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应力应变状态分析

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第6章应力应变状态分析

第6章应力应变状态分析

300MPa
60
0
x y
2 200 200 sin 1200 300 cos 1200 323.2MPa 2
sin 2 xy cos 2
§ 6-2
平面应力状态分析
200MPa
2.求主应力和主方向
x 200MPa , y 200MPa , xy 300MPa
z , zx , zy
§ 6-1
基本概念
y
x
P
A
P
A
z

A


A

3
§ 6-1
基本概念
y
m
x
A
m
z

A


A

A
4
§ 6-1
基本概念
A l/2
F
y
C l
5 4 3 2 1
x
B
x
FS M
z
5
4 3 2
C左截面
1
5
2
1
1
2
2
x
2
3
x n D( , C O 2 O x
应力圆的半径
A(x ,xy)
两面夹角 且转向一致。
两半径夹角2 ；

B(y ,yx)
§ 6-2
平面应力状态分析
例题6-2-1：图示单元体，求：（1）指定斜截面上的应力； （2）主应力大小，并将主平面标在单元体图上。 解： 1.求斜截面的应力
7
§6-2 平面应力状态分析
y 一、解析法 1、斜截面上的应力 yz 已知 x , y , xy , ,求 和 yx xz y zx yx n zy xy x xy

工程力学-材料力学之应力应变状态分析

工程力学-材料力学之应力应变状态分析

σ1

μσ2

σ3
0
2

1 E
σ2

σ1

σ3


0
z
y
y
z
x
x
12
(Analysis of stress-state and strain-state)
解得
σ1

σ2

(1 1 2
)
σ
3

铜块的主应力为
0.34(1 0.34) 1 - 0.342
二、各向同性材料的体积应变（The volumetric strain for isotropic materials)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
对于平面应力状态（In plane stress-state）
(假设 z = 0，xz= 0，yz= 0 )
y
1 εx E (σx μσ y )
εy

1 E
(σ y

μσx )
εz

μ E
(σ
y

σx)
z

xy

xy
G
y
yx xy
x
x
y yx xy x
6
(Analysis of stress-state and strain-state)
(Analysis of stress-state and strain-state)

工程力学7第七章应力状态和应变状态分析

工程力学7第七章应力状态和应变状态分析

x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2
0
x y
2
(
x y
2
)
2
2
2 x
y
y
y
2
090
0
x y
2
(
x y
2
2、为什么要研究一点的应力状态 单向应力状态和纯剪切应力状态的强度计算
σmax≤ [σ] τ
max≤[τ
]
梁截面上的任意点的强度如何计算？
分析材料破坏机理
F F F F T
T
3、怎么研究一点的应力状态
单元体
•各面上的应力均匀分布





• 相互平行的一对面上 应力大小相等、符号相同
满足：力的平衡条件 切应力互等定理
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法:
1.任意斜面上的应力 y

y

y
y
y
n
y

x
a
x

e
d
x

x
x
bz
x
x

x
e
x
x




y


f
yy
x
x

b


c
y

y

y
f t
应力的符号规定同前 α角以从x轴正向逆时针 转到斜面的法线为正
(设ef的面积为dA)
x y x y cos 2 x sin 2 2 2 x y sin 2 x cos 2 2

第七章应力状态及应变状态分析

第七章应力状态及应变状态分析

第七章 应力状态及应变状态分析第一节 概 述在第一章中将应力定义为内力的集度或单位面积的内力值。

应力又分正应力σ和剪应力τ两种。

前面各章的知识表明，受力杆件中任一点的应力是随截面位置及点的位置的不同而不同，如7-1（a ）中a 、b 两点分别在两个截面上，其应力是不同的。

同一截面上的各点，如图7-1（b ）中b 、c 两点的应力一般情况下也是不同的。

同一点不同方向的应力也是不同的。

过一点各个方向上的应力情况称为该点的应力状态．．．．，应力状态分析就是要研究杆件中某一点（特别是危险点）各个方向上的应力之间的关系，确定该点处的最大正应力和最大剪应力，为强度计算提供重要依据。

