常见值概率曲线(利用累积频率的正态分布曲线)

常态分布曲线和正态分布曲线常态分布曲线和正态分布曲线是统计学中经常使用的两种概率分布曲线。

这两种曲线在形状、特征以及应用领域上存在一些差异，但其核心思想是相同的。

本文将深入探讨常态分布曲线和正态分布曲线的异同点，并介绍它们在实际应用中的重要性。

首先，我们来了解一下常态分布曲线。

常态分布曲线又称为钟形曲线或高斯曲线，是一种在统计学中常见的概率分布曲线。

它的特点是在均值处有一个高峰，向两侧逐渐下降，呈现出对称的特点。

常态分布曲线的形状可以由其均值和标准差来确定。

均值决定了曲线的中心位置，而标准差则决定了曲线的宽度。

当标准差较大时，曲线相对较宽，而当标准差较小时，曲线相对较窄。

而正态分布曲线是常态分布曲线的特例，也被称为正态概率密度函数。

正态分布曲线是以均值为中心，自由度为1的对称分布曲线。

它呈钟形曲线状，左右两侧都延伸至无穷远，且曲线与x轴的交点在正负无穷远处。

正态分布曲线的面积在均值左右对称，且由标准差决定了曲线的陡峭程度。

正态分布曲线的面积在均值左右对称，且由标准差决定了曲线的陡峭程度。

常态分布曲线和正态分布曲线的应用广泛。

它们在统计学和概率论中被广泛用于描述连续型随机变量的分布。

常态分布曲线和正态分布曲线的形状可以通过概率分布参数来调整，从而适应不同的实际情况。

因此，它们在统计推断、抽样分析、质量控制和风险评估等领域中具有重要的应用价值。

在实际应用中，常态分布曲线和正态分布曲线还可以用于推断总体特征、研究变量之间的关系以及预测未来趋势。

例如，在市场营销中，可以利用常态分布曲线和正态分布曲线来分析顾客的消费行为，从而预测未来的销售额。

在制造业中，可以使用常态分布曲线和正态分布曲线来评估产品的质量控制，以确保产品符合标准要求。

在金融领域中，可以利用常态分布曲线和正态分布曲线来衡量投资风险和预测股票价格的涨跌。

总而言之，常态分布曲线和正态分布曲线是统计学中两种重要的概率分布曲线。

它们具有相似的形状和特征，但又有一些微妙的差异。

概率累积曲线
概率累积曲线是表示随机变量分布状态的数学曲线，描述了变量不同取值出现的频率。

概率累积曲线是一种折线图，它根据抽样数据绘制出来，表示给定一个随机变量X介于某
两个取值X1和X2之间的概率密度（或频率）随X的变化趋势及其概率累积的变化情况。

概率累积曲线可以用来表示变量的分布范围、离散程度等，也可以帮助理解变量的概
率变化情况，比直方图更加有效。

它的定义是：如果随机变量X的概率密度函数为f（x），则它的概率累积曲线C（x）定义为:
C(X) = P(X <x) = ∫_x^∞ f(x)dx
其中P(X<X)表示X取值不超过x的概率，是一个介于0-1之间的数值，可以用来衡量
X取值范围的离散程度。

概率累积曲线默认从x轴的负无穷处开始，即C(-∞)=0，再沿着X的变化逐渐累积至
P(X<X)=1，即C(∞)=1，概率累积曲线的特性就是从（-∞，0）到（∞，1）一直呈现出上升趋势。

