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一、基本概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式.因式分解与整式乘法互为逆变形：()m a b c ma mb mc ++++整式的乘积因式分解式中m 可以代表单项式，也可以代表多项式，它是多项式中各项都含有的因式，称为公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法.分解因式的一般步骤：如果多项式的各项有公因式，应先提公因式；如果各项没有公因式，再看能否直接运用公式 十字相乘法分解，如还不能，就试用分组分解法或其它方法.注意事项：①若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止；②结果一定是乘积的形式； ③每一个因式都是整式；④相同的因式的积要写成幂的形式.在分解因式时，结果的形式要求：例题精讲中考要求因式分解的基本方法①没有大括号和中括号；②每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解； ③单项式因式写在多项式因式的前面； ④每个因式第一项系数一般不为负数； ⑤形式相同的因式写成幂的形式.二、提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面. 确定公因式的方法：系数——取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂.三、公式法平方差公式：22()()a b a b a b -=+-①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； ②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积. 完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式； ③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 一些需要了解的公式：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a a b b -=-++ 33223()33a b a a b ab b +=+++ 33223()33a b a a b a b b-=-+- 2222()222a b c a b c ab ac bc ++=+++++一、提公因式【例 1】判断下列各式从左到右的变形是否是分解因式，并说明理由.⑴ 22()()x y x y x y +-=-； ⑵322()x x x x x x +-=+ ⑶ 232(3)2x x x x +-=+-； ⑷1(1)(1)xy x y x y +++=++【例 2】多项式24ax a -与多项式244x x -+的公因式是 ．【例 3】分解因式：。
奥林匹克数学题型高级因式分解技巧数学是一门精密的学科，它需要我们掌握各种解题技巧和方法。
在奥林匹克数学竞赛中，因式分解是一种常见的题型。
而在高级因式分解题目中，我们需要掌握更多的技巧和方法来解题。
本文将介绍一些高级因式分解的技巧，帮助读者更好地应对奥林匹克数学题目。
一、整式的因式分解在奥林匹克数学竞赛题目中，有许多要求我们对整式进行因式分解的题目。
对于这类题目，我们需要掌握一些基本的技巧。
1.1 通用的因式分解公式对于形如$ab+ac+ad+...$的整式，可以使用因式分解的公式进行处理。
这个公式是：$a(b+c+d+...)$其中，$a$是整式中的一个公因式，$b$、$c$、$d$等是整式中的多项式。
使用这个公式，我们可以快速地将整式进行因式分解。
例如，对于整式$2xy+2xz+2yz$，我们可以提取公因式2，得到$2(x+y+z)$。
这样，整式就被因式分解为$2(x+y+z)$。
1.2 利用特殊的因式分解公式在奥林匹克数学竞赛中，有一些特殊的因式分解公式可以帮助我们处理题目。
下面是其中两个常用的公式：(1) 差平方公式差平方公式是$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$。
利用差平方公式，我们可以将某些整式进行因式分解。
例如，对于整式$x^2-4$，可以使用差平方公式进行因式分解，得到$(x-2)(x+2)$。
(2) 完全平方公式完全平方公式是$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
利用完全平方公式，我们可以将某些整式进行因式分解。
例如，对于整式$x^2+6x+9$，可以使用完全平方公式进行因式分解，得到$(x+3)^2$。
通过掌握和灵活运用这些因式分解公式，我们可以更高效地解答奥林匹克数学竞赛中的因式分解题目。
二、多项式的因式分解在奥林匹克数学竞赛中，我们还会遇到一些要求对多项式进行因式分解的题目。
对于这类题目，我们需要掌握一些高级的因式分解技巧和方法。
2.1 提取公因式和消元法对于形如$ax^3+bx^2+cx+d$的多项式，我们可以尝试提取公因式的方法进行因式分解。
初一奥数讲座因式分解（1）答案例1．分解因式（提公因式法）（1）4a2 + 6ab + 2a解：原式= 2a(2a + 3b + 1)（2）2a m + 1 + 4a m– 2a m– 1解：原式= 2a m– 1(a2 + 2a– 1)（3）(m–n) – (n–m)2解：原式= (m–n)2 – (m–n)2= (m–n)[1 – (m–n)]= (m–n)(1 –m + n)（4）2a2b(b + c)(x + y)2 – 6a3b2(b + c)2(x + y)解：原式= 2a2b(b + c)(x + y)[(x + y) – 3ab(b + c)]= 2a2b(b + c)(x + y)(x + y– 3ab2– 3abc)例2．分解因式（运用公式法）（1）x2– 81解：原式= x2– 92= (x + 9)(x– 9)（2）4(x + y)2 – 9(x–y)2解：原式= [2(x + y) + 3(x–y)][2(x + y) – 3(x–y)]= (5x–y)(–x + 5y)= – (5x–y)(x– 5y)（3）x2 + 8xy + 16y2解：原式= x2 + 2·x·4y + (4y)2= (x + 4y)2（4）(x2– 2x)2 + 2(x2– 2x) + 1解：原式= (x2– 2x)2 + 2(x2– 2x)·1 + 12= (x2– 2x + 1)2= [(x– 1)2]2= (x– 1)4例3．分解因式（运用公式法）（1）125a3b6 + 8解：原式= (5ab2)3 + 23= (5ab2 + 2)[(5ab2)2– 2×5ab2 + 22]= (5ab2 + 2)(25a2b4– 10ab2 + 4)（2）512x9– 1解：原式= (8x3)3– 13= (8x3– 1)[(8x3)2 + 8x3 + 1]= (2x– 1)(4x2 + 2x + 1)(64x6 + 8x3 + 1)（3）1 – 12x2y2 + 48x4y4– 64x6y6解：原式= 1 – 3×4x2y2 + 3×(4x2y2)2– (4x2y2)3= (1 – 4x2y2)3= (1 + 2xy)3(1 – 2xy)3（4）x3 + 3xy + y3– 1解：原式= x3 + y3 + (– 1)3– 3·x·y(– 1)= (x + y– 1)(x2 + y2 + 1 –xy + y + x)（5）x2 + 9y2 + 4z2– 6xy + 4xz– 12yz解：原式= x2 + (– 3y)2 + (– 2z)2 + 2·x·(– 3y) + 2·x·2z + 2·(– 3y)·(2z) = (x– 3y + 2z)2例4．分解因式（1）12x2–xy +12y2解：原式= 12(x2– 2xy + y2)= 12(x–y)2（2）100 – 25x2解：原式= 25(4 –x2)= 25(2 + x)(2 –x) （3）x4– 2x2y2 + y4解：原式= (x2)2– 2x2y2 + (y2)2= (x2–y2)2= (x + y)2(x–y)2（4）2a6–12a3 +132解：原式= 2(a6–14a3 +164)= 2[(a3)2– 2×18·a3 + (18)2]= 2(a3–18 )2= 2(a–12)2(a2 +12a +14)例5．