2020届高三精准培优专练一 函数的图象与性质(文) 教师版

2020届高三文科数学精准培优专练一：函数的图像与性质（解析版）1.单调性的判断例１：（1）函数212log (4)f x x的单调递增区间是（）A ．(0,)B ．(0),C ．(2,)D ．(),2（2）223yxx的单调递增区间为________．【答案】（1）D ；（2）(],1，0,1【解析】（1）因为12log y t ，0t在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数24tx 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(),2．（2）由题意知，当0x 时，222314()yxx x ；当0x 时，222314()yxx x ，二次函数的图象如图．由图象可知，函数223y xx 在(],1，0,1上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数1y xx的最小值为________．【答案】1【解析】易知函数1yxx在[1,)上为增函数，∴1x 时，min1y ．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x 时，2121()0f x f x x x 恒成立，设12af，2bf ，3cf ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．ca b B ．c b a C ．a c b D ．b a c（2）定义在R 上的奇函数y f x 在(0,)上递增，且102f，则满足19log 0f x的x 的集合为________________．【答案】（1）D ；（2）1|0133x xx或【解析】（1）根据已知可得函数f x 的图象关于直线=1x 对称，且在(1,)上是减函数，因为1522aff ，且52<<32，所以ba c ．（2）由题意知102f ，102f，由19log 0f x得191log 2x或191log 02x解得103x或13x ．４．奇偶性例４：已知偶函数f x 在区间[0,)上单调递增，则满足1(21)3f x f 的x 的取值范围是（）A ．12,33B ．12,33C ．12,23D ．12,23【答案】A【解析】因为f x 是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f x 在[0,)上单调递增，1(21)3f x f ，所以1|21|3x ，所以1233x．故选A ．５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数y f x 在0,7上只有1和3两个零点，且2yf x与7yf x都是偶函数，则函数yf x 在0,2013上的零点个数为（）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】C 【解析】2f x，7f x为偶函数22f x f x，77f x fx，f x 关于2x ，7x 轴对称，f x 为周期函数，且27210T，将0,2013划分为0,1010,202000,20102010,2013f x 关于2x，7x 轴对称4f xf x ，14f xf x160f f ，814860f f f ，34310f f f 在0,10中只含有四个零点，而0,1010,202000,2010共201组所以2014804N；在2010,2013中，含有零点201110f f ，201330f f 共两个，所以一共有806个零点，故选C ．６．中心对称例６：函数f x 的定义域为R ，若1f x与1f x 都是奇函数，则（）A ．f x 是偶函数B ．f x 是奇函数C ．2f x f xD ．3f x是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看f x 的性质，由1f x ，1f x 为奇函数分别可得到：11f x fx ，11f x fx ，所以f x 关于1,0，1,0中心对称，双对称出周期可求得2114T，所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合A ，B ．对于D 选项，因为4T ，所以511f x f x f x ，进而可推出f x 关于3,0中心对称，所以3f x为f x 图像向左平移3个单位，即关于0,0对称，所以3f x为奇函数，D 正确．７．周期性的应用例７：已知f x 是定义在R 上的偶函数，g x 是定义在R 上的奇函数，且()1g xf x，则20172019f f 的值为（）A ．1B ．1C ．0D ．无法计算【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x ，∵f x 是定义在R 上的偶函数，g x 是定义在R 上的奇函数，∴()g x g x ，()f x f x ，∴()()11f xf x ，∴(2)f x f x，∴()4f x f x ，∴f x 的周期为4，∴20171f f （），20193(1)f f f ，又∵1100()f f g （），∴201720190f f ．对点增分集训一、选择题1．若函数2||f x xa 的单调递增区间是[3,)，则a 的值为（）A ．2B ．2C ．6D ．6【答案】C【解析】由图象易知函数2||f xxa 的单调增区间是,2a ，令=32a，∴6a ．2．已知函数2(og 1)l y ax 在1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．0,1B ．1,2C ．[1,)D ．[2,)【答案】C 【解析】要使2(og 1)l y ax 在1,2上是增函数，则0a 且10a ，即1a ．3．设函数()()ln 1ln 1f x x x ，则f x 是（）A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数【答案】A【解析】易知f x 的定义域为()1,1，且()()ln 1l (n 1)f x x x f x -，则y f x 为奇函数，又ln 1ln 1()()yx y x 与在(0,1)上是增函数，所以()()ln 1ln 1f xx x 在(0,1)上是增函数．4．已知函数y f x 的图象关于1x对称，且在(1,)上单调递增，设12af，2bf ，3cf ，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b aB ．b a cC ．b c aD ．a b c【答案】B【解析】∵函数图象关于1x 对称，∴1522aff，又y f x 在(1,)上单调递增，∴5(2)(3)2f f f，即b a c，故选B．5．已知f x是奇函数，g x是偶函数，且2(11)f g，)114(f g，则1g等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】由已知得()11f f，()11g g，则有112114f gf g解得13g．6．函数1()cos(0)f x x x x xx且的图象可能为（）【答案】D【解析】因为11()cos()cos()f x x x x x f xx x ，x且0x，所以函数f x为奇函数，排除A，B．当x时，1()cos0f x，排除C，故选D．7．奇函数f x的定义域为R，若()1f x为偶函数，且12f，则45f f的值为（）A．2 B．1 C．1D．2【答案】A【解析】∵()1f x为偶函数，∴1()()1f x f x，则(()2)f x f x，又y f x为奇函数，则2()()f x f x f x，且00f．从而2(()4)f x f x f x，y f x的周期为4．∴4501022f f f f．8．函数f x的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e xy关于y轴对称，则f x的解析式为（）A．1e xf x B．1e xf x C．1e xf x D．1e xf x【答案】D【解析】与e xy 的图象关于y 轴对称的函数为e xy．依题意，f x 的图象向右平移一个单位，得e xy的图象．∴f x 的图象由e xy的图象向左平移一个单位得到．∴1)1(eex x f x．9．使2)og (l 1x x 成立的x 的取值范围是（）A ．()1,0B ．[)1,0C ．()2,0D ．[)2,0【答案】A【解析】在同一坐标系内作出2(log )y x ，1yx 的图象，知满足条件的,0()1x ，故选A ．10．已知偶函数f x 对于任意R x 都有()1f x f x ，且f x 在区间0,1上是单调递增的，则()65f ．，1()f ，0f 的大小关系是（）A ．0 6.5()()1f f fB ． 6.5()()01f f fC ．()(60)1.5f f f D ．10()( 6.5)f f f 【答案】A 【解析】由()1f x f x ，得1(()2)f xf x f x ，∴函数f x 的周期是2．∵函数f x 为偶函数，∴ 6.50.5()()(0.)5f f f ，()11f f ．∵f x 在区间0,1上是单调递增的，∴00.5(1)f f f ，即0 6.5()()1f f f ．11．对任意的实数x 都有()221f xf x f ，若(1)y f x的图象关于1x 对称，且02f ，则20152016f f （）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】(1)yf x的图象关于1x对称，则函数yf x 的图象关于0x 对称，即函数f x 是偶函数，令1x ，则121(12)()f f f ，∴11210f f f ，即10f ＝，则2(210)f xf x f ，即2()f xf x ，则函数的周期是2，又02f ，则2015201610022f f f f ．12．已知函数e1xf x，243g xxx，若存在f a g b ，则实数b 的取值范围为（）A ．[0,3]B ．(1,3)C ．22,22D ．22,22【答案】D【解析】由题可知e11xf x ，2243211()g xx x x，若f a g b ，则,1(]1g b，即2431bb，即2420bb，解得2222b ．所以实数b 的取值范围为(22,22)．二、填空题13．设函数10001x x xf x，21()g x x f x ，则函数g x 的递减区间是_______．【答案】[0,1)【解析】由题意知221011g xxx x xx，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g x 的减区间是[0,1)．14．若函数R ()f x x 是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为101sin 12x x x xxf x，则294146ff________．【答案】516【解析】由于函数f x 是周期为4的奇函数，所以294137373724244646435si 64n161666f f f f fff f ．15．设函数||f xxa ，1g x x ，对于任意的R x ，不等式f xg x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】[)1,【解析】如图作出函数||f xxa 与1g xx 的图象，观察图象可知：当且仅当1a ，即1a 时，不等式f xg x 恒成立，因此a 的取值范围是[)1,．16．设定义在R 上的函数f x 同时满足以下条件：①0()f x f x ；②()2f x f x ；③当01x 时，21xf x ，则1351(2)222ff ff f ________．【答案】2【解析】依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴1351(2)222ff f f f 1111(0)222f f f f f 1111(0)222f f f f f11211021212122f f f ．三、解答题17．已知函数()ln(2)a f x xx，其中a 是大于0的常数．（1）求函数f x 的定义域；（2）当4()1,a时，求函数f x 在[2,)上的最小值；（3）若对任意,[)2x 恒有0f x，试确定a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）ln 2a ；（3）(2,)．【解析】（1）由20a x x，得220xx ax，当1a 时，220x x a恒成立，定义域为(0,)，当1a 时，定义域为0{|}1x x x且，当01a 时，定义域为{|01111}x xa xa 或．（2）设()2a g x xx，当4()1,a ，,[)2x 时，∴222()10a xag x xx．因此g x 在[2,)上是增函数，∴f x 在[2,)上是增函数．则min()(2)ln2a f x f ．（3）对任意,[)2x ，恒有0f x ．即21a x x对,[)2x 恒成立．∴23axx ．令23h xx x ，,[)2x．由于239()24h x x在[2,)上是减函数，∴max22h xh ．故2a时，恒有0f x．因此实数a 的取值范围为(2,)．18．设f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x ，当10x 时，f x x ．（1）判定f x 的奇偶性；（2）试求出函数f x 在区间[]1,2上的表达式．【答案】（1）f x 是偶函数；（2）1,00,121,2xxx x xxf x．【解析】（1）∵()1()1f x f x ，∴(()2)f x f x ．又2()f xf x ，∴()f x f x ．又f x 的定义域为R ，∴f x 是偶函数．（2）当1[]0,x 时，1,[]0x ，则()f xf x x ；进而当12x 时，120x ，2()2()2f xf xxx．故1,00,121,2xx x xxxf x．。

