河北省邢台市第二中学2016届高三数学3月模拟考试试题 文(扫描版)

2025届河北省石家庄市复兴中学高三第三次模拟考试数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，1|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭则()U A B =（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞2．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设不等式组030x y x y +≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩表示的平面区域为Ω，若从圆C ：224x y +=的内部随机选取一点P ，则P 取自Ω的概率为（ ） A ．524B ．724C ．1124D ．17244．821x y x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中12x y -的系数是（ ）A ．160B ．240C ．280D ．3205．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1134AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为A ．14 B ．13 C ．23D ．166．如图，在ABC ∆中，点Q 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，点P 为线段BQ 上靠近点B 的三等分点，则PA PC +=（ ）A ．1233BA BC + B ．5799BA BC + C ．11099BA BC + D ．2799BA BC + 7．已知数列{}n a 中，12a =，111n n a a -=-(2n ≥)，则2018a 等于（ ） A ．12B ．12-C ．1-D ．28．正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上，它的底面边长为6，侧棱长为23，则它的外接球的表面积为（ ） A ．4πB ．8πC ．16πD ．20π9．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =（ ）A ．(3,)+∞B ．(,1)(3,)-∞-+∞C ．(2,)+∞D ．(2,3)10．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．11．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ= ()·cos ?cos AB AC AB BAC C+，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ）A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心12．如图所示，正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，11A D 的中点分别为E ，F ，则直线EF 与平面11AA D D 所成角的正弦值为（ ）A ．55B ．306C ．66D ．255二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

安徽省合肥市第一中学2025届高三上学期教学质量检测（11月月考）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={x|y=log3(x2−1)}，集合B={y|y=3−x}，则A∩B=( )A. (0,1)B. (1,2)C. (1,+∞)D. (2,+∞)2.若sinθ(sinθ+cosθ)=25，则tanθ=( )A. 2或−13B. −2或13C. 2D. −23.已知函数f(x)=a−e x1+ae x⋅cos x，则“a=1”是“函数f(x)的是奇函数”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数f(x)={ax2+e x,x≥0x3−ax2+a,x<0在R上单调，则a的取值范围是( )A. (0,1)B. (0,1]C. [0,1)D. [0,1]5.在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知▵ABC的外接圆半径为1，且a2+c2−b2=2ac,1+2sin A 1−2cos A =sin2C1+cos2C，则▵ABC的面积是( )A. 22B. 32C. 1D. 26.已知一个正整数N=a×1010(1≤a<10)，且N的15次方根仍是一个整数，则这个数15次方根为().(参考数据：lg2≈0.3,lg3≈0.48,lg5≈0.7)A. 3B. 4C. 5D. 67.已知函数f(x)=x ln x，g(x)=e x−x2+a，若∃x1,x2∈[1,2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )A. (4−e2,ln4+1−e)B. [4−e2,ln4+1−e]C. (ln4+4−e2,1−e)D. [ln4+4−e2,1−e]8.已知正数x，y满足9x2−1+9y2−1=9xy，则4x2+y2的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

广西南宁市第二中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=1+ii，其中i为虚数单位，则|z|=A. 12B. 22C. 2D. 22.已知向量a=(1,3)，b=(t,1)，若(a−b)//b，则实数t的值为( )A. 13B. 3C. −1D. −1或23.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是( )A. 98B. 99C. 99.5D. 1004.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的2倍，则圆柱的表面积为( )A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10−S3=35，a3+a10=7，则{a n}的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.若函数f(x)=x3+e x−ax在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1]7.已知f(x)=sin(x+π2)，g(x)=cos(x−π2)，则下列结论中不正确的是( )A. 函数y=f(x)g(x)的最小正周期为πB. 函数y=f(x)g(x)的最大值为12C. 函数y=f(x)g(x)的图象关于点(π4,0)成中心对称D. 将函数f(x)的图象向右平移π2个单位后得到函数g(x)的图象8.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)−1为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+ f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于直线l:(m−2)x+y−2m+1=0与圆C:x2+y2−6x−4y+4=0，下列说法正确的是( )A. l 过定点(2,3)B. C 的半径为9C. l 与C 可能相切D. l 被C 截得的弦长最小值为2710.已知0<β<α<π4，且sin (α−β)=13，tan α=5tan β，则( )A. sin αcos β=56 B. sin βcos α=112C. sin 2αsin 2β=536D. α+β=π611.已知f(x)=2x 3−3x 2+(1−a)x +b ，则下列结论正确的是( )A. 当a =1时，若f(x)有三个零点，则b 的取值范围是(0,1)B. 当a =1且x ∈(0,π)时，f(sin x)<f(sin 2x)C. 若f(x)满足f(1−x)=2−f(x)，则a−2b =2D. 若f(x)存在极值点x 0，且f(x 0)=f(x 1)，其中x 0≠x 1，则2x 0+x 1=32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2023届河北省邢台市第二中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设集合{}{}{}0,1,2,3,4,(3)0,24,U A x x x B x x x *==-==≤≤∈N ，则()U A B =（ ） A ．{2,4} B ．{2,3,4} C ．{2} D ．{1,2,3,4}【答案】A【分析】解出集合A ，再进行补集交集运算即可. 【详解】12(3)00,3x x x x -=⇒==，则{}{}0,3,1,2,4UA A ==，又{}2,3,4B =，所以(){}24UA B =，.故选：A. 2．已知复数21iz =-，复数z 是复数z 的共轭复数，则z z ⋅=（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】C【分析】根据复数的运算性质，得到2z z z ⋅=，即可求解.【详解】根据复数的运算性质，可得2222221i 1i z z z ⎛⎫⋅==== ⎪ ⎪--⎝⎭. 故选；C ．3．设1z 、2z 是复数，则下列说法中正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12z z = B ．若12z z +∈R ，则1z 、2z 互为共轭复数C ．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D ．若12=z z ，则2212z z =【答案】C【分析】求出12z z =-可判断A 选项；利用共轭复数的定义可判断B 选项；利用复数的乘法可判断C 选项；利用特殊值法可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若120z z +=，则120z z +=，可得12z z =-，A 错； 对于B 选项，设111i z a b =+，()2221212i ,,,z a b a a b b =+∈R ，则()()121212i z z a a b b +=+++，由题意可得120b b +=，则12b b =-， 但1a 、2a 不一定相等，故1z 、2z 不一定互为共轭复数，B 错；对于C 选项，设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，222z z a b z ∴⋅=+=，若12=z z ，22111222z z z z z z ⋅===⋅，C 对；对于D 选项，取11i z =+，21i z =-，则12z z =但()2211i 2i z =+=，()2221i 2i z =-=-，则2212z z ≠，D 错. 故选：C. 4．记函数2log 2xy x=-的定义域为集合A ，若“x A ∈”是关于x 的不等式()22200x mx m m +-<>成立”的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．[)2,+∞C ．()0,2D ．(]0,2【答案】B【分析】求出函数2log 2x y x=-的定义域得集合A ，解不等式()22200x mx m m +-<>得m 的范围，根据充分不必要条件的定义可得答案.【详解】函数2log 2xy x =-有意义的条件为02x x>-，解得02x <<， 所以{}02A x x =<<，不等式()22200x mx m m +-<>，即()()20x m x m +-<，因为0m >，所以2m x m -<<，记不等式()22200x mx m m +-<>的解集为集合B ，所以A B ⊆，所以220≥⎧⎨-≤⎩m m ，得2m ≥.故选：B ．5．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且在区间()1,+∞上单调递增，则满足()()13f x f x ->+的x 的取值范围为（ ） A ．()1,-+∞ B ．(),1-∞- C ．()1,1- D ．(),1-∞【答案】B【分析】先求出函数()f x 的对称轴，再根据单调性和对称性可知，自变量离对称轴越远，其函数值越大，由此结论列式可解得结果.【详解】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=-，所以()f x 的图象关于直线1x =对称， 又()f x 在区间()1,+∞上单调递增，所以在(,1)-∞上单调递减， 因为()()13f x f x ->+，()()|11||31|x x -->+-， 即2x x ->+，平方后解得1x <-. 所以x 的取值范围为(,1)-∞-. 故选：B.6．