分解因式（1）– 2x5n– 1y n + 4x3n– 1y n + 2– 2x n– 1y n + 4解：原式= – 2x n– 1y n(x4n– 2x2n y2 + y4)= – 2x n– 1y n[(x2n)2– 2x2n y2 + (y2)2]= – 2x n– 1y n(x2n–y2)2= – 2x n– 1y n(x n + y)(x n–y)（2）(a2 + ab + b2)2 – 4ab(a2 + b2)解：原式= [(a2 + b2) + ab]2– 4ab(a2 + b2)= (a2 + b2)2 + 2ab(a2 + b2) + a2b2– 4ab(a2 + b2)= (a2 + b2)2– 2ab(a2 + b2) + a2b2= (a2b2–ab)2（3）(x2–x) – 4(x– 2)(x + 1) – 4解：原式= (x2–x)2– 4(x2–x– 2) – 4= (x2–x)2– 4(x2–x) + 8 – 4= (x2–x)2– 4(x2–x) + 4= (x2–x– 2)2= (x– 2)2(x + 1)2（4）a7–a5b2 + a2b5–b7解：原式= (a7–a5b2) + (a2b5–b7)= a5(a2–b2) + b5(a2–b2)= (a2–b2)(a5 + b5)= (a + b)(a–b)(a + b)(a4–a3b + a2b2–ab3 + b4)= (a + b)2(a–b)(a4–a3b + a2b2–ab3 + b4)例6．分解因式（1）a3 + b3 + c3– 3abc解：原式= (a + b)3– 3ab(a + b) + c3– 3abc= [(a + b)3 + c3] – 3ab(a + b + c)= (a + b + c)[(a + b)2– (a + b)c + c2] – 3ab(a + b + c)= (a + b + c)(a2 + b2 + c2–ab–bc–ca)（2）(x + y)3 + (z–x)3 – (y + z)3解：原式= [(x + y) + (z–x)][(x + y)2– (x + y)(z–x) + (z–x)2] – (y + z)3 = (y + z)[(x + y)2– (x + y)(z–x) + (z–x)2–(y + z)2]= (y + z)(3x2 + 3xy– 3yz– 3xz)= 3(y + z)[x(x + y) –z(x + y)]= 3(y + z)(x + y)(x–z)（3）x15 + x14 + x13 + …+ x2 + x + 1解：因为x16– 1 = (x15 + x14 + x13 + …+ x2 + x + 1)∴原式= ()()15142111x x x x xx-+++++-=1611xx--=()()()()()842111111x x x x xx++++--= (x8 + 1)(x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)例7．分解因式（分组分解法）（1）a2–b2– 2a– 2b解：原式= (a + b)(a–b) – 2(a + b)= (a + b)(a–b– 2)（2）25a4–x2– 2x– 1解：原式= (5a2)2– (x2 + 2x + 1)= (5a2)2– (x + 1)2= (5a2 + x + 1)(5a2–x– 1)（3）4a2–b2– 2a +1 4解：原式= 4a2– 2a +14–b2= (2a–12)2–b2= (2a–12+ b)( 2a–12–b)（4）(1 –a2)(1 –b2) – 4ab解：原式= 1 –a2–b2 + a2b2– 4ab= a2b2– 2ab + 1 –a2– 2ab–b2= (ab– 1)2– (a + b)2= (ab– 1 + a + b)(ab– 1 –a–b)（5）a4 + a2b2 + b4解：原式= a4 + 2a2b2 + b4–a2b2= (a2 + b2)2–a2b2= (a2 + b2 + ab)( a2 + b2–ab)练习1．证明：817– 279– 913能被45整除证明：∵817– 279– 913 = 328– 327– 326 = 326(32– 3 – 1) = 326×5 = 324×32×5 = 324×45 ∴817– 279– 913能被45整除2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数证明：设这四个连续自然数分别为n，n + 1，n + 2，n + 3n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1= n(n + 3)(n + 1)(n + 2) + 1= (n2 + 3n)(n2 + 3n + 1) + 1= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1= (n2 + 3n + 1)2∴n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1一定是一个完全平方数。
初三奥数题知识点归纳总结奥数，即奥林匹克数学竞赛，是一项对学生逻辑思维、数学能力和解题能力的全面考察。
随着初中阶段的学习逐渐加深，初三学生也面临着更多的奥数竞赛挑战。
为了帮助初三学生更好地备战奥数竞赛，下面将对初三奥数题的知识点进行归纳总结，以供学生们参考。
一、代数1.1 因式分解因式分解是求解代数式的重要方法之一。
常见的因式分解类型有：- 平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$- 二次三项式：$ax^2+bx+c$- 完全平方公式：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$- 公因式提取法：将多个代数式中公共的因式提取出来。
1.2 方程与不等式在初三奥数题中，方程和不等式是常见的考察对象。
学生需要学会：- 方程中解的求解方法，包括一次方程、二次方程等。
- 不等式的解集判断方法，包括一次不等式、二次不等式等。
- 方程和不等式的应用问题解法。
1.3 函数与图像初三的奥数题中，函数与图像是一个重要的考察内容。
学生需要了解函数与图像的性质，包括函数的增减性、奇偶性、周期性等。
同时，学生还需要学会画出简单函数的图像，并能根据图像判断函数的性质。
二、几何2.1 图形的面积和周长几何中，图形的面积和周长是一个必须熟练掌握的知识点。
学生需要熟悉各类图形的面积和周长公式，例如矩形、正方形、三角形、圆等。
同时，学生需要能够灵活运用这些公式解决实际问题。
2.2 三角形三角形是初三奥数题中常见的图形之一。
学生需要了解各类三角形的性质，包括等腰三角形、直角三角形、等边三角形等。
此外，学生还需要学会利用三角形的性质求解相关的问题，如三角形的面积、角度关系等。
2.3 平行四边形与梯形平行四边形和梯形也是初三奥数题中常见的图形类型。
学生需要了解这些图形的性质，包括平行四边形的对角线性质、梯形的高、面积等。
三、数论3.1 整数性质整数是数论中的一个重要部分，初三奥数题中经常涉及到与整数相关的问题。
学生需要了解整数性质，包括整除性质、最大公因数与最小公倍数的求解方法等。
第一讲 因式分解4：综合及应用§1.1 因式分解的基本方法一、 考试要点剖析因式分解是一种重要的恒等变形，虽然它是初中阶段学习的内容，在高中阶段也有着非常广泛的应用，比如，比较大小、判断函数的单调性、证明不等式、解高次方程、超越方程等，因此，因式分解历来是“中考”和数学竞赛着重考查的热点问题．**基本知识因式分解 把一个多项式分解成几个非常数的多项式或单项式的积的形式叫做多项式的因式分解．多项式的因式分解是在给定的数域上进行的，即要求各因式的系数是给定数域上的数．因此，一个多项式在某个数域上可能不能分解因式，而在另外的(更广的)数域上也许是可以分解的．一般地，如果没有特别指定数域，则因式分解通常都是在有理数域上进行的．既约多项式 如果一个多项式在某数域上不能再分解，则称它是此数域上的既约多项式． 因式分解的常用公式：**基本方法初中教材中介绍了提取公因式法、逆用乘法公式法、配方法、分组分解法、十字相乘法、求根法，这些都是非常重要的基本方法，要牢固地掌握和灵活地运用．此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下一本讲纲要 §1.1 因式分解的基本方法1. 提取公因式2. 主元法3. 分组分解4. 公式5. 换元6. 配方7. 十字、待定系数法 8.倒数代数式§1.2 因式分解的特殊方法1. 添项、拆项2.因式定理§1.3 对称式的因式分解1. 对称式2. 轮换3.交代式§1.4 因式分解的应用1. 计算2. 化简3. 求值4. 整除5. 不定方程6.完全平方数(1)换元法将待分解的多项式中某些特殊的部分看作一个整体，用一个新的字母表示，使原来复杂的结构简化．(2)双十字相乘法对于二元二次多项式的分解，可先用“十字相乘法”将二次项进行分解，然后将局部分解的因式看作一个整体(字母)，连同后面的一次项和常数项再采用十字相乘法进行分解．(3)待定系数法将待分解的多项式表示成若干个含有待定系数的多项式的积的形式，得到一个恒等式．然后根据多项式恒等的性质，比较对应项的系数，或令变元取一些特殊值，得到关于待定系数的方程组，解方程组求出待定系数，进而得到多项式的分解．这种方法叫做待定系数法．(4)主元法对于多元多项式的分解，我们可选择其中一个字母当作变量，而将其他字母看成常数，其中当做变量的字母称为“主元”．这样，多项式就变成了关于“主元”的一元多项式，这种选择主元进行多项式分解的方法叫做主元法．