专题4.4三角函数的图象与性质1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性．2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正－π2，知识点一三角函数的定义域和值域知识点二三角函数的性质函数y ＝sin xy ＝cos x y ＝tan x图象最小正周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性2k π－π2，2k π＋π2为增；[2k π，2k π＋π]为减；k π－π2，k π＋π2为考点一三角函数的定义域【典例1】（陕西省渭南市2018-2019学期中）函数2tan 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的定义域为（）A ．|12x x π⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭B ．|12x x π⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭C ．|,12x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭D ．|,212k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】因为2,32x k k Z πππ+≠+∈，所以,212k x k Z ππ≠+∈故函数的定义域为|,212k x x k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，选D 。

【方法技巧】三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．【变式1】（广东省石门中学2018-2019学年期末）函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________。

x >0，x －12≥0，x >0，x ≥12，k π<x <π＋2k π（k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π（k ∈Z ），所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，|2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈|2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈考点二三角函数的值域(最值)【典例2】(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则()A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4【答案】B【解析】∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4，故选B 。

用函数的图像探究函数的性质一、基础检测1、(2018南京、盐城一模）设函数f(x)是偶函数，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x （3－x ），0≤x ≤3，－3x ＋1，x>3，若函数y ＝f(x)－m 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，94【解析】先画出x ≥0时的函数图像，再利用偶函数的对称性得到x<0时的图像．令y ＝0得f(x)＝m.令y ＝f(x)，y ＝m ，由图像可得要有四个不同的零点，则m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，94.2、(2019苏州期初调查）已知函数f(x)＝|x 2－6|，若a>b>0，且f(a)＝f(b)，则a 2b 的最大值是________． 【答案】16【解析】作出函数f(x)图像，如下图：则0<b<6<a ，由f (a)＝f (b)，所以|a 2－6|＝|b 2－6|，则a 2－6＝6－b 2，所以a 2＝12－b 2，则b ＝(12－b 2)b ，设函数g(b)＝(12－b 2)b ＝－b 3＋12b(0<b<6)，g ′(b)＝－3b 2＋12＝3(2＋b)(2－b)，令g′(b)＝0，则b ＝2，当b ∈(0，2)时，g ′(b)>0，g(b)递增，当b ∈(2，6)时，g ′(b)<0，g(b)递减，所以g(b) 的最大值为16，则a 2b 的最大值是16.解后反思 处理双元变量的最值问题，常用消元法，转化为单元变量的函数来处理，特别注意的是，要注意写准函数的定义域．3、(2019泰州期末）已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ＋2a ，x ≥a ，x 3＋3x －4a ，x<a ，若存在x 0<0，使得f(x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．【答案】 [－1，0)思路分析 本题是一个分段函数的形式，有以下两种处理的思路：思路1.对两段函数分别研究图像和性质，由于研究的是x<0的情形，故分a ≥0和a<0两种情况讨论，当a ≥0时，结论易得；当a<0时，由于x<a 时，f(x)单调递增，而f(a)＝a 3－a ，故要对f(a)＝a 3－a 的正负分三种情况讨论，最后总结，问题得以解决．思路2.考虑能否合并成一个含绝对值的函数，本题f(x)＝x 3－3|x －a|－a ，从而问题转化为y ＝x 3和y ＝3|x －a|＋a 的图像在y 轴左侧有交点的问题，通过函数的图像，不难得到结论．解法1(分类讨论法) 当a ≥0时，只考虑x<a 的情形，f ′(x)＝3x 2＋3>0，f(x)在(－∞，a)上单调递增，而f(0)＝－4a ≤0，显然不存在x 0＜0，使得f(x 0)＝0，所以a ≥0不成立．当a<0时，当x<a 时，f(x)在(－∞，a)上单调递增，且f(x)<f(a)＝a 3－a ，当x ≥a 时，f ′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，①当a 3－a ＝a(a 2－1)>0，即－1<a<0时，则必存在x 0<a ，使得f(x 0)＝0，结论成立； ②当a ＝－1时，f(－1)＝0，结论成立；③当a<－1时，f(x)在 [a ，－1)上单调递增，在(－1，0)上递减，而f(－1)＝2a ＋2<0，结论不成立． 综上实数a 的取值范围是[－1，0)．解法2(图像法) 函数f(x)＝x 3－3|x －a|－a ，由题意可得y ＝x 3与y ＝3|x －a|＋a 在y 轴左侧有交点．y ＝3|x －a|＋a 的顶点为(a ，a)，在直线y ＝x 上，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 3，解得x ＝－1. 又y ＝x 3在x ＝－1处的切线率斜恰为3，画出图像如图所示，数形结合知a ∈[－1，0)解后反思 本题解法1属于常规思路，解法2对函数式的化简和变形提出了很高的要求，其中y ＝3|x －a|＋a 是折线函数，是由y ＝3|x|图像在y ＝x 上滑动所形成的图形，对于此类题型，同学要多总结，多积累，才能灵活应用．4、(2018扬州期末） 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12（－x ＋1）－1，x ∈[－1，k]，－2|x －1|，x ∈（k ，a]，若存在实数k 使得该函数的值域为[－2，0]，则实数a 的取值范围是________．【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2【解析】根据函数f(x)的解析式作出草图如图，①当x ∈[－1，k]时，f(x)＝log 12(－x ＋1)－1，它在[－1，1)上是单调递增的，且f(－1)＝－2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，因为该函数在[－1，a]上的值域为[－2，0]，所以必须有－1<k ≤12；②当x ∈(k ，a]时，f(x)＝－2|x －1|，在(－∞，1]上单调递增，在[1，＋∞)上单调递减，且f(0)＝f(2)＝－2，f(1)＝0，因为函数的值域为[－2，0]，所以必须有0≤k<a ≤2.综合①②，要求存在实数k 使得该函数的值域为[－2，0]，则必须0≤k ≤12<a ≤2.所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2.5、(2018镇江期末）已知k 为常数，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ＋1，x ≤0，|ln x|，x>0，若关于x 的方程f(x)＝kx ＋2有且只有四个不同解，则实数k 的取值构成的集合为________．【答案】 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)【解析】作函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像，如图所示，两图像除了(0，2)还应有3个公共点，当k ≥0时，直线应与曲线y ＝f(x)(x>1)相切，设切点(x 0，ln x 0)，则切线斜率为k ＝1x 0，又k ＝ln x 0－2x 0，则1x 0＝ln x 0－2x 0，解得x 0＝e 3，此时k ＝1e 3，当k<0时，当y ＝kx ＋2与曲线y ＝x ＋2x ＋1相切于点(0，2)时，函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，此时k ＝－1，当－1<k<0时，函数y ＝f(x)和y ＝kx ＋2的图像只有三个公共点，不符合题意，当直线y ＝kx ＋2与y ＝f(x)(0<x<1)相切时，两图像只有三个公共点，设切点(x 0，－ln x 0)，则切线的斜率k ＝－1x 0，又k ＝－ln x 0－2x 0，则－1x 0＝－ln x 0－2x 0，解得x 0＝e －1，此时k ＝－e 不符合题意，当k<－e 时，两图像只有两个公共点，不合题意，而当－e <k<－1时，两图像有4个公共点，符合题意，所以实数k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫1e 3∪(－e ，－1)．解后反思 方程解的个数的判断，常转化为函数图像公共点个数的判断，在转化的过程中，一般将它转化为一个确定的函数与一个不确定的函数，这样，只需要研究不确定的函数的图像的变化情况就可以得到问题的解．转化时有时也会做一些“技术”上的处理，比如本题可以知方程f(x)＝kx ＋2一定有一个零解，在x ≠0时，可以转化为直线y ＝k 与曲线y ＝f （x ）－2x 有三个公共点来处理，这样做的好处是在画出两图像后很容易得到k 的取值范围，但曲线画起来难度增加了．6、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】(1，＋∞)解法1(直接法) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，因为f ′(x )＝3x 2－3m ，令f ′(x )＝0，则x 2－m ＝0，若m ≤0，则函数f (x )为增函数，不合题意，故m >0，所以函数f (x )在(－∞，－m )上为增函数，在(－m ，0]上为减函数，即f (x )max ＝f (－m )＝－m m ＋3m m －2＝2m m －2，f (0)＝－2<0，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0]上有2个不同的零点，则f (x )max ＝2m m －2>0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)．解法2(分离参数) 当x>0时，令f(x)＝e －x－12＝0，解得x ＝ln 2>0，此时函数f(x)有1个零点，因为要求函数f(x)在R 上有3个不同的零点，则当x ≤0时，f (x )＝x 3－3mx －2有2个不同的零点，即x 3－3mx －2＝0，显然x ＝0不是它的根，所以3m ＝x 2－2x ，令y ＝x 2－2x (x <0)，则y ′＝2x ＋2x 2＝2（x 3＋1）x2，当x ∈(－∞，－1)时，y ′<0，此时函数单调递减；当x ∈(－1，0)时，y ′>0，此时函数单调递增，故y min ＝3，因此，要使f (x )＝x 3－3mx －2在(－∞，0)上有两个不同的零点，则需3m >3，即m >1. 二、拓展延伸题型一、运用函数图像解决多元问题知识点拨：解决多元问题的最值问题主要思想就是把多元问题转化为单元问题，要通过函数的图像找到各个参数的关系，但要注意参数的范围。

培优专练一一、文言文阅读文言实词积累一：（一）、阅1. 安：1、怎么（安求其能千里也）2、养（衣食所安）（二）、卑：1、低下（非天质之卑）2、身份低微（先帝不以臣卑鄙）（三）、备: 1、周全、详尽。

（前人之述备矣《岳阳楼记》）2、具备。

（一时齐发，众妙毕备《口技》）3、准备。

（犹得备晨炊《石壕吏》）（四）、被：1、影响（被于来世）2、同“披”，穿（皆被绮绣）（五）、鄙：1、边境（蜀之鄙有二僧《为学》）2、鄙陋、目光短浅（肉食者鄙《曹刿论战》）3、出身鄙野（先帝不以臣卑鄙《出师表》）（六）、毕：1、尽（毕力平险《愚公移山》）2、全部（群响毕绝《口技》）（七）、薄：1、迫近，接近。