如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，O 是CD 上一点，且2CO OD =，则下列说法中正确的个数是（ ）①0OA OB OC ++=；②过点O 作一条直线与边,AC BC 分别相交于点,E F ，若34CE CA =，CF CB μ=(01)μ≤≤，则34μ=； ③若△ABC 是边长为1的正三角形，M 是边AC 上的动点，则BM MD ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【分析】由1122CD CA CB =+，2,3OC CD OA OD DA =-=+，OB OD DA =-，结合向量的运算判断①；由,,E O F 三点共线结合向量的数乘运算判断②；建立坐标系，利用坐标运算结合二次函数的性质判断③.【详解】对于①：1122CD CA CB =+，2,3OC CD OA OD DA =-=+，OB OD DB =+OD DA =-，故22220333OA OB OC CD OD CD CD ++=-+=-+=，故①正确；对于②：1351()34123OE OC CE CA CB CA CA CB =+=-++=-，111()333OF OC CF CA CB CB CA CB μμ⎛⎫=+=-++=-+- ⎪⎝⎭，因为,,E O F 三点共线，所以OF OEλ=，即511231133λμλ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得4,355λμ=-=，故②错误；对于③：以点D 作为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系，113,0,,0,0,,(0,0)222A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，13,,(1,0)22AC AB ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，设,[0,1]AM t AC t =∈，因为1313,(1,0)1,2222BM AM AB t t t t ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，113113,0,,222222MD AD AM t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以221113311222442BM MD t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=---=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当1t =时，43BM MD ⋅=-，当38t =时，2364BM MD ⋅=-，即BM MD ⋅的取值范围是323,464⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故③正确；故选：C7．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[ 3.7]4,[2.3]2-=-=.已知()[ln ]f x x x =，当()0f x =时，x 的取值集合为A ，则下列选项为x A ∈的充分不必要条件的是（ ） A ．(0,1)x ∈ B ．e)x ∈C ．(1,2)x ∈D ．()2,e x ∈【答案】B【分析】令()ln g x x x =，根据高斯函数知()0f x =时，0()1g x ≤<，利用导数分析不等式的解集，即可得解.【详解】令()ln ,0g x x x x =>， 由题意()0f x =时，0()1g x ≤<，()ln 1g x x '=+，1e x ∴<时，()0g x '<，1e x >时，()0g x '>，所以()g x 在1(0,)e上单调递减，在1(,)e +∞上单调递增，显然1(0,)ex ∈时，()0g x <，又(1)0g =，所以0()1g x ≤<的解为0[1,)x x ∈，其中0()1g x =，因为(2)2ln 2ln 41g ==>，1g ==<，(e)eln e e 1g ==>，所以 0[1,)x ，故选：B8．设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．[]1,2 B ．[]1,3C ．[]0,2D ．[]2,3【答案】A【分析】当1x >时，结合不等式求得其最小值为123a -，当1x ≤时，()()229f x x a a =-+-，根据函数()f x 的最小值为()1f ，列出不等式组，即可求解.【详解】当1x >时，221688333123x a x a a a x x x +-=++-≥=-， 当且仅当28x x=时，等号成立； 即当1x >时，函数()f x 的最小值为123a -， 当1x ≤时，()()222299f x x ax x a a =-+=-+-，要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．函数2()ln f x mx x =-在(1,2)上单调递增的一个必要不充分条件是1|4m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭B ．“2a b +>”是“2a b +>”充分不必要条件C ．“1a > ”是“11a<”的必要不充分条件 D ．命题“[]22,3,10x mx mx ∃∈-+≥”是假命题，则实数m 的取值范围为1{|}6m m ≤-【答案】AB【分析】求得1()2f x mx x '=-，转化为212mx x≥在(1,2)x ∈上恒成立，可判定A 正确；由绝对值三角不等式，结合充要条件的判定，可判定B 正确；由分式不等式的解法，结合充要条件的判定，可判定C 不正确；转化为命题“[]22,3,10x mx mx ∀∈-+<””是真命题，结合分离参数法，可判断D 错误.【详解】对于A 中，由函数2()ln f x mx x =-，可得1()2f x mx x'=-，若函数()f x 在(1,2)上单调递增，即当(1,2)x ∈时，1()20f x mx x'=-≥恒成立， 即212mx x ≥在(1,2)x ∈上恒成立， 又由当(1,2)x ∈时，max 211()22x <，即12m ≥， 函数()f x 在(1,2)上单调递增的一个必要不充分条件是1|4m m ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，所以A 正确；对于B 中，由绝对值三角不等式，可得2a b a b +≥+>，所以充分性成立； 反之：例如：当1,3a b ==-时，满足2a b +>，此时2a b +=，即必要性不成立， 所以“2a b +>”是“2a b +>”充分不必要条件，所以B 正确； 对于C 中，由1110aa a--=<，解得1a >或0a <， 所以“1a > ”是“11a<”的充分不必要条件，所以C 不正确； 对于D 中，由命题“[]22,3,10x mx mx ∃∈-+≥”是假命题，可得命题“[]22,3,10x mx mx ∀∈-+<””是真命题，当[]2,3x ∈时，20x x ->恒成立，所以只需21m x x<--在[]2,3x ∈上恒成立， 当2x =时，min 211()3x x -=--，所以13m <-，所以D 错误. 故选：AB.10．用()C A 表示非空集合A 中元素的个数，定义()()*A B C A C B =-，已知集合()()2222,,,2x y y x a A x y B x y x y y x ⎧⎧+==+⎧⎫⎧⎫⎪==⎨⎨⎬⎨⎨⎬+==⎩⎭⎩⎭⎪⎩⎩∣∣，若*1A B =，则实数a 的取值可能为（ ） A ．14-B ．21-C ．1003D ．2021【答案】BCD【分析】先求出()1C A =，从而得到()0C B =或()2C B =，利用()1C B =即方程有一个根得到14a =-，那么排除掉A 选项，其他三个选项为正确结果.【详解】由(){}1,1A =，可得()1C A =，若*1A B =，有()0C B =或()2C B =.当()1C B =时，方程组2,y x a y x=+⎧⎨=⎩中消去y 有：20x x a --=，则Δ140a =+=，解得：14a =-，可得若*1A B =，则实数a 的取值范围为14aa ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭∣，可知选项为:BCD . 故选：BCD11．下列说法中错误的有（ ） A ．两个非零向量,a b ，若||||||a b a b ，则a 与b 共线且反向B ．已知13(2,3),(,)24a b =-=-不能作为平面内所有向量的一个基底C ．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，向量b 在向量a 上的投影向量是D ．若非零向量a ，b 满足||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角是60 【答案】CD【分析】由||||||a b a b 计算判断A ；由共线向量的坐标表示判断B ；求出向量b 在向量a 上的投影向量判断C ；求出向量a 与a b +的夹角判断D 作答. 【详解】对于A ，由||||||a b a b 两边平方得：||||a b a b -⋅=，而,a b 是非零向量，则a 与b 共线且反向，A 正确；对于B ，13(2,3),(,)24a b =-=-，且有312()(3)042⨯---⨯=，则//a b ，,a b 不能作为平面内所有向量的一个基底，B 正确；对于C ，向量(2,1),(3,1)a b ==-，向量b 在向量a 上的投影向量是2||a ba a a ⋅=-，C 错误； 对于D ，a ，b 是非零向量，作,OA a OB b ==，因||||||a b a b ==-，则OAB 是正三角形，如图，取线段AB 中点D ，则30DOA ∠=，有2+=a b OD ，即a 与a b +的夹角是30，D 错误. 故选：CD12．设函数()2101,0lg ,0x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的值可能是（ ）A ．0B ．1C ．99D ．100【答案】BC【分析】首先根据题意画出图象，根据二次函数的性质得到1210x x +=-，根据对数函数的性质得到431x x =，从而得到()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，再根据函数单调性求解即可.【详解】如图所示：因为关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<， 所以01a <≤.2101y x x =++的对称轴为5x =-，所以1210x x +=-.因为34lg lg x x =，所以34lg lg 0x x +=，即341x x =，431x x=.因为3lg 1x ≤，所以31110x ≤<. 所以()()123433110x x x x x x ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭，因为110y x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1110x ≤<为减函数，所以()()(]1234330110,99x x x x x x ⎛⎫∈ ⎪⎭-⎝+-=-.故选：BC三、填空题13．已知向量a ，b ，c 满足，0a b c ++=，2a =，3b =，5c =，则⋅=a b _________. 【答案】6【分析】由0a b c ++=，得a b c +=-，两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=，得a b c +=-， 两边平方，得2222a a b b c +⋅+=， 因为235a b c ===，，， 所以42925a b +⋅+=，得·6a b =. 故答案为：6.14．若函数()f x 与()g x 同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，已知函数()()2,f x x bx c b c =++∈R 与()21x x g x x-+=是定义在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“兄弟函数”，那么()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是___________. 【答案】2【分析】利用基本不等式求出()g x 的最小值及对应的x 的值，根据“兄弟函数”的定义可知()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为()11f =，根据二次函数的性质求出b 、c 的值，即可得到()f x 的解析式，最后根据二次函数的性质计算可得；【详解】解：211()111x x g x x x x -+==+-≥=，当且仅当1x x=即1x =时取等号， ∴当1x =时，()g x 取最小值()11g =．