DSP第六章6

Ω1 = c ⋅ tg
ω1
2
按 Ω1设计模拟滤 波器，经双线性 变换后，即可得 到ω1为截止频率 的数字滤波器
6、模拟滤波器的数字化方法
H ( z ) = H a ( s) 1 − z −1 = Ha c 1 + z −1
s =c
1− z −1 1+ z −1
可分解成级联的低阶子系统
z = e s1T
1 − z −1 ∴s = 1 + z −1
1+ s z= 1− s
♦ 为使模拟滤波器某一频率与数字滤波器的任一
频率有对应关系，引入系数 c
Ω1T Ω = c ⋅ tg 2
1 − z −1 s=c 1 + z −1 c+s z= c−s
2、变换常数c的选择
1）低频处有较确切的对应关系： Ω ≈ Ω1
H a ( s ) = H a1 ( s ) H a2 ( s )L H am ( s )
H ( z ) = H 1 ( z ) H 2 ( z )L H m ( z )
其中：H i ( z ) = H ai ( s )
1− z −1 s =c 1+ z −1
i = 1,2,..., m
可分解成并联的低阶子系统
七、双线性变换法
1、变换原理 使数字滤波器的频率响应 与模拟滤波器的频率响应相似。
冲激响应不变法、阶跃响应不变法：时域模仿逼近 缺点是产生频率响应的混叠失真
π π Ω1 : − , Ω :[ −∞, ∞] T T Ω1T z = e s1T Ω = tg 2
e −e Ω1T sin Ω1T 2j 2 = Ω = tg = ΩT ΩT Ω1T −j 1 j 1 2 cos e 2 +e 2 2 2
1 − z −1 1 − e − jω ω 1）s = c =c = jc ⋅ tg = jΩ −1 − jω 1+ z 1+ e 2
s平面虚轴 z平面单位圆
c + s c + σ + jΩ 2） z = = c − s c − σ − jΩ
s平面
z =
(c + σ ) 2 + Ω 2
(c − σ ) 2 + Ω 2
s = jΩ = e
ΩT j 1 2
j
Ω1T 2
−j
Ω1T 2
s = jΩ
−e
ΩT −j 1 2
e
ΩT j 1 2
+e
ΩT −j 1 2
=
e
s1T 2
−e
sT − 1 2
s1 = jΩ1
− s1T 2
e
s1T 2
+e
sT − 1 2
×e
1 − e − s1T 1 − z −1 = = − s1T −1 1+ e 1+ z
H a ( s ) = H a1 ( s ) + H a2 ( s ) + L + H am ( s )
H ( z ) = H1 ( z ) + H 2 ( z ) + L + H m ( z )
其中：H i ( z ) = H ai ( s )
1− z −1 s =c 1+ z −1
i = 1,2,..., m
z平面 单位圆内 单位圆外 单位圆上
σ <0 σ >0 σ =0
z <1 z >1 z =1
左半平面 右半平面 虚轴
4、优缺点
♦ 优点：避免了频率响应的混迭现象
Ω = 面与 z 平面为单值变换
Ω>0 ω>0 Ω<0 ω<0 Ω→∞ ω =π
♦ 缺点： 除了零频率附近，Ω 与 ω 之间严重非线性
1）线性相位模拟滤波器
非线性相位数字滤波器
2）要求模拟滤波器的幅频响应为分段常数型，不 然会产生畸变 分段常数型模拟滤波器 经变换后仍为分段常数 型数字滤波器，但临界 频率点产生畸变
Ω1 = ω1 /T
Ω1 ω = 2 ⋅ tg ≠ ω1 c
−1
♦ 预畸变
给定数字滤波器的截止频率 ω1 ，则
Ω1T Ω1 ≈ Ω = c ⋅ tg 2
Ω1T ≈ c ⋅ 2
2 c= T
2）某一特定频率严格相对应： Ωc ↔ ωc
Ω1cT ωc Ωc = c ⋅ tg = c ⋅ tg 2 2
c = Ωc ctg
ωc
2
特定频率处频率响应严格相等，可以较准确地 控制截止频率位置
3、逼近情况