研究应力状态的方法是过杆件中的任一点取出一个微小的六面体——单元．．体．。

如图7-1（a ）中过a 点取出的单元体放大如图7-2所示。

单元体三个方向的边长很小且趋于零，则该单元体代表一点，即a 点，互相平行的平面上的正应力相等，剪应力也相等。

杆件在任意荷载作用下，从中所取出的单元体表面上一般既有正应为又有剪应力，如图7-2所示。

当图7-2所示的单元体各面上的,0,0,0,0,0,0======zy zx yx yz xz xy ττττττ 即六个面上均没有剪应力作用时，这种面叫做特殊平面，并定义为主平面．．．。

该主(a)(b)图7-1各点的应力情况平面上作用的正应力称为主应力．．．，用,,,321σσσ表示（,321σσσ≥≥），如图7-3所示。

各面均为主平面的单元体，称为主单元体．．．．。

三个主应力中若有两个等于零一个不等于零，该单元体称为单向应力状态．．．．．．，如图7-4（a ）；三个主应力中有一个等于零，两个不等于零，该单元体称为二向应．．．力状态．．．，如图7-4（b ）；三个主应力均不等于零，该单元体称为三向应力状态．．．．．．，如7-3。

单向应力状态和二向应力状态属平面应力状态，三向应力状态属空间应力状．．．．．态．。

应力应变分析

应力应变分析
§10 应力应变分析及应力应变关系
§10.1 应力的概念 一点处的应力状态
1.内力在变形体内某一截面上分布的描述
用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的
内力分量：FN , FS ,T , M ——截面分布内力系向截
y
FR FN
面形心简化后的等效力系 x
FS
T
为正确描述变形，应在 该截面上的每一点，描
Pi
2
注意
同理，某点的三个主应力中，任意二个主 应力都可找出一组切应力极值，分别为：
主切应力
P1
2
2
3
P2
1
3
2
P3
1
2
2
该点单元体的最大切应力应为三者当中的最大者，即
max
1
2
3
2
2
（10.5）
2
1
1
1
3 P3所在平面
3 P1 所在平面
3 P2 所在平面
而最大切应力所在平面的法向应为1，3两方向 的角平分线方向。
求
1，
2，
，
3
max
y
80
解： z 50MPa 为一个主应力
x
在 x，y 平面内
z
50
80 2
80 2 2
1 90MPa
2 10MPa
3 50MPa
302
40 50
9010MPa
50
Dy
10
C
max
1 3
2
70MPa
30
90
Dx
§11.6 应变分析
1. 某点处（单元体的）变形的描述——应变
x y
2
x

应力与应变状态分析

应力与应变状态分析

ma x
min
x y 2
(x 2y)2x2 y ——主应力的大小
1 ; 2 ; 3 ; m ;am x;i0 n
最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0 ” 表示。 简易判断规律：由τ的方向判断。
α0 α0
2、 τ的极值及所在平面
x 2ysi2n xy co 2s
d 0 d
tg21
3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态：三向应力状态 简单应力状态：单向应力状态。 复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
§8－2 平面应力状态分析——解析法
一、任意斜面上的应力计算
主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3
10 σ1=50 MPa ；
50
30 σ2=10 MPa ； σ3=-30 MPa 。
单位：MPa
10 σ1=10 MPa ；
30 σ2=0 MPa ； σ3=-30 MPa 。
8、画原始单元体： 例 ：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。
二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）
1、 σ的极值及所在平面（主应力，主平面）
x 2 y x 2 yc2 o s xs y 2 i n d d 0 x 2 ys2 i n 0 xc y 2 o 0 s0 0 0
tg20
2xy x y
——主平面的位置
( 0;
0 0900 )
F
F a
x
a
x
x
F A
y b C
z
y b
C z
Ｍ F L

