常系数齐次线性微分方程组.29页PPT

通解与特解关系剖析
通解概念
通解是包含所有解的表达式，通常由 指数函数、三角函数等构成，反映了 微分方程的固有性质。
特解概念
通解与特解关系
通解包含特解，特解是通解在特定条件 下的具体化。通过设定合适的初始条件 或边界条件，可以从通解中求得特解。
特解是满足特定初始条件或边界条件 的解，是通解中的一个特定情况。
初始条件对特解的影响
特解是满足初始条件的解，不同的初始条件会得到不同的特解。
叠加原理在求解中应用
叠加原理
如果函数y1, y2, ..., yn分别是微分方程的解，那么它们的线性组合c1y1 + c2y2 + ... + cnyn也是微分方程的解。
应用
通过叠加原理，可以将复杂的微分方程分解为多个简单的微分方程进行求解，再将这些 简单微分方程的解进行线性组合得到原方程的解。
分析生物学问题
根据求解结果分析生物学问题的 内在机制和影响因素，为生物资 源管理和疾病防控提供依据。
其他领域应用举例
经济学领域
01
利用常系数齐次线性微分方程描述经济现象（如价格变化、产
量变化等），分析经济问题的动态变化过程。
控制工程领域
02
利用常系数齐次线性微分方程描述控制系统的动态特性，分析
控制系统的稳定性和性能。
例题2
求解常系数齐次线性微分 方程2y'' + 3y' - 2y = 0 的通解。
分析与解答
首先写出特征方程2r^2 + 3r - 2 = 0，求解得到特征 根r1 = 1/2, r2 = -2，因此 通解为y = c1e^(1/2x) + c2e^(-2x)。

y1
e(i)xe(i)x
2
excosx是
微
分
方;
程
y2
e(i)xe(i)x 2i
exs
inx是
微
分
方;
程
y2 y1
eexxcsionsxxtanx不
恒
等
于 .常 y1, y数 2线
性
无
关 .
微分方 :y c 1 y 程 1 c 2y 2的 e x (c 1c 通 o x s c 解 2six n ).
微分方
程
2 的
通
解 : 为
2
;
yLeabharlann e2x2 (c1
cos
2 2
x
c2
s in
2 2
x)
e
2 x
2 (c3
cos
2 2
x
c4
s in
2 2
x).
解例特 4、求 征方 y方 :4r 42 程 y 程 2 r 35 为 y 5r 20 的 0 r通 .2(r2解 2r5)0
(rr210 )2 4r1 ,20 0 ;或 (rr2 1)2 2r 540 r3,4 12i;
(3)若 . p24q0,
有 一 对 共 轭 r1,2的 i复 . 特 征 根
则 ypyqy 0的 通:y 解 ex 为 (c1cox sc2sin x)
证明 因 r1 ,2 为 i是特 ,所 征 e( 以 i)x 根 ,e( i)x是 微分;方 e ( i)x程 e x e i的 x 欧 拉 e 解 x (公 cx o 式 is six n );
d2x dt2
g 4a
x
0
;
x t0 a, x t0 0

原方程通解: 原方程通解
r =1 5
y = C + C2x + C3x2 + C4x3 + C5ex 1
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11
【例6】 求 程 】 方
y(5) + y(4) + 2y(3) + 2y′′ + y′ + y = 0的 解 通 .
【解】 特征方程为 r 5 + r 4 + 2r 3 + 2r 2 + r + 1 = 0,
有重根 r = r = −1, 1 2
【解】特征方程 r2 + 2r +1 = 0 因此原方程的通解为 利用初始条件得
s = (C +C2 t )e− t 1
C = 4, C2 = 2 1
于是所求初值问题的解为
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9
【例3】 求 程y′′ + 2y′ + 5y = 0的 解 】 方 通 .
13
y′′ + py′ + qy = 0
特征根的情况
实根 r1 实根 r1 复根 r
r + pr +q = 0
2
通解的表达式
≠ r2 = r2
1, 2
= α ± iβ
y = C 1e + C 2 e rx y = (C1 + C 2 x )e y = eαx (C1 cos βx + C 2 sin βx )
y = C er1 x +C2er2 x 1
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4
2. 当 p2 − 4q = 0 时, 特征方程有两个相等实根 r = r 特征方程有两个相等实根 1 2

yC1er1xC2er2x
C1,C2是 任 意 常 数 .
6
2 .特 征 根 是 实 重 根 的 情 形
r p (二重), 2
则 y 1 e r x 是 微 分 方 程 的 一 个 解 ,要 求 方 程 的 通 解 , 只 令 需 y y再 1 2 求 u 一 (x 个 ),解 则 y2y ,2 且 y yy 1 21不 u(是 x)常 数 erx .u(x),
12
例 1 求 微 分 方 程 y 2 y 3 y 0 的 通 解 . 解 特征方程为
r2 2r30,
解 得 特 征 根 r 1 1 ,r 2 3 , 故 所 求 方 程 的 通 解 为
yC1exC2e3x. C1,C2是 任 意 常 数 .
13
例 2 求 方 程d2s2dss0满 足 初 始 条 件 dt2 dt
y1