函数()f x 与()g x 同在一个区间内取同一个自变量时，同时取得相同的最小值，则称这两个函数为“兄弟函数”，∴函数()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最小值为()11f =．∴点()1,1为抛物线2()f x x bx c =++的顶点．∴212414b c b ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，∴22b c =-⎧⎨=⎩． 2()22f x x x ∴=-+．()y f x∴=在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间[]1,2上单调递增．1524f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()22f =， ()f x ∴在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是2．故答案为：2．15．已知0a >，0b >，下面四个结论：①22ab a b a b +≤+；②若0a b >>，则241()ab b b a b ++-的最小值为4；③若a b >，则22c c a b≤；④若11111a b +=++，则2+a b 的最小值为 其中正确结论的序号是______．（把你认为正确的结论的序号都填上） 【答案】①③④【分析】对于①，由222a b ab +≥，得2224a b ab ab ++≥，然后变形后判断，对于②，变形后利用基本不等式判断，对于③，由不等式的性质判断，对于④，将11(122)11a b a b ⎛⎫++++ ⎪++⎝⎭展开由基本不等式可推导出结果【详解】对于①，因为222a b ab +≥，所以2224a b ab ab ++≥，即2()4a b ab +≥，因为0a >，0b >，所以22ab a ba b +≤+，所以①正确， 对于②，因为0a b >>，所以0a b ->， 所以2224141()()()ab b b a b b b a b b b a b ⎛⎫++=++-+ ⎪--⎝⎭ 6≥=，当且仅当224b b =，1()()b a b b a b -=-，即a b ==②错误， 对于③，因为0a b >>，所以110a b <<，因为2c ≥0，所以22c c a b≤，所以③正确，对于④，因为112(1)1(122)3331111b a a b a b a b ++⎛⎫++++=++≥+=+ ⎪++++⎝⎭当且仅当2(1)111b a a b ++=++，即a b ==因为11111a b +=++，所以1223a b +++≥+2a b +≥，当且仅当a b ==④正确， 故答案为：①③④16．已知函数(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，()()1g x f x mx =--，当实数m 的取值范围为________时，()g x 的零点最多. 【答案】210m e <<【分析】作出函数()f x 的图象，由()0g x =得() +1f x mx =，设+1y mx =，分0m =，0m <，>0m 分别讨论+1y mx =与()f x 的交点个数，当>0m 时，求得+1y mx =与xy e =相切时切线的斜率，+1y mx =与ln y x =相切时切线的斜率，由此可求得实数m 的取值范围.【详解】解：作出函数()f x 的图象如图： 由()0g x =得() +1f x mx =，设+1y mx =， 当0m =时，+1y mx =与()f x 有2个交点； 当0m <时，+1y mx =与()f x 有2个交点；. 当>0m 时，设+1y mx =与x y e =相切，切点为()11,x x e ，则'e x y =，所以切线的斜率为11x k e =，其切线方程为：()111x xy e e x x -=-，又因切线恒过点()01，，所以()11110x x e e x -=-，解得10x =，所以切线的斜率为011k e ==，当>0m 时，设+1y mx =与ln y x =相切，切点为()22,ln x x ，则'1y x=，所以切线的斜率为221k x =， 其切线方程为：()2221ln y x x x x -=-， 又因切线恒过点()01，，所以()22211ln 0x x x -=-，解得22x e =，所以切线的斜率为221k e =， 所以当m 1≥时，+1y mx =与()f x 有1个交点； 当211m e <<时，+1y mx =与()f x 有2个交点； 当21m e=时，+1y mx =与()f x 有3个交点； 当210m e <<时，+1y mx =与()f x 有4个交点； 所以实数m 的取值范围为210m e <<时，()g x 的零点最多， 故答案为：210m e <<.四、解答题17．已知函数()22f x x mx n =++的图象过点()1,1-，且满足()()23f f -=．(1)求函数()f x 的解析式：(2)求函数()f x 在[],2a a +上的最小值；(3)若0x 满足()00f x x =，则称0x 为函数()y f x =的不动点，函数()()g x f x tx t =-+有两个不相等且正的不动点，求t 的取值范围．【答案】(1)()2221f x x x =--；(2)()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩；(3)1t >.【分析】(1)根据f (x )图像过点()1,1-，且满足()()23f f -=列出关于m 和n 的方程组即可求解；(2)讨论对称轴与区间的位置关系，即可求二次函数的最小值； (3)由题可知方程x ＝g (x )有两个正根，根据韦达定理即可求出t 的范围. 【详解】(1)∵()f x 的图象过点()1,1-， ∴21m n ++=-① 又()()23f f -=， ∴82183m n m n -+=++② 由①②解2m =-，1n =-，∴()2221f x x x =--；(2)()2213221222f x x x x ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，[],2x a a ∈+， 当122a +≤，即32a ≤-时，函数()f x 在[],2a a +上单调递减，∴()()2min 2263f x f a a a ⎡⎤=+=++⎣⎦；当122a a <<+，即3122a -<<时，函数()f x 在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在1,22a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦单调递增，∴()min1322f x f ⎛⎫⎡⎤==- ⎪⎣⎦⎝⎭； 当12a ≥时，函数()f x 在[],2a a +上单调递增， ∴()()2min221f x f a a a ⎡⎤==--⎣⎦． 综上，()2min23263,,2331,,2221221,2a a a f x a a a a ⎧++≤-⎪⎪⎪⎡⎤=--<<⎨⎣⎦⎪⎪--≥⎪⎩．(3)设()()g x f x tx t =-+有两个不相等的不动点1x 、2x ，且1>0x ，20x >，∴()g x x =，即方程()22310x t x t -++-=有两个不相等的正实根1x 、2x ．∴()()21212Δ3810,30,2102t t t x x t x x ⎧⎪=+-->⎪+⎪+=>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，解得1t >． 18．在①323n n b T =+，②{}n b 为等比数列，且13b =，23143T T T =+这两组条件中任选一组，补充在下面横线处，并解答下列问题．已知数列21n a n =-，数列{}n b 的前n 项和是n T ，______． (1)求数列{}n b 的通项公式；(2)若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n M ，证明：对任意n *∈N 均有1n M ≤恒成立．【答案】(1)3nn b =(2)证明见解析【分析】（1）若选①，利用退一相减法可得通项公式；若选②，直接可得数列的首项及公比，进而可得通项公式；（2）利用错位相减法可得n M ，进而得证.【详解】(1)解：若选①，当1n =时，11132323b T b =+=+，即13b =； 当2n ≥时，323n n b T =+，11323n n b T --=+， 作差可得1332n n n b b b --=，即13n n b b -=，所以数列{}n b 为等比数列，其首项为13b =，公比3q =，所以1333n nn b -=⨯=；若选②，23143T T T =+，则121231443b b b b b b +=+++，即323b b =， 又数列{}n b 为等比数列，所以3q =，且13b =，所以1333n nn b -=⨯=；(2)证明：由（1）得3nn b =，所以()2112133nn n n a n n b -⎛⎫==-⋅ ⎪⎝⎭，所以()()23111111135232133333n nn M n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()23411111113523213333313n n n n n M +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()2311111111122222133333233n nn n M n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()211112133112113313n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+--⨯ ⎪⎝⎭- ()121121333n n n +⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1212233n n +⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以()1113nn M n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，又n *∈N ，所以()11113nn M n ⎛⎫=-+⋅< ⎪⎝⎭恒成立.19．第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且2210,040901945010000,40x ax x R x x x x ⎧+≤<⎪=⎨-+≥⎪⎩.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R =4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完. (1)求2022年该企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； (2)2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】(1)2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩(2)当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【分析】（1）由题意可知10x =时，R =4000，代入函数中可求出a ，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成本，可求出年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式，（2）分别当040x ≤<和40x ≥求出函数的最大值，比较即可得答案【详解】(1)由题意知，当10x =时，()21010104000R x a =⨯+=，所以a =300. 当040x ≤<时，()229001030026010600260W x x x x x =-+-=-+-；当40x ≥时，22901945010000919010000900260x x x x W x x x-+-+-=--=. 所以2210600260,040919010000,40x x x W x x x x ⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≥⎪⎩，(2)当040x ≤<时，()210308740W x =--+，所以当30x =时，W 有最大值，最大值为8740；当40x ≥时，10000100009190291908990W x x x x ⎛⎫=-++≤-⋅+= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即x =100时，W 有最大值，最大值为8990. 因为87408990<，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元. 20．