需a＜f（x）max.由此构造不等式，求解参数的
＝
，


2
2
则在区间（0，1）上，g'（x）＜0，函数g（x）为减函数；
在区间（1，e]上，g'（x）＞0，函数g（x）为增函数.
由题意知g（x）min＝g（1）＝1－a＋3≥0，得a≤4，
所以实数a的取值范围是（－∞，4].
3
x≥－x＋a－

2.设函数f（x）＝（1－x 2 ）e x ，当x≥0时，f（x）≤ax＋1，求实数a的取值
1 2
－x
e ，g'（x）＝－ x （x－1）e－x，
当x∈（－∞，1）时，g'（x）≥0，g（x）单调递增，

高中数学：《不等式恒成立问题》课件

高中数学：《不等式恒成立问题》课件

分析：对比变式（1），
将x看成参数引入函数
g(m) (m2)x2 2(m2)x4 (x2 2x)m 2x2 4x 4
由题意，以上函数图像在
m[1,1] 部分的位于x轴下
方，如图 ：
于是只须：g(1) 0 g(1) 0 解略；
xy
x y4
例2：1已知4 两 m个正0 变量 ， ，满m足
1
a
x
“利用最值 数形结合”
（a 1情况相同）
＊（0k9年上海，11）当
0 x 1时 不等式
sin
x
2

kx
成立，则实
数 的取值范围是___________.
分析：利用引入函数，数形结合，
令
y1

x
s在in 区2 间
0y，12 上k的 x 函数值，y1

y2
由题意，
在0，1的部分
2 m 2
解得 2 m 2 综上
f (x) (m2)x2 2(m2)x 4
(m2)x22(m2)x40 xR
若不等式
对 恒成立，则m的
取值范围
（）
变式（1）：若不等式
对
恒成立，求m的(m取值2)x范2 围2(。m2)x40
x [1,1]
， (Ⅰ) 略
(Ⅱ)如果任意 ,
,求 的取值范围。
分析： (Ⅱ)由题意，即 f (x)min 2 由绝对值的几何意义，| x 1| | x a |
表示数轴上的动点到1与a的距离之和，
结合图形f (x)min a 1 可知：
1
x
a
| a 1| 2
x
1

高数数学必修一《习题课 不等式恒成立、能成立问题》教学课件

高数数学必修一《习题课 不等式恒成立、能成立问题》教学课件
值．
跟踪训练2 已知关于x的方程x2＋x－a－1>0在0≤x≤1上恒成立， 求实数a的取值范围．
解析：由题可知a<x2＋x－1在0≤x≤1上恒成立， 令y＝x2＋x－1，只需a<ymin，而ymin＝－1， 所以a<－1.
题型 3 不等式能成立问题 例3 已知关于x的方程x2＋x－a－1>0在0≤x≤1上有解，求实数a的 取值范围．
围是( )
A．a≤2
B．a≤1
C．0<a≤2
D．0<a≤1
答案：A
解析：依题意得x2－ax＋1≥0，ax≤x2＋1，a≤x＋1x，在0<x<2上，x＋1x≥2 x · 1x＝2，当且仅当x＝1x，x ＝1时等号成立，所以a≤2.故选A.
3．若关于x的不等式x2－6x＋11－a<0在2<x<5内有解，则实数a的取
随堂练习
1.∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，则a的取值范围为( )
A．a<－4
B．a<－4或a＝0
C．a≤－4
D．－4<a<0
答案：A
解析：∀x∈R，不等式ax2＋4x－1<0恒成立，当a＝0时，显然不恒成立，所以ቊΔ
=
a 16
< +
0 4a
<
0，解得：
a<－4.故选A.
2．已知不等式x2－ax＋1≥0，在0<x<2上恒成立，则实数a的取值范
题型 2 在给定范围内恒成立的问题 例2 当－1≤x≤2时，不等式x2＋(m－4)x－5≤0恒成立，求实数m 的取值范围．
解析：令y＝x2＋(m－4)x－5，
∵y≤0在－1≤x≤2上恒成立，