（薄暮冥冥《岳阳楼记》）2、轻视。

（不宜妄自菲薄《出师表》）（八）、厚度小。

（薄如钱唇《活板》）（九）、策：1、马鞭。

（执策而临之《马说》）2、鞭打、驱使。

（策之不以其道《马说》）3、记录。

（策勋十二传《木兰诗》）4、计谋。

（成语“束手无策”）（十）、长：cháng 1、长度。

（舟首尾长约八分有奇《核舟记》）2、与“短”相对。

（北市买长鞭《木兰诗》）3、长久，健康。

（但愿人长久《明月几时有》）4、永远。

（死者长已矣《石壕吏》）5、zhǎng，排行最大（木兰无长兄(《木兰诗》) 6、zhǎng，头领。

（吴广皆次当行，为屯长《陈涉世家》）（一）读下面文言文，完成小题。

【甲】若夫淫雨霏霏，连月不开，阴风怒号，浊浪排空，日星隐曜，山岳潜形，商旅不行，樯倾楫摧，薄暮冥冥，虎啸猿啼。

登斯楼也，则有去国怀乡，忧谗畏讥，满目萧然，感极而悲者矣。

至若春和景明，波澜不惊，上下天光，一碧万顷，沙鸥翔集，锦鳞游泳，岸芷汀兰，郁郁青青。

而或长烟一空，皓月千里，浮光跃金，静影沉璧，渔歌互答，此乐何极！登斯楼也，则有心旷神怡，宠辱偕忘，把酒临风，其喜洋洋者矣。

嗟夫！予尝求古仁人之心，或异二者之为，何哉？不以物喜，不以己悲，居庙堂之高则忧其民，处江湖之远则忧其君。

2020届高三好教育精准培优专练例1：为了得到函数πsin(2)6y x=-的图象，只需把函数sin2y x=的图象上所有的点（）A．向左平移6π个单位长度B．向右平移6π个单位长度C．向左平移π12个单位长度D．向右平移π12个单位长度【答案】D【解析】根据题意πsin()sin2(π()2126)f x xx⎡⎤=--⎢⎣=⎥⎦，故只需把函数sin2y x=的图象上所有的点，向右平移π12个单位长度，可得到函数sin(2)6πy x=-的图象，故答案为D．例2：已知函数()sin()f x A xωϕ=+（其中0A>，0ω>，π2ϕ<）的部分图像如图所示，则函数的解析式为()f x=_________________．【答案】2sin(3)3πx+二、根据图象求函数解析式一、图象平移培优点六三角函数【解析】由函数图象可知2A =， 又7π2ππ41896T =-=，2π3T =，所以2π3Tω==， 因为函数图象过点7π(,2)18-，代入解析式可知7πsin()16ϕ+=-， 因为π2ϕ<，所以7π3π62ϕ+=，π3ϕ=， 所以函数解析式为()2sin π(3)3f x x =+．例3：设函数()sin f x x =，x ∈R ．（1）已知[0,2)θ∈π，函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22()()124y f x f x ππ⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的单调区间及值域．【答案】（1）θ值为π2，3π2；（2）见解析． 【解析】（1）由题意结合函数的解析式可得()()sin f x x θθ+=+， 函数为偶函数，则当0x =时，()π0π2k k θ+=+∈Z ，即()ππ2k k θ=+∈Z ， 结合[)0,2θ∈π可取0,1k =，相应的θ值为π2，3π2． (2)由函数的解析式可得22ππsin ()sin ()124y x x =+++ ππ1cos(2)1cos(2)6222x x -+-+=+ 1ππ111cos(2)cos(2)12sin 2sin 2)26222x x x x x ⎡⎤=-+++=---⎢⎥⎣⎦三、通过三角恒等变换，求目标函数的单调区间及值域13π12sin 2)1)226x x x =--=-．πππ2(2π,2π)622x k k -∈-+，ππ(π,π)63x k k ∈-+，所以函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的单调增区间为ππ(π,π)63x k k ∈-+，单调减区间为π5π(π,π)36x k k ∈++，值域为1,122⎡-+⎢⎣⎦．一、选择题1．已知tan 2α=，则sin cos sin cos αααα+-等于（ ）A ．13B ．3C ．3±D ．13±【答案】B 【解析】sin cos tan 121=3sin cos tan 121αααααα+++==---．2．已知角α的终边经过点(2,1)P -，则（ ）A ．sin α=B ．sin α=C ．cos α=D ．tan 2α=-【答案】A【解析】角α的终边经过点(2,1)P -，所以点P 根据三角函数定义得到sin α==cos a ==，1tan 2α=-． 3．下列不等式中，成立的是（ ）A ．sin()sin 10π81π-> B ．2317cos(π)cos(π)54-<- C ．cos()si 4π4πn()-<-D ．7π2tan tan(π)55<- 【答案】B对点增分集训【解析】由正弦函数的性质和诱导公式，可得sin()sin sin 1811π80ππ-=-<，所以A 不正确； 由cos()co 23π23π3πco 55s s 5==-，17π17ππcos()cos cos 444-==， 根据余弦函数的单调性，可得3ππcoscos 54<，所以cos()23π17πcos()54<--，所以B 正确；由cos()co 2πs4π4-==，ππsin()sin 442-=-=-， 因为ππcos()sin()44->-，所以C 不正确；由7π2π2π2πtan(π)tan tan()555ta 5n=+=>-，所以D 不正确． 4．为了得到函数sin(3)6πy x =+的图象，只需把函数sin3y x =的图象（ ） A ．向左平移π6B ．向左平移π18C ．向右平移π6D ．向右平移π18【答案】B【解析】由题意，函数sin3y x =图象上所有的点向左平移π18个单位， 可得函数πsin(3)6y x =+的图象． 5．将函数2sin()sin()3ππ6y x x =+-的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数恰为 偶函数，则ϕ的最小值为（ ） A ．π6B ．π12C ．4π D ．π3【答案】B 【解析】πππ()()362x x ++-=，πππ()()623x x ∴-=-+，ππππsin()sin[()]cos()6233x x x ∴-=-+=+，2π2sin()cos()sin(2)π333πy x x x +=+∴=+，向右平移(0)ϕϕ>个单位得2π2πsin[2()]sin[22]33y x x ϕϕ=-+=-+， 平移后的函数恰为偶函数，0x ∴=为其对称轴，0x ∴=时，1y =±，2ππ2π,32k k ϕ∴-+=+∈Z ，即ππ,212k k ϕ=-+∈Z ， 0ϕ>，0k ∴=时，min π12ϕ=．6．函数()sin 22f x x x =-在区间2π,2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点之和是（ ） A ．3π-B ．6π-C ．π3D ．6π 【答案】B【解析】由()sin 220f x x x ==，得sin 22x x =，即tan 2x =所以π2π3x k =+，即ππ26k x =+， 又因为,22ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当1k =-时，3πx =-；0k =时，π6x =，函数()sin 22f x x x =-在区间2π,2π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点之和是πππ366-+=-．7．已知函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线3π4x =对称，且()f x 在0,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调函数， 下述四个结论：①满足条件的ω取值有2个； ②3π(,0)2为函数()f x 的一个对称中心；③()f x 在0π,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④()f x 在(0,π)上有一个极大值点和一个极小值点． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①④ B ．②③C ．①②④D ．①②③【答案】D【解析】因为函数()()sin 0f x x ωω=>的图象关于直线3π4x =对称， 所以3ππk π42ω=+，41()0,32k k ω=+>∈Z ， 又()f x 在0,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为单调函数，2ππ44ω∴≤，即2ω≤，所以23ω=或2ω=，即()2sin 3f x x =或()sin 2f x x =，所以总有3π()02f =， 故①②正确； 由()2sin3f x x =或()sin 2f x x =图像知，()f x 在0π,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故③正确； 当(0,π)x ∈时，()2sin3f x x =只有一个极大值点，不符合题意，故④不正确； 综上，所有正确结论的编号是①②③． 8．已知函数2()cos2cos 1,(0)222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 方程()f x m ＝恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】2()cos2cos 1222xxxf x ωωω=+-cos π2sin()6x x x ωωω=+=+ 由2ππT ω==，得2ω=．