**基本问题一元二次多项式的因式分解，常用的方法有：十字相乘法、配方法、求根法等；一元高次多项式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、换元法、分组分解法等； 二元二次多项式的因式分解，常用的方法有：主元法、分组分解法、双十字相乘法、待定系数法等．多元(通常是二元、三元)高次多项式的因式分解，常用的方法有：配方法、逆用乘法公式法、换元法、分组分解法等．1. 提取公因式例1.（★ 93 芜湖）分解因式：【解】：2. 主元法例2.（★★ 1996年扬州市初中数学竞赛题）分解因式：．【解】：以y 为主元降幂排列，则原式=3. 分组分解例3.（★★ 1995年昆明市初中数学竞赛题）将因式分解．【解】：原式=4. 公式（n na b ）例4.（★★★ 希望杯培训题）设n 为正整数，分解因式：【解】：5.换元例5.（★★希望杯培训题）分解因式：【解】：对于本题，代数式x + y,xy都在多项式中出现两次，例6.（★★中考模拟题）分解因式：6.配方例7.（★★ 97山东）分解因式：【解】：7.十字、待定系数法例8.（★★希望杯培训题）分解因式：【解】：解法l 单十字解法3 待定系数法8.倒数代数式例9.（★★★全国通讯赛）分解因式：【解】：§1.2 因式分解的特殊方法考试要点剖析**基本知识因式分解的常用定理：因式定理如果一个关于x的多项式在x=a时的值为零，则这个多项式必定含有因式x-a．**基本方法前边我们熟悉了因式分解的常用方法，此外，在数学竞赛中，还要掌握和运用如下一些方法：(1)拆添项法将一个项分成两个或多个项，或者同时加上或减去一个相同的项，再适当分组进行分解．(2)长除法(或综合除法)通过观察、试验，发现多项式含有某种因式，然后采用多项式除法求出另一个因式．如果先发现的因式是一次式，其多项式的除法可分离出系数来进行，这种除法叫综合除法．以一元二次多项式除以x-a为例：长除法：即综合除法当综合除法掌握得很熟练时，运用起来就比长除法简便得多，但长除法的适应范围更广，因为它可以进行任何两个多项式相除．(3)试根法根据多项式有理根判定定理，确定多项式的有理根的所有可能形式，逐一检验，发现其有理根，进而确定多项式含有的因式，最后用长除法或综合除法确定它的其他因式．1.添项、拆项例10.（★★★希望杯培训题）分解因式：【解】：2.因式定理例11.（★★★希望杯培训题）分解因式：【解】：§1.3 对称式的因式分解考试要点剖析**基本知识对称多项式设A是一个多项式，如果将A中两个字母互换，得到的多项式与A恒等，则称A关于这两个字母对称．如果多项式A关于它所含的任意两个字母都是对称的，则称A是全对称多项式，简称对称多项式．比如，都是关于x,y对称的多项式，而只有后者才是全对称多项式．对称多项式的一般形式为(以三次对称多项式为例)：基本对称多项式考察含有三个字母x、y、z的多项式，则 x+ y+ z,xy + yz + zx,xyz称为基本对称多项式．对于含有n个字母的多项式，其，n个字母的和、n个字母中每取r(r=2,3,……,n)作积的和，称为n元基本对称多项式．齐次多项式如果多项式所有项的次数都相等，则称为齐次多项式．比如，基本对称多项式都是齐次对称多项式．字母的个数和次数都不超过三的齐次对称多项式具有如下形式：上述一些特殊多项式具有如下一些性质：(1)任何一个对称多项式均可表示成若干基本对称多项式的和．(2)任何两个对称多项式的和、差、积仍是对称多项式，任何两个轮换对称多项式的和、差、积仍是轮换对称多项式，任何两个齐次多项式的和、差、积仍是齐次多项式．(3)两个交代多项式的积是对称多项式，一个交代多项式与对称多项式的积是交代多项式．**基本方法赋值法先选择一个字母为主元，将多项式看成是一元多项式，再试验字母(主元)的某些取值使多项式的值为零，由此发现多项式含有的因式．待定系数法先根据多项式的特征，发现它含有的某些因式，再根据多项式的次数及多项式的对称性确定它的其他因式，进而将多项式表示成若干多项式的积(含有待定系数)的形式，最后通过比较系数或赋值确定待定系数．**基本问题对称多项式的因式分解通常采用赋值法，先通过试验，发现对称多项式含有的某些因式，然后将因式中某两个字母互换，得到的式子仍是原多项式的因式．此外，对称多项式也可先将其用基本对称多项式表示，然后再分解．轮换对称多项式的因式分解如果一个轮换对称多项式含有某种因式，那么，将这个因式中的所有字母按一定顺序轮换(第一个字母换成第二个字母，第二个字母换成第三个字母，…，最后一个字母换成第一个字母)，得到的式子仍是原多项式的因式．交代多项式的因式分解任何交代多项式一定被它含有的任何两个字母的差整除．1.对称式例12.（★★★江苏初中数学竞赛）分解因式：【解】：2.轮换【解】：3.交代式例14.（★★★南昌初中数学竞赛）分解因式：【解】：§1.4 因式分解的应用考试要点剖析因式分解的应用是非常广泛的，它主要有以下几个方面：求值问题对于多项式的求值，如果知道某个整体的值，则可在多项式中分离出整体(因式)，然后将整体的值代入；对于分式的求值问题，可将分子分母分别分解，然后约去相同的因式，使分式化简，然后再求值．证明条件等式在给定约束条件下，证明某等式恒成立，常可对条件等式中的多项式进行因式分解，使条件得到简化，进而推出有关结论．整除问题要证明某个数(式子)整除一个多项式，可将数(式子)和多项式分别分解，然后证明多项式的每一个因式被一个对应的数(式子)整除．质数与合数问题要证明一个多项式的值是合数，只须将多项式分解因式，然后证明每一个因式的值都是大于l的整数．‘不定方程问题将方程中含有的多项式因式分解，然后判别各因式取值的奇偶性，使问题获解．完全平方数问题要证明一个多项式的值是完全平方数，可将多项式因式分解，然后证明多项式的每一个因式的值都是完全平方数．1.计算例15.（★★★长沙初中数学竞赛）计算【解】：例16.（★★★江苏省初中数学竞赛）化简3.求值例17.（★★吉林初中数学竞赛）设a,b是实数，且a+b=5,求的值．【解】：整除例18.（★★★基辅数学竞赛）设n是正整数，证明：被120整除．【解】：4.不定方程例19.（★★★天津初中数学竞赛）证明：方程无整数解．【解】：5.完全平方数例20.（★★★武汉初中数学竞赛）设a、n都是正整数，且，证明：不是完全平方数．【解】：三、练习题1.（★★分组）分解因式：【解】：2.（★★换元）分解因式：【解】：3.（★★★十字）分解因式：【解】：4.（★★★待定系数法）分解因式：【解】：5.（★★★主元）分解因式：【解】：6.（★★添项、拆项）分解因式：【解】：7.（★★★添项、拆项）分解因式：【解】：8.（★★★一题多解）分解因式： (至少5种方法)9.（★★★对称）分解因式：【解】：10.（★★★轮换）分解因式：【解】：b)11.（★★★交代）分解因式：12.（★★ 1995年北京市初二数学竞赛题）计算：【解】：13.（★★★第二届全国部分省市通讯赛试题主元）计算：【解】：分子、分母同乘以4，得14.（★★★）化简【解】：15.（★★）已知，化简【解】：16.（★★）设a、b、c是实数，且，求的值．当时，比较的大小．【解】：17.（★★★几何）已知一个直角三角形的三边都是整数，且一条直角边是17，求它的周长．18.（★★几何）在中三边a、b、c满足，试判定三角形的形状．【解】：19.（★★）证明：两个连续奇数的平方差能被8整除．【解】：20.（★★★）解方程组：【解】：补充题1.（★★★）分解因式：（一题多解）【解】：2.（★★★）分解因式：设多项式含有因式3x+l和2x - 3，试将此多项式因式分解．3.（★★★★）证明：已知多项式含有因式，证明：【解】：4.（★★★★）证明：设x,y,z为整数，证明：为整数【解】：5.（★★★）计算【解】：因为6.（★★★）分解因式：【解】：。
奥林匹克数学竞赛因式分解因式分解是多项式乘法的逆向运算,是代数恒等变形的基础,体现了一种化归的思想.提取公因式法、公式法、二次三项式的十字相乘法、分组分解法是因式分解的基本方法,下面是为你整理的奥林匹克数学竞赛因式分解，一起来看看吧。
奥林匹克数学竞赛因式分解十二种方法1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x-2x-x(2003淮安市中考题)x-2x-x=x(x-2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a+4ab+4b(2003南通市中考题)解：a+4ab+4b=(a+2b)3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m+5n-mn-5m解：m+5n-mn-5m=m-5m-mn+5n=(m-5m)+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x-19x-6分析：1-3722-21=-19解：7x-19x-6=(7x+2)(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x+3x-40解x+3x-40=x+3x+()-()-40=(x+)-()=(x++)(x+-)=(x+8)(x-5)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