不等式恒成立问题 高中数学必修一 总复习课件


9
81 8m ≥ 3 4 81 8m ≤ 2 4
（４）不等式解集法
m ≤ 9.
22.(14分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.
(1)若f(-1)=0，试判断函数f(x)零点个数；
(2)是否存在a,b,c∈R，使f(x)同时满足以下条件：
i.对 x∈R, f(x-4)= ii. 对 x∈R，都有
m ≤ 9.
o
. 2
3x
.
（３）数形结合思想
不等式恒成立问题
例4. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_. 解：据题意， 818m≥0，
不等式解集为：[9 81 8m , 9 81 8m ]
A4
4
2
3
9
由已知得:
(I)若 已f 知1二次 函0，数试f判(x断) 函a数x2f(bx)x 零 c点.个数；
(I()Ⅱ若)是(fI)否若1存f 在0a1，,b试, c0判，断R试函，判数使断函ff((数xx))
零点个数；
f同(时x)满零足点以个下数条；件
(Ⅱ)是否存在 a,b, c R ，使 f (x) 同时满足以下条件
（2）转换求函数的最值
. 2
3x
.
不等式恒成立问题
例4. 关于x的不等式 2x2 9x m ≤ 0 在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：构造函数 f (x) 2x2 9x m, x [2,3],
则
f (2) ≤ 0
f
(3)
≤
0
y
10 m ≤ 0 9 m ≤ 0

高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册不等式恒成立、能成立问题课件


则实数a的取值范围为{a|a≥4或a≤－1}．
（存在量词命题）解决能成立问题的方法
(1)结合二次函数图象，用判别式解决．
(2)对一些简单的问题也可用分离参数，a>y能成立可转化为a＞ymin，a<y能
成立可转化为a＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取
值范围．当y取不到最小值或最大值时，注意参数取值范围的变动．
2.难点：对参数进行分类讨论。
复习：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
b 2 4ac
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
0
y
y
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
有两相异实根
x1, x2 (x1<x2)
x x x 或x x
4.不等式x2－x－2≥mx－3解集为R·，求实数m的取值范围．
解：由题意x2－x－2≥mx－3在R上恒成立，
整理得x2－(m＋1)x＋1≥0在R上恒成立，
对应二次函数y=x2－(m＋1)x＋1图像在x轴下方没有图像，
有Δ＝[－(m＋1)]2－4＝m2＋2m－3≤0，
解得－3≤m≤1.
小结 ：
1. 含参一元二次不等式恒成立问题属全称量词命题，关键是根据不等式的类
∃ ∈ ,－x2＋4x+a2－3a≥0成立，求实数a的范围(
A．{a|－4≤a≤1}
C．{a|a≥4或a≤－1}
√
)
B．{a|－1＜a＜4}
D．{a|－1≤a≤4}
(存在量词命题)由于函数y=－x2 ＋4x+a2 －3a图像可得，再x轴

[原创精品课件]高中数学热点：不等式的恒成立、恒不成立和不恒成立问题


（Ⅱ）令 g ( x)
f ( x) ax ，则 g ( x) f ( x) a e x e x a ，
（ⅰ） （恒成立问题）若 2 a ≥ 0 a ≤ 2 ， g( x) ex e x a 2 a ， （ 当 且 仅 当
x0
时 ， 等 号 成 立 ） 当
1 a ， ex u u
1 a 在 u 1, ) 单调递 u
2x e x -e x e 1 0 ） 增（也可求导 g ( x) ，∴ g ( x) 在 0, ) 单调递 ex
增，且 x , g ( x) 所以方程 g ( x) 0 的必有一正根为 x1（实
x 0,1 恒有 f x 1 f x
1 x ax 1 x e 1 e ax a 1 x 1 x ln 1 x 1 x x
令： g ( x)
ln
1 x 2 1 x , g ( x) 2 x ln 1 x ， g ( x) 4 x 0 2 2 2 x 1 x 1 x 1 x
4.应用高考连接 例 1： （07 全国一 理 20）设函数 f ( x) ex e x ． （Ⅰ）证明： f ( x) 的导数 f ( x) ≥ 2 ； （Ⅱ）若对所有 x ≥ 0 都有 f ( x) ≥ ax ，求 a 的取值范围． 解法一： （Ⅰ） （恒成立问题） f ( x) 的导数 f ( x) ex e x ． 由于 ex e-x ≥ 2 ex e x 2 ，故 f ( x) ≥ 2 ． （当且仅当 x 0 时，等号 成立） ．
递增，
再令 ( x) e x e x x e x e x , ( x) e x e x x 0 ， x 0 ， ( x) 单调