材料力学：第八章-应力应变状态分析

斜截面: // z 轴； 方位用 a 表示；应力为 sa , ta
正负符号规定:
切应力 t － 使微体沿顺时针 旋转为正 方位角 a － 以 x 轴为始边、逆时针旋转 为正
斜截面应力公式推导 设α斜截面面积为dA, 则eb侧面和bf 底面面积分别为dAcosα, dAsinα
由于tx 与 ty 数值相等，同时
sa+90 ,ta+90
E
sa+90 ,ta+90
结论: 所画圆确为所求应力圆
应力圆的绘制与应用3
应力圆的绘制
已知 sx , tx , sy ,
画相应应力圆
t
先确定D, E两点位置, 过此二点画圆即为应力圆
Ds x ,t x , E s y ,t y
t
C OE
s 2 , 0
s 1 , 0
应力圆绘制 作D, E连线中垂线,与x轴相交即为应力圆圆心
tb sb
t
sa
O
C
ta
D
sa ,ta
t
s
E
sb ,tb
O
D
sa ,ta
C
s
E
sb ,tb
由|DC|=|CE|,可得sC值:
sC
s
2 β
+
t
2 β
s
2 α
+
t
2 α
2 sα sβ
点、面对应关系
转向相同, 转角加倍 互垂截面, 对应同一直径两端
应变状态
构件内一点处沿所有方位的应变总况或集合, 称为该点处的 应变状态
研究方法
环绕研究点切取微体, 因微体边长趋于零, 微体趋于所研究 的点, 故通常通过微体, 研究一点处的应力与应变状态

第八章应力应变状态分析ppt课件


+tx
sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t
-t
+
2
2.主应力
t
x x
+
2
-
2
y y
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
和t 都是的函数。利用上式便可确定正应力和
剪应力的极值
d d
-2
x
2
y
sin 2
+
t
x
cos 2
若
x - y
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x - y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0

第八章2应力应变状态分析

第八章2应力应变状态分析应力应变状态分析是研究材料或结构在外力作用下所产生的应力和应变的过程。

应力是单位面积上的内力，用于描述材料或结构对外力的抵抗能力。

而应变是形变相对于初始状态的变化量，用于描述材料或结构的变形程度。

针对材料或结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们了解其力学性能和稳定性，为工程实践提供重要依据。

