4常态几率分布
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最新83正态分布曲线汇总页数:13
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正态分布图页数:1
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第三讲 正态分布及其应用页数:36
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常用的概率分布类型与其特征
常用的概率分布类型与其特征概率分布是用于描述随机变量取值的概率的数学函数。
在统计学和概率论中，常用的概率分布类型包括离散型分布和连续型分布。
下面将分别介绍常见的离散型分布和连续型分布以及它们的特征。
离散型分布：1. 伯努利分布（Bernoulli distribution）是最简单的离散型分布，用于描述只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币。
特征是一个参数p，表示取得成功的概率，取值为0或12. 二项分布（Binomial distribution）是伯努利分布的扩展，用于描述独立重复进行的二项试验中成功次数的概率分布。
特征是两个参数n和p，n表示试验次数，p表示单次试验成功的概率。
3. 泊松分布（Poisson distribution）用于描述单位时间内事件发生次数的概率分布。
特征是一个参数λ，表示单位时间内事件平均发生的次数。
连续型分布：1. 均匀分布（Uniform distribution）是最简单的连续型分布，用于描述在一个区间内各个取值概率相等的情况。
特征是两个参数a和b，表示区间的上下界。
2. 正态分布（Normal distribution）是最常见的连续型分布，也称为高斯分布。
在许多自然现象中常见，如测量误差、生物学特征等。
特征是两个参数μ和σ，μ表示均值，σ表示标准差，曲线呈钟形。
3. 指数分布（Exponential distribution）用于描述不断独立进行的事件中第一个事件发生的时间间隔的概率分布。
特征是一个参数λ，表示事件发生的速率。
4. γ（伽玛）分布（Gamma distribution）也用于描述事件发生的时间间隔，但相对于指数分布而言，γ分布更加灵活，可以包含更多的形态。
特征是两个参数α和β，α表示发生的次数，β表示单位时间间隔内的事件平均发生次数。
5. β分布（Beta distribution）用于描述由有限个独立事件组成的随机变量的概率分布，其取值范围在[0, 1]之间。
常用概率分布
关于 左右对称，正态高峰位于中央 在 处取得该概率密度函数的最大值，在 x处
有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味
着正态分布变量取值靠近 x处 的概率较大,两 边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0
8
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
23
四、二项分布的图形
24
图形特点：两个轴意义，对称、偏态、与 正态分布的关系
决定图形的两个参数：n，
25
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数p:
p
1 n
x
1 n
(n )
样本率的总体标准差p:
p
1 n
x
(1 )
n
样本率的标准差（标准误)Sp:
Sp
p(1 p) n
26
根据中心极限定理，在n较大，n(1- )均大于5时，二项分 布接近于正态分布。当n → ∞ , 二项分布B(n,)的极限分布 是总体均数为X = n、总体方差 X2 = n(1-)的正态分布 N(n, n(1-))。这个时候可以用正态分布N(n, n(1-)) 作近似计算。
16
确定医学参考值范围
例 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95% 医学参考值范围