概率累积曲线在许多统计学和数学研究中有着广泛的应用。

它可以用来计算两个变量
X和Y之间的相关性，测量样本数据分布统计特性，进行概率计算和相关性分析，测量样
本数据稳定性，以及其他大量用途。

常见的频数分布曲线
常见的频数分布曲线有以下几种：
1. 正态分布曲线（高斯曲线）：正态分布是最常见的频数分布曲线，呈钟形曲线，两侧对称。

均值、标准差决定了曲线的形状。

2. 偏态分布曲线：偏态分布曲线不对称，呈现偏斜现象。

可以分为正偏态分布和负偏态分布两种。

3. 均匀分布曲线：均匀分布曲线是一条平坦的直线，表示数据在给定范围内是均匀分布的。

4. 二项分布曲线：二项分布曲线是由多个试验中成功和失败的结果构成的，呈现为两边尖锐、中间较高的曲线。

5. 泊松分布曲线：泊松分布曲线是描述单位时间（或空间）内某事件发生次数的概率分布，呈现为单峰的对称曲线。

这些是常见的频数分布曲线，不同类型的曲线可以用于描述不同类型的数据分布情况。

粒度分析在沉积岩的成因和沉积相中的应用碎屑岩石学读书报告——粒度分析在沉积岩的成因和沉积相中的应用一、粒度的概念及标准1.粒度的概念粒度有两种值，线性值和体积值。

体积值一般以标准直径(d n)表示，它代表与颗粒体积相等的球的直径。

线性值常因颗粒形状不规则使测定测值很因难。

通常测三个值，最长直径d L、中间直径d I及最短直径d J。

可按下述步骤确定这三个值：（1）．确定颗粒的最大投影面；（2）．做垂直最大投影面方向的最长截线，即最短直径d J（3）. 对最大投影面做切线矩形(图l一1)，矩形酌短边即中间直径d I，长边则是最长直径d L。