初二因式分解奥数竞赛题引言初中数学中的因式分解是一个重要的概念。
因式分解是将一个代数式表示为一系列不可再分解的乘积的形式。
它在代数运算、方程求解、多项式化简等问题中都有着广泛的应用。
在奥数竞赛中，因式分解也是常见的考点之一。
本文将介绍初二级别的因式分解奥数竞赛题，并提供详细的解题方法和策略，帮助读者更好地理解和应对这类问题。
基础知识回顾在开始具体讲解题目之前，我们先回顾一下关于因式分解的基础知识。
因子首先，我们需要明确什么是因子。
对于一个整数a，如果存在整数b使得a能够被b整除，则称b是a的因子。
例如，2是4的因子，因为4可以被2整除。
因式接下来，我们来定义什么是因式。
对于一个代数表达式，如果存在一个或多个代数表达式使得原表达式能够被这些表达式相乘得到，则这些表达式称为原表达式的因式。
例如，在表达式3x^2 + 2x中，3和x^2都是它的因式。
因式分解最后，我们来定义什么是因式分解。
对于一个代数表达式，如果可以将其写成一系列不可再分解的乘积的形式，则称这个过程为因式分解。
例如，将表达式6x^2 + 9x写成(2x + 3)(3x)的形式就是进行了因式分解。
题目讲解现在我们来看一个具体的初二级别的因式分解奥数竞赛题目：题目：将代数表达式x2+4xy+4y2−a2进行因式分解。
解题思路要完成这道题目，我们需要将给定的代数表达式进行因式分解。
具体而言，我们需要找到一种方式将该表达式写成一系列不可再分解的乘积形式。
步骤1：观察并尝试首先，我们可以通过观察和尝试来寻找可能的因子。
对于这个题目中给定的表达式x2+4xy+4y2−a2，我们可以注意到其中存在一个完全平方项x2和两个相同项4xy和4y2。
这提示我们可能存在一个完全平方三项之和公式(a+b)2的因式分解形式。
步骤2：应用完全平方三项之和公式根据步骤1的观察，我们可以将x2+4xy+4y2写成(x+2y)2的形式。
这是因为(x+2y)2=x2+4xy+4y2。
第七讲 因式分解一、基础知识把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式。
分解因式最基本方法有：（1）提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面。
（2）运用公式法：平方差：22()()a b a b a b -=+- 完全平方：2222()a ab b a b ±+=± 立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ 立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ac ++-=++++---（3）分组分解法：将一个多项式分成二或三组，各组分别分解后，彼此又有公因式或者可以用公式，这就是分组分解法。
（4）十字相乘法：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c ，使得：12a a a = 12c c c = 1221a c a c b +=（5）双十字相乘法：对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++可以看作关于x 的多项式22()()ax by d x cy ey f +++++，先用十字相乘法将“常数项”2cy ey f ++分解，再次利用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。
（6）换元法：将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，用一个新字母代替它，从而简化运算过程，分解以后要注意将新字母还原。
（7）待定系数法：若能断定多项式可分解为某几个因式，而这几个因式中的某些系数尚未确定，就可以用一些字母来表示待定的系数。
【导语】把⼀个多项式在⼀个范围(如实数范围内分解，即所有项均为实数)化为⼏个整式的积的形式，这种式⼦变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之⼀，它被⼴泛地应⽤于初等数学之中，在数学求根作图、解⼀元⼆次⽅程⽅⾯也有很⼴泛的应⽤。
是解决许多数学问题的有⼒⼯具。
下⾯是为⼤家带来的初三奥数因式分解测试题及答案，欢迎⼤家阅读。
⼀、选择题（共11题；每⼩题3分,共33分）1.代数式15ax2﹣15a与10x2+20x+10的公因式是（ ）A. 5（x+1）B. 5a（x+1）C. 5a（x﹣1）D. 5（x﹣1）2.下列因式分解完全正确的是（ ）A. ﹣2a2+4a=﹣2a（a+2）B. ﹣4x2﹣y2=﹣（2x+y）2C. a2﹣8ab+16b2=（a+4b）2D. 2x2+xy﹣y2=（2x﹣y）（x+y）3.下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（）A. (a＋1)(a－1)＝a2－1B. a2－6a＋9＝(a－3)2C. x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1D. -18x4y3=-6x2y2•3x2y4.下列各式能⽤完全平⽅公式进⾏分解因式的是（）A. x2+1B. x2+2x﹣1C. x2+x+1D. x2+4x+45.分解因式a2﹣9a的结果是（ ）A. a（a﹣9）B. （a﹣3）（a+3）C. （a﹣3a）（a+3a）D. （a﹣3）26.将x2﹣16分解因式正确的是（ ）A. （x﹣4）2B. （x﹣4）（x+4）C. （x+8）（x﹣8）D. （x﹣4）2+8x7.下列各组多项式没有公因式的是（）A. 2x﹣2y与y﹣xB. x2﹣xy与xy﹣x2C. 3x+y与x+3yD. 5x+10y与﹣2y﹣x8.已知a为实数，且a3+a2-a+2=0，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值是（）A. -3B. 3C. -1D. 19.下列式⼦中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A. （x﹣1）（x﹣1）=x2﹣2x+1B. 4x2﹣9y2=（2x﹣3y）（2x+3y）C. x2+4x+4=x（x﹣4）+4D. x2+y2=（x+y）（x﹣y）10.分解因式－2xy2+6x3y2－10xy时，合理地提取的公因式应为（）A. －2xy2B. 2xyC. －2xyD. 2x2y11.下列多项式在有理数范围内能⽤平⽅差公式进⾏因式分解的是（ ）A. x2+y2B. ﹣x2+y2C. ﹣x2﹣y2D. x2﹣3y⼆、填空题（共10题；共40分）12.若x+y+z=2，x2﹣（y+z）2=8时，x﹣y﹣z=________．13.多项式﹣3x2y3z+9x3y3z﹣6x4yz2的公因式是________．14.计算：（﹣2）100+（﹣2）99=________15.分解因式：18b（a﹣b）2﹣12（a﹣b）3=________．16.如果x﹣3是多项式2x2﹣11x+m的⼀个因式，则m的值________17.多项式﹣5mx3+25mx2﹣10mx各项的公因式是________．18.因式分解：xy3﹣x3y=________．19.9x3y2+12x2y3中各项的公因式是 ________ ．20.分解因式：9x3﹣18x2+9x=________．21.多项式12x3y2z3+18x2y4z2﹣30x4yz3各项的公因式是________．三、解答题（共3题；共27分）22.因式分解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）；（2）a2x2y﹣axy2 ．23.我们知道，多项式a2+6a+9可以写成（a+3）2的形式，这就是将多项式a2+6a+9因式分解，当⼀个多项式（如a2+6a+8）不能写成两数和（成差）的平⽅形式时，我们可以尝试⽤下⾯的办法来分解因式．a2+6a+8=a2+6a+9﹣1=（a+3）2﹣1=[（a+3）+1][（a+3）﹣1]=（a+4）（a+2）请仿照上⾯的做法，将下列各式分解因式：（1）x2﹣6x﹣27（2）x2﹣2xy﹣3y2 ．24.当a为何值时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个⼀次因式的乘积．参考答案⼀、选择题A DB D A BCD B C B⼆、填空题12. 4 13. ﹣3x2yz 14. 299 15. 6（a﹣b）2（3﹣2a+2b）16. 15 17. 5mx 18. xy（x+y）（x﹣y）19. 3x2y2 20. 9x（x﹣1）2 21. 6x2yz2三、解答题22. 解：（1）x（x﹣y）﹣y（y﹣x）=x（x﹣y）+y（x﹣y）=（x+y）（x﹣y）；（2）a2x2y﹣axy2=axy（ax﹣y）23. 解：（1）原式=x2﹣6x+9﹣36=（x﹣3）2﹣36=（x﹣3+6）（x﹣3﹣6）=（x+3）（x﹣9）；（2）原式=x2﹣2xy+y2﹣4y2=（x﹣y）2﹣4y2=（x﹣y+2y）（x﹣y﹣2y）=（x+y）（x﹣3y）．24. 解：多项式的第⼀项是x2 ，因此原式可分解为：（x+ky+c）（x+ly+d），∵（x+ky+c）（x+ly+d）=x2+（k+l）xy+kly2+（c+d）x+（cl+dk）y+cd，∴cd=﹣24，c+d=﹣5，∴c=3，d=﹣8，∵cl+dk=43，∴3l﹣8k=43，∵k+l=7，∴k=﹣2，l=9，∴a=kl=﹣18，．即当a=﹣18时，多项式x2+7xy+ay2﹣5x+43y﹣24可以分解为两个⼀次因式的乘积．。