具体步骤如下： 1. 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排
除标准。这类研究一般要求参加体检并且要 求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均 正常的对象。 2. 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均 属于不正常（双侧范围）。
6. 如果受检指标血红蛋白呈偏态分布，则可 以用百分位数P2.5～P97.5确定95%参考值 范围，但样本量要充分大。
7. 样本量充分大是相对与指标的变异程度， 指标变异大，要求样本量大；指标变异程 度小，要求样本量可以相对小一些。
有拐点，表现为钟形 靠近 x 处曲线下面积较为集中,两边减少,意味
着正态分布变量取值靠近 x处 的概率较大,两 边逐渐减少 正态分布的总体偏度系数和峰度系数均为0
8
正态分布曲线下面积
正态分布变量X的取值为(-∞,∞)
23
四、二项分布的图形
24
图形特点：两个轴意义，对称、偏态、与 正态分布的关系
决定图形的两个参数：n，
25
五、样本率的均数和标准差
样本率的总体均数p:
p
1 n
x
1 n
(n )
样本率的总体标准差p:
p
1 n
x
(1 )
n
样本率的标准差（标准误)Sp:
Sp
p(1 p) n
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根据中心极限定理，在n较大，n(1- )均大于5时，二项分 布接近于正态分布。当n → ∞ , 二项分布B(n,)的极限分布 是总体均数为X = n、总体方差 X2 = n(1-)的正态分布 N(n, n(1-))。这个时候可以用正态分布N(n, n(1-)) 作近似计算。
16
确定医学参考值范围
例 估计某地健康成年女子的血红蛋白的95% 医学参考值范围
具体步骤如下： 1. 根据研究背景确定研究对象的入选标准和排
除标准。这类研究一般要求参加体检并且要 求除研究指标血红蛋白指标外，其他指标均 正常的对象。 2. 根据研究背景，确定血红蛋白过高或过低均 属于不正常（双侧范围）。
6. 如果受检指标血红蛋白呈偏态分布，则可 以用百分位数P2.5～P97.5确定95%参考值 范围，但样本量要充分大。
7. 样本量充分大是相对与指标的变异程度， 指标变异大，要求样本量大；指标变异程 度小，要求样本量可以相对小一些。
第四节 概率的分布
（λt） −λt P{N ( t + s) − N (s) = n} = e n!
n
1− p EX = r p
1− p DX = r 2 p
• 4.泊松过程 泊松过程 在实际问题中，常常要观测到时刻t时某事 在实际问题中，常常要观测到时刻 时某事 件出现的次数， 件出现的次数，如： 1.在某路口到 时刻经过的汽车数目； 在某路口到t时刻经过的汽车数目 在某路口到 时刻经过的汽车数目； 2.在收银台到 时刻到达的顾客人数； 在收银台到t时刻到达的顾客人数 在收银台到 时刻到达的顾客人数； 3.某地区到 时刻某年龄段的死亡人数； 某地区到t时刻某年龄段的死亡人数 某地区到 时刻某年龄段的死亡人数； 4.保险公司到 时刻接到的索赔次数。 保险公司到t时刻接到的索赔次数 保险公司到 时刻接到的索赔次数。 以上均用{X(t)，t≥0}来描述随机变量，它 来描述随机变量， 以上均用 ， 来描述随机变量 是随时间的变化而改变的， 是随时间的变化而改变的，称之为随机过 程。
三、损失金额的分布
假设某企业的风险经理需要知道火灾风险造成厂房 损失的情况， 损失的情况，用重置成本法对其厂房的直接成本损 失价值进行评估，该厂房的重置成本为200万元，这 万元， 失价值进行评估，该厂房的重置成本为 万元 样该厂房的最大可能损失为200万元，根据以往每次 万元， 样该厂房的最大可能损失为 万元 火灾发生时损失的历史数据，把损失数额分段考虑。 火灾发生时损失的历史数据，把损失数额分段考虑。 例如2万元以下，2—10，10—40，等。这样就得到 例如 万元以下， ， ， 万元以下 损失程度的一种分布。如下表： 损失程度的一种分布。如下表：