可以看出，d L及d I的方向同时还表明颗粒在空间的方位，因此，它们既可用于粒度，也可作颗粒的组构分析用。

线性值粒度较常用，在砾岩研究中有时也用体积值。

2. 粒度的标准所谓粒度标准,就是人们所能通用的粒度标定方法。

在国内外、各个行业流行的粒度标准不下二十余种。

在地质部门,一般认为伍登——温德华标准比较合适。

这个标准以毫米为单位,2为底数,以2 的n次方向两端扩展,形成一个以1为基数,2为公比数的等比级数数列。

伍登——温德华标准的优点是规律严谨,便于计算,其划分的精度也随着粒度的减小而提高。

此外,它也反映沉积颗粒的自然特性,这同尤尔斯特隆图解、谢尔兹图解、维希尔正态概率图解所揭示的砾、砂、粘土的水动力学特性是一致的。

但该标准的小数形式太过繁琐,应用不便。

为此,克鲁宾对此做了简单而巧妙的对数变换,即构成了所谓的“∮值”。

标准,它是一个简单的等差级数数列,数字简单,便于计算、绘图,其不足之处是不直观。

现在二者合用称为伍登——温德华——∮值标准(见表1),1969年美国经济古生物学家和矿物学家协会推荐这一联合标准作为共同的粒度标准。

二、粒度分析的方法砾石可用直接法测量，如用测杆、测规量砾石的直径，用量筒测砾石的体积。

可松解或疏松的细、中碎用岩多采用筛析法。

粉砂及帖土岩常用沉降法、流水法、液体比重计等方法测定。

正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义1．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【知识点的知识】1．正态曲线及性质（1）正态曲线的定义函数φμ，σ（x）=2―(푥―휇)12휎2 ，x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φ2휋휎푒μ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．（2）正态曲线的解析式①指数的自变量是x 定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0 这是正态分布的两个特征数．④解析式前面有一个系数为1，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为―2휋휎(푥―휇)22휎2．2．正态分布（1）正态分布的定义及表示푏如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X 满足P（a＜X≤b）= φμ，σ（x）dx，则称X 的分布为正态分布，푎记作N（μ，σ2）．（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．3．正态曲线的性质1/ 6正态曲线φμ，σ（x）=2―(푥―휇)12휎2，x∈R 有以下性质：2휋휎푒（1）曲线位于x 轴上方，与x 轴不相交；（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；（3）曲线在x＝μ处达到峰值1；2휋휎（4）曲线与x 轴围成的图形的面积为 1；（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x 轴平移；（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．4．三个邻域会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．【典型例题分析】题型一：概率密度曲线基础考察典例 1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x）=21―(푥―10)8휋푒8，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（）A．10 与 8 B．10 与 2 C．8 与 10 D．2 与 10解析：由21―(푥―10)8휋푒8=2―(푥―휇)12휎2，可知σ＝2，μ＝10．2휋휎푒答案：B．典例 2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（）A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.22/ 6解析：由P（ξ＜4）＝0.8 知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．典例 3：已知随机变量X 服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（）A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 51解析由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3 对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣2P（2≤X≤4）＝0.5 ―12× 0.682 6＝0.1587．故选B．题型二：正态曲线的性质1典例 1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．42휋（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．解（1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即μ＝0．由12휋휎=1，42휋得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ（x）=21―푥42휋푒32，x∈（﹣∞，+∞）．（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．3/ 6典例 2：设两个正态分布N（μ1，휎12）（σ1＞0）和N（μ2，휎22）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（）A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．答案：A．题型三：服从正态分布的概率计算典例 1：设X～N（1，22），试求（1）P（﹣1＜X≤3）；（2）P（3＜X≤5）；（3）P（X≥5）．分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），∴P（3＜X≤5）=12[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]4/ 6=12[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]=12[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]=12×（0.954 4﹣0.682 6）＝0.1359．（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），∴P（X≥5）=12[1﹣P（﹣3＜X≤5）]=12[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]=12[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]=12×（1﹣0.954 4）＝0.0228．求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．典例 2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝．解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1 对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．答案：0.7．题型 4：正态分布的应用典例 1：2011 年中国汽车销售量达到 1 700 万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了 1 200 名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里 8.0 升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为 0.7，那么耗油量大于 9 升的汽车大约有辆．解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8 为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 200×0.15＝180 辆．5/ 6点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x 轴之间的曲边梯形的面푥1+푥2积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有2=μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．1典例 2：工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取 1 000 个零件时，不9属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？1解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ=91 3．∴不属于区间（3，5]的概率为P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，∴1 000×0.003＝3（个），即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有 3 个．【解题方法点拨】正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．6/ 6。

正态分布曲线和概率密度曲线标题：深度解读：正态分布曲线和概率密度曲线正文：1. 引言在统计学和概率论中，正态分布曲线和概率密度曲线是非常重要的概念。

它们不仅在自然界和社会生活中普遍存在，而且在科学研究和商业决策中也有着广泛的应用。

本文将从深度和广度两个方面来探讨正态分布曲线和概率密度曲线的相关概念，帮助读者全面理解这一重要的统计学概念。

2. 正态分布曲线的基本概念正态分布曲线，又称为高斯分布曲线，是一种连续型概率分布，它具有钟形曲线的特征。

在正态分布曲线中，均值、标准差和方差是非常重要的参数，它们决定了曲线的中心位置和形状。

正态分布曲线具有许多重要的性质，例如68-95-99.7法则和标准化等，它们在统计分析和质量控制中有着重要的应用。

3. 概率密度曲线的基本概念概率密度曲线是描述连续型随机变量分布规律的函数曲线。

在概率密度曲线中，曲线下的面积表示了一定范围内的概率。

概率密度曲线具有非负性、归一性和局部区分度的特点，它在描述和分析随机变量的分布特征时有着重要的作用。

正态分布曲线是最常见的概率密度曲线之一，它在自然界和社会生活中有着广泛的应用。

4. 正态分布曲线与概率密度曲线的关系正态分布曲线和概率密度曲线之间存在着密切的关系。

在统计学中，正态分布曲线常常被用来描述连续型随机变量的分布规律，而概率密度曲线则是对这一规律的数学描述。

正态分布曲线和概率密度曲线的理论基础是相同的，它们都源于大数定律和中心极限定理，具有统计学的普适性和稳健性。

5. 个人观点和理解我个人认为，正态分布曲线和概率密度曲线是统计学中非常重要的概念，它们不仅在理论研究中有着广泛的应用，而且在实际问题的分析和解决中也具有重要的意义。

深入理解正态分布曲线和概率密度曲线，有助于我们更好地理解自然界和社会生活中的现象规律，提高统计分析和决策能力，并推动科学研究和社会发展取得更大的进步。

6. 总结正态分布曲线和概率密度曲线是统计学中两个重要的概念，它们在理论研究和实际应用中有着广泛的意义。

正态概率累积曲线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述正态概率累积曲线（也被称为正态分布曲线或高斯分布曲线）是统计学中一种重要的概率分布曲线。