为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛.每场比赛由两支队伍对抗进行，每队由2名成员组成，共进行3局.每局比赛时，两队成员交替发球，每名成员只能从发球区（MN 左侧）掷冰壶一次.当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分.若冰壶未到达营垒区，计1-分；若冰壶能准确到达营垒区，计2分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利.已知A 队两名成员甲､乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为12和13，B 队两名成员丙､丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为12.假设两队投掷的冰壶在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响.(1)求A 队每局得分X 的分布列及期望；(2)若第一局比赛结束后，A 队得1分，B 队得4分，求A 队最终获得本场比赛胜利且总积分比B 队高3分的概率.【答案】(1)分布列见解析，期望为12；(2)43576.【分析】（1）根据题设写出X 的所有可能取值及对应概率，即可得到分布列，再根据分布列求期望即可；（2）同（1）写出B 的分布列，根据题设写出A 队获胜且总积分比B 队高3分所有可能情况，再求出各情况的概率，最后加总即可得结果.【详解】(1)由题设，X 的所有可能取值为2-，1，4，且X 的分布列如下：所以()21413262E X =-++=.(2)设B 队每局得分为Y ，同理Y 的分布列为记A 队､B 队在后两局总得分分别为x ､y ，则所包含的情况如下：()111111132,42362244576P x y ⎛⎫==-=⨯⨯+⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭，()111115,122264224P x y ==-=⨯⨯⨯⨯⨯=， ()11111168,22662244576P x y ⎛⎫===⨯⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，故A 队最终获得本场比赛胜利且总积分比B 队高3分的概率为13164357624576576++=.21．如图所示：已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长为4，离心率e =A 是椭圆的右顶点，直线l 过点()1,0M -交椭圆于C ，D 两点，交y 轴于点P ，PC CM λ=，PD DM μ=．记ACD △的面积为S ．(1)求椭圆E 的标准方程； (2)求S 的取值范围； (3)求证：λμ+为定值． 【答案】(1)2214x y +=；(2)33； (3)证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，求出半焦距c 及b 即可作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆E 的方程联立，结合韦达定理求出面积S 的表达式即可求解作答.（3）由（2）中信息，用点C ，D 的坐标表示出,λμ即可计算作答. 【详解】(1)令椭圆E 的半焦距为c ，依题意，2a =，3c e a ==3c =2221b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.(2)依题意，直线l 不垂直于坐标轴，设直线l ：1x ty =-，0t ≠，设1122(,),(,)C x y D x y ，由22144x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：22(4)230t y ty +--=，则12224t y y t +=+，12234y y t =-+， 2222121212122221243||()()4()44t t y y y y y y y y t t +--=+-+=++由（1）知(2,0)A，则有1216||||12S AM y y =⋅-==，令u >1y u u =+在)+∞则0S <<所以S的取值范围是. (3)由（2）知，1(0,)P t ，由PC CM λ=得111()y y tλ-=-，即111ty λ=-+，而PD DM μ=，同理211u ty =-+，因此，2121212221184222334t y y t t ty ty ty y t λμ+++=-++=-+=-+=--+， 所以83λμ+=-为定值.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答. 22．已知函数2()ln f x ax x x =--． (1)当1a =时，求()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：()()12122ln +>-+f x x x x ．【答案】(1)单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞ (2)① 01a <<；②证明见解析【分析】（1）求导得(21)(1)()x x f x x+-'=，判断导函数符号确定原函数单调性，注意函数定义域；（2）①利用参变分离得2ln x x a x +=，即y a =与2ln x x y x +=有两个交点，判断函数单调性理解计算；②()()12122ln +>-+f x x x x 等价于()()212122+-+>a x x x x ，借助于函数零点整理得()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ，即证1ln 21t t t +⋅>-，构建函数结合导数证明．【详解】(1)当1a =时，函数2()ln f x x x x =--，定义域为(0,)+∞．2121(21)(1)()21x x x x f x x x x x--+-'=--==． 由()0f x '=，得1x =．当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞． (2)①若函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ， 则方程2ln 0ax x x --=有两个不等的实根． 即方程2ln x xa x +=有两个不等的实根． 记2ln ()(0)+=>x x g x x x ，则32(n )l 1x x xg x --'=，记()12ln (0)=-->m x x x x ，则()m x 在(0,)+∞上单减，且(1)0m =， ∴当01x <<时，()0,()0'>>m x g x ；当1x >时，()0,()0'<<m x g x ， ∴()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减． ∴max ()(1)1g x g ==．又∵10g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭且当1x >时，()0>g x ，∴方程为()g x a =有两个不等的实根时，01a <<．∴当01a <<时函数()f x 在定义域内有两个不相等的零点12,x x ． ②要证()()12122ln +>-+f x x x x ，只需证()()()()212121212ln 2ln +-+-+>-+a x x x x x x x x ， 只需证()()212122+-+>a x x x x ，因为22111222ln 0,ln 0--=--=ax x x ax x x ，两式相减得： ()()()22121212ln ln 0-----=a x x x x x x ．整理得()121212ln ln 1-+=+-x x a x x x x ．所以只需证()()12121212ln ln 12⎛⎫-++-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x x x ，即证()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ，即1121221ln 21+⋅>-x x x xx x ，不妨设120x x <<，令12(01)x t t x =<<，第 21 页 共 21 页 只需证1ln 21t t t +⋅>-， 只需证(1)ln 2(1)0+--<t t t ，设()(1)ln 2(1)=+--n t t t t ，只需证当01t <<时，()0<n t 即可． ∵221111()ln 1,()0(01)-=+-='''-=<<<t n t t n t t t t t t， ∴()n t '在（(0,1)单调递减，∴当01t <<时，()(1)0''>=n t n ，∴()n t 在(0,1)单调递增，当01t <<时()(1)0n t n <=， ∴原不等式得证．【点睛】在证明()()212122+-+>a x x x x ，利用函数零点得()121212ln ln 1-+=+-x x a x x x x ，代入消去a 得()121212ln ln 2⎛⎫-+> ⎪-⎝⎭x x x x x x ，进一步处理得1121221ln 21+⋅>-x x x x x x 换元分析．。

河北省邢台市第二中学2016届高三数学3月模拟考试试题文（扫描版）2015-2016质检二数学（文科）答案一、选择题1-5CCCAB 6-10CBDCD 11-12 AB 二、填空题13 15 14 -115 13 16 ()()2,02,-+∞U 三、解答题17解: (Ⅰ) a c C b 2cos 2=+,由正弦定理，得A C C B sin 2sin cos sin 2=+,------------2分π=++C B A ΘC B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=∴…………………4分 )sin cos cos (sin 2sin cos sin 2C B C B C C B +=+C B C sin cos 2sin =因为π<<C 0，所以0sin ≠C ， 所以21cos =B , 因为π<<B 0，所以3π=B .------------6分 (Ⅱ)三角形ABC 中，3π=B ，1cos 7A =， 所以43sin 7A =-------------8分 53sin sin()sin cos cos sin 14C A B A B A B =+=+=…………………10分 sin 5sin 8c ACB a BAC ∠==∠ .------------12分 18.解：(Ⅰ)3x =，5y = 错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

，…………………2分5115ii x==∑ ，5125ii y==∑，5162.7i ii x y==∑错误!未找到引用源。

52155ii x==∑，解得：ˆ 1.23b=-错误!未找到引用源。

ˆ8.69a = ………………4分 所以：ˆ8.69 1.23yx =-错误!未找到引用源。

.…………………6分 (Ⅱ)年利润(8.69 1.23)2z x x x =-- …………………8分21.23 6.69x x =-+…………………10分错误!未找到引用源。