人教版云南省昭通市实验中学高一数学基本不等式3课件

问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
结论1：两个正数的积为定值，则和有最小值， 当且仅当两值相等时取最值。
结论2：两个正数的和为定值，则积有最大值，
当且仅当两值相等时取最值。
2021/8/6 星期五
6
小结与作业
1.知识小结 : 认识了基本不等式 以及它的简单应用
ab a b (a, b R ) 2
1、利用基本不等式证明其它不等式常用的方法是综
合、分析法，对不等式的有效变形是关键。
2、本题还得到两个正数的平均数大小关系结论。
2021/8/6 星期五
2
例题讲解
例2：（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱 笆最短。最短的篱笆是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面 积最大，最大面积是多少？
如果P是定__值__，那么当且仅当x=y时，S取得最小值_2__P_。
S2
如果S是定__值__，那么当且仅当x=y时，P取得最大值__4__。
2021/8/6 星期五
4
例题讲解
例3、（1）已知a,b都是正数，a+b=1，求 1 1 的最小 ab
值？
(2)求函数y x2 8 (x 0)的最小值。 x
复习引入
重要不等式：a2 b2 2ab(a、b R）
当且仅当a=b时，等号成立.
基本不等式： a b ab(a 0, b 0) 2
当且仅当a =b时，等号成立.
2021/8/6 星期五
1
例题讲解
例1 已知a,b都是正数，求证:
(1) a b a 2 b2Biblioteka 22(2)
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．a
2、（2009.重庆理 5）不等式 x 53 x 1 a2 3a 对
,1 4, 任意实数 x 恒成立，则 a 的取值范围为
．
3、（2011.乌鲁木齐二模理
17）（2）若设
Sn
2
1 2
n1, 对
6 于任意 n N
，总有 Sn
m4 3
成立，则整数
m
的最大值
为
．
4 、（ 2010. 天 津 理 16 ） 设 函 数 f x x2 1, 对 任 意
“不等式恒成立”问题是历年高考的热点。
学习目标：
1、通过本节课，使学生能够掌握“恒成立” 问题的常见解法，提高横向、逆向、创造性 的思维能力。
2、在自主探究和合作交流中，经历知识点产 生和形成过程，不仅重视对研究的掌握和应 用，更重视对研究方法的思想渗透以及分析 问题和解决问题能力的培养。
3、进一步提升理性思维能力，激发学生更积 极主动的学习精神和探究勇气。
f x 0恒成立 f xmin 0 f x 0恒成立 f xmax 0
2、变量分离法（转化为求新函数最值） f (x) g(a) （ a 为参数）恒成立 f (x)min g(a)
f (x) g(a) （ a 为参数）恒成立 f (x)max g(a)
3、数形结合
f x gx恒成立 函数f x的图象恒在 gx的图象上方
方法二、分离变量 （转化为函数求最值）
不等式 x2+ax+2＞0 在 x 1,3 时恒成立
a＞－( x 2 )在 x 1,3 时恒成立．
x
5、当 a 1,3 时，不等式 x2 ax 2 0 恒成立，则
x 的范围为
． x＞－1或x＜－2
y
y
y 数形结合
o 1 3 o 1 3 xo 1 3 x
f 1 g1 a a2 3a 1 a2 2a 1 0 a 12 0
a1
故实数 a＝1．
四、合作探究
湖北文第20题 安徽文第15题理第9题 北京文第18题理第18题 福建文第22题 陕西理第15题第22题 全国统一文第21题 陕西文第15题第21题 浙江理第22题 江苏理第19题 湖南理第22题
二、感悟高考
1、 （2010.山东理 14）若对任意 x>0,
1