它由一组特定的数学公式定义，并且在许多领域都有广泛的应用。

正态概率累积曲线在描述和分析连续型随机变量时非常有用，尤其是在自然和社会科学中。

正态概率累积曲线的形状呈钟形，其核心思想是根据均值和标准差来描述数据的分布。

在正态分布中，数据点更有可能靠近均值，随着距离均值的增加，数据点的概率逐渐减小。

这种分布是由许多独立且具有相同标准差的随机变量的加权总和得出的，因此在许多情况下可以很好地近似真实数据的分布情况。

正态概率累积曲线的特点之一是它的对称性。

曲线以均值为中心对称，正负两侧的面积是相等的。

这意味着对于符合正态分布的数据，50的数据点将落在均值的一侧，而另外50的数据点将落在均值的另一侧。

另一个重要的特点是，根据正态概率累积曲线，我们可以计算具有特定样本空间的数据点的概率。

这使得我们可以根据给定数据的位置和分布来判断事件的概率，从而进行统计推断和决策制定。

正态概率累积曲线在多个领域都有广泛的应用。

在自然科学中，例如物理学和生物学，我们可以利用正态分布模型来描述测量误差、粒子运动、生物体特征等的变异性。

在社会科学中，社会经济数据、心理测量和人口统计数据通常也可以通过正态概率累积曲线进行建模和分析。

综上所述，正态概率累积曲线是一种重要的概率分布曲线，具有对称性和描述数据分布的能力。

它在统计分析、科学研究和决策制定中发挥着重要作用，并且在各个领域的实际应用中都展现出其独特的价值。

在接下来的内容中，我们将进一步探讨正态概率累积曲线的定义、特点和应用。

1.2 文章结构文章结构部分主要介绍了整篇文章的组织结构和各个章节的主要内容。

本文的文章结构可以按照以下方式进行编写：在本文中，为了系统地介绍正态概率累积曲线的相关知识和应用，文章结构主要分为三个部分：引言、正文和结论。

累积分布曲线名词解释(一)累积分布曲线1. 概述累积分布曲线是统计学中常用的一种图形，用于表示随机变量的累积概率分布情况。

通过绘制横坐标为变量值，纵坐标为对应累积概率的曲线，可以直观地了解变量取值的分布情况。

2. 相关名词解释以下是与累积分布曲线相关的名词解释：随机变量随机变量指的是在随机试验中出现的结果，可以取一定的数值。

例如，掷骰子的结果就是一个随机变量，可以取1、2、3、4、5或6。

累积概率累积概率指的是随机变量取值小于等于某个特定值的概率。

用数学符号表示为P(X ≤ x)，其中X为随机变量，x为特定值。

例如，掷骰子得到的点数小于等于3的概率就是累积概率。

概率分布概率分布指的是随机变量在每个取值上对应的概率。

通常用概率质量函数（离散分布）或概率密度函数（连续分布）来描述。

概率分布可以直观地展示随机变量的各个取值和对应概率的情况。

累积分布函数累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）是一个定义在整个实数上的函数，描述了随机变量小于等于某个特定值的概率。

累积分布函数是生成累积分布曲线的关键。

累积分布曲线累积分布曲线是通过绘制累积分布函数的图形而得到的曲线。

在图上，横坐标为随机变量的取值，纵坐标为对应的累积概率。

累积分布曲线可以直观地显示随机变量的分布特性和概率密度情况。

3. 示例以下是一个以投掷两个骰子的总点数为例，展示累积分布曲线的示例：•随机变量：X表示两个骰子的总点数。

•累积概率：P(X ≤ x)表示两个骰子的总点数小于等于特定值x 的概率。

•概率分布：可通过列出所有可能的总点数以及对应的概率来描述。

•累积分布函数：计算每个取值的累积概率，得到累积分布函数。

•累积分布曲线：绘制累积分布函数的曲线图，横坐标为总点数x，纵坐标为累积概率。

通过观察累积分布曲线，可以得知两个骰子的总点数为7的概率最大，为1/6。

而总点数小于等于5的概率为11/36。