2015-2016质检二数学（文科）答案一、选择题1-5CCCAB 6-10CBDCD 11-12 AB二、填空题 13 15 14 -1 15 13 16 ()()2,02,-+∞三、解答题17解: (Ⅰ) a c C b 2cos 2=+,由正弦定理，得A C C B sin 2sin cos sin 2=+,------------2分π=++C B AC B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=∴…………………4分)sin cos cos (sin 2sin cos sin 2C B C B C C B +=+C B C sin cos 2sin =因为π<<C 0，所以0sin ≠C ， 所以21cos =B , 因为π<<B 0，所以3π=B .------------6分(Ⅱ)三角形ABC 中，3π=B ，1cos 7A =，所以sin A =-------------8分sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=…………………10分 sin 5sin 8c ACB a BAC ∠==∠ .------------12分 18.解：(Ⅰ)3x =，5y = ，…………………2分5115i i x==∑ ，5125i i y==∑，5162.7ii i x y ==∑52155i i x==∑，解得：ˆ 1.23b=-，ˆ8.69a = ………………4分 所以：ˆ8.69 1.23yx =-.…………………6分 (Ⅱ)年利润(8.69 1.23)2z x x x =-- …………………8分21.23 6.69x x =-+…………………10分所以 2.72x =时，年利润最大.…………………12分19解: (Ⅰ)连接AC 交BD 于点O ，因为底面ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥且O 为BD 的中点.又,,PA BD PA AC A ⊥⋂=所以⊥BD 平面PAC ， -------------2分由于⊂PO 平面PAC ,故⊥BD PO .又DO BO =,故PD PB =. ---------------4分(Ⅱ)设PD 的中点为Q ,连接,AQ EQ ,EQ ∥=12CD ,所以AFEQ 为平行四边形，EF ∥AQ ，因为⊥EF 平面PCD ，所以AQ ⊥平面PCD ，所以AQ PD ⊥,PD 的中点为Q ,所以AP AD ==. ---------------6分由AQ ⊥平面PCD ，又可得AQ CD ⊥，又AD CD ⊥，又AQ AD A ⋂=所以CD ⊥平面PAD所以CD PA ⊥,又BD PA ⊥,所以PA ⊥平面ABCD ---------------8分（注意：没有证明出PA ⊥平面ABCD ，直接运用这一结论的，后续过程不给分） 1132D ACE E ACDACD V V PA S --∆==⨯⨯………………………10分111322=⨯= 故三棱锥D-ACE.……………………12分 20解：(Ⅰ)由已知：e =，c a ∴=2分 又当直线垂直于x，所以椭圆过点， 代入椭圆：221112a b+=， 在椭圆中知：222a b c =+,联立方程组可得：222,1a b ==，所以椭圆C 的方程为：2212x y +=.……………………4分 (Ⅱ)当过点M 直线斜率为0时,点A 、B 分别为椭圆长轴的端点, ||32||PA PB λ===+>或||13||2PA PB λ===-<,不合题意. 所以直线的斜率不能为0.…………………………（没有此步骤，可扣1分） 可设直线方程为：1x my =+ 1122(,),(,)A x y B x y ，将直线方程代入椭圆得:22(2)210m y my ++-=，由韦达定理可得： 1221222(1)21(2)2m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩ ，……………………6分 将（1）式平方除以（2）式可得：由已知MA MB λ=可知，12y y λ=-， 212221422y y m y y m ++=-+，所以221422m m λλ--+=-+，……………………8分 又知1,22λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，112,02λλ⎡⎤∴--+∈-⎢⎥⎣⎦， 2214022m m ∴-≤-≤+，解得：220,7m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.……………………10分 2221222222121222(1)11(1)()48()8(1)22AB m y y m m y y y y m m =+-+⎡⎤=++-==-⎣⎦++ 220,7m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，2171,2162m ⎡⎤∴∈⎢⎥+⎣⎦，AB ∴∈.…………………12分 21解：(Ⅰ)当0a =时，()2(0)x x f x x e =->，()222()(2)()x x x x x e x e x x f x e e-⋅--⋅-'== 令()0f x '=，则2x = …………………2分 则()(0,2),0x f x '∈<，()y f x =单调递减()(2,),0x f x '∈+∞>，()y f x =单调递增所以2x =是函数的一个极小值点，无极大值点。

2016年高三年级三月模拟高三数学（文科）本试卷共4页，分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）注意事项：1. 答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2. 每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，在改涂在其他答案标号。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合M={}1,1-，N={}26x x x -<，则下列结论正确的是 A.M N ⊆ B. ∅=N M C. N M ⊆ D.R N M =2.已知i 是虚数单位，则复数()ii +-112在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.下列函数中，既是偶函数又在区间()∞+，0上是单调增函数的是 A.x y 1= B.1-=x y C.x y lg = D.x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21 4.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若24n n S a =-，则n a =A. 12n +B. 2nC. 12n -D. 22n -5.设m ，n 是两条不同的直线，γβα，，是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊂，α//n ，则n m //；②若βα//，γβ//，α⊥m ，则β⊥m ；③若n =βα ，n m //，则α//m ，且β//m ；④若γα⊥，γβ⊥，则βα//。

其中真命题的个数为A.0B.1C. 2D. 36.执行如图所示的程序框图，则输出的实数m 的值为A.9B.10C.11D. 127.已知x ，y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+-≥≥39411y x y x y x ，若目标函数()0z mx y m =+>的最大值为1，则m 的值是 A.209- B.1 C.2 D.5 8.若0,0a b >>，且函数()32422f x x ax bx =--+在1x =处有极值，若t ab =，则t 的最大值为A.2B. 3C.6D. 99.如右图，圆C 内切于扇形,,3AOB AOB π∠=若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入圆内的点的个数估计值为A. 100B. 200C. 400D. 45010.一个三棱锥的正视图和俯视图如右图所示，则该三棱锥的侧视图可能是11.设[]πβα，，0∈，且满足1sin cos cos sin =-βαβα，则)2sin()2sin(βαβα-+-的取值范围是 A.[]1,2- B.[]21，- C.[-1,1] D.[]21，12.设抛物线2:4C y x =的焦点为F,过F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点，M 为抛物线C 的准线与x轴的交点，若tan AMB ∠=AB =A. 4B. 8C.D.10注意事项：第II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。

河北省衡水市第二中学2023届高三上学期一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}321330,12A x x x x B x x ⎧⎫=--+<=+≥⎨⎬⎩⎭∣，则（）A ．()3,1,32AB ⎛⎫⋃=-∞-⋃ ⎝⎭B ．()1,1,2A B ⎡⎫⋃=-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭C ．()(),11,3A B ∞⋂=--⋃D ．31,,322A B ∞⎛⎡⎫⋂=--⋃⎪ ⎢⎣⎭⎝∣2．已知复数122z =-+，则20231ii z =∑的值为（）A ．12-+B ．122--C ．0D ．13．在正方形ABCD 中，E 在CD 上且有2,CE ED AE = 与对角线BD 交于F ，则AF =（）A ．1233AB AD +B ．3144AB AD +C ．1344AB AD+D ．13AD AB+4．已知：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所截，如果截得两个截面的面积成比例，那么这两个几何体的体积也对应成比例.则椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>绕长轴旋转一周形成的几何体的体积为（）A ．24π3a bB ．24π3ab C ．34π3aD ．34π3b5．从11到15这5个整数中选出2个，则这2个数的因数个数之和为8的概率是（）A ．110B ．15C ．310D ．256．已知()()()π2tan 0,,023f x x f ωϕωϕ⎛⎫=+><= ⎝⎭，周期π3ππ,,,0446T ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是()f x 的对称中心，则π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．B CD ．7．若2ln1.01,,1201a b c ===，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a<<D ．c ba <<8．某正六棱锥外接球的表面积为16π，且外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，底面正六边形边长2l ∈∣，则其体积的取值范围是（）A ．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．27⎡⎢⎣⎦C ．⎣⎦D ．⎣二、多选题9．下列命题为真命题的是（）A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．m 为直线，,αβ为不同的两个平面，若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥C ．,m n 为不同的直线，α为平面，若//,//m n αα，则m n ∥D ．,m n 为不同的直线，α为平面，若,m n αα⊥⊥，则m n∥10．关于函数()331f x x x =-+，下列说法正确的是（）A ．()f x 有两个极值点B ．()f x 的图像关于原点对称C ．()f x 有三个零点D ．2sin10︒是()f x 的一个零点11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>过点()1,2,M 是C 准线l 上的一点，F 为抛物线焦点，过M 作C 的切线,MA MB ，与抛物线分别切于A B ､，则（）A ．C 的准线方程是1x =-B ．2||MF FA FB=C ．2||AM AF AB=D ．0MA MB ⋅≠ 12．直线l ：y ax =与e x y =的图象交于()11,A x y 、()22,B x y 两点()12x x <，e x y =在A ､B 两点的切线交于C ，AB 的中点为D ，则（）A ．ea ≤B ．点C 的横坐标大于1C ．12x x -<D ．CD 的斜率大于0三、填空题13．()623x y ++中4x y 的系数为__________（用数字作答）.14．写出一个满足下列条件的双曲线的方程__________.①焦点在x 轴上②渐近线与圆22(2)3x y -+=有交点15．已知函数()()(),f x g x g x ､的图像关于1x =对称，且()()()()()1,121,13f x g x f x g x g -=++-==，则231()i f x ==∑__________.16．已知224x y +=__________.四、解答题17．已知数列{}n a 满足()12n n n a a S +=，其中n S 是{}n a 的前n 项和.(1)求证：{}n a 是等差数列；(2)若121,2a a ==，求()121n n n n n a b a a +-=的前n 项和n T .18．在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()2222222a b c a R a a c b +--=+-，其中R 是三角形外接圆半径，且A 不为直角.(1)若π6B =，求A 的大小；(2)求2222a c b-的最小值.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAB ⊥平面,ABCD O 为AB 中点，AC 与OD 交于点,E PAB 的重心为G.(1)求证：EG //平面PCD(2)若5,8,4PA PB AB BC ====，求二面角C GE D --的正弦值.20．某工厂生产一批零件，其直径X 满足正态分布()10,0.25X N ~（单位：mm ）.(1)现随机抽取15个零件进行检测，认为直径在()8.5,11.5之内的产品为合格品，若样品中有次品则可以认定生产过程中存在问题.求上述事件发生的概率，并说明这一标准的合理性.