()π2sin(2)6f x x ∴=+．作出函数()f x 在π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象如图：由图可知，12π3x x +=，()12ππ12sin 221362f x x ⎛⎫∴+=⨯+=⨯= ⎪⎝⎭．二、填空题9．若2sin 1cos αα=+，则tan α=________． 【答案】43或0 【解析】因为2sin 1cos αα=+，22sin cos 1αα+=，所以25sin 4sin 0αα-=， 因此sin 0α=或4sin 5α=， 当sin 0α=时，cos 1α=-，tan 0α=；当4sin 5α=时，3cos 5α=，4tan 3α=， 综上4tan 3α=或0． 10．设函数()sin()cos()f x x x θθ=+++对任意的()x x ∈R 均满足()()f x f x -=-，则tan θ=____________． 【答案】1-【解析】因为π()sin()cos())4f x x x x θθθ=+++=++， 又因为()()f x f x -=-所以函数()f x 为奇函数， 即ππ,4k k θ+=∈Z ，ππ,4k k θ=-∈Z ，所以πtan tan()14θ=-=-． 故答案为1-．11．已知函数()si tan n f x x x =给出下列结论： ①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的最小正周期是2π； ③函数()f x 在区间 (0,2π)上是减函数； ④函数()f x 的图象关于直线πx =对称．其中正确结论的序号是___________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④【解析】由题，()si tan n f x x x =，定义域为ππ2x x k ⎧⎫≠+⎨⎬⎩⎭关于原点对称， ()sin()tan( )sin tan ()f x x x x x f x -=--==，所以为偶函数，①正确；tan x 的周期为π，sin x 的周期为2π，()f x 的最小周期只能是π与2π中的一个，(π)sin(π)tan(π)sin tan () f x x x x x f x +=++=--=，所以π不是函数()f x 的周期，(2π)sin(2π)tan(2π)sin tan () f x x x x x f x +=++==所以函数()f x 的最小正周期是2π，②正确；π()6f =，π3()32f =，ππ()()63f f <，所以函数()f x 在区间π(0,)2上不是减函数，③错误； (π)sin(π)tan(π)sin tan f x x x x x -=--=-，而(π)sin(π)tan(π)sin tan f x x x x x +=++=-，所以(π)(π)f x f x -=+， 即函数()f x 的图象关于直线πx =对称，④正确， 故答案为①②④．12．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图像如图所示， 则使()()0f x m f m x +--=成立的m 的最小正值为_______．【答案】π12【解析】由函数图象可知1A =， 又7πππ41234T =-=，πT =，所以2π2T ω==， 因为函数图象过点π(,0)3，代入解析式可知2πsin()03ϕ+=， 因为π2ϕ<，所以2ππ3ϕ+=，π3ϕ=， 所以函数解析式为()sin π(2)3f x x =+，其对称轴由2πππ,32x k k +=+∈Z ，可得ππ,212k x k =+∈Z ， 因为()()0f x m f m x +--=，即()()f x m f m x +=-， 所以x m =是函数的一条对称轴，当0k =时，m 的最小正值为12πm =．三、解答题13．设函数2()cos cos f x x x x m =++．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）当,63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为2，求函数()f x 的最大值及其取最大值时对应的x 的值． 【答案】（1）πT =，单调增区间为ππ6π,3πk k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ；（2）()f x 取得最大值为72，ππ6x k =+．【解析】（1）由于函数21cos 2()cos cos 22xf x x x x m x m +=++=++π1sin(2)62x m =+++，∴最小正周期为2ππ2T ==． 由2π22ππ22π6πk x k -≤+≤+，得ππ6π3πk x k -≤≤+， 故函数()f x 的单调增区间为ππ6π,3πk k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （2）当,63ππx ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，6π5π266πx -≤+≤，∴1sin(2π)126x -≤+≤，故当π1sin(2)62x +=-时，原函数取最小值2，即11222m -++=，∴2m =， 故5()sin(2)6π2f x x =++， 故当sin(2)1π6x +=时，()f x 取得最大值为72，此时ππ22π62x k +=+，ππ6x k =+． 14．已知α是第三象限角，且3πsin(π)cos(2π)tan(π)tan()2()sin(π)f αααααα-----+=--．（1）若3π1cos()25α-=，求()f α的值； （2）求函数2()sin y f x x =+，π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域． 【答案】（1；（2）15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【解析】（1）()cos sin cos (tan )()sin cos sin f αααααααα-⋅⋅-⋅-==-，3π1cos()sin 25αα-=-=，∴1sin 5α=-，α是第三象限角，∴cos α=()f α=．（2）222π2π()sin cos sin sin sin 1,,63y f x x x x x x x ⎡⎤=+=+=-++∈-⎢⎥⎣⎦， 令sin t x =，则1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 故()2sin y f x x =+在π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上值域等价于22151()24y t t t =-++=--+在1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域； ∴当12t =时，max 54y =，当12t =-时，min 14y =， ∴函数的值域是15,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15．已知函数π())2sin cos 3f x x x x =--．（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在[]0,π上单调递增区间．【答案】（1）πT =；（2）单调递增区间为0,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）由题意，函数33()2sin 2sin 222f x x x x =+-1sin 2cos 2sin(2)223πx x x =+=+， 所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==． （2）令πππ2π22π232k x k -≤+≤+，k ∈Z ，得5ππππ1212k x k -≤≤+，k ∈Z ， 由[0,π]x ∈，得()f x 在[]0,π上单调递增区间为0,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7π,π12⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 16．设函数()()sin(2),(π0),f x x y f x ϕϕ=+-<<=的一条对称轴是直线π8x =． （1）求ϕ得值；（2）求()y f x =得单调增区间；（3）π(0,)4x ∈，求()f x 的值域．【答案】（1）3π4ϕ=-；（2）单调增区间π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ；（3）1,2⎡⎫--⎪⎢⎪⎣⎭． 【解析】（1）根据函数()f x 的一条对称轴是直线π8x =， 有ππ2π,82k k ϕ⨯+=+∈Z ，结合π0ϕ-<<，可得3π4ϕ=-． （2）由（1）可得()3πsin(2)4f x x =-， 令π3ππ2π22π,242k x k k -≤-≤+∈Z ，可得π5πππ,88k x k k +≤≤+∈Z ， 故函数的单调增区间为π5ππ,π,88k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ．（3）因为π(0,)4x ∈，所以3π3ππ2(,)444x -∈--，所以3π1sin(2)42x -≤-<-，故()f x 的值域为1,2⎡⎫--⎪⎢⎪⎣⎭．。

