奥数-因式分解-1上海师

一、公式法进阶. 乘法公式进阶版，现将其反向使用.(a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b 2)；(a -b )(a 2+ab +b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)．a 2+b 2+c 2+2ab +2bc +2ca =(a +b +c )2；a 3+b 3+c 3-3abc =(a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca )；【例1】分解下列因式：（1）44827x y xy - （2）523972x x y -（3）()()33x y x y x y -+-（4）66x y + （5）66x y -因式分解进阶 例题讲解模块一：公式法进阶【例2】（1）已知3330,0a b c a b c ++=++=，求151515a b c ++的值。

（2）若正数a ，b ，c 为三角形的三边，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，试确定三角形的形状.二、十字相乘法（1）第一类十字相乘：二次项系数为1【口诀：尾项分拆，凑中间项】形如： 2()x p q x pq +++（其中p 、q 为常数）可以因式分解为()()x p x q ++（2）第二类十字相乘：二次项系数不为1【口诀：首尾分拆，十字相乘，凑中间项】形如： 2kx mx n ++（其中k 、m 、n 为常数），若k ac =，n bd =且ac bd m +=时，原式可以转化为：2()()()acx ad bc x bd ax b cx d +++=++【例3】因式分解：（1）256x x ++ （2）256x x +-模块二：十字相乘法例题讲解（3）2109x x ++ （4）2310x x --【例4】因式分解：（1）2212x xy y --（2）22712x y xy -+（3）42536x x -- （4）2214425x y xy +-（5）分解因式：()()25______4x x x x ++=++（6）若()()2431x x x a x ++=-+，则___a =。

上海中考数学因式分解数学中考因式分解在中考数学中，因式分解是一个非常重要的知识点。

掌握了因式分解，我们可以将复杂的数学表达式化简为简单的乘积形式，提高解题的效率和准确性。

下面，我们来学习一下关于上海中考数学因式分解的相关内容。

因式分解是指将一个多项式表达式写成若干个乘积的形式。

在因式分解过程中，我们需要将表达式中的公因式进行提取，同时应用一些特定的分解公式。

下面，我们将介绍几种常见的因式分解方法。

第一种方法是提公因式。

当一个多项式中的每一项都可以被一个相同的数或代数式整除时，我们可以将这个公因式提取出来，从而实现因式分解。

例如，对于多项式2x+4y，其中的公因式为2，我们可以将其分解为2(x+2y)。

第二种方法是提取代数式公因式。

当一个多项式中的每一项都可以被一个相同的代数式整除时，我们可以将这个代数式公因式提取出来，从而进行因式分解。

例如，对于多项式x^2+2x，其中的公因式为x，我们可以将其分解为x(x+2)。

第三种方法是利用分解公式。

在因式分解中，我们经常利用一些特定的分解公式来实现分解。

这些分解公式包括二次差分公式、完全平方公式、差平方公式等等。

例如，对于多项式x^2-4，我们可以利用差平方公式将其分解为(x-2)(x+2)。

通过掌握以上几种因式分解方法，我们可以更加灵活地处理各种类型的多项式表达式。

在中考中，因式分解不仅仅用于求解方程，还可以用于简化表达式、化简算式等等。

因此，对于上海中考数学来说，掌握因式分解是非常重要的。

最后，我们需要在解题过程中注意准确度和规范性。

在进行因式分解时，一定要仔细审题，确保分解的正确性。

同时，我们还需要注意表达的简洁性和逻辑性，通过合理地使用语言和符号，使分解过程更加清晰和易懂。

总之，上海中考数学因式分解是一个必备的知识点，通过掌握提公因式、提取代数式公因式和利用分解公式等方法，我们可以有效地解决各种与因式分解相关的数学问题。

在解题过程中，我们应该注重准确性和规范性，并且通过简洁明了的语言和符号，使分解过程清晰易懂。

(3 ) (a+b)(a 2-ab+b 2) =a 3+b 3------ a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2
)；
(4 ) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3 ------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．
下面再补充两个常用的公式：
(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；
(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ca)； 例.已知是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，
则ABC ∆的形状是（ ）
A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形 解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++
222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==
三、分组分解法.
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：bn bm an am +++
分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。

解：原式=)()(bn bm an am +++
=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！ =))((b a n m ++
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102
解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；
)。