初二因式分解奥数竞赛题初二数学中的因式分解是一个重要的知识点，也是奥数竞赛中常出现的题目类型之一。
因式分解是将一个多项式按照因子的形式进行拆解的过程，可以帮助我们简化计算和解决问题。
下面，我们就来看一道关于因式分解的奥数竞赛题目。
题目：将多项式 $x^3 + 8$ 进行因式分解。
解析：首先，我们观察到多项式中有一个立方项 $x^3$，可以联想到一个公式：立方差公式，即 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$。
我们可以将多项式 $x^3 + 8$ 看作 $x^3 + 2^3$，这样就可以应用立方差公式来进行因式分解。
根据立方差公式，我们有：$x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$这就是多项式 $x^3 + 8$ 的因式分解形式。
通过这道题目的解析，我们可以看到因式分解在奥数竞赛中的重要性。
因式分解不仅可以帮助我们简化计算，还可以帮助我们发现多项式的特点和规律，从而解决复杂的数学问题。
除了这道题目，奥数竞赛中还有很多关于因式分解的题目。
下面，我们来看两道典型的奥数竞赛题目。
题目一：将多项式 $x^4 - 16$ 进行因式分解。
解析：我们观察到多项式中有一个平方项 $x^4$ 和一个常数项 $-16$，可以联想到一个公式：平方差公式，即 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$。
我们可以将多项式 $x^4 - 16$ 看作 $x^4 - 4^2$，这样就可以应用平方差公式来进行因式分解。
根据平方差公式，我们有：$x^4 - 16 = (x^2 + 4)(x^2 - 4)$这就是多项式 $x^4 - 16$ 的因式分解形式。
题目二：将多项式 $x^2 - 7x + 12$ 进行因式分解。
解析：我们观察到多项式中有一个二次项 $x^2$、一个一次项 $-7x$ 和一个常数项 $12$，可以使用因式分解的方法来进行拆解。
根据因式分解的基本原则，我们需要找到两个因子的乘积等于 $12$，并且它们的和等于 $-7$。
绝密★启用前奥数：因式分解注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ， ）1. 甲和乙两同学分解因式x 2+mx +n ，甲看错了n ，分解结果为：(x +2)(x +4)，乙看错了m ，分解结果为：(x +1)(x +9).此多项式因式分解的正确结果是：( ) A.(x +1)(x +4) B.(x +2)(x +3) C.(x +3)2 D.(x +4)22. 若(5x −6)(2x −3)=ax 2+bx +c ，则2a +b −c 等于( ) A.−25 B.−11 C.4 D.113. 关于x 的二次三项式x 2−4x +c 能分解成两个整系数的一次二项式的积，则c 可取下面四个值中的（ ） A.−8 B.−7 C.−6 D.−5卷II （非选择题）二、 解答题 （本题共计 17 小题 ，每题 8 分 ，共计136分 ， ）4. 仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x 2−4x +m 有一个因式是x +3，求另一个因式以及m 的值． 解：设另一个因式为x +n ，得x 2−4x +m ＝(x +3)(x +n)， 则x 2−4x +m ＝x 2+(n +3)x +3n ，∴ {n +3=−4m =3n ， 解得，{n =−7m =−21， ∴ 另一个因式为x −7，m 的值为−21． 仿照例题方法解答：（1）若二次三项式x 2−9x −22的一个因式为x +2，求另一个因式；（2）若二次三项式2x 2+bx −5有一个因式是2x −5，求另一个因式以及b 的值．5. 【知识经验】我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有很多，下面我们一起再学习三种因式分解的方法吧． 【学习拓展】(1)分组分解法：将-个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解因式的方法． 例：x 2−2xy +y 2+4x −4y =(x 2−2xy +y 2)+(4x −4y)=(x −y)(x −y +4)． 分组分解法中分组的目的是：分组后小组内及小组之间能提公因式或运用公式．试卷第2页，总19页………○…※※题※※………○…(2)十字相乘法例：分解因式：2x 2−x −6．分析：二次项系数2分解成2与1的积；常数项−6分解成−1与6（或−6与1，−2与3，−3与2)的积，但只有当−2与3按如图1所示方式排列，然后交叉相乘的和正好等于一次项系数−1．所以：2x 2−x −6=(2x +3)(x −2)．小结：用十字相乘法分解形如ax 2+bx +c 时，二次项系数a 分解成 a 1与a 2的积，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；常数项c 分解成c 1与c 2的积，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，把a 1，a 2，c 1，c 2按如图2所示方式排列，当且仅当a 1c 2+a 2c 1=6（一次项系数）时，ax 2+bx +c 可分解因式．即ax 2+bx +c =(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)．(3)拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，重新分组，可提公因式或运用公式继续分解的方法． 例：3x 3+7x 2−4=3x 3−2x 2+9x 2−4（拆项）=(3x 3−2x 2)+(9x 2−4)（分组分解） =x 2(3x −2)+(3x +2)(3x −2)=(3x −2)(x 2+3x +2)（十字相乘法）=(3x −2)(x +1)(x +2)（达到每一个多项式因式不能再分解为止） 【学以致用】利用上面的方法将下列各式分解因式： (1)a 3+2a 2+4a +8；(2)3x 2+2x −5；(3)x 3+3x 2−4．6. (xy +1)(x +1)(y +1)+xy ．7. 已知关于x 的二次三项式x 2+mx +10有一个因式(x +5)，求另一个因式和m 的值．8. 两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成2(x −1)(x −9)，另一位同学因看错了常数项而分解成2(x −2)(x −4)，求出原多项式．9. 分解因式：x 2−(m 2+n 2)x +mn(m 2−n 2)10. 已知16x ⋅21y =336，求1x +1y 的值．11. 分解因式：3x 4−28x 3−17x 2+2x ．12. 因式分解：（1）x 2−3xy −10y 2+x +9y −2；（2）x3−11x2+31x−21．13. 分解因式：(2x−3y)3+(3x−2y)3−125(x−y)3．14. 已知a+b=23，ab=2，求下列代数式的值（1）a2b+2a2b2+ab2；（2）a2+b2（3）a3+b3．15. a，b，c是三角形三边长，且a2−16b2−c2+6ab+10bc＝0，求证：a+c＝2b．16. 分解因式：x4+1997x2+1996x+1997．17. a，b，c为非负实数，a2+b2+c2=1，a(1b +1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=−3，求a+b+c的值．18. (a+b−2ab)(a+b−2)+(1−ab)2．19. 设a，b是两个不相等的正整数，P为质数，满足b2+a=p2，且a2+bb2+a是整数．（1）求证：a>b；（2）求p的值；（3）求a，b的值．20. 根据规律回答问题：12×18=1×(1+1)×100+2×8=21623×27=2×(2+1)×100+3×7=62184×86=8×(8+1)×100+4×6=7224（1）根据规律计算：952=________．（2）用含有n和m的式子表示上面的规律并证明．试卷第4页，总19页参考答案与试题解析 奥数：因式分解一、 选择题 （本题共计 3 小题 ，每题 5 分 ，共计15分 ）1.【答案】 C【考点】 因式分解 配方法的应用 因式分解的概念 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：甲：(x +2)(x +4)=x 2+6x +8，因为甲看错了n ，所以m =6； 乙：(x +1)(x +9)=x 2+10x +9，因为乙看错了m ，所以n =9. 