应力应变状态分析是弹性力学的基本内容之一、根据材料的力学性质和外力的作用，可以得到不同的应力应变状态。

在弹性力学中，线弹性和平面应变假定是常用的简化假设。

线弹性假定材料仅在拉伸和压缩的方向上有应力，而在横截面上的应力是均匀分布的。

一维拉伸和挤压是线弹性应力应变状态的基本类型。

平面应变假定材料在一个平面内有应力，而在垂直于该平面的方向上无应力。

二维平面应变是平面应变应力应变状态的基本类型。

在应力应变状态分析中，我们通常关注应力和应变之间的关系。

最常见的是材料的应力-应变曲线。

应力-应变曲线描述了材料在外力作用下的力学行为，可以帮助我们了解材料的强度、塑性和韧性等性能。

在弹性阶段，应力-应变曲线呈线性关系，符合胡克定律。

而在屈服点之后，材料会发生塑性变形，应力不再是线性关系。

当应力达到最大值时，材料会发生破坏。

除了应力-应变曲线外，还有一些其他重要的参数和指标可用于描述应力应变状态。

例如，弹性模量是描述材料刚度的重要参数，表示单位应力引起的单位应变量。

剪切弹性模量描述了材料抵抗剪切变形的能力。

同时，杨氏模量和泊松比也是用于描述材料力学性质的常用参数。

应力应变状态分析在材料工程、结构工程以及土木工程等领域具有重要应用。

通过对材料和结构的应力应变状态进行分析，可以帮助我们评估其性能和强度，并且对设计和优化具有指导意义。

例如，在结构工程中，通过应力应变状态分析可以确定材料的承载能力和极限状态，从而确保结构在设计荷载下的安全运行。

然而，应力应变状态分析也面临一些挑战。

首先，材料的力学性质和变形行为往往是非线性的，需要使用复杂的数学模型进行描述。

第八章 应力应变状态分析


o
C
(σ x + σ y ) / 2
σ
半径为
Rσ = (
σ x −σ y
2
2 )2 + τ x
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
二.应力圆的绘制与应用
σy σα τα σy τy
n
τ
σα τα
H(任意斜截面α) D（x截面对应）
τx
τx
t
-τ x
σx
α
2α
C
σx
τx=τy DF=EG
将第一式移项后两边平方与第二式两边平方相加
σ x +σ y
σ x −σ y
(σ α −
σ x +σ y
2
) =(
2
σ x −σ y
2
cos 2α − τ x sin 2α ) 2
τα = (
2
σ x −σ y
2
sin 2α + τ x cos 2α ) 2
目录
应力圆（图解法） §8.3 应力圆（图解法）
τ max σ x −σ y 2 2 = ±CK = ± ( ) +τ x τ min 2
所在截面互相垂直，并与正应力极值截面呈45 °夹角。
目录
§8.4 极值应力与主应力
二.主应力
由图可知，正应力极值所在截面的切应力为零。 ab，bc，cd，da 均为主平面。 微体的前、后 两面不受力， 切应力也为零。 主平面：切应力为零的截面。 主平面微体：三对互相垂直的主平面所构成的微体。
三.纯剪切状态的最大应力与圆轴扭转破坏分析
σ 3 = −τ
τ τ A(0，τ)
−45
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数值及所在截面的方位，以便研究构件破坏原因并进行失效分 析。
三、研究应力状态的方法—单元体法
1.单元体：围绕构件内一所截取的微小正六面体。
y z
Z z
应力与应变分析
tzy tzx
txy
tyx
tyz
txz
O
txy
x
tzy
tzx
x
txz tyz tyx
dz y
Y
dx
X O
y
x
dy z
2.单元体上的应力分量
- y )cos 2
+t x sin
2
+ + x + y 常量 2
2)t -t + 2
§8-3.主应力
和tt都是 xx -+22的函yy s+数in2。x-2利+ty用xcco上oss2式2便-t可x si确n 2定 正应力和
剪应力的极值
d d
-2 x
-
2
y
sin 2
+
t
x
cos
CL10TU8
二. 应力分析的解析法
（1）斜截面应力
y
y ty
n
tx
x
txx x
ty
y
n
x
tx
A
t Acos
ty
A sin
y
σ：拉应力为正
τ：顺时针转动为正
α：逆时针转动为正
2.斜面上的应力——微元体的平衡方程
平衡对象——用斜截
面截取的微元局部
参加平衡的量——应 力乘以其作用的面积
平衡方程
切向平衡
Ft 0
A
A cos
-t A + ( A cos) sin
At sin
x
+t ( A cos) cos
t
xy
-t ( A sin) sin
x
yx
t xy
- ( A sin) cos 0
t yx
t
( x
y
-
y )sin
cos
+t x (cos2
- sin
2)
y
注：三角公式
sin 2 2sin cos
x
-
y
2
2
+
t
2 x
1.莫尔(Mohr)圆
-
x
+ 2
y
2
+
t
2
x
- 2
y
2
+
t
2 x
t
圆心坐标为
x
+
2
y
，0
半径为
x
2
y
2
+t
2 x
2.应力圆的画法
y
t
t yx
D
t xy
2
若
x - y
2
0
时，能使
d d
0
sin 2 0 + t x cos2
0
0
该面上恰好切应力等于零t x 0
tan 2 0
-
2t x x -
y
0、0 + 900确定了两个正交平面，其中一个是最大
正应力作用面，另一个是最小正应力作用面。
max x + y
min
2
x
-
2
y
2
+t
②单元体各个面上的应力已知或可求；
③几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
A P/A
B tMe/Wn
a) 一对横截面，两对纵截面 P
Me
b) 横截面，周向面，直径面各一对
C Me
c) 同b)，但从 上表面截取
C
t
P A
B C
A
A
A
B
tB
tC
C
C
C
为什么要研究一点的应力状态？
t [t ]； [ ]？
Fn 0 ，
Ft 0
x
t
t xy A
t yx
y
法向的平衡
A
Fn 0
A cos
A sin
A
-
( A cos) cos
x
+t
x
xy(
A
cos) sin
+tyx ( A sin) cos
t xy
- ( A sin) sin 0
y
t n
t yx y
x cos2 + y sin 2 - 2t x sin cos
tan 2 1
x - 2t x
y
1、 1 + 90, 它们确定两个互相垂直的
平面，分别作用着最大和最小剪应力
t max
t min
x
-
2
y
2
+
t
2 x
由：
tan 2 0
- 2t x x -
y
tan 2 1
x - 2t x
y
tan 2 1
1 -
tan 2 0
-ctg 2 0
2 1 2 0 + 90 即 1 0 + 45
2 x
由于该面上午切应力，所以他们就是最大主应 力和最小主应力。
由
t
x x
+ y
2
- y
2
+
x
-
2
y
cos
2
-t
x
sin 2 +t x cos 2
sin
2
用完全相似的方法可确定剪应力的极值
dt d
( x
- y ) cos2 - 2t x sin 2
若
1时，能使
dt d
0
( x - y ) cos21 - 2t x sin 21 0
sin 2 1- cos 2
2
cos2 1+ cos 2
2