• 例1.[在排队论中的应用 在排队论中的应用] 在排队论中的应用 以火车站售票处为例，从早上8：00开始， 以火车站售票处为例，从早上 ： 开始， 开始 次售票处连续售票，乘客以10人 小时的平 次售票处连续售票，乘客以 人/小时的平 均速率到达，则从9： 均速率到达，则从 ：00—10：00这一小时 ： 这一小时 内最多有5名乘客来此购票的概率是多少 名乘客来此购票的概率是多少？ 内最多有 名乘客来此购票的概率是多少？ 10点到 点无人购票呢？ 点到11点无人购票呢 点到 点无人购票呢？ 例2（事故的发生次数及保险公司接到的索 （ 赔数） 赔数） 这里考虑最简单的情况，设保险公司每次 这里考虑最简单的情况， 赔付都是1，接到索赔要求是4次 月 赔付都是 ，接到索赔要求是 次/月，则一 年中他要付出的平均金额是多少？ 年中他要付出的平均金额是多少？
概率分布及概率分布图
概率密度函数图
总结词
概率密度函数图是一种展示连续概率分布的图形，通过曲线的高低表示概率密度的大小。
详细描述
概率密度函数图是连续概率分布的图形表示，它通过曲线的高低表示概率密度的大小。在概率密度函数图中，曲 线下方的面积表示事件发生的概率。这种图形可以帮助我们了解连续随机变量的分布情况，并用于估计和预测未 来的事件。
02 离散概率分布
二项分布
01
02
03
定义
二项分布是描述在n次独 立重复的伯努利试验中成 功的次数的概率分布。
公式
$B(n, p) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k}$，其中C(n, k)是组合数，表示从n个 不同项中选取k个的方法 数。
应用场景
例如，抛硬币的结果（正 面或反面），或者给定数 量的独立事件中成功事件 的次数。
泊松分布
定义
泊松分布是描述在单位时间内（或单 位面积内）随机事件的次数，当这些 事件以小概率发生，并且这些事件之 间是独立的。
公式
应用场景
例如，放射性衰变或者网络中同时发 生的请求数。
$P(X=k) = frac{e^{lambda}lambda^k}{k!}$，其中 $lambda$是事件的平均发生率。
05 概率分布及概率分布图的 应用实例
在统计学中的应用
1 2 3
描述性统计
概率分布图可以用来描述数据的分布情况，如频 数分布图、直方图等，帮助我们了解数据的集中 趋势、离散程度等。
假设检验
在假设检验中，概率分布图可以用来表示样本数 据和理论分布之间的比较，帮助我们判断样本数 据是否符合预期的分布。
概率分布的种类
离散概率分布
描述离散随机变量的取值概率，如二项分布、泊 松分布等。
第三章 几种常见的概率分布率
分区间函数的积分.
即: S
S1 + S2 + S3 +…….S x
∫ 则:
S=
x
-∞
(函数)
S1 S2
S
S3
Sx
2019/12/26
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3). 标准正态分布 a. 平均数μ与正态分布的关系:
(μ的负正与x轴的左右摆动)
μ<0
0
b. 标准差与正态分布的关系:
0μ=0
标准差越小,曲线越陡,数据越集中 标准差越大,曲线越平坦,数据越分散
1
P(1)=e-10.101/1! =0.000450
2
P(2)=e-10.102/2! =0.0023
3
P(3)=e-10.103/3! =0.0076
4
P(4)=e-10.104/4! =0.0189
5
P(5)=e-10.105/5! =0.0378
6
P(6)=e-10.106/6! =0.0631
2019/12/26
2019/12/26
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2. 普阿松分布:----小概率事件( p≦ 0.1)符合普阿松式分布.
同样:把样本看作一个整体, 则: ∑f (x) =1
故: 式中任一项出现的概率为:
μx
μ----平均数
P (x) = e-μ x!