所以原因式为：x 2+6x +9 配方得：(x +3)2. 故选C . 2.【答案】 A【考点】 因式分解 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：根据整式的乘法的运算法则求解即可得. (5x −6)(2x −3)=10x 2−15x −12x +18 =ax 2+bx +c .比较系数可得a =10,b =−27,c =18, 故2a +b −c =−25. 故选A . 3.【答案】 D【考点】 因式分解 【解析】利用十字相乘法分解因式，进而利用完全平方数的性质分析得出即可． 【解答】解：根据题意设x 2−4x +c =(x −A)(x −B)，(A, B ɛN) 故(x −A)(x −B)=x 2−(A +B)x +AB ， 则{A +B =4AB =c，故c =AB =A(4−A)=−(A −2)2+4， 则(A −2)2=4−c ， 则4−c 是完全平方数，故{当c =−8时,√4−(−8)=2√3当c =−7时,√4−(−7)=√11当c =−6时,√4−(−6)=√10当c =−5时,√4−(−5)=√9=3，综上，c 可取下面四个值中的−5． 故选：D ．二、 解答题 （本题共计 17 小题 ，每题 8 分 ，共计136分 ） 4.【答案】设另一个因式为x +n ，得x 2−9x −22＝(x +2)(x +n)， 则x 2−9x −22＝x 2+(n +2)x +2n ， ∴ 2n ＝−22， 解得n ＝−11，∴ 另一个因式为x −11．设另一个因式为x +n ，得2x 2+bx −5＝(2x −5)(x +n)， 则2x 2+bx −5＝2x 2+(2n −5)x −5n ， ∴ {b =2n −5−5n =−5 ，解得{n =1b =−3， ∴ 另一个因式为x +1，b 的值为−3． 【考点】 因式分解因式分解-十字相乘法 因式分解的概念 【解析】（1）设另一个因式为x +n ，得x 2−9x −22＝(x +2)(x +n)，则x 2−9x −22＝x 2+(n +2)x +2n ，据此求出n 的值是多少，进而求出另一个因式即可．（2）设另一个因式为x +n ，得2x 2+bx −5＝(2x −5)(x +n)，则2x 2+bx −5＝2x 2+(2n −5)x −5n ，据此求出n 、b 的值各是多少，以及另一个因式是多少即可． 【解答】设另一个因式为x +n ，得x 2−9x −22＝(x +2)(x +n)， 则x 2−9x −22＝x 2+(n +2)x +2n ， ∴ 2n ＝−22， 解得n ＝−11，∴ 另一个因式为x −11．设另一个因式为x +n ，得2x 2+bx −5＝(2x −5)(x +n)， 则2x 2+bx −5＝2x 2+(2n −5)x −5n ， ∴ {b =2n −5−5n =−5 ，解得{n =1b =−3， ∴ 另一个因式为x +1，b 的值为−3． 5.试卷第6页，总19页【答案】解：(1)a 3+2a 2+4a +8 =(a 3+2a 2)+(4a +8) =a 2(a +2)+4(a +2) =(a +2)(a 2+4).(2)利用十字相乘法得：3x 2+2x −5=(3x +5)(x −1).(3)x 3+3x 2−4=(x 3+2x 2)+(x 2−4) =x 2(x +2)+(x +2)(x −2) =(x +2)(x 2+x −2) =(x +2)(x +2)(x −1) =(x −1)(x +2)2． 【考点】因式分解-十字相乘法 因式分解因式分解-分组分解法 【解析】仿照题干中分组分解法分解即可. 仿照题干中的十字相乘法分解即可． 依照提干中的拆项法分解即可. 【解答】解：(1)a 3+2a 2+4a +8 =(a 3+2a 2)+(4a +8) =a 2(a +2)+4(a +2) =(a +2)(a 2+4).(2)利用十字相乘法得：3x 2+2x −5=(3x +5)(x −1). (3)x 3+3x 2−4=(x 3+2x 2)+(x 2−4) =x 2(x +2)+(x +2)(x −2) =(x +2)(x 2+x −2) =(x +2)(x +2)(x −1) =(x −1)(x +2)2． 6.【答案】解：原式=(xy +1)(xy +x +y +1)+xy 设xy =t ，原式=t(t +x +y)+xy =t 2+t(x +y)+xy =(t +x)(t +y) =(xy +x)(xy +y) =x(y +1)y(x +1) =xy(y +1)(x +1)． 【考点】 因式分解 【解析】首先将原式变形，进而得出原式=t(t +x +y)+xy ，利用十字相乘法分解因式进而得出答案． 【解答】解：原式=(xy +1)(xy +x +y +1)+xy 设xy =t ，原式=t(t +x +y)+xy =t 2+t(x +y)+xy =(t +x)(t +y) =(xy +x)(xy +y) =x(y +1)y(x +1) =xy(y +1)(x +1)． 7.【答案】设另一个因式为(x +a)∵ (x +a)(x +5)＝x 2+(5+a)x +5a ∴ {5+a =m 5a =10解得{a =2m =7∴ 另一个因式是(x +2)，m 的值为7． 【考点】 因式分解因式分解的概念 【解析】设另一个因式为(x +a)，将(x +a)与(x +5)相乘，展开比较系数得出二元一次方程组，解方程求出相关字母的值即可． 【解答】设另一个因式为(x +a)∵ (x +a)(x +5)＝x 2+(5+a)x +5a ∴ {5+a =m 5a =10解得{a =2m =7∴ 另一个因式是(x +2)，m 的值为7． 8.【答案】解：设原多项式为ax 2+bx +c （其中a ，b ，c 均为常数，且abc ≠0）． ∵ 2(x −1)(x −9)=2(x 2−10x +9)=2x 2−20x +18， ∴ a =2，c =18；又∵ 2(x −2)(x −4)=2(x 2−6x +8)=2x 2−12x +16， ∴ b =−12．∴ 原多项式为2x 2−12x +18． 【考点】 因式分解多项式乘多项式 【解析】由于含字母x 的二次三项式的一般形式为ax 2+bx +c （其中a 、b 、c 均为常数，且abc ≠0），所以可设原多项式为ax 2+bx +c ．看错了一次项系数即b 值看错而a 与c 的试卷第8页，总19页值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将2(x −1)(x −9)运用多项式的乘法法则展开求出a 与c 的值；同样，看错了常数项即c 值看错而a 与b 的值正确，可将2(x −2)(x −4)运用多项式的乘法法则展开求出b 的值，进而得出答案． 【解答】解：设原多项式为ax 2+bx +c （其中a ，b ，c 均为常数，且abc ≠0）． ∵ 2(x −1)(x −9)=2(x 2−10x +9)=2x 2−20x +18， ∴ a =2，c =18；又∵ 2(x −2)(x −4)=2(x 2−6x +8)=2x 2−12x +16， ∴ b =−12．∴ 原多项式为2x 2−12x +18． 9.【答案】解：x 2−(m 2+n 2)x +mn(m 2−n 2)=x 2−(m 2+n 2)x +[−(mn +n 2)]×[−(m 2−mn)] =(x −mn −n 2)(x −m 2+mn) 【考点】 因式分解 【解析】将mn(m 2−n 2)分解为：[−(mn +n 2)]×[−(m 2−mn)]，进而得出即可． 【解答】解：x 2−(m 2+n 2)x +mn(m 2−n 2)=x 2−(m 2+n 2)x +[−(mn +n 2)]×[−(m 2−mn)] =(x −mn −n 2)(x −m 2+mn) 10.【答案】解：∵ 336=3×4×4×7=42×21，16x =42x ， ∴ 42x =42，21y =21，∴ 2x =2，y =1，即x =1，y =1，∴ 1x +1y =1+1=2．【考点】幂的乘方与积的乘方 因式分解 【解析】将336分解为3×4×4×7=42×21，分别求出x 和y 的值，然后代入求解． 【解答】解：∵ 336=3×4×4×7=42×21，16x =42x ， ∴ 42x =42，21y =21，∴ 2x =2，y =1，即x =1，y =1， ∴ 1x +1y =1+1=2．11.【答案】解：3x 4−28x 3−17x 2+2x=(3x 4−30x 3+3x 2)+(2x 3−20x 2+2x) =3x 2(x 2−10x +1)+2x(x 2−10x +1) =x(x 2−10x +1)(3x +2)． 【考点】因式分解【解析】重新分组，进而利用提取公因式法分解因式得出即可．【解答】解：3x4−28x3−17x2+2x=(3x4−30x3+3x2)+(2x3−20x2+2x)=3x2(x2−10x+1)+2x(x2−10x+1)=x(x2−10x+1)(3x+2)．12.