【高考复习】2020年高考数学(文数)函数的图象与性质 小题练一、选择题1.已知函数f(x)=x|x|－2x ，则下列结论正确的是( )A ．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)D ．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)2.使log 2(－x)＜x ＋1成立的x 的取值范围是( )A ．(－1，0)B ．[－1，0)C ．(－2，0)D ．[－2，0)3.下列函数f(x)的图象中，满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＞f(3)＞f(2)的只可能是( )4.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f(x)=k 有两个不等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(0，1]5.方程x 2+ax-2=0在区间[1,5]上有解,则实数a 的取值范围为( )A.B.(1,+∞)C.D.6.若函数f(x)=(1-x 2)(x 2+ax-5)的图象关于直线x=0对称,则f(x)的最大值是( ) A.-4 B.4 C.4或-4 D.不存在7.已知实数a≠0，函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f(1－a)=f(1＋a)，则a 的值为( )A ．－32B ．－34C ．－32或－34D ．32或－348.y=x+xx ||的图象是（ ）9.已知函数f(x)=－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．210.已知二次函数f(x)的二次项系数为a ，且不等式f(x)>－2x 的解集为(1，3)．若方程f(x)＋6a=0有两个相等的根，则实数a=( )A ．－0.2B ．1C ．1或－0.2D ．－1或－0.211.设函数f(x)=mx 2－mx －1，若对于x ∈[1，3]，f(x)<－m ＋4恒成立，则实数m 取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．0，57C ．(－∞，0)∪0，57D ．－∞，5712.对二次函数f(x)=ax 2＋bx ＋c(a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( )A ．－1是f(x)的零点B ．1是f(x)的极值点C ．3是f(x)的极值D ．点(2，8)在曲线y=f(x)上二、填空题13.如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）的值等于________．14.已知点P 1(x 1,2 015)和P 2(x 2,2 015)在二次函数f(x)=ax 2+bx+9(a ≠0)的图象上,则f(x 1+x 2)的值为 . 15.已知函数⎩⎨⎧<-≥-=3,313,12)(x x x x x f ，则f[f(-1)]的值是________.16.已知f(x-1)的定义域为[-3,3]，则f(x)的定义域为____________． 17.已知函数f(x)=x 2－2tx ＋1，在区间[2，5]上单调且有最大值为8，则实数t 的值为______．18.若函数y=x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是________．答案解析1.答案为：C ；解析：选C.将函数f(x)=x|x|－2x 去掉绝对值得f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上单调递减．2.答案为：A ；解析：选A.在同一坐标系内作出y=log 2(－x)，y=x ＋1的图象，知满足条件的x∈(－1，0)．3.答案为：D.4.答案为：D ；解析：选D.作出函数y=f(x)与y=k 的图象，如图所示：由图可知k∈(0，1]，故选D.5.C 方程x 2+ax-2=0在区间[1,5]上有解转化为方程a=在区间[1,5]上有解,即y=a 与y=的图象有交点,又因为y==-x 在[1,5]上是减函数,所以其值域为,故选C.6.B 依题意,知函数f(x)是偶函数,则y=x 2+ax-5是偶函数,故a=0,则f(x)=(1-x 2)(x 2-5)=-x 4+6x 2-5=-(x 2-3)2+4,当x 2=3时, f(x)取最大值,为4. 7.答案为：B.解析：当a ＞0时，1－a ＜1，1＋a ＞1.由f(1－a)=f(1＋a)得2－2a ＋a=－1－a －2a ，解得a=－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1，1＋a ＜1，由f(1－a)=f(1＋a)得－1＋a －2a=2＋2a ＋a ，解得a=－34，所以a 的值为－34，故选B.8.答案：C9.答案为：A ；解析：f(x)=－x 2＋4x ＋a=－(x －2)2＋a ＋4，∴函数f(x)=－x 2＋4x ＋a 在[0，1]上单调递增， ∴当x=0时，f(x)取得最小值，当x=1时，f(x)取得最大值， ∴f(0)=a=－2，f(1)=3＋a=3－2=1，故选A ．10.答案为：A ；解析：因为f(x)＋2x>0的解集为(1，3)，设f(x)＋2x=a(x －1)(x －3)，且a<0，所以f(x)=a(x －1)(x －3)－2x=ax 2－(2＋4a)x ＋3a ．由方程f(x)＋6a=0得ax 2－(2＋4a)x ＋9a=0．因为方程有两个相等的根，所以Δ=[－(2＋4a)]2－4a·9a =0，解得a=1或a=－15．由于a<0，则a=－15．故选A ．11.答案为：D ；解析：由题意，f(x)<－m ＋4对于x ∈[1，3]恒成立，即m(x 2－x ＋1)<5对于x ∈[1，3]恒成立．∵当x ∈[1，3]时，x 2－x ＋1∈[1，7]，∴不等式f(x)<－m ＋4等价于m<5x 2－x ＋1．∵当x=3时，5x 2－x ＋1取最小值57，∴若要不等式m<5x 2－x ＋1对于x ∈[1，3]恒成立，则必须满足m<57，因此，实数m 的取值范围为－∞，57，故选D ．12.答案为：A ；解析：由已知得，f′(x)=2ax ＋b ，则f(x)只有一个极值点，若A ，B 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，2a ＋b ＝0，解得b=－2a ，c=－3a ，则f(x)=ax 2－2ax －3a ．由于a 为非零整数，所以f(1)=－4a≠3，则C 错误．而f(2)=－3a≠8，则D 也错误，与题意不符， 故A ，B 中有一个错误，C ，D 都正确． 若A ，C ，D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8，②4ac －b 24a ＝3，③由①②得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝83－a ，c ＝83－2a ，代入③中并整理得9a 2－4a ＋649=0，又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋649=0无整数解，故A 错误．若B ，C ，D 正确，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，4a ＋2b ＋c ＝8，解得a=5，b=－10，c=8，则f(x)=5x 2－10x ＋8，此时f(－1)=23≠0，符合题意．故选A ．一、填空题13.答案为：2；解析：由题中图象知f(3)=1，∴1f （3）=1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）=f(1)=2.14.答案9解析 依题意得x 1+x 2=-,则f(x 1+x 2)=f=a+b+9=9.15.答案为：7[解析]：∵x<3时，f(x)=1-3x ，∴f(-1)=1-3×(-1)=4.又∵x ≥3时，f(x)=2x-1，∴f(4)=2×4-1=7.∴f[f(-1)]=f(4)=7.16. [答案][-4,2][解析] ∵-3≤x ≤3，∴-4≤x-1≤2，∴f(x)的定义域为[-4,2]．17.答案为：1.8；解析：函数f(x)=x 2－2tx ＋1图象的对称轴是x=t ，函数在区间[2，5]上单调，故t≤2或t≥5. 若t≤2，则函数f(x)在区间[2，5]上是增函数， 故f(x)max =f(5)=25－10t ＋1=8，解得t=1.8；若t≥5，函数f(x)在区间[2，5]上是减函数，此时f(x)max =f(2)=4－4t ＋1=8， 解得t=－0.75，与t≥5矛盾． 综上所述，t=1.8.18.答案为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3； 解析：因为y=x 2－3x －4=⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，且f(0)=－4，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，所以32∈[0，m]，即m≥32．又f(m)≤－4，则0≤m≤3，所以32≤m≤3．。