x ----第x项为自然数 :1,2,3,…
(f )
0
43
0
1
15
15
2
8
16
3
6
18
4
3
12
5
4
20
6
1
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型与其特征3．1 二点分布和均匀分布1、两点分布许多随机事件只有两个结果.如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作,或者失效.描述这类随机事件变量只有两个取值,一般取0和1.它服从的分布称两点分布.其概率分布为：其中 Pk=P〔X=Xk〕,表示X取Xk值的概率：0≤P≤1.X的期望 E〔X〕=PX的方差 D〔X〕=P〔1—P〕2、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数f〔x〕在有限的区间[a,b]上等于一个常数,则X服从的分布为均匀分布.其概率分布为：X的期望 E〔X〕=〔a+b〕/2X的方差 D〔X〕=〔b-a〕2/123．2 抽样检验中应用的分布3．2．1 超几何分布假设有一批产品,总数为N,其中不合格数为d,从这批产品中随机地抽出n 件作为被检样品,样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布.X的分布概率为：X=0,1,……X的期望 E〔X〕=nd/NX的方差 D〔X〕=〔〔nd/N〕〔〔N-d〕/N〕〔〔N-n〕/N〕〕〔1/2〕3．2．2 二项分布超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式,共有9个阶乘,因而计算起来十分繁琐.二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化.假设有一批产品,不合格品率为P,从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品,其中不合格品数X服从的分布为二项分布.X的概率分布为：0<p<1x=0,1,……,nX的期望 E〔X〕=npX的方差 D〔X〕=np〔1-p〕3．2．3 泊松分布泊松分布比二项分布更重要.我们从产品受冲击〔指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等〕而失效的事实引入泊松分布.假设产品只有经过一定的冲击次数后,产品才失效,又设这些冲击满足三个条件：〔1〕、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；〔2〕、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；〔3〕、在单位时间内发生冲击的平均次数λ〔λ＞0〕不随时间变化,即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击,它和Δt 的起点无关.则在[0,t]时间内发生冲击的次数X服从泊松分布,其分布概率为：X的期望 E〔X〕=λtX的方差 D〔X〕=λt假设仪表受到n次冲击即发生故障,则仪表在[0,t]时间内的可靠度为：其中：x =0,1,2,……,λ＞0,t＞0.3．2．4 x2分布本分布是可靠性工程中最常用的分布之一,虽然其概率密度形式较复杂,但可由标准正态分布推出.设有v个相互独立的随机变量X1,X2,…… Xv,它们服从于标准正态分布N 〔0,1〕.记x2 =X12 + X22 +…Xv2 ,x2读作"卡方"则x2服从的分布称为x2分布.它的概率密度函数为：该式称为随机变量x2服从自由度为V的x分布.式中：V—为自由度,是个自然数x2分布最重要的性质是：当m为整数时：3．3 产品的寿命分布3．3．1 指数分布指数分布是电子产品在可靠性工程学中最重要的分布.通常情况下,电子产品在剔除了早期故障后,到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段其寿命服从指数分布规律.指数分布是唯一的失效率不随时间变化而变化的连续随机变量的概率分布.容易推出：指数分布有如下三个特点：1．平均寿命和失效率互为倒数；MTBF=1/λ2．特征寿命就是平均寿命；3．指数分布具有无记忆性.〔即产品以前的工作时间对以后的可能工作时间没有影响〕3．3．2 威布尔分布从上面的描述可知,指数分布只适用于浴盆曲线的底部,但任何产品都有早期故障,也总有耗损失效期.在可靠性工程学中用威布尔分布来描述产品在整个寿命期的分布情况.将指数分布中的〔-λt〕替换为〔-〔t/η〕m〕,就得到威布尔分布.容易得到：3．3．3 正态分布与对数正态分布正态分布又称为常态分布或高斯分布.它的概率密度函数为：式中：-∞＜x＜∞分布函数记为：对数正态分布是指：若寿命T的对数lnT服从正态分布N〔u,σ〕,则T服从对数正态分布.它的概率密度函数为：式中：t,σ为正数,μ和σ分别称为对数正态分布的"对数均值"和"对数标准差".3．4 为进行统计推断所构造的分布3．4．1 t分布〔学生氏分布〕t—分布常用于区间估计、正态总体的假设检验以与机械概率设计之中.服从t—分布的随机变量记住t.它是服从标准正态分布N〔0,1〕的随机变量U和服从自由度为v的x2分布的随机变量x2〔v〕的函数.它的概率密度函数f〔t〕为：3．4．2 F—分布F分布主要用于两个总体的假设检验与方差分析.服从F分布的随机变量F是两个相互独立的x2分布随机变量x2〔v1〕和x2〔v2〕的函数：式中：F只能取正值.F分布的概率密度函数为：另外还有β—分布等.中位秩是β—分布的中位数,一般用下式求出：中位秩值≈〔i-0.3〕/<n+0.4> 式中：n为样本总数.。