上海市七年级数学因式分解精炼一、用提公因式法把多项式进行因式分解1、.-+--+++ax abx acx ax m m m m 2213 2、.a a b a b a ab b a ()()()-+---322223、.不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值。

4、.证明：对于任意自然数n ，323222n n n n ++-+-一定是10的倍数。

5、. 已知：xbx c 2++（b 、c 为整数）是x x 42625++及3428542x x x +++的公因式，求b 、c 的值。

课堂小练1. 分解因式：（1）-+-41222332mn m n mn （2）a x abx acx adx n n n n 2211++-+--（n 为正整数）（3）a ab a b a ab b a ()()()-+---322222 （4）322x x x ()()--- （6）412132q p p ()()-+-2. 计算：()()-+-221110的结果是______________3. 已知x 、y 都是正整数，且x xy y y x ()()---=12，求x 、y 。

4. 证明：812797913--能被45整除。

2、运用公式法进行因式分1、已知多项式232xx m -+有一个因式是21x +，求m 的值。

2、已知a b c 、、是∆ABC 的三条边，且满足ab c ab bc ac 2220++---=，试判断∆ABC 的形状。

3、两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。

4、 已知：am b m c m =+=+=+121122123，，，求a ab b ac c bc 222222++-+-的值。

5、. 若xy x xy y 3322279+=-+=，，求x y 22+的值。

6、 分解因式（1）()()aa +--23122 （2 ）x x y x y x 5222()()-+-（3）3223288xy x y xy ++ (4)a a b b 2222+--7、. 已知：xx +=-13，求x x 441+的值。