x2x 3x1Fra biblioteka恒成立，
则 a 的取值范围为
• 过程与方法： 培养分析、解决问题的能力，体验函数思想 、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化 归思想。
• 学习重点： 理解解决不等式恒成立问题的实质，有效掌 握不等式恒成立问题的基本技能。
• 学习难点： 利用转化思想，通过函数的性质与图像化归 至最值问题来处理恒成立问题。
一、了解高考
“不等式恒成立”的数学问题，不但在近几年 高考中频繁出现，而且出现的试题大多数以大 题为主。2009－2011高考试卷中“不等式恒成 立”的题目如下：
2009年 39套
2010 39套
2011 39套
重庆理第5题 浙江文第21题理第22题 上海理第11题 辽宁理第21题 江西理第15，17题 湖北文理21题 北京理第18题文18题 湖南理第8题 上海春季招生第17题
山东理第14题，全国II文第22题理第20题 全国Ⅲ理第21题 湖北理第21题 海南文第20题理第21题 天津理第16题 湖南理第20题 安徽文第17题理第19题 四川理第22题 江西文第17题理第19题 福建文第22题理第21题
X>0 x
x<0
x=0
设f a ax x2 2
f 1 0 f 3 0
x2 x 2 0
x
2
3x
2
0
x
1或x
2
点评：在不等式中出现了两个字母：x及a,
而我们都习惯把x看成是一个变量，a作为
归纳总结 概括方法
解决恒成立的不等式问题，可以考虑如下方法： 1、直接转化为求函数的最值
取值范围．
题号
例1 例2
书写探究结果
第三小组 第六小组
点评
第五小组 第七小组
四、合作探究
例 1、对任意的 x [1 ,1], 函数 y ax2 a2 x 3aa 0的图
2
象均不在直线 x y 0 的上方，求 a 的取值范围．
方法 1：由题意知：
数形结合
f x ax2 a2 x 3a, gx x ，
第4、5小题 第2小组
点评 第1小组
4、当 x 1,3 时，不等式 x2 ax 2 0 恒成立，则 a 的范围
为
．
a＞ 2 2
方法一、数形结合（转化为函数求最值）
设 f(x)＝x2+ax+2，则
1
a 2
3,
或
a 2
1,
或
a 2
3,
a2 8 0 f (1) a 3 0 f (3) 3a 11 0.
x
3 2
,
,
立，则实数 m
f x 4m2 m
的取值范围是
f
x
m
f x 1
3
．
或m
4
-
f
m
3
恒
成
2
2
三、自主探究
1、已知 x 0, y 0 ，且 2 1 1，若 x 2 y m2 2m 恒 xy
成立，则实数 m 的取值范围为
． 4 m 2
2、不等式 a x2 ax 2 0 对任意 x R 恒成立，则 a 的取
f x gx恒成立 函数f x的图象恒在 gx的图象下方
四、合作探究
例 1、对任意的 x [1 ,1], 函数 y ax2 a2 x 3aa 0的图
2 象均不在直线 x y 0 的上方，求 a 的取值范围．
例 2、当 x 1,2时，不等式 x 12 loga x 恒成立，求 a 的
“不等式恒成立”问题研究
不等式恒成立问题研究
• 内容分析： “不等式恒成立” 问题一直是中学数学的重要内容。 它是函数、数列、不等式、三角等内容交汇处的一 个非常活跃的知识点。 “不等式恒成立”问题涉及到一次函数、二次函数的 性质、图象渗透和换元、化归、数形结合、函数与 方程、分类讨论等数学思想方法。 “不等式恒成立”问题对培养学生的综合解题能力， 培养学生思维的灵活性、创造性都有着独到的作用 。
值范围为
．
0≤a≤8
3、不等式 ax2 ax 2 0 的解集为 ，则 a 的取值范围
为 ． 8a0
第四小组汇报探究结果
4、当 x1,3 时，不等式 x2 ax 2 0恒成立，则 a 的范围
为
．
5、当 a 1,3 时，不等式 x2 ax 2 0恒成立，则 x 的范围
为
．
题号
书写探究结果