（已知：15(33)0.9973,0.99730.9603P X μσμσ-<<+=≈）(2)若在上述检测中发现了问题，另抽取100个零件进一步检测，则这100个零件中的次品数最可能是多少？21．已知()()()2,0,2,0,,A B P x y -满足PA 与PB 的斜率之积为34-.(1)求P 的轨迹C 的方程.(2)12,l l 是过C 内同一点D 的两条直线，1l 交椭圆于2,MN l 交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，求这两条直线斜率之和.22．已知函数()()[]πsin ,0,πf x x x x =-∈(1)求()f x 在()0,0处的切线方程；(2)若()f x a =在定义域上有两解12,x x ，求证：①2a <；②12ππa x x a -≤--.参考答案：1．B【分析】根据因式分解以及数轴穿根法可化简A ,由绝对值不等式可求解,B 根据集合的交运算和并运算即可求解.【详解】{}()()(){}{3233011301A xx x x x x x x x x =--+<=+--<=<-∣∣或}13x <<，11122B x x x x ⎧⎫⎧=+≥=≥⎨⎬⎨⎩⎩⎭或32x ⎫≤-⎬⎭，所以()1,1,2A B ⎡⎫⋃=-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭，()3,1,32A B ⎛⎤⋂=-∞-⋃ ⎥⎝⎦，故选：B 2．A【分析】根据复数i 的性质计算可得31z =，由此利用等比数列的前n 项和公式计算20231i i z =∑，即可求得答案.【详解】由于复数13i 22z =-+，故221313(i)i 2222z =-+=--，3131313(i)(i)1222244z =---+=+=，故()()()2023674312023122023111113i 11122i i z z z z z z z z z z z zzz ⨯+=---=+++=====-+---∑ ，故选：A.3．C【分析】根据平面向量的线性运算，即可求得答案.【详解】如图，正方形ABCD 中，2CE ED = ，则3131DE CD AB==因为AB CD ∥,所以DEF BAF ∽ ,则13EF DE AF AB ==,故3333131()4444344AF AE AD DE AD AB AD AB ==+=+⨯=+ ,故选：C4．B【分析】将半椭圆()222210x y y a b+=≥和半圆()2220x y b y +=≥绕着x 轴旋转一圈后，利用垂直于y 轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为S 、S '，计算出SS '，再利用题中结论以及球体的体积公式可求得结果.【详解】如下图所示：直线y h =交半椭圆()222210x y y a b+=≥于A 、B 两点，交半圆()2220x y b y +=≥于C 、D 两点，由题意可得ABa CDb =，将半椭圆()222210x y y a b+=≥和半圆()2220x y b y +=≥绕着x 轴旋转一圈后，利用垂直于y 轴的平面去截椭球体与球体，设截面面积分别为S 、S '，由题意可知21414AB CD S a S b CD ππ⋅⋅=='⋅，设半椭圆()222210x y y a b+=≥绕x 轴旋转一圈所得的几何体体积为V ，半圆绕x 轴旋转一圈所得的几何体体积为V '则V a V b ='，所以，324π4π33a ab ab V V b b '==⋅=.故选:B 5．C【分析】根据每个数的因数个数，根据组合数的计算即可计算总数，列举即可求解所满足要求的个数，由古典概型概率计算公式即可求解.【详解】11的因数有11和1，共有2个因数，12的因数有1，2，3，4，6，12，共有6个，13的因数有13和1，共有2个因数，14的因数有1，2，7，14，共有4个，15的因数有1，3，5，15，共有4个，从5个数中选两个数，共有25C 10=种选择，而2个数的因数个数之和为8，则这两个数可以是11和12，或者12和13，或者15或14，共三种，故2个数的因数个数之和为8的概率是310故选：C 6．D【分析】根据条件()03f =，列出方程即可求得ϕ，然后根据对称中心以及周期范围求出ω，即可得到()f x 的解析式，从而得到结果.【详解】因为()()π2tan 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，由()03f =可得2tan tan 33ϕϕ=⇒=，且π2<ϕ，所以π6ϕ=，又因为π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，故πππ,662k k ω+=∈Z 解得31,k k ω=-∈Z且π3π,44T ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即ππ34π4443ωω<<⇒<<所以，当1k =时，2ω=即()π2tan 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以πππ2tan 23363f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选:D 7．B【分析】由于ln1.01ln(10.01),11a c ==+==，故构造函数()ln(1)1,(0)f x x x =+->，利用导数判断其单调性，可比较,a c的大小，根据()20.01ln 10.01,20.01a b ⨯=+=+，构造函数2()ln(1),(0)2xg x x x x=+->+，判断其单调性，可比较,a b 大小，由此可得答案.【详解】由于ln1.01ln(10.01),11a c ==+==，故设函数()ln(1)1,(0)f x x x =+->，则1()1f x x '==+0x >，由于222(1)0x x -+=-<，所以22(1)x <+，(1)0x +<，即()0f x '<，故()ln(1)1,(0)f x x x =++>为单调递减函数，故()(0)0f x f <=，即ln(1)1,(0)x x +<->，令0.01x =，则ln(10.01)1+<，即a c <；又220.01ln1.01ln(10.01),20120.01a b ⨯==+==+，令2()ln(1),(0)2xg x x x x=+->+，则22214()0,(0)1(2)(1)(2)x g x x x x x x '=-=>>++++，即2()ln(1),(0)2xg x x x x=+->+为单调递增函数，故()(0)0g x g >=，即2ln(1),(0)2xx x x+>>+，令0.01x =，则20.012ln1.0120.01201⨯>=+，即a b >，故b a c <<，故选：B【点睛】关键点点睛：此类比较数的大小的题目类型，一般是要构造函数，利用函数的单调性进行大小比较，关键是要能对数的特征进行变化，根据数的特征选定自变量，从而构造函数.8．B【分析】根据正六棱锥和球的几何性质，结合球的表面积公式、棱锥的体积公式、导数的性质进行求解即可.【详解】如图所示：设该正六棱锥的高1PO h =，侧棱长为a ，设该正六棱锥外接球的半径为r ，因为正六棱锥外接球的表面积为16π，所以有216π4π2r r =⇒=，因为外接球的球心在正六棱锥内部或底面上，所以2h ≥，设OPB θ∠=，在正六边形ABCDEF ，因为正六边形边长为l ∣，所以1O B l =，在OPB △中，由余弦定理可知244cos 224a aa θ+-==⋅，在直角三角形1O PB 中，cos h a θ=，所以有2cos 44h a a h a θ==⇒=，由勾股定理可知222222244h l a h l h l h h +=⇒+=⇒=-，因为2l ∈∣，所以2[3,4l ∈∣，因此有234413h h h ≤-≤⇒≤≤，而2h ≥，所以23h ≤≤，该正六棱锥的体积223116(4)(4)32222V l l h h h h h h =⨯⨯⋅⋅⋅=-=-，28()(83)(223V h h h h h '=-=--，当823h ≤<时，()0,()V h V h '>单调递增，当833h <≤时，()0,()V h V h '<单调递减，所以max 8()()3V h V ==(2)(3)V V ==，(2)(3)V V <，所以min ()V h =，因此该正六棱锥的体积的取值范围是⎡⎢⎣⎦，故选：B【点睛】关键点睛：利用导数的性质求值域是解题的关键.9．BD【分析】根据空间中点线面的位置关系，结合选项即可逐一求解.【详解】对于A ，过任意不共线的三点有且仅有一个平面，故A 错，对于B ，由于,m m αβ⊥⊥，所以αβ∥，故B 正确，对于C,若//,//m n αα，则,m n 可以异面，也可以相交，也可以m n ∥，故C 错误，对于D,根据垂直于同一平面的两直线平行，可知D 正确.故选：BD 10．ACD【分析】利用导数研究函数的单调性和极值，作图，根据图像变换，结合奇偶性，函数零点的定义，可得答案.【详解】对于函数()331f x x x =-+，求导可得：()()()233311f x x x x '=-=-+，令()0f x '=，解得1x =±，可得下表：x (),1-∞-1-()1,1-1()1,+∞()f x '+-+()f x 极大值 极小值则()()13f x f =-=极大，()()11f x f ==-极小，即可作图，通过图像可知，()f x 有两个极值点，故A 正确；函数()f x 的图像不关于原点对称，故B 错误；函数()f x 有三个零点，故C 正确；因为()sin 3sin 2sin cos 2cos sin 2θθθθθθθ=+=+()2sin 12sin cos 2sin cos θθθθθ=-+⋅()32sin 2sin 2sin 1sin θθθθ=-+-33sin 4sin θθ=-即()31sin 3sin sin 34θθθ=-将2sin10︒代入()f x 解析式可得，()()332sin102sin102sin1018sin 106sin1013f =-︒︒︒+=︒⨯-︒+()3sin10sin 30sin1011864=︒⨯--︒︒+sin102sin 306sin10106=︒-︒-︒+=，故D 正确.故选:ACD 11．ABC【分析】根据抛物线过的点，确定p 的值，求得抛物线方程以及准线，判断A;设切线方程为(1),0y k x m k =++≠,利用判别式可得1212,1k k m k k +=-=-，判断D;再证明,,A B F 三点共线，以及证明MF AB ⊥，即可判断BC .【详解】由抛物线C ：22(0)y px p =>过点()1,2，可得42,2p p =∴=，即24y x =，设焦点为,(10)F F ，,则C 的准线方程是12px =-=-，A 正确；设点(1,)M m -，先考虑0m ≠情况，则过点M 作C 的切线,MA MB ，切线斜率必存在且不等于0，设切线方程为(1),0y k x m k =++≠，联立24y x =，可得24440m y y k k-++=，则21616(1)0mk k∆=-+=，即210k mk +-=，240m '∆=+>，设,MA MB 的斜率分别为12,k k ，则1212,1k k m k k +=-=-，即MA MB ⊥，即0MA MB ⋅=，D 错误；设1122(,),(,)A x y B x y ，不妨设A 在第一象限，B在第四象限，则12y y ==-，由于24y x =，对于曲线在第一象限内部分有y y '==,则1k =对于曲线在第四象限内部分有y y '=-∴=则2k =由于121k k =-12(1x x =-∴=1,，则2121212()1416,4y y x x y y ==∴=-，由于0m ≠，故AB 斜率一定存在，设直线AB 的方程为y ux v =+，联立24y x =，得2440v y y u u -+=，故121244,4,v y y y y u v u u+===-∴=-，则直线AB 的方程为(1)y ux u u x =-=-，即直线AB 过定点(1,0)F ，所以,,A F B 三点共线，由于121212122422211AB k k k u y y k k m m k k -======++-+，2MF mk =-，故1,AB MF k k MF AB =-∴⊥,在Rt AMB △中，MFB AFM AMB ∽∽V V V ,则2||MF FA FB =，2||AM AF AB =，当0m =时，即(1,0)M -,,A B 关于x 轴对称，12120,1k k k k +==-，0MA MB ⋅=成立；此时AB 斜率不存在，不妨取121,1k k ==-，则:1,:1MA y x MB y x =+=-+，联立24y x =，解得(1,2),(12)A B -，,则AB 过定点(1,0)，且MF AB ⊥,则2||MF FA FB =，2||AM AF AB =成立，综合上述，BC 正确，故选：ABC【点睛】关键点点睛：解决此类关于直线和抛物线的位置关系类题目，要注意设直线方程，并联立抛物线方程，得根与系数的关系，然后化简，这是解决这类问题的一般解决方法，解答此题的关键在于要注意到证明直线AB 过定点(1,0)F ，即,,A F B 三点共线，然后证明MF AB ⊥.12．