1 2 ( y1

y2 )
ex cosx
y2

1 2i ( y1
y2 )
ex sinx
9
y1,y2仍 是 微 分 方 程 的 解 .且
y1 y2
eexxcsoinsxxcotx
不是常数. 于 是 微 分 方 程 的 通 解 为
y e x (C 1c o sx C 2s inx )
则 (1 )的 通 解 即 可 求 得 :
yC1y1C2y2
2
分 析 : 一 阶 常 系 数 齐 次 线 性 微 分 方 程
dy ay 0 dx 有 形 如 y e a x 的 解 ( 通 解 y C e a x 中 C 1 ) ,
猜 想 : 假 如 方 程 ( 1 ) 也 有 指 数 形 式 的 解

第六讲 常系数齐次线性微分方程
常系数齐次线性微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法
常系数齐次线性微分方程
一、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法
思路
(pБайду номын сангаасq为常数)
y e rx
线性无关的特解
通解
特征方程 特征根
e x (cos x i sin x )
y 2 e ( i ) x e x (cos x i sin x )
利用解的叠加原理 , 得微分方程的线性无关特解:
1 y1 2 ( y1 y 2 ) e x cos x 1 y 2 2 i ( y1 y 2 ) e x sin x
y ( C1 C 2 x ) e
y e x (C 1 cos x C 2 sin x )
举例 例1 求微分方程 y 2 y 3 y 0 的通解. d2s ds s 0 满足初始条件 例2 求方程 2 2 dt dt
s |t 0 4, s |t 0 2 的特解.
求解 1．特征方程有两个相异实根 r1, r2 , 为微分方程的两个线性无关的特解
y C 1 e r1 x C 2 e r2 x 微分方程的通解：
2．特征方程有两个相等实根 r1 r2 微分方程的一个特解 设另一特解 代入方程: ( u (x) 待定)
r1 x
e
2 ( u 2 r u r [ 1 1 u ) p (u r1u ) q u 0 u ( 2 r1 p ) u ( r12 p r1 q ) u 0

热传导
在研究热传导问题时，齐次线性微分方程可以用来描述温度随时间的变化。通过求解该方程，可以得到物体内部温度分布随时间的变化规律。
电磁学
在电磁学中，齐次线性微分方程可以用来描述电磁波的传播。通过求解该方程，可以得到电磁波在不同介质中的传播规律。
控制系统
在控制系统中，齐次线性微分方程可以用来描述系统的动态特性。通过求解该方程，可以得到系统的响应和稳定性等性质，为系统设计和优化提供依据。
齐次线性微分方程的解具有叠加性，即如果 (y_1(x)) 和 (y_2(x)) 是方程的解，则 (c_1y_1(x) + c_2y_2(x)) （其中 (c_1, c_2) 是任意常数）也是方程的解。
01
02
03
01
02
03
在一定条件下，齐次线性微分方程存在唯一解。
如果给定初始条件 (y(x_0) = y_0) ，则存在唯一解满足该条件。
总结词
首先，将未知函数表示为幂级数形式，然后，利用微分方程的特性求解幂级数中的系数。最后，得到未知函数的通解。幂级数法适用于具有特定初值条件或特定边界条件的微分方程。
详细描述
03
CHAPTER
齐次线性微分方程的应用
量子力学
齐次线性微分方程在量子力学中用于描述粒子的波函数随时间的变化。通过求解该方程，可以得到粒子在不同时刻的位置和动量等性质。
航空航天
在航空航天领域，齐次线性微分方程可以用来描述飞行器的动态特性。通过求解该方程，可以得到飞行器的姿态、速度和位置等参数随时间的变化规律。
机械工程
在机械工程中，齐次线性微分方程可以用来描述机械系统的振动和平衡。通过求解该方程，可以得到机械系统的稳定性和优化设计。
04

dx (t ) du (t ) dv (t ) i A(t ) u (t ) iv (t ) dt dt dt A(t )u (t ) iA(t )v (t )
由于两个复数表达式相等等价于实部和虚部相等，
常系数线性方程组
所以有
du (t ) dv (t ) A(t )u (t ), A(t )v (t ) dt dt 即 u (t ) 和 v (t ) 是方程组（2）的解.
X (t ) X (t ) X 1 (0)
常系数线性方程组
1 0 0 3 3 t e cos 2t sin 2t cos 2t sin 2t . 2 2 3 1 sin 2t cos 2t sin 2t cos 2t 2
0
(1)矩阵A具有n个互不相同的特征值时 由线代知识知道A一定有对应的n个线性无关 的特征向量。
常系数线性方程组
5 28 18 dx x 的通解. 1 5 3 例1 求方程组 dt 3 16 10
解 系数矩阵A的特征方程为
det( E A) 3 (1 2 ) 0
§7.3 常系数线性方程组
常系数线性方程组
一阶常系数线性微分方程组:
dx Ax f (t ), dt
（ 1）
这里系数矩阵A为n n常数矩阵, f (t )在 a t b上连续的向量函数;
若f (t ) 0, 则对应齐线性微分方程组为
dx Ax (2) dt
本节先讨论(2)的基解矩阵的求法.
t
3e 0 et
t
故通解为
2 2et x (t ) (t )C 1 et 1 2et