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征3．1 二点分布和均匀分布1、两点分布许多随机事件只有两个结果。
如抽检产品的结果合格或不合格；产品或者可靠的工作，或者失效。
描述这类随机事件变量只有两个取值，一般取0和1。
它服从的分布称两点分布。
其概率分布为：其中 Pk=P（X=Xk），表示X取Xk值的概率：0≤P≤1。
X的期望 E（X）=PX的方差 D（X）=P（1—P）2、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。
其概率分布为：X的期望 E（X）=（a+b）/2X的方差 D（X）=（b-a）2/123．2 抽样检验中应用的分布3．2．1 超几何分布假设有一批产品，总数为N，其中不合格数为d，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，样品中的不合格数X服从的分布称超几何分布。
X的分布概率为：X=0，1，……X的期望 E（X）=nd/NX的方差 D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2 二项分布超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。
二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检样品，其中不合格品数X服从的分布为二项分布。
X的概率分布为：0<p<1x=0，1，……，nX的期望 E（X）=npX的方差 D（X）=np（1-p）3．2．3 泊松分布泊松分布比二项分布更重要。
我们从产品受冲击（指瞬时高电压、高环境应力、高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件：（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击，它和Δt 的起点无关。
常见概率分布类型解析
常见概率分布类型解析概率分布是描述随机变量可能取值的概率分布情况的数学模型。
在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布类型，每种类型都有其特定的特征和应用场景。
本文将对常见的概率分布类型进行解析，帮助读者更好地理解和应用这些概率分布。
一、离散型概率分布1. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是最常见的离散型概率分布之一，描述了在一系列独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
其中，伯努利试验是指只有两种可能结果的随机试验，如抛硬币、投篮等。
二项分布的概率质量函数为二项式系数的形式，通常用于描述成功概率固定的多次独立重复试验的结果。
2. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是描述单位时间（或单位空间）内随机事件发生次数的概率分布。
它适用于描述在一个固定时间或空间范围内，事件发生的次数满足一定条件的情况，如电话交换机接到的电话数、一天内发生的交通事故数等。
泊松分布的概率质量函数具有简单的形式，适用于事件发生率低、事件相互独立的情况。
二、连续型概率分布1. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是最常见的连续型概率分布，也称为高斯分布。
它具有钟形曲线，均值和标准差完全决定了分布的形状。
正态分布在自然界和社会科学中广泛应用，许多现实世界的数据都服从正态分布，如身高、体重等。
中心极限定理表明，大量独立随机变量的均值近似服从正态分布。
2. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布是描述独立随机事件发生时间间隔的概率分布。
它常用于描述连续事件的等待时间，如客户到达间隔时间、设备故障间隔时间等。
指数分布具有无记忆性的特点，即已经等待了一段时间后，未来的等待时间与已经等待的时间长度无关。
3. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是最简单的连续型概率分布，描述了在一段区间内所有取值的概率相等的情况。
常见概率分布表(超全总结)
������ ������ ������
指数分布 （负指数分布）
Γ(1, ������)
������ > 0
������
������ 2
注：指数分布是Γ分布的特殊情况
n
2n
χ2 分布
������ 2 (������)
������ ≥ 1
f(x) = {
2n⁄2 Γ(������⁄2) 0 ,
������ ≥ 1
������ > 0
均匀分布
U(a, b)
a<b