【答案】解：（1）原式=(x+2y)(x−5y)+2x+4y−x+5y−2=(x+2y)(x−5y)+2(x+2y)−(x−5y+2)=(x+2y)(x−5y+2)−(x−5y+2)=(x+2y−1)(x−5y+2)；（2）原式=(x3−1)−(11x3−31x+20)=(x−1)(x2+x+1)−(11x−20)(x−1)=(x−1)(x2+x+1−11x+20)=(x−1)(x2−10x+21)=(x−1)(x−3)(x−7)．【考点】因式分解【解析】（1）、（2）先添项、拆项、再提取公因式即可．【解答】解：（1）原式=(x+2y)(x−5y)+2x+4y−x+5y−2=(x+2y)(x−5y)+2(x+2y)−(x−5y+2)=(x+2y)(x−5y+2)−(x−5y+2)=(x+2y−1)(x−5y+2)；（2）原式=(x3−1)−(11x3−31x+20)=(x−1)(x2+x+1)−(11x−20)(x−1)=(x−1)(x2+x+1−11x+20)=(x−1)(x2−10x+21)=(x−1)(x−3)(x−7)．13.【答案】解：(2x−3y)3+(3x−2y)3−125(x−y)3=[(2x−3y)+(3x−2y)][(2x−3y)2−(2x−3y)(3x−2y)+(3x−2y)2]−125(x −y)3=5(x−y)(13x2+13y2−24xy−6x2−6y2+13xy)−25×5(x−y)(x−y)2=5(x−y)(7x2+7y2−11xy)−25×5(x−y)(x2−2xy+y2)=5(x−y)[(7x2+7y2−11xy)−25(x2+y2−2xy)]=5(x−y)(−18x2−18y2+39xy)=−15(x−y)(6x2+6y2−13xy)=−15(x−y)(2x−3y)(3x−2y)．【考点】因式分解【解析】利用立方差公式分解因式，进而利用十字相乘法分解因式得出即可．试卷第10页，总19页【解答】解：(2x −3y)3+(3x −2y)3−125(x −y)3=[(2x −3y)+(3x −2y)][(2x −3y)2−(2x −3y)(3x −2y)+(3x −2y)2]−125(x −y)3=5(x −y)(13x 2+13y 2−24xy −6x 2−6y 2+13xy)−25×5(x −y)(x −y)2 =5(x −y)(7x 2+7y 2−11xy)−25×5(x −y)(x 2−2xy +y 2) =5(x −y)[(7x 2+7y 2−11xy)−25(x 2+y 2−2xy)] =5(x −y)(−18x 2−18y 2+39xy) =−15(x −y)(6x 2+6y 2−13xy) =−15(x −y)(2x −3y)(3x −2y)． 14.【答案】解：（1）∵ a +b =23，ab =2， ∴ a 2b +2a 2b 2+ab 2 =ab(a +b +2ab) =2(23+2×2)=43+8 =283；（2）a 2+b 2 =(a +b)2−2ab =(23)2−2×2 =−329；（3）a 3+b 3=(a +b)(a 2+b 2−ab) =23(−329−2) =−10027．【考点】 因式分解 【解析】（1）利用a 2b +2a 2b 2+ab 2=ab(a +b +2ab)，由此能求出结果． （2）利用a 2+b 2=(a +b)2−2ab ，由此能求出结果．（3）利用a 3+b 3=(a +b)(a 2+b 2−ab)，由此能求出结果． 【解答】解：（1）∵ a +b =23，ab =2， ∴ a 2b +2a 2b 2+ab 2 =ab(a +b +2ab) =2(23+2×2)=43+8=283；（2）a2+b2=(a+b)2−2ab=(23)2−2×2=−329；（3）a3+b3=(a+b)(a2+b2−ab)=23(−329−2)=−10027．15.【答案】∵a2−16b2−c2+6ab+10bc＝0，∴a2+6ab+9b2−(c2−10bc+25b2)＝0，∴(a+3b)2−(c−5b)2＝0，∴(a+3b+c−5b)(a+3b−c+5b)＝0，即(a+c−2b)(a+8b−c)＝0，∵a，b，c是三角形三边长，∴a+b−c>0，∴a+8b−c>0，∴a+c−2b＝0，∴a+c＝2b．【考点】因式分解【解析】首先把a2−16b2−c2+6ab+10bc＝0写成(a+3b)2−(c−5b)2＝0，然后进行因式分解得到即(a+c−2b)(a+8b−c)＝0，结合a，b，c是三角形三边长，进而求出a，b和c之间的关系．【解答】∵a2−16b2−c2+6ab+10bc＝0，∴a2+6ab+9b2−(c2−10bc+25b2)＝0，∴(a+3b)2−(c−5b)2＝0，∴(a+3b+c−5b)(a+3b−c+5b)＝0，即(a+c−2b)(a+8b−c)＝0，∵a，b，c是三角形三边长，∴a+b−c>0，∴a+8b−c>0，∴a+c−2b＝0，∴a+c＝2b．16.【答案】解：原式=x4+1997x2+1997x−x+1997试卷第12页，总19页=(x 4−x)+(1997x 2+1997x +1997) =x(x 3−1)+1997(x 2+x +1)=x(x −1)(x 2+x +1)+1997(x 2+x +1) =(x 2+x +1)(x 2−x +1997)． 【考点】 因式分解 【解析】利用补项法，进而重新分组，再提取公因式分解因式得出即可． 【解答】解：原式=x 4+1997x 2+1997x −x +1997 =(x 4−x)+(1997x 2+1997x +1997) =x(x 3−1)+1997(x 2+x +1)=x(x −1)(x 2+x +1)+1997(x 2+x +1) =(x 2+x +1)(x 2−x +1997)． 17.【答案】解：将a(1b +1c )+b(1c +1a )+c(1a +1b )=−3变形如下， a(1b+1c)+1+b(1a+1c)+1+c(1a+1b)+1=0，即a(1a +1b +1c )+b(1a +1b +1c )+c(1a +1b +1c )=0， ∴ (a +b +c)(1a +1b +1c )=0， ∴ (a +b +c)⋅bc+ac+ababc =0，∴ a +b +c =0（舍）或bc +ac +ab =0． 若bc +ac +ab =0，则(a +b +c)2=a 2+b 2+c 2+2(bc +ac +ab)=a 2+b 2+c 2=1， ∴ a +b +c =±1．∴ a +b +c 的值为1，−1． 【考点】 因式分解 【解析】首先将原式变形，进而得出a(1a +1b +1c )+b(1a +1b +1c )+c(1a +1b +1c )=0，得出a +b +c =0或bc +ac +ab =0．进而代入求出答案． 【解答】解：将a(1b +1c )+b(1c +1a )+c(1a +1b )=−3变形如下， a(1b +1c )+1+b(1a +1c )+1+c(1a +1b )+1=0， 即a(1a +1b +1c )+b(1a +1b +1c )+c(1a +1b +1c )=0， ∴ (a +b +c)(1a +1b +1c )=0， ∴ (a +b +c)⋅bc+ac+ababc =0，∴a+b+c=0（舍）或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(bc+ac+ab)=a2+b2+c2=1，∴a+b+c=±1．∴a+b+c的值为1，−1．18.【答案】解：(a+b−2ab)(a+b−2)+(1−ab)2=[(a+b)−2ab][(a+b)−2]+(1−ab)2=(a+b)2−2(ab+1)(a+b)+4ab+(1−ab)2=(a+b)2−2(ab+1)(a+b)+[4ab+(1−ab)2]=(a+b)−22(ab+1)(a+b)+(1+ab)2=[(a+b)−(ab+1)]2=[(a−1)(1−b)]2=(a−1)2(b−1)2．【考点】因式分解【解析】重新分组进而将(a+b)看做整体，利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：(a+b−2ab)(a+b−2)+(1−ab)2=[(a+b)−2ab][(a+b)−2]+(1−ab)2=(a+b)2−2(ab+1)(a+b)+4ab+(1−ab)2=(a+b)2−2(ab+1)(a+b)+[4ab+(1−ab)2]=(a+b)−22(ab+1)(a+b)+(1+ab)2=[(a+b)−(ab+1)]2=[(a−1)(1−b)]2=(a−1)2(b−1)2．19.【答案】解：（1）∵a，b是两个不相等的正整数，∴a2+b，b2+a都是正整数，a+b−1>0．∵a2+b是整数，b2+a∴a2+b≥1，b2+a∴a2+b≥b2+a，∴a2+b−b2−a=(a+b)(a−b)−(a−b)=(a−b)(a+b−1)≥0，∴a−b≥0即a≥b．假设a=b，则有p2=b2+a=a2+a=a(a+1)．∵a与a+1连续整数，∴p2是偶数，∵P为质数，∴p=2，∴b2+a=4，∴b=1，a=3，试卷第14页，总19页∴a 2+b b 2+a=104=52，与条件“a 2+bb 2+a是整数”矛盾，∴ a >b ； （2）设a 2+b b 2+a=k （其中k >1，k 为正整数）， 则有a 2+b =k(b 2+a)=kp 2，∴ (k −1)p 2=kp 2−p 2=a 2+b −b 2−a =(a −b)(a +b −1)， ∴ p 2=(a−b)(a+b−1)k−1．