专题4.4 三角函数的图象与性质1．（湖南师范大学附属中学2018-2019学年期中）给出如下四个函数：①()()3cos 3sin f x x xx x =+-；②()44sin cos f x x x =+；③()2sin sin f x x b x c =++，b ，c 为常数；④()sin 2cos2f x x x =+．其中最小正周期一定为π的函数个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【★答案★】B 【解析】())3cos 3sin 2sin 23f x x xx x x π⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭周期为π．()44222131sin cos 12sin cos 1sin 2cos 4244f x x x x x x x =+=-=-=+周期为2π；对()2sin sin f x x b x c =++，当0b ≠时，易知()()f x f x π+=不恒成立，()sin 2cos 2224f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭周期为2π；因此仅有())3cos 3sin f x x xx x =+-满足，故选B 。

2．（山西省临汾第一中学2018-2019学年期中）若0ω>，函数cos()3y x πω=+的图像向右平移3π个单位长度后关于原点对称，则ω的最小值为（ ）A ．112B ．52C ．12D ．32【★答案★】B【解析】函数cos()3y x πω=+的图像向右平移3π个单位长度后，对应图像的解析式为()cos()33g x x πωπω=+-，因为()g x 的图像关于原点对称，所以,332k k Z πωπππ-=+∈，故13,2k k Z ω=--∈，因0ω>，故ω的最小值为52，故选B 。

3．（福建省三明市第一中学2018-2019学年期中）已知函数(2sin(2)3f x x π=+），则下列关于该函数()f x 图象对称性的描述正确的是（ ）A ．关于点(,0)6π对称 B ．关于点5(,0)12π-对称 C ．关于直线3x π=对称 D ．关于直线12x π=对称【★答案★】D 【解析】令232x k πππ+=+，其中k Z ∈，所以,212k x k Z ππ=+∈，当0k =时，12x π=，故()f x 的图像关于直线12x π=对称，因为2123k πππ+=无整数解k ，故直线3x π=不是函数图像的对称轴。