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2、复值函数在点有导数的定义
如果 lim z(t) z(t0 )
t t0
t t0
极限存在，就称z(t)在t 0
微）,且记此极限dz为(t0 ) dt
z或(者t0 )
。
点有导数（可
显然z(t) 在t 0 处有导数相当于(t) ,(t) 在t 0 处有导数，且
dz(t0 ) d(t0 ) i d(t0 )
x 化 为ye第一1t 种情况。
再构成线性无关的函数组：
e1 t , te1 t , t e2 1 t , , t k1 e 1 1 t
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特征根 2 , 3 ,,的重m数分别为：
k2 , k3,, km ; ki 1
则有线性无关的函数组：
e1 t , te1 t , t 2e1 t , e2t , te2t , t e2 2t , emt , temt , t 2emt ,
(n a1n1 an1 an )et F ()et
要（4.20）是方程（4.2）的解的充要条件为：
F () n a1 n1 an1 an 0 (4.21)
称（4.21）是方程（4.19）的特征方程，它的根称为特征根。
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于是有
求解常系数线性微分方程问题
L[ x]
dt
dt
dt
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3、复值函数的微分运算性质
dz dt
[ z1 (t )
z2
(t)]
dz1(t) dt
dz2 (t) dt
线性性
dz dt
[c
z1
(t
)]
c
dz1(t dt
)
乘积性

考虑方程
L[ y]
dny dxn
a1
d n1 y dxn1
L
an y 0
(4.19)
其中a1, a2 , , an为常数, 称(4.19)为n阶常系数齐线性方程.
我们知道,一阶常系数齐线性方程
dy ax 0 dx
有解 y ceax ,
受此启发,对(4.19)尝试求指数函数形式的解
y ex , (4.20)
dy 1 dy , dx x dt
把上式入原方程得
d 2 y 1 d 2 y dy
dx2
x2 ( dt2
), dt
d 2 y dy
dt 2
2 dt
y0
上述方程的通解为: y(t) (c1 c2t)et ;
故原方程的通解为:
y(x) (c1 c2 ln x )x; 这里c1, c2为任常数;
2
en x
n en x
L
e n1 nx n
1 1 1
e (1 2 L n ) x 1
2 n
n1 1
n1
2
n1 n
e(12 L n ) x
(i j ) 0
1 jin
故解组(4.22)线性无关.
若i (i 1,2, , n)均为实数,
则(4.22)是方程(4.19)的基本解组 ,从而(4.19)的通解为
把方程 (4.19 )的2k个复值解 , 换成2k个实值解.
et cos t, tet cos t, , t k1et cos t; et sin t, tet sin t, , t k1et sin t.
(3) 求方程(4.19)通解的步骤
第一步: 求(4.19)特征方程的特征根 1, 2, , k ,

可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .
思考与练习
求方程 答案:
a 0: a 0: a 0:
的通解 .
通解为 y C1 C2 x 通解为 y C1 cos a x C2 sin a x 通解为 y C1 e a x C2 e a x
作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ;
例3.
的通解.
解: 特征方程 r 4 2 r3 5 r 2 0, 特征根:
r1 r2 0, r3 , 4 1 2 i
因此原方程通解为
y C1 C2x ex (C3 cos 2x C4 sin 2x )
例4. 解方程 y(5) y(4) 0.
解: 特征方程: r5 r 4 0, 特征根 :
(1) 当 r1 r2 时, 通解为 y C1 er1 x C 2 er2 x (2) 当 r1 r2 时, 通解为 y (C1 C 2 x ) er1 x
(3) 当 r1,2 i 时, 通解为 y e x (C1 cos x C 2 sin x)
d2s dt2

2
d d
s t

s

0
s t0 4 ,
ds dt
t
0 2
解: 特征方程 r 2 2 r 1 0 有重根 r1 r2 1 ,
因此原方程的通解为 s (C1 C2 t ) e t
利用初始条件得
C1 4, C2 2
于是所求初值问题的解为
代入方程得:
er1 x [ (u 2 r1u r12u ) p(u r1u ) q u 0
u ( 2 r1 p )u ( r12 p r1 q )u 0