因式分解知识归纳与题型突破（12类题型）知识点一、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.特别说明：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.知识点二、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．特别说明：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即.m m 01 思维导图02 知识速记（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.知识点三、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点四、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.特别说明：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式.知识点五、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式，若存在，则特别说明：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则()()22a b a b a b -=+-a b a b ()2222a ab b a b ++=+()2222a ab b a b -+=-222a ab b ++222a ab b -+a b a b 2x bx c ++pq c p q b=ìí+=î()()2x bx c x p x q ++=++2x bx c ++c 0c >p q、同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.知识点六、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.特别说明：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项.知识点七、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.特别说明：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式0c <p q 、b p q 、2x bx c ++b c 、c b 2ax bx c ++a a 12a a a =c 12c c c =1212a a c c ，，，1221a c a c +2ax bx c ++b 1221a c a c b +=11a x c +22a x c +()()21122ax bx c a x c a x c ++=++a三项、二项、一项可化为二次三项式知识点八：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.知识点九：因式分解的解题步骤因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.特别说明：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.题型一　判断是否是因式分解1．下列各式从左到右的变形中，不是因式分解的是（ ）A ．21(1)(1)a a a -=+-B ．222()ab ac a b c +=+C ．2269(3)x x x -+=-D ．241(2)(2)1m m m m -+=+-+2．下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()22244a c ab ac b --=--B ．()a x y ax ay +=+C ．()()22339x y x y x y+-=-D ．()222963a ab b a b ++=+3．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）A ．()()24313x x x x -+=--03 题型归纳B ．()27373x x x x +--=+C ．()()2339x x x +-=+D ．()()213113x x x x x +=+-+-巩固训练1．下列变形是因式分解的是（ ）A ．()()243223a a a a a-+=-++B ．2244(2)x x x ++=+C ．111x x x æö+=+ç÷èøD ．2(1)(1)1x x x +-=-2．给出下列六个多项式：①x 2＋y 2；②－x 2＋y 2；③x 2＋2xy ＋y 2；④x 4－1；⑤x(x ＋1)－2(x ＋1)；⑥m 2－mn ＋14n 2.其中，能因式分解的是(填序号)．3．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？(1)2(1)(2)2x x x x +-=--；(2)2223(1)2x x x ++=++；(3)2)39631)(2(xy xy x x y y -+=--；(4)2224129()23x xy y x y ++=+ 题型二　已知因式分解的结果求参数4．若多项式2x x b ++因式分解的结果为(3)(2)x x +-，则b 的值是（ ）A ．5B ．5-C ．6D ．6-5．若()2242x mx x ++=-，则下列结论正确的是（ ）A ．等式从左到右的变形是乘法公式，4m =B ．等式从左到右的变形是因式分解，4m =C ．等式从左到右的变形是乘法公式，4m =-D ．等式从左到右的变形是因式分解，4m =-6．把多项式232x ax +-分解因式，结果是()()31x x b ++，则a ，b 的值为（ ）A ．72a b ==，B ．52a b ==，C ．72a b =-=-，D ．52a b =-=-，巩固训练1．因式分解()()2122x mx x x n +-=++，其中m 、n 都为整数，则m 的值是（ ）A ．6-B ．5-C ．4-D ．42．已知二次三项式24x x m -+有一个因式是3x +，则m 的值为 .3．仔细阅读下面例题，解答问题：已知二次三项式24x x m -+有一个因式是3x +，求另一个因式以及m 的值．解：设另一个因式为()x n +，得24(3)()x x m x x n -+=++则224(3)3x x m x n x n-+=+++343n m n+=-ì\í=î解得：7,21n m =-=-．∴另一个因式为(7)x -，m 的值为21-． 问题：仿照以上方法解答下面问题：(1)已知二次三项式23x x k -+有一个因式是(2)x +，求另一个因式以及k 的值．(2)已知二次三项式223x x k +-有一个因式是(25)x -，则另一个因式为 ，k 的值为 ．(3)已知二次三项式2341x ax ++有一个因式是()x a +，a 是正整数，则另一个因式为 ，a 的值为 ．题型三　提公因式法分解因式7．如图，长方形的长和宽分别是x ，y ，它的周长为14，面积为10．则22x y xy +的值为（ ）A ．140B ．70C ．14D ．108．若4a b +=，2ab =，则22a b ab +的值为（ ）A ．4B ．8C ．12D ．169．已知23a b -=，2ab =，则222a b ab -的值为（ ）A ．5-B ．6C ．6-D ．5巩固训练1．把多项式()()2262a x a -+-分解因式，结果是（ ）A ．()()226a x -+B ．()()226a x --C ．()()2213a x -+D ．