K=0,1,2,… 1 , ������ < ������ < ������ f(x) = {������ − ������ 0, 其它 f(x) = 1 f(x) = {√2������������������ 1 √2������������ ������ ������ −(������−������)
非中心χ 分布
2
������ f(x) = {
������+������ −( 2 ) ∞
������ (������, ��� 0
2������⁄2
������ 2+������−1 ������������ ∑ ������ , (������ > 0) 2������ ������=0 Γ (2 + ������) 2 ������! 0 , 其它
逆高斯分布
N (μ, λ)
−1
λ, μ > 0
Γ分布
连 续 型
(伽玛分布)
Γ(������, ������)
������, ������ > 0
1 ������ ������−1 ������ −������⁄������ , ������ > 0 f(x) = {������ ������ Γ(������) 0 , 其它 1 −������ ������ ������ , ������ > 0 f(x) = { ������ 0 , 其它 1 ������ 2 −1 ������ −2 , ������ > 0 其它
指数分布 （负指数分布）
Γ(1, ������)
������ > 0
������
������ 2
注：指数分布是Γ分布的特殊情况
n
2n
χ2 分布
������ 2 (������)
������ ≥ 1
f(x) = {
2n⁄2 Γ(������⁄2) 0 ,
������ ≥ 1
������ > 0
均匀分布
U(a, b)
a<b
K=0,1,2,… 1 , ������ < ������ < ������ f(x) = {������ − ������ 0, 其它 f(x) = 1 f(x) = {√2������������������ 1 √2������������ ������ ������ −(������−������)
非中心χ 分布
2
������ f(x) = {
������+������ −( 2 ) ∞
������ (������, ��� 0
2������⁄2
������ 2+������−1 ������������ ∑ ������ , (������ > 0) 2������ ������=0 Γ (2 + ������) 2 ������! 0 , 其它
逆高斯分布
N (μ, λ)
−1
λ, μ > 0
Γ分布
连 续 型
(伽玛分布)
Γ(������, ������)
������, ������ > 0
1 ������ ������−1 ������ −������⁄������ , ������ > 0 f(x) = {������ ������ Γ(������) 0 , 其它 1 −������ ������ ������ , ������ > 0 f(x) = { ������ 0 , 其它 1 ������ 2 −1 ������ −2 , ������ > 0 其它
04常用的概率分布
曲线下面积是指由分布曲线与横坐标或者横坐标上的特 定区间所围成的区域的面积
f(x)
曲线下面积
x ab
正态分布曲线下面积的含义
对于连续型的计量资料，x可以取某个区间或整条 数轴上的任意点值；对于横坐标轴上的任意特定 点，其所对应的曲线下面积都等于0（因为线的面 积等于0）f(x)
x x=a
正态分布曲线下面积的含义的应用
虽然服从正态分布的指标，只要知道均数与标准差 , 就 可用微积分的方法求得任意范围曲线下面积，但此积分是 相当困难的，这给实际使用带来诸多不便。
例如：当=0，=1时，在（-1.96,1.96）范围内正态变量取 值概率为0.95，而当=0, =1.96时，在 (-1.96, 1.96)范围内 正态变量取值概率就不是0.95，而是0.68。这就是说P的大 小不仅与区间上下限（x1, x2）有关，还与、 有关，而 我们不可能针对每个不同的与都制一张表供读者参考。
由于血清蛋白服从正态分布，所以采用正态分 布法；蛋白质过高或过低均为异常，故取双侧 参考值范围，计算得95％参考值范围：
下限：X －1.96s=73.5－1.96×3.9=65.9(g/L)
上限：X ＋1.96s=73.5＋1.96×3.9=81.1(g/L)
此可作为判断该地区成年女子血清总蛋白含 量正常与否的参考值。
可以将正态分布曲线看作频数分布图（直方图） 的极限情况：随着组段的无限细分、样本含量 的无限增加，原本崎岖不平的直方图的轮廓逐 渐变得平整，以至于形成一条光滑的连续曲 线——正态分布曲线
同其它数学曲线一样，正态分布曲线也是 由自变量 x 和与之相对应的应变量Y或者
f (x)在数轴平面所对应的点构建而成。
设定曲线下面积等于1，对于横坐标轴上的某个区 间（a＜x＜b)的曲线下面积，其含义为x取该区间 值时对应的概率有多大；其数值的大小用分布函 数式F(X)表示 f(x)
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新竹交通大学唐丽英教授 ｜ 统计简单学
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例11：若 P(Z < C) = 0.0110 利用表求C=?