BC【分析】通过AB 为两函数图象交点，转化为直线y a =与曲线exy x=有两个不同的交点，研究e xy x=的图象，数形结合可判断A ；联立两条切线求得点C 的横坐标，利用极值点偏移思想可求得12,x x 之间关系，即可判断B ；通过构造函数建立2e ,(2e)1x ax x a x --+-+之间的关系，将问题转化为二次函数两根之间距离问题可判断C 正确；化简CD k ，结合前面的条件可判断D.【详解】对A ，因为直线y ax =与曲线e x y =交于()11,A x y 、()22,B x y 两点()12x x <，e e xxax a x=⇔=有两个不同正根，即直线y a =与曲线exy x=有两个不同的交点.2e e (1)(x x x x x-'= e x y x ∴=在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞单调递增，且min e y =，0,,,x y x y →→+∞→+∞→+∞e a ∴>，故A 错误.对B ，由题意得，1212e ,e x xax ax ==()12x x <∴1201x x <<<e ()=xg x x，设()()(2(01)h x g x g x x =--<<），()()()'2222e e e e 122x x x x h x x x x x x --⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥ ⎪--⎢⎭⎣'⎥⎝⎦令23e e (2)(),()x x x m x m x x x -'==()m x ∴在(0,2)单调递减.(0,1),2(1,2)()(2)x x m x m x ∈-∈∴>- ，()0,()h x h x '∴<在(0,1)单调递减，()(1)0,()(2)h x h g x g x ∴>=>-.1201x x <<< ，11()(2)g x g x ∴>-又1221()()()(2)g x g x g x g x =∴>-，212112(2,),2(2,)2,2x x x x x x ∈+∞-∈+∞∴>-+> .AC 的方程：111e e ()x xy x x -=-，BC 的方程：222e e ()x x y x x -=-，联立可解得12122212121212e e 1111e e x x x x x x ax ax x x x ax ax --=-=-=+->--，故选项B 正确.对C ，设()()()2e 2e 1,e 22e x xs x ax x a x s x x ⎡⎤=---+-+=-+-⎣'⎦，()e 20,ln 2x s x x ''=-==，(0,ln 2),()0,(ln 2,),()0x s x x s x ''''∈<∈+∞>，且(1)0s '=，min ()(ln 2)(1)0,s x s s '''=<=(0)0s '> ，设(0,1)m ∈,(0,),()0,(,1),()0,(1,),()0x m s x x m s x x s x '''∈>∈<∈+∞>，(0)(1)0s s == ，min ()0,s x =()()2e 2e 10x s x ax x a x ⎡⎤∴=---+-+≥⎣⎦，2e (2e)1x ax x a x ∴-≥-+-+，12,x x 是e 0x ax -=的两个根，34,x x 是方程()22e 10x a x -+-+=的两根，1234x x x x ∴-<-=C 正确.对D ，12121212()(,(1,)22x x a x x D C x x ax x +++- []1212122()2CD a x x x x k x x -+∴=+-，12e,2,a x x >+> 1201x x <<<，设2()e (ln ),()e (ln )2x xa f x ax x a f x ax a x a '=---=---，()e x f x a ''∴=-.(0,ln ),()0,()(ln )0x a f x f x f a ''''∈<>=，(ln ,),()0,()(ln )0x a f x f x f a ''''∈+∞>>=，(0,),()0,x f x '∴∈+∞≥()f x 在(0,)+∞单调递增，且(ln )0f a =，22(0,ln ),e (ln )0,e (ln ),22x x a ax a ax x a ax x a ∈---<-<-22(ln ,),e (ln )0,e (ln ),22x x a ax a ax x a ax x a ∈+∞--->->-1201x x <<< ，221212(ln )(ln ),ln ln ,22a ax a x a a x x a ->-->-122ln x x a ∴+<，12221212e ,1x x a x x a x x +∴=<<.也可以利用对数均值不等式证明如下：对数均值不等式：ln ln 2b a a bb a b a -+>><<-，1201x x <<<，211221ln ln 2x x x xx x -+<<-，12121122e ,e ln ln ,ln ln x x ax ax a x x a x x ==∴+=+= ，11222121ln ln ,ln ln x x x x x x x x -=--=-，21211ln ln x x x x -∴=-，121,12x x +<>，即12x x <1,122x x +>，0CD k <.所以D 错误.故选：BC【点睛】函数综合问题的处理，要通过构造函数，利用导数研究函数的单调性，结合图象寻找等与不等关系，研究问题需要探究的结论，选择题还要注意特值，验证，排除等方法的灵活运用.du 13．1620【分析】()623x y ++的二项展开式的通项为()()6216C 3rrrr T x y -+=+，令()624rx x -=，再求出()43y +展开式中y 的系数，从而可求解.【详解】()()622633x y x y ⎡=+++⎤⎣⎦+，其二项展开式的通项为()()6216C 3rrrr T x y -+=+，要得到4x y ，则()624rx x -=，解得4r =.()43y +的二项展开式的通项为414C 3kkk k T y-+=，令41k -=，可得3k =.故()623x y ++中4x y 的系数为43364C C 3=154271620⨯⨯⨯⨯=.故答案为:1620.14．221x y -=（答案不唯一）【分析】根据直线与圆22(2)3x y -+=有交点，确定双曲线的渐近线方程，进而可写出双曲线方程.【详解】不妨设双曲线的渐近线方程为()0y kx k =±>，22(2)3x y -+=的圆心为(2,0)因为渐近线与圆22(2)3x y -+=有交点，所以圆22(2)3x y -+==，解得0k <≤故取1k =，双曲线的渐近线方程为y x =±，此时焦点在x 轴上的双曲线方程为221x y -=，故答案为：221x y -=（答案不唯一）15．26【分析】由题意可得()()2g x g x =-，故可得()()12f x f x ++=，可得()f x 的周期为2.由()13g =可得()1f ，故可求解.【详解】因为()g x 的图像关于1x =对称，所以()()2g x g x =-.所以()()()()1,11f x g x f x g x ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩，两式相加可得()()12f x f x ++=.故()()122f x f x +++=，可得()()2f x f x =+.故函数()f x 的周期为2.因为()()()1,13f x g x g -==，所以()()1114f g =+=.所以()()()()()()()231()1234212223i f x f f f f f f f =⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑ ()()22223221224262f f =⨯+=+=+=.故答案为:26.16【分析】将原式变形为t ===为求)min min ,2t PM PN M ''''=+=再利用几何意义及相似求解即可.【详解】设t ===+令圆224x y +=上任意一点()()(),,0,2,1,0P x y M N ，则12t PM PN =+设()(),0,0,,N n M m ''使得,PN PM ''==，则()min min ,2t PM PN M ''''=+=又12ON ON OM OM =⎧=⎪∴⎨=''''⎪⎩=)(N M ''由勾股定理可得：2N M ''=M ''=17．(1)见解析(2)1221n n n T +-=+【分析】（1）根据,n n S a 的关系可得()()1121n n n a a n a --=-+-，根据此递推关系即可根据等差中项求证，（2）根据裂项求和即可求解.【详解】（1）由()12n n n a a S +=得：当2n ≥时，()()11112n n n a a S ---+=，两式子相减得()()1121n n n a a n a --=-+-①，因此可得()111n n n a a na +-=-+②，①②相减得：()()()112211n n n n a n a n a +--=-+-，由于10n ->，所以112n n n a a a +-=+，所以{}n a 是等差数列；（2）由（1）知{}n a 是等差数列，121,2a a ==，所以n a n =，因此()()()1121212211n n n n n n n n a n b a a n n n n ++--===-++，所以12231122222222122311n n n n n n T n ++⎛⎫⎛⎫=++⎛⎫---=-⎪++⎝⎭+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .18．(1)π6(2)7【分析】(1)根据余弦定理和正弦定理即可求出A 的大小.(2)运用正弦定理和二倍角的余弦公式，化简，再利用基本不等式求解2222a c b -的最小值.【详解】（1）在ABC 中，()2222222cos 2c 2os a b c a R a a c Bb a bc Aac +--=+-⨯= cos cos b AB=，进而2cos cos cos R B a B b A -=，2cos 2sin cos 2sin cos R B R A B R B A -=，cos sin cos cos sin B A B A B ∴=+sin()sin A B C =+=，又A 不为直角，则π2B C +≠，π2C B ∴=+，π6B =，ππ6A B C ∴=--=.（2）由(1)知，()2222222a b c a R a a c b +--=+- 转化为cos sin B C =，又πA B C ++=，π2C B =+，π22A B ∴=-.2222a c b -∴2222sin sin sin A CB -=222222π2sin (2)cos 2cos 2cos 2sin sin B BB B B B ---==()()22242222212sin 1sin 8sin 8sin 21sin sin sin B B B B BBB----+-+===422228sin 7sin 118sin 7sin sin B B B B B-+=+277≥=-，当且仅当2218sin sin B B =，即sin B =2222a c b -∴的最小值为7.19．(1)证明见解析；【分析】（1）由题可得EG //PD ，然后根据线面平行的判定定理即得；（2）根据面面垂直的性质定理可得PO ⊥平面ABCD ，然后利用坐标法，根据面面角的向量求法即得.【详解】（1）因为PAB 的重心为G ，O 为AB 中点，所以13OG OP =，又1//,2OA CD OA CD =，所以12OE DE =，即13OE OD =，又13OG OP =，所以OE OG OD OP=，所以EG //PD ，又PD ⊂平面PCD ，EG ⊄平面PCD ，所以EG //平面PCD ；（2）因为PA PB =，O 为AB 中点，所以PO AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，OP ⊂平面PAB ，所以PO ⊥平面ABCD ，如图以O为原点建立空间直角坐标系，则()()()444,4,0,4,4,0,0,0,1,,,033C D G E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以8164488,,0,,,1,,,0333333EC GE ED ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，设平面CGE 的法向量为(),,m x y z=，则81603344033m EC x y m GE x y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩ ，令1y =-，可得()2,1,4m =- ，设平面GED 的法向量为(),,n a b c = ，则8803344033m ED a b m GE a c ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=--=⎪⎩ ，令1a =，可得()1,1,0n = ，所以cos ,42m n m n m n ⋅=⋅ ，所以二面角C GE D --42.20．