()()2213a x --2．多项式229363x y xy xy -+-提公因式3xy -后的另一个因式为 ．3．分解因式：(1)²²a x ax-(2)214749abc ab ab c--+题型四　公因式10．把22mn mn +分解因式，应提取的公因式是（ ）A ．2mB ．mnC ．2mnD ．2mn 11．用提公因式法因式分解多项式： 232812a b a b c -，其中的公因式是（ ）A ．28a bB ．3212a b cC ．4abD ．24a b12．多项式2210mx nx -的公因式是（ ）A ．2B ．xC ．2xD ．2mn巩固训练1．把多项式3123ab ab +分解因式，应提的公因式是（ ）A ．12abB ．4abC ．3abD ．33ab 2．多项式323612a m a m am -+的公因式是．3．已知：2312A x =-，233510B x y xy =+，(1)(3)1C x x =+++．问多项式A ，B ，C 是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．题型五　平方差公式分解因式13．下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．222x y --B ．21x -+C ．21x +D ．244x x ++14．下列各式能用平方差公式进行分解因式的是（ ）A ．21x +B ．21x -+C ．22x y --D ．244x x ++15．已知4821-可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数分别是（ ）A ．61，62B ．61，63C ．63，65D ．65，67巩固训练1．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）A ．22a b +B ．22a b -C ．224a b --D ．229a b -+2．小明抄在作业本上的式子29x y Å-（“Å”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x 的指数，他只知道该数为小于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出这个整式分解因式的结果：．3．小明遇到下面一个问题：计算．()()()248(21)212121++++．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：()()()248(21)212121++++()()()()()2482121212121=-++++()()()()224821212121=-+++()()()448212121=-++()()882121=-+1621=-．请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：(1)()()()()24816(21)21212121+++++(2)()()()()24816(31)31313131+++++(3)2222211111111112344950æöæöæöæöæö-´-´-´´--ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL 题型六　完全平方公式分解因式16．下列各式中，不能用完全平方公式因式分解的是（ ）A ．222x y xy ++B ．222x y xy -++C ．222x y xy--+D ．222x y xy---17．下列多项式（1）22a b +；（2）22a ab b -+；（3）()22222x y x y +-；（4）29x -；（5）22288x xy y ++．其中能用公式法分解因式的个数有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个18．无论a 、b 为任何实数，代数式224613a b a b +-++的值总是（ ）A ．非正数B ．非负数C ．0D ．正数巩固训练1．若223894613M x xy y x y =-+-++，则M 的值一定是（ ）A ．0B ．负数C ．正数D ．非负数2．已知实数x ，y 满足22145x xy y y -+-=-，则2x y +=．3．若2025,2026,2027202720272027m m ma b c =+=+=+，求222a b c ab bc ca ++---的值．题型七　综合运用公式法分解因式19．下列因式分解不正确的是（ ）A ．﹣x 2﹣2x ﹣1＝﹣（x +1）2B ．2x 2﹣4xy ﹣2y 2＝2（x ﹣y ）2C ．4x 2﹣16y 2＝4（x +2y ）（x ﹣2y ）D ．x 2+4x ＝x （x +4）20．下列因式分解正确的是（ ）A ．x 2﹣9＝（x ﹣3）2B ．x 2﹣2x ﹣1＝x （x ﹣2）﹣1C ．4y 2﹣8y ＋4＝（2y ﹣2）2D ．x （x ﹣2）﹣（2﹣x ）＝（x ﹣2）（x ＋1）21．在把多项式2223m mn n --因式分解时，虽然它不符合完全平方公式，但经过变形，可以利用完全平方公式进行分解：原式()()()222222443m mn n n m n n m n m n =-+-=--=+-，像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”．用这种方法把多项式2265a ab b +-因式分解的结果是（ ）A ．()()5a b a b ++B ．()()5a b a b -+C ．()()5a b a b +-D ．()()5a b a b --巩固训练1．对于：①()2242x x -=-；②()()2111x x x -+=+-；③()23242x x x +-=+；④22111142x x x æö-+=-ç÷èø．其中因式分解正确的是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④2．在实数范围内因式分解：2236x x --= ．3．因式分解：(1)3269x y x y xy-+(2)()222416x x +-题型八　综合提公因式和公式法分解因式22．代数式()()3327x y x y +-+分解因式的结果正确的是（ ）A ．()()()333x y x y x y ++++-B ．()()239x y x y éù++-ëûC ．()()233x y x y +++D ．()()233x y x y ++-23．规定新运算：32a b a b Å=-，其中22a x xy =+，236b xy y =+，则把a b Å因式分解的结果是（）A ．3(2)(2)x y x y +-B ．23(2)x y -C ．223(4)x y -D ．3(4)(4)x y x y +-24．多项式2m m -与多项式2242m m -+的公因式是（ ）A ．1m -B ．1m +C ．21m -D ．2(1)m -巩固训练1．下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ）A ．()22369a a a +=++B ．()24444a a a a -+=-+C ．()()22222ax ay a x y x y -=+-D ．()()21234a a a a --=-+2．分解因式：32242x x x ++= ．3．把下列各式因式分解．(1)261215x y xy y --+；(2)()()322n m n m -+-；(3)()()()22221211x y x y y -++--；(4)()()131x x --+．题型九　因式分解在有理数简算中的应用25．