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如何利用表求出一般常态分布之机率
• 如何求出一般常态变量之机率？
– 作法：先将常态变量 X 标准化(Standardize)，转换成标准常态变数 Z 后，再 求其机率。标准化之公式如下：
例2：下图是三条有相同标准差 σ 但不同平均数 (μ1<μ2<μ3) 之常态曲线
f(x)
σ
X μ1 μ2 μ3
– 由此图中你观察到什么？
由例1与例2，可知： μ 为位置参数 (Location parameter) σ 为分散参数 (Dispersion parameter)
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如何利用表求出一般常态分布之机率
• 例14：假设某产品之长度数据呈常态分布，其平均数为38.5 公分，标准差为2.5公分。若此产品之规格界限为38±2公分， 请问此产品之良率为何？
长度规格： 38±2 公分
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例14： 已知规格界限为38±2 长度 X~N(38.5,2.5)， 求良率 P(36≦X≦40) = ? [解]：
右表为标准常态分布 N(0, 1) 之机率表
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例4：利用表求 P(0≦Z≦1.96) = ?
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例5：利用表求 P(-1.81≦Z≦1.81)= ?
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例6：利用表求 P(0.53≦Z≦2.42)= ?
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第四单元 简单回顾
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简单回顾
• 常态机率分布：
– 连续型随机变数对称于
• 标准常态分布：
– 平均数为0、标准差为1之常态分布。
������������
之钟形分布。
• 检查数据是否呈常态分布之方法：
– 利用直方图 – 利用常态机率图 – 利用统计检定
Z=
X −µ
σ
,
其中 X~N(µ ,σ )
• 假设 X~N(10,2) – 例12：请找出 X 介于 11 与 13.6 间之机率 – 例13：请找出 X 大于 12 之机率
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例12：
若X~N(10,2)，利用右表 求 P(11≦X≦13.6) = ?
[解]：
P(36 ≤ X ≤ 40) 36 −38.5 40 −38.5 = P( ≤Z≤ ) 2.5 2.5 = P(−1 ≤ Z ≤ 0.6) = 0.3413 + 0.2257 = 0.567
不良率= 1－良率 = 1-0.567 = 0.433
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第三部份：检查数据是否呈常态分布
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如何检查数据是否呈常态分布？
• 利用直方图
– 只要出现钟形分布图形，即判定数据呈常态分布。
• 利用常态机率图
– 只要图形呈直线，即判定数据呈常态分布。
• 利用统计检定
– 卡方适配度检定(Chi-Square Goodness-of-fit Test) – K-S检定(Kolmogorov-Smirnov test) – A-D检定(Anderson-Darling Test) （只要显着度 p-value > 0.05，即判定数据呈常态分布）
X
平均数=中位数=众数
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常态机率分布的特性
• μ 与 σ 对常态曲线的影响
例1：下图是三条有相同平均数 μ ，但不同标准偏差 (σ1<σ2<σ3) 之常态曲 线
f(x)
σ1 σ2 σ3
X
μ
– 由此图中你观察到什么？
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8
常态机率分布的特性
【统计简单学】 第四单元
常态机率分布
授课教师：唐授 ｜ 统计简单学
1
第四单元 内容大纲
• 第一部份：常态机率分布简介
1. 2. 常态机率分布 常态机率分布的特性
• 第二部份：标准常态分布机率表
1. 2. 3. 标准常态机率分布 如何利用「标准常态分布机率表」求出标准常态分布之机率及Z值 如何利用「标准常态分布机率表」求出一般常态分布之机率
9
第二部份：标准常态分布机率表
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标准常态机率分布
• 何谓标准常态分布 (Standard Normal Distribution) ？
– 平均数为0、标准差为1之常态分布称为标准常态分布。 – 以 N(0,1) 表之。
σ=1
μ =0
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11
标准常态机率分布
• 常态曲线下之面积代表机率。
例3：令Z为 N(0,1) 之随机变数，即 Z~N(0,1) ，其常态曲线如下图所示。 则，P(2≦Z≦3) = 曲线下介于 与 之间的面积＝阴影部份之面积 。
σ=1
μ =0
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12
如何利用表求出标准常态分布之机率
• 卡方适配度检定 • K-S检定 • A-D检定
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直方图
[解]：
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常态机率图与 K-S 统计检定
[解]：
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常态机率图与 A-D 检定
[解]：
由以上图形可知，资料呈常态分布。
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本单元结束
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例7：利用表求 P(Z≧-0.36)= ?