培优点一 函数的图象与性质1.单调性的判断例１：（1）函数()212log (4)f x x -=的单调递增区间是（ ）A ．(0,)+∞B ．(0),-∞C ．(2,)+∞D ．(),2-∞-（2）223y x x +-+=的单调递增区间为________． 【答案】（1）D ；（2）(],1-∞-，[]0,1【解析】（1）因为12log y t =，0t >在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数24t x =-的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(),2-∞-． （2）由题意知，当0x ≥时，222314()y x x x =-+=--++；当0x <时，222314()y x x x =-+=-+-+，二次函数的图象如图．由图象可知，函数223y x x +-+=在(],1-∞-，[]0,1上是增函数．2．利用单调性求最值例2：函数1y x x =+-________． 【答案】1【解析】易知函数1y x x =+-[1,)+∞上为增函数，∴1x =时，min 1y =．3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式例3：（1）已知函数()f x 的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当211x x >>时，()()2121()0f x f x x x -⋅-⎡⎤⎣⎦<恒成立，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为 （ ） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．a c b >>D ．b a c >>（2）定义在R 上的奇函数()y f x =在(0,)+∞上递增，且102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则满足19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的x 的集合为________________．【答案】（1）D ；（2）1|0133x x x ⎧⎫<<<<⎨⎬⎭⎩或【解析】（1）根据已知可得函数()f x 的图象关于直线=1x 对称，且在(1,)+∞上是减函数，因为1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且52<<32，所以b a c >>．（2）由题意知102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由19log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭得191log 2x >或191log 02x -<<解得103x <<或13x <<．４．奇偶性例４：已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()f x 是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又()f x 在[0,)+∞上单调递增，1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭，所以1|21|3x -<，所以1233x <<．５．轴对称例５：已知定义域为R 的函数()y f x =在[]0,7上只有1和3两个零点，且()2y f x =+与()7y f x =+都是偶函数，则函数()y f x =在[]0,2013上的零点个数为（ ）A ．404B ．804C ．806D ．402【答案】C【解析】()2f x +Q ，()7f x +为偶函数()()22f x f x ∴+=-+，()()77f x f x +=-+，()f x ∴关于2x =，7x =轴对称，()f x ∴为周期函数，且()27210T =⋅-=，∴将[]0,2013划分为[)[)[)[]0,1010,202000,20102010,2013U UL U U()f x Q 关于2x =，7x =轴对称()()4f x f x ∴=-，()()14f x f x =- ()()160f f ==Q ，()()()814860f f f =-==，()()()34310f f f =-==∴在[)0,10中只含有四个零点，而[)[)[)0,1010,202000,2010U UL U 共201组所以2014804N =⨯=；在[]2010,2013中，含有零点()()201110f f ==，()()201330f f ==共两个，所以一共有806个零点６．中心对称例６：函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +与()1f x -都是奇函数，则（ ） A ．()f x 是偶函数B ．()f x 是奇函数C ．()()2f x f x =+D ．()3f x +是奇函数【答案】D【解析】从已知条件入手可先看()f x 的性质，由()1f x +，()1f x -为奇函数分别可得到：()()11f x f x +=--+，()()11f x f x -=---，所以()f x 关于()1,0，()1,0-中心对称，双对称出周期可求得()2114T =⋅--=⎡⎤⎣⎦，所以C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合A ，B ．对于D 选项，因为4T =，所以()()()511f x f x f x +=+=--+，进而可推出()f x 关于()3,0中心对称，所以()3f x +为()f x 图像向左平移3个单位，即关于()0,0对称，所以()3f x +为奇函数，D 正确．７．周期性的应用例７：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()()1g x f x =-， 则()()20172019f f +的值为（ ） A ．1- B ．1 C ．0 D ．无法计算【答案】C【解析】由题意，得(()1)g x f x ---=，∵()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，∴()()g x g x -=-，()()f x f x -=，∴()()11f x f x =--+， ∴()(2)f x f x +=-，∴()()4f x f x =+，∴()f x 的周期为4， ∴()20171f f =（），()()20193(1)f f f ==-， 又∵()1100()f f g -===（），∴()()201720190f f +=．一、选择题1．若函数()2||f x x a =+的单调递增区间是[3,)+∞，则a 的值为（ ） A ．2- B ．2C ．6-D ．6【答案】C【解析】由图象易知函数()2||f x x a =+的单调增区间是,2a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，令=32a -，∴6a =-．2．已知函数2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,1 B ．[]1,2C ．[1,)+∞D ．[2,)+∞【答案】C【解析】要使2(og 1)l y ax =-在()1,2上是增函数，则0a >且10a -≥，即1a ≥． 3．设函数()()()ln 1ln 1f x x x =-+-，则()f x 是（ ） A ．奇函数，且在(0,1)内是增函数 B ．奇函数，且在(0,1)内是减函数 C ．偶函数，且在(0,1)内是增函数 D ．偶函数，且在(0,1)内是减函数 【答案】A【解析】易知()f x 的定义域为()1,1-，且()()()ln 1l (n 1)f x x x f x -+-=-=-，则()y f x =为对点增分集训奇函数，又ln 1ln 1()()y x y x =+=--与在(0,1)上是增函数，所以()()()ln 1ln 1f x x x =-+-在(0,1)上是增函数．4．已知函数()y f x =的图象关于1x =对称，且在(1,)+∞上单调递增，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】∵函数图象关于1x =对称，∴1522a f f ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()y f x =在(1,)+∞上单调递增，∴5(2)(3)2f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<，故选B ．5．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()2(11)f g -+=，())114(f g -=+，则()1g 等于（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B【解析】由已知得()()11f f -=-，()()11g g -=，则有()()()()112114f g f g -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得()13g =，故选B ．6．函数1()cos (0)f x x x x x x ⎛⎫=--π≤≤π≠ ⎪⎝⎭且的图象可能为（ ）【答案】D【解析】因为11()cos()cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，x -π≤≤π且0x ≠，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ．当x =π时，1()cos 0f x ⎛⎫=π-π< ⎪π⎝⎭，排除C ，故选D ．7．奇函数()f x 的定义域为R ，若()1f x +为偶函数，且()12f =，则()()45f f +的值为（ ） A ．2 B ．1C ．1-D ．2-【答案】A【解析】∵()1f x +为偶函数，∴1()()1f x f x -=++，则(()2)f x f x +-=， 又()y f x =为奇函数，则()2()()f x f x f x -=+-=，且()00f =． 从而()2(()4)f x f x f x -+=+=，()y f x =的周期为4． ∴()()()()4501022f f f f +=+=+=，故选A ．8．函数()f x 的图象向右平移1个单位，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x 的解析式为（ ） A ．()1e x f x += B ．()1e x f x -=C ．()1e x f x -+=D ．()1e x f x --=【答案】D【解析】与e x y =的图象关于y 轴对称的函数为e x y -=．依题意，()f x 的图象向右平移一个单位，得e x y -=的图象．∴()f x 的图象由e x y -=的图象向左平移一个单位得到．∴()1)1(e e x x f x +---==．9．使2)og (l 1x x <+-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()1,0- B ．[)1,0-C ．()2,0-D ．[)2,0-【答案】A【解析】在同一坐标系内作出2(log )y x -=，1y x =+的图象，知满足条件的,0()1x ∈-，故选A ．10．已知偶函数()f x 对于任意R x ∈都有()()1f x f x +=-，且()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，则()65f -．，1()f -，()0f 的大小关系是（ ） A ．()0 6.5()()1f f f <-<- B ．()6.5()()01f f f -<<- C ．()()(60)1.5f f f -<-< D ．()10()( 6.5)f f f -<<-【答案】A【解析】由()()1f x f x +=-，得()1(()2)f x f x f x -+=+=，∴函数()f x 的周期是2． ∵函数()f x 为偶函数，∴ 6.50.5()()(0.)5f f f -=-=，()()11f f -=．∵()f x 在区间[]0,1上是单调递增的，∴()()00.5(1)f f f <<，即()0 6.5()()1f f f <-<-． 11．对任意的实数x 都有()()()221f x f x f -=+，若(1)y f x =-的图象关于1x =对称，且()02f =，则()()20152016f f +=（ ） A ．0 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】(1)y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()y f x =的图象关于0x =对称， 即函数()f x 是偶函数，令1x =-，则()121(12)()f f f --=+-， ∴()()()11210f f f -==，即()10f ＝，则()()2(210)f x f x f -=+=，即()2()f x f x +=，则函数的周期是2，又()02f =， 则()()()()2015201610022f f f f +=+=+=．12．已知函数()e 1x f x =-，()243g x x x =-+-，若存在()()f a g b =，则实数b 的取值范围为（ ） A ．[0,3]B ．(1,3)C．2⎡⎣ D．(2+【答案】D【解析】由题可知()e 11x f x =->-，()2243211()g x x x x -=---++≤=， 若()()f a g b =，则(),1(]1g b -∈，即2431b b -->-+，即2420b b +<-，解得22b <+b的取值范围为(2+，故选D ．二、填空题13．设函数()10010x x x f x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()21()g x x f x -=，则函数()g x 的递减区间是_______．【答案】[0,1)【解析】由题意知()221011g xx xxx x⎧>⎪==⎨⎪-<⎩，函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，()g x的减区间是[0,1)．14．若函数()R()f x x∈是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为()()101sin12x x xx xf x⎧-≤≤⎪=⎨π<≤⎪⎩，则294146f f⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭________．【答案】516【解析】由于函数()f x是周期为4的奇函数，所以294137373724244646435si64n161666 f f f f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⨯-+⨯-=-+-=--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π-⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⎝⎭．15．设函数()||f x x a=+，()1g x x=-，对于任意的Rx∈，不等式()()f xg x≥恒成立，则实数a的取值范围是________．【答案】[)1,-+∞【解析】如图作出函数()||f x x a=+与()1g x x=-的图象，观察图象可知：当且仅当1a-≤，即1a≥-时，不等式()()f xg x≥恒成立，因此a的取值范围是[)1,-+∞．16．设定义在R上的函数()f x同时满足以下条件：①()0()f x f x+-=；②()()2f x f x=+；③当01x≤≤时，()21xf x=-，则()1351(2)222f f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．【解析】依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴()1351(2)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1111(0)222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11021102121212f f f ⎛⎫=++=-++= ⎪⎝⎭--三、解答题17．已知函数()ln(2)af x x x=+-，其中a 是大于0的常数． （1）求函数()f x 的定义域；（2）当4()1,a ∈时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值； （3）若对任意,[)2x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）ln 2a；（3）(2,)+∞．【解析】（1）由20a x x+->，得220x x ax -+>，当1a >时，220x x a +>-恒成立，定义域为(0,)+∞， 当1a =时，定义域为0{|}1x x x >≠且，当01a <<时，定义域为{|011x x x <<>．（2）设()2a g x x x=+-，当4()1,a ∈，,[)2x ∈+∞时，∴222()10a x ag x x x -'=-=>．因此()g x 在[2,)+∞上是增函数，∴()f x 在[2,)+∞上是增函数．则min ()(2)ln 2af x f ==． （3）对任意,[)2x ∈+∞，恒有()0f x >．即21ax x+->对,[)2x ∈+∞恒成立． ∴23a x x >-．令()23h x x x =-，,[)2x ∈+∞．由于239()24h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭在[2,)+∞上是减函数，∴()()max 22h x h ==．故2a >时，恒有()0f x >．因此实数a 的取值范围为(2,)+∞．18．设()f x 是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且()1()1f x f x =+-，当10x -≤≤时，()f x x =-．（1）判定()f x 的奇偶性；（2）试求出函数()f x 在区间[]1,2-上的表达式．【答案】（1）()f x 是偶函数；（2）()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩． 【解析】（1）∵()1()1f x f x =+-，∴(()2)f x f x =+-．又()2()f x f x +=，∴()()f x f x -=．又()f x 的定义域为R ，∴()f x 是偶函数． （2）当1[]0,x ∈时，1,[]0x --∈，则()()f x f x x =-=；进而当12x ≤≤时，120x -≤-≤，()2()2()2f x f x x x ==-=---+． 故()[]()[]1,00,121,2x x xx x x f x ⎧-∈-⎪=∈⎨⎪-+∈⎩．。