若3m n +=，则222425m mn n ++-的值为（ ）A ．13B ．18C ．5D ．126．若a +b =1，则222a b b -+的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．127．已知ab ＝4，b ﹣a ＝7，则a 2b ﹣ab 2的值是（ ）A ．11B ．28C ．﹣11D ．﹣28巩固训练1．计算22222111111111123456æöæöæöæöæö-´-´-´-´-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø的值为（ ）．A ．512B ．12C ．712D ．11302．计算：2222211111111112345n æöæöæöæöæö----×××-=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø ．3．如图，从边长为a 的正方形纸片中剪掉一个边长为b 的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．(1)上述操作能验证的等式是 ．(2)利用你从（1）中得出的等式，计算：①已知22412x y -=，24x y +=求2x y -的值．②计算：222211111111234100æöæöæöæö-´-´-´×××´-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø．题型十　十字相乘法28．若多项式212x ax -+可分解为()()3x x b -+，则a b +的值为（ ）A ．11-B ．3-C ．3D ．1129．将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ）A ．2(1)()3x x ++B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --30．若多项式212x ax -+可分解为()()3x x b -+，则a b +的值为（）A ．11-B ．3-C ．3D ．7巩固训练1．若二次三项式27x x n -+可分解成(3)()x x m -+，则m n -的值是（ ）A ．﹣16B ．﹣8C ．8D ．162．人教版八年级上册121页的教材呈现：分解因式232x x ++的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数（如图）．这样，我们也可以得到()()23212x x x x ++=++．请用“十字相乘法”分解因式：2253x x --= ．3．提出问题：你能把多项式256x x ++因式分解吗？探究问题：如图1所示，设a ，b 为常数，由面积相等可得：22()()()x a x b x ax bx ab x a b x ab ++=+++=+++，将该式从右到左使用，就可以对形如2()x a b x ab +++的多项式进行进行因式分解即2()()()x a b x ab x a x b +++=++．观察多项式2()x a b x ab +++的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项为两数之和．解决问题：2256(23)23(3)(2)x x x x x x ++=+++´=++运用结论：(1)基础运用：把多项式进行因式分解．①2524x x --；②2812x x ++；③212x x --．(2)知识迁移：对于多项式24415x x --进行因式分解还可以这样思考：将二次项24x 分解成图2中的两个2x 的积，再将常数项15-分解成5-与3的乘积，图中的对角线上的乘积的和为4x -，就是24415x x --的一次项，所以有24415(25)(23)x x x x --=-+．这种分解因式的方法叫做“十字相乘法”．请用十字相乘法进行因式分解：231914x x --题型十一　分组分解法31．已知3a b +=，1ab =，则多项式22a b ab a b +--的值为（ ）A ．1-B ．0C ．3D ．632．已知3a b -=，4b c -=-，则代数式()2a ac b a c ---的值为（ ）A ．4B ．4-C ．12-D ．3-33．若实数x 满足x 2-2x-1=0，则2x 3-7x 2+4x-2019的值为（ ）A ．-2019B ．-2020C ．-2022D ．-2021巩固训练1．用分组分解法将222x xy y x --+分解因式，下列分组不恰当的是（ ）A ．()()222x x y xy --+B ．()()222x xy y x --+C ．()()222x y xy x ++--D ．()()222x x xy y ---2．因式分解222a x ax x xb -+-= ．3．阅读下列材料：某校“数学社团”活动中，研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：“222m mn m n -+-，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式．然后再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为()()()()()()22222222m mn m n m mn n m m n m n m n m -+-=-+=-+-=-+．“社团”将此种因式分解的方法叫做“分组分解法”，请在这种方法的启发下，解决以下问题：(1)分解因式：32339a a a -+-；(2)已知7m n +=，1m n -=，求2222m n m n -+-的值．题型十二　因式分解的应用34．已知3xy =-，2x y -=，则代数式22xy x y -的值是（ ）A ．6-B ．6C ．5-D ．1-35．若4a b +=，1a b -=，则()()2211+--a b 的值为（ ）A ．12B ．4C ．6D ．12-36．多项式26x ax +-分解因式为()()x m x n ++，其中a ，m ，n 为整数，则a 的取值有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．无数个巩固训练1．已知a 、b 、c 为正整数，且22219a b c ab bc ac ++---=，那么a b c ++的最小值等于（ ）A ．11B ．10C ．8D ．62．如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如： 222222831,1653,2475=-=-=-，因此8，16，24都是“正巧数”． m 、n 为正整数，且m n >，若 ()()2772m m n mn -++-是“正巧数”，则m n -的值为 ．3．教科书中这样写道：“我们把多项式222a ab b ++及222a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．例如：分解因式．原式()()()()()()22222321412121231x x x x x x x x x =+-=++=+-=+++-=+--；例如：求代数式2246x x +-的最小值．原式()()222246223218x x x x x =+-=-=+-+．可知当1x =-时，2246x x +-有最小值，最小值是－8．(1)分解因式：223a a --=______．(2)试说明：x 、y 取任何实数时，多项式22426x y x y +-++的值总为正数．(3)当m ，n 为何值时，多项式22224425m mn n m n -+--+有最小值，并求出这个最小值．。