∵ P 是质数，∴ p 2=1×p 2=p ×p ． ①a−b k−1=1且a +b −1=p 2，此时a +b −1=p 2=b 2+a ，整理得b 2−b +1=0， 方程无解．②a−bk−1=p 2且a +b −1=1，此时a +b =2，与条件“a 、b 为不相等的正整数”矛盾； ③a−b k−1=a +b −1=p ，此时(a +b −1)2=p 2=b 2+a ，∴ a =(a +b −1)2−b 2=(a +2b −1)(a −1)， ∴ a +2b −1=aa−1=1+1a−1． ∵ a +2b −1为整数， ∴ 1a−1也是整数， ∴ 正整数a =2． ∵ a >b ，∴ 正整数b =1，∴ p =a +b −1=2， ∴ 1k−1=2，∴ k =32，与k 为正整数矛盾； ④a+b−1k−1=1且a −b =p 2，此时a −b =p 2=b 2+a ， 整理得b 2+b =0， 解得b 1=0，b 2=−1， 与b 为正整数矛盾； ⑤a+b−1k−1=p 2且a −b =1，此时a =b +1，k =a 2+b b 2+a =(b +1)2+bb 2+b +1=b 2+3b +1b 2+b +1=1+2bb 2+b +1∵ b 2+b +1−2b =b 2−b +1=(b −12)2+34>0， ∴ b 2+b +1>2b >0， ∴ 2bb 2+b+1<1，∴ k <2，与“k 是大于1的正整数”矛盾； ⑥a+b−1k−1=a −b =p ，此时(a −b)2=p 2=b 2+a ， 整理得a =2b +1， 则k =a 2+bb 2+a =(2b+1)2+b b 2+2b+1=4b 2+5b+1b 2+2b+1=(4b+1)(b+1)(b+1)2=4b+1b+1=4−3b+1．∵ k 是大于1的正整数， ∴ 3b+1是小于3的正整数， ∴ 整数b +1=3， ∴ b =2，∴ a =2b +1=5， ∴ p =a −b =3． 综上所述：p =3； （3）由（2）可知， 只有当a+b−1k−1=a −b =p 时，存在正整数a 、b 及质数p ，使得条件成立，此时(a −b)2=p 2=b 2+a ，整理得a =2b +1， 则k =a 2+bb 2+a =(2b+1)2+b b 2+2b+1=4b 2+5b+1b 2+2b+1=(4b+1)(b+1)(b+1)2=4b+1b+1=4−3b+1．∵ k 是大于1的正整数， ∴ 3b+1是小于3的正整数， ∴ 整数b +1=3， ∴ b =2，∴ a =2b +1=5． 【考点】 质数与合数 约数与倍数 质因数分解 因式分解 【解析】试卷第16页，总19页（1）运用不等式的性质和因式分解，由a 2+b b 2+a≥1可推出a ≥b ，然后用反证法证明a =b 不成立，从而解决问题； （2）设a 2+b b 2+a=k （其中k >1，k 为正整数），则有a 2+b =k(b 2+a)=kp 2，与条件“b 2+a =p 2”结合，可得p 2=(a−b)(a+b−1)k−1．若a−b k−1为正整数，则a−bk−1与a +b −1中有一个是1，另一个是p 2，或两个都是p ；若a+b−1k−1是正整数，则a −b 与a+b−1k−1中有一个是1，另一个是p 2，或两个都是p ．只需通过分类讨论就可解决问题； （3）由（2）可知，只有当a+b−1k−1=a −b =p 时，存在正整数a 、b 及质数p ，使得条件成立，此时(a −b)2=p 2=b 2+a ，整理得a =2b +1，从而得到k =a 2+b b 2+a=4−3b+1．由k 是大于1的正整数可得3b+1是小于3的正整数，从而求出b ，就可得到a ． 【解答】解：（1）∵ a ，b 是两个不相等的正整数，∴ a 2+b ，b 2+a 都是正整数，a +b −1>0． ∵ a 2+b b 2+a 是整数， ∴a 2+b b 2+a≥1，∴ a 2+b ≥b 2+a ，∴ a 2+b −b 2−a =(a +b)(a −b)−(a −b)=(a −b)(a +b −1)≥0， ∴ a −b ≥0即a ≥b ． 假设a =b ，则有p 2=b 2+a =a 2+a =a(a +1)． ∵ a 与a +1连续整数， ∴ p 2是偶数， ∵ P 为质数， ∴ p =2，∴ b 2+a =4， ∴ b =1，a =3， ∴a 2+b b 2+a=104=52，与条件“a 2+bb 2+a是整数”矛盾，∴ a >b ； （2）设a 2+b b 2+a=k （其中k >1，k 为正整数）， 则有a 2+b =k(b 2+a)=kp 2，∴ (k −1)p 2=kp 2−p 2=a 2+b −b 2−a =(a −b)(a +b −1)， ∴ p 2=(a−b)(a+b−1)k−1．∵ P 是质数，∴ p 2=1×p 2=p ×p ．①a−b k−1=1且a +b −1=p 2，此时a +b −1=p 2=b 2+a ，整理得b 2−b +1=0， 方程无解． ②a−b k−1=p 2且a +b −1=1，此时a +b =2，与条件“a 、b 为不相等的正整数”矛盾； ③a−bk−1=a +b −1=p ，此时(a +b −1)2=p 2=b 2+a ，∴ a =(a +b −1)2−b 2=(a +2b −1)(a −1)， ∴ a +2b −1=aa−1=1+1a−1． ∵ a +2b −1为整数， ∴ 1a−1也是整数， ∴ 正整数a =2． ∵ a >b ，∴ 正整数b =1，∴ p =a +b −1=2， ∴ 1k−1=2，∴ k =32，与k 为正整数矛盾； ④a+b−1k−1=1且a −b =p 2，此时a −b =p 2=b 2+a ， 整理得b 2+b =0， 解得b 1=0，b 2=−1， 与b 为正整数矛盾； ⑤a+b−1k−1=p 2且a −b =1，此时a =b +1，k =a 2+b b 2+a =(b +1)2+bb 2+b +1 =b 2+3b +1b 2+b +1=1+2bb 2+b +1∵ b 2+b +1−2b =b 2−b +1=(b −12)2+34>0， ∴ b 2+b +1>2b >0， ∴ 2bb 2+b+1<1，∴ k <2，与“k 是大于1的正整数”矛盾； ⑥a+b−1k−1=a −b =p ，试卷第18页，总19页此时(a −b)2=p 2=b 2+a ， 整理得a =2b +1， 则k =a 2+b b 2+a=(2b+1)2+b b 2+2b+1=4b 2+5b+1b 2+2b+1=(4b+1)(b+1)(b+1)2=4b+1b+1=4−3b+1．∵ k 是大于1的正整数， ∴ 3b+1是小于3的正整数， ∴ 整数b +1=3， ∴ b =2，∴ a =2b +1=5， ∴ p =a −b =3． 综上所述：p =3； （3）由（2）可知， 只有当a+b−1k−1=a −b =p 时，存在正整数a 、b 及质数p ，使得条件成立，此时(a −b)2=p 2=b 2+a ，整理得a =2b +1， 则k =a 2+bb 2+a =(2b+1)2+b b 2+2b+1=4b 2+5b+1b 2+2b+1=(4b+1)(b+1)(b+1)2=4b+1b+1=4−3b+1．∵ k 是大于1的正整数， ∴ 3b+1是小于3的正整数，∴ 整数b +1=3， ∴ b =2，∴ a =2b +1=5． 20.【答案】 9025．（2）若一个两位数的个位数字是m ，十位数字为n ，表示为：10n +m ；则另一个数的个位数字为10−m ，十位数字是n ，表示为：10n +(10−m)， (10n +m)×[10n +(10−m)]=n(n +1)×100+m(10−m)，证明：若一个两位数的个位数字是m ，十位数字为n ，表示为：10n +m ；则另一个数的个位数字为10−m ，十位数字是n ，表示为：10n +(10−m)=10n −m +10所以：(10n +m)×(10n −m +10)=100n 2+100n +10m −m 2=n(n +1)×100+m(10−m) 【考点】规律型：数字的变化类 因式分解整式的混合运算 【解析】审题发现每个算式的个位数字之和等于10，十位数字相同，而结果等于各位数字与比它大1的数的积的100倍，再加上个位数字的积，根据所得规律进行计算即可． 【解答】 解：（1）由已知总结出规律“若每个算式的个位数字之和等于10，十位数字相同，则结果等于各位数字与比它大1的数的积的100倍，再加上个位数字的积”（2）若一个两位数的个位数字是m，十位数字为n，表示为：10n+m；则另一个数的个位数字为10−m，十位数字是n，表示为：10n+(10−m)，(10n+m)×[10n+(10−m)]=n(n+1)×100+m(10−m)，证明：若一个两位数的个位数字是m，十位数字为n，表示为：10n+m；则另一个数的个位数字为10−m，十位数字是n，表示为：10n+(10−m)=10n−m+10所以：(10n+m)×(10n−m+10)=100n2+100n+10m−m2=n(n+1)×100+m(10−m)。