(1)见解析；(2)0.【分析】（1）()8.511.50.9973P X <<=，故至少有1个次品的概率为1510.99730.0397-≈，根据小概率事件说明即可；（2）次品的概率为10.99730.0027-=，设次品数为Y ,则()~100,Y B p ，其中0.0027p =，设次品数最可能是k 件，则()()()()100101111001001009911100100C 1C 1C 1C 1k k k k k k k k k k k k p p p p p p p p ------++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，求解即可.【详解】（1）因为()210,0.5X N ~，所以()8.511.50.9973P X <<=,所以随机抽取15个零件进行检测，至少有1个次品的概率为1510.99730.0397-≈，如果生产状态正常，至少有一个次品的概率约为0.0397，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认定生产过程中存在问题，即这一标准是合理的.（2）次品的概率为10.99730.0027-=，抽取100个零件进一步检测，设次品数为Y ,则()~100,Y B p ，其中0.0027p =，故()()100100C 1k k k P Y k p p -==-，设次品数最可能是k 件，则()()()()100101111001001009911100100C 1C 1C 1C 1k k k k k k k k k k k k p p p p p p p p ------++⎧-≥-⎪⎨-≥-⎪⎩，即()()()()()()()()100!100!1!100!1!101!100!100!1!100!1!99!p p k k k k p p k k k k ⎧⋅≥⋅-⎪---⎪⎨⎪⋅-≥⋅⎪-+-⎩，即110111001p p k k p pk k -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-+⎩，解得()1011101p k p k *-≤≤∈N .因为0.0027p =，所以1010.2727,10110.7273p p =-=-，故0k =.故这100个零件中的次品数最可能是0.21．(1)221(2)43x y x +=≠±；(2)0.【分析】（1）根据直线斜率公式，结合已知进行求解即可；（2）根据四点共圆的性质，结合直线的参数方程进行求解即可.【详解】（1）因为(),P x y 满足PA 与PB 的斜率之积为34-，所以有223(2)1(2)22443y y x y x x x x ⋅=-≠±⇒+=≠±+-；（2）设00(,)D x y ，因为D 在C 内，所以22220000131243x y x y +<⇒+<，设1l 的参数方程为：00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，α为直线1l 的倾斜角，把00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩代入221(2)43x y x +=≠±中，得222220000(3cos 4sin )(6cos 8sin )34120t t x y x y αααα+++++-=，22220000122222341212(34)3cos 4sin 3cos 4sin x y x y t t αααα+--+==++，即2200122212(34)3cos 4sin x y PA PB t t αα-+⋅==+，设直线2l 的倾斜角为β，上式用β代α，同理可得2200342212(34)3cos 4sin x y PE PF t t ββ-+⋅==+，因为12,l l 是过C 内同一点D 的两条直线，1l 交椭圆于2,MN l 交椭圆于EF ，且MNEF 共圆，所以由圆的相交弦定理可知：22220000222212(34)12(34)3cos 4sin 3cos 4sin x y x y PA PB PE PF ααββ-+-+⋅=⋅⇒=++，因为2200312x y +<，所以有222222223cos 4sin 3cos 4sin 3sin 3sin sin sin ααββαβαβ+=+⇒+=+⇒=，因为,αβ是直线的倾斜角，所以sin 0,sin 0αβ≥≥，所以22sin sin sin sin αβαβ=⇒=，因为12,l l 是过C 内同一点D 的两条直线，所以αβ≠，因此由sin sin ππtan tan(π)tan tan αβαβαβαβαβ=⇒+=⇒=-⇒=-⇒=-，设12,l l 的斜率为12,k k ，因此有12120k k k k =-⇒+=，即这两条直线斜率之和为0.【点睛】关键点睛：利用直线的参数方程、圆的相交弦定理是解题的关键.22．(1)πy x =；(2)①证明见解析；②证明见解析．【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出；（2）①令[]π0,πx t -∈=，方程()f x a =在定义域上有两解12,x x ，等价转化()()sin f x t t t a ϕ===在[]0,π上有两个不同的根，再判断出函数()t ϕ的单调性，求出最值，由直线y a =与函数()t ϕ在[]0,π上的图象有两个交点，即可证出；②根据①，再利用“切线夹”原理放缩即可证出．【详解】（1）因为()sin (π)cos f x x x x '=-+-，所以(0)πf '=，即()f x 在()0,0处的切线方程为πy x =．（2）①易得()00f =，()π0f =，因为()()()()πsin πsin πf x x x x x =-=--，设[]π0,πx t -∈=，所以()()sin f x t t t ϕ==，所以()f x a =在定义域上有两解12,x x 等价于()t a ϕ=在[]0,π上有两个不同的根12,t t ，即直线y a =与函数()t ϕ在[]0,π上的图象有两个交点.因为()sin cos t t t t ϕ'=+，易知当π0,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0t ϕ'>，当π,π2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，设()()sin cos h t t t t t ϕ'==+，()2cos sin 0h t t t t '=-<，而ππππsin cos 102222ϕ⎛⎫'=+=> ⎪⎝⎭，()πsin ππcos ππ0ϕ'=+=-<，所以存在唯一的0π,π2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()00t ϕ'=，即000sin cos 0t t t +=，故当0π,2t t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增，()0,πt t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减，综上可知，当()00,t t ∈时，()0t ϕ'>，()t ϕ单调递增，()0,πt t ∈时，()0t ϕ'<，()t ϕ单调递减，()max 000sin f t t t ϕ==，所以max 0a f ≤<.设()2sin F x x x =-，[)2,πx ∈，()2222cos 2cos x x F x x x x+'=+=，设()2cos 2H x x x =+，所以()()22cos sin 2cos sin 0H x x x x x x x x x '=-=-<，因为π2π3<<，所以11cos 22-<<-，()24cos 220H =+<，从而，()F x 在[)2,πx ∈上递减，故()()2sin 210F x F ≤=-<，即2sin x x <，当π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，显然2sin x x <，故()0,πx ∈时，2sin x x <恒成立.故()max 000sin 2f t t t ϕ==<，即方程()f x a =在定义域上有两解12,x x 时，02a ≤<，原命题得证.②由①知，设[]π0,πx t -∈=，所以()()sin f x t t t ϕ==，所以()f x a =在定义域上有两解12,x x 等价于()t a ϕ=在[]0,π上有两个不同的根12,t t ，不妨设12t t <，且02a ≤<，所以121221x x t t t t -=-=-，设()()sin ππs t t t t =+-，[]0,πt ∈，所以()()sin ππsin cos ππ0s t t t t t t t t '=+-=++≥-≥，所以，()()π0s t s ≤=，即()sin ππt t t ≤--，又sin t t t ≤，所以，1111sin a t t t t a =≤⇒≥，()2222sin ππππa a t t t t =≤--⇒≤-，即21ππa t t a -≤--，所以12ππa x x a -≤--，原不等式得证.【点睛】本题第二问的解题关键是等价转化，一是方程根的个数转化为图象的交点个数，二是利用“切线夹”将直线与函数的图象交点的横坐标之差，转化为研究直线与两条切线之间的交点的距离之差，再根据位置关系从而证出．。

2025届河北省承德市重点中学高三3月份第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集为R ，集合122(1),{|20}A x y x B x x x -⎧⎫⎪⎪==-=-<⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则()A B =R （ ）A ．(0,2)B ．(1,2]C ．[0,1]D ．(0,1]2．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，若2020211n n k a a-==∑，则k =( ) A ．2020B ．4038C ．4039D ．40403．已知等差数列{}n a 的前13项和为52，则68(2)a a +-=（ ）A ．256B ．-256C ．32D ．-324．已知函数()sinx12sinxf x =+的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方式有（ ）①绕着x 轴上一点旋转180︒; ②沿x 轴正方向平移; ③以x 轴为轴作轴对称;④以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称. A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④5．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ） A ．1427B ．2C ．1D ．36．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫-⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( ) A ．155B ．15C ．1510D ．21557．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π8．已知向量,a b 满足||1,||3a b ==,且a 与b 的夹角为6π,则()(2)a b a b +⋅-=( ) A ．12B ．32-C ．12-D ．329．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为()32222x y x y +=.给出下列四个结论：①曲线C 有四条对称轴；②曲线C 上的点到原点的最大距离为14； ③曲线C 第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为18； ④四叶草面积小于4π. 其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．①③④D ．①②④10．已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A ．173B ．32C ．53D ．10211．在正方体1111ABCD A BC D -中，点P 、Q 分别为AB 、AD 的中点，过点D 作平面α使1//B P 平面α，1//AQ 平面α若直线11B D ⋂平面M α=，则11MD MB 的值为（ ） A ．14B ．13 C ．12D ．2312．下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2xy =B ．21log 2xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．21log y x= D ．14y x =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。