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如何利用表求出标准常态分布之Z 值
• 设 Z~N(0, 1)，请利用表查 Z 值：
– 例8：P(Z < C) = 0.95 – 例9： P(Z > C) = 0.7019 – 例10： P(Z > C) = 0.1379 – 例11： P(Z < C) = 0.0110
来源 : /wiki/Carl_Friedrich_Gauss
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4
常态机率分布
• 常态分布的机率分布函数：
f ( x) =
1 2πσ
e
− ( x −µ ) 2 / 2σ2
,−∞ < x < ∞
– 其中
• π = 3.14159 • e = 2.71828 • μ = 群体平均数 • σ2 = 群体变异数
P(11 ≤ X ≤ 13.6) 13.6 − 10 11 − 10 ≤Z≤ = P( ) 2 2 = P(0.5 ≤ Z ≤ 1.8)
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例13：
若X~N(10,2)，利用右表 求 P(X > 12) = ?
[解]：
P ( X > 12) 12 − 10 = P(Z > ) 2 = P ( Z > 1) = 0.5 − 0.3413 = 0.1587
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检查数据是否呈常态分布
• 例15：下列 75 笔数据为某模具上的孔径尺寸值(mm)，请分别利用 (a) 直方图 (b) 常态机率图 (c) 统计检定，检查数据是否呈常态分布？
0.88 0.95 0.72 1.39 0.81 0.88 0.94 1.12 0.69 0.95 0.98 1.29 1.54 0.87 1.09 0.87 0.69 0.89 0.96 1.15 1.26 1.18 0.85 0.87 0.76 0.95 0.64 1.01 0.95 0.96 1.09 1.15 1.00 0.93 1.32 1.24 1.07 1.03 0.89 1.09 1.04 0.95 0.72 1.21 1.02 1.10 1.12 0.94 1.15 1.34 0.98 0.74 1.28 1.16 0.99 1.40 0.95 1.06 0.96 0.99 1.20 0.77 0.79 1.10 1.28 1.13 1.06 0.83 0.76 0.67 1.10 1.42 0.88 1.04 0.97
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5
常态机率分布
• 常态曲线
– 原始资料之 μ 与 σ 值不同时，其常态曲线之变化亦不同。 常以符号 N (µ ,σ ) 表示之。
常态分布可以符号 N(μ,σ) 表之。
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常态机率分布的特性
• N(μ,σ) 的特性
– 对称于 μ。 – 随机变数 x 之值可由 －∞ 至 ＋∞ 。 – 呈钟形分布。 – 曲线下之面积为 1 。 – 集中趋势的三个量数(平均数、中位数及众数)值相同。
• 第三部份：检查数据是否呈常态分布
1. 2. 3. 利用直方图 利用常态机率图 利用统计检定
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2
第一部份：常态机率分布简介
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