x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2
-t x
sin 2
t
x
-
2
y
sin 2
+t x
cos 2
讨论：
1) + 2
1 2
( x
+
y)+
1 2
( x
- y )cos 2(
+
2
)
-t
x
sin
2(
+)
2
+
2
1 2
(
x
+ y) -
1 2
(
x
第 八章 应力应变状态分析
§8-1 引言
一.研究应力状态的意义
（1）同一点各个方向的应力不同； (2)相同的受力方式不同的破坏形式，如铸铁与 低碳钢的压缩破坏。
P
P
应力与应变分析
二、一点的应力状态
1.一点的应力状态：通过受力构件一点处各个不同截面
上的应力情况。
2.研究应力状态的目的：找出该点的最大正应力和剪应力
即：最大和最小剪应力所在平面与 主平面的夹角为45
§8-4 应力分析的图解法—应力圆
-x
+ y
2
x
- y
2
cos2
- t x sin 2
(1)
t
x
- y
2
sin 2
+ t x cos2
(2)
(1)2 + (2)2 , 得 (x - x0 )2 + ( y - y0 )2 R2
-x
+
y
2
2
+
t
2
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力作用面，第二 角标表示应力平行的轴，两角标相同时，只用一个角标表示。
（2）面的方位用其法线方向表示
t yz t zy，t zx t xz，t xy t yx
3.截取原始单元体的方法、原则
①用三个坐标轴(笛卡尔坐标和极坐标，依问题和构件形状 而定)在一点截取，因其微小，统一看成微小正六面体
低碳钢、铸铁试件受扭时的破坏现象。
低碳钢
铸铁
m
t
m
t
CL10TU2
P
A B C D E
A
B
C
D
E
二.基本概念
主平面 剪应力为零的平面 主应力：主平面上的正应力 主方向： 主平面的法线方向
可以证明：通过受力构件内的任一点，一定存在三个 互相垂直的主平面。 三个主应力用σ1、 σ2 、 σ3 表示，按代数值大小 顺序排列，即 σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
应力状态的分类：
单向应力状态：三个主应力中只有一个不等于零； 二向应力状态（平面应力状态）：两个主应力不等于零；
三向应力状态（空间应力状态）：三个主应力皆不等于零
二向和三向应力状态统称为复杂应力状态
§8-2 平面应力状态下的应力分析
一.应力单元体
y y
t yx t xy x
x
y
y ty tx
x x