因式分解课时目标1. 正确理解因式分解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别.2. 理解多项式的公因式的概念，掌握用提取公因式法分解因式.3. 理解整式乘法公式在因式分解中的作用.4. 掌握运用公式法分解因式.知识精要1. 因式分解的意义：把一个多项式化为______________，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.2. 多项式的公因式（1） 意义：一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的_______.（2） 找公因式的方法公因式的系数应取各项系数的__________，字母取各项中都含有的相同的字母，而且各个相同字母的指数取次数_______.3. 提取公因式法如果一个多项式的各项有公因式，可以把公因式提到括号外面，将公因式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做______________.4. 公式法（1） 意义逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做_______.（2） 因式分解公式平方差公式：22__________a b -=完全平方公式：=++222b ab a _________________=+-222b ab a _________________33_____________a b +=，33_____________a b -=.5. 十字相乘法一般地，))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++十字相乘法的关键：把常数项分解成两个数的乘积，并且满足这两个数相加等于一次项系数；（口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中）6. 分组分解法利用分组来分解因式的方法叫做__________.7. 因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式（2）如果多项式的各项无公因式，那么可以尝试运用公式法或十字相乘法来分 解.一般地，若是二项式，则考虑平方差公式；若是三项式，则考虑用完全 平方公式或十字相乘法.（3）如果上述方法不能分解，那么应考虑分组分解法.（4）分解因式，必须进行到每一个因式都不能分解为止.热身练习1.从下列从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？（1）()a m n am an +=+ ；（2）2221(2)(1)(1)a ab b a a b b b ++-=+++-；（3）211()x x x x+=+； （4）4(4)ax x x a -=-；（5）22()()a b a b a b -=+-；2.多项式32215()10()a b a b c a b a b +++的公因式是_____________.3. 分解因式（1）232322x y x y x y z --+； （2）26()12()a x y a y x -+-；（3） 6(2)(2)x x x ++--； （4）3223()9()m x y m y x ---；精解名题将下列各式分解因式（1）4116x -；（2）2225()4()a b c a b c -+-+-；(3) 22222()4x y x y +-;(4) 22()4()4a b c c a b c c ++-+++；（5）2215x x --；(6) 2()4()12x y x y +-+-;(7) 2x bx a ab --+;备选例题1.配凑法分解因式（1）444x y +；（2）3253x x --；（3）在实数范围内分解因式4323231x x x x ++++（4）2222x ax b ab --+（5）51a a ++2. 用待定系数法分解因式（1） 22282143x xy y x y +-++-（2）224434103x xy y x y +----3. 换元法分解因式（1）22(23)(224)90x x x x +-+-+（2）432653856x x x x +-++方法提炼因式分解中的四个注意，可用四句话概括如下：1、首项有负常提负，2、各项有“公”先提“公”，3、某项提出莫漏1，4、括号里面分到“底”.巩固练习1.分解因式（1） 1xy x y -+- （2）222a ab -（3） 2221a b a --+ （4）33222ax y axy ax y +-（5）328m m - （6）am an bm bn +++2.计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)234910-----．3.（勾股定理）已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足224224c a b c b a +=+，试判断△ABC 的形状.当堂总结多项式因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.自我测试一、选择题1.下列各式从左到右的变形属于分解因式的是（ ）A ．(2)(3)(3)(2)m m m m --=--B ．21(1)(1)a a a -=+-C ．2(1)(1)1x x x +-=-D ．2223(1)2a a a -+=-+2.下列各式的公因式是a 的是（ ）A ．5ax ay ++B ．246ma ma +C ．2510a ab +D ．24a a ma -+3.一次数学课上，老师出了下面一道因式分解的题目：41x -，请问正确的结果为（ ）A ．22(1)(1)x x -+B ．22(1)(1)x x +-C ．2(1)(1)(1)x x x -++D ．3(1)(1)x x -+4.多项式2244x xy y -+-分解因式的结果是（ ）A ．2(2)x y -B ．2(2)x y --C ．2(2)x y --D ．2()x y + 5. 222516a kab a ++是一个完全平方式，那么k 之值为（ ）A ．40B ．40±C ．20D ．20±6、若E p q p q q p ⋅-=---232)()()(，则E 是（ ）A.p q --1B.p q -C.q p -+1D.p q -+17、若)5)(3(+-x x 是q px x ++2的因式，则p 为（ ）A.－15B.－2C.8D.28、一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏做得不够完整的一题是（ ）A.32(1)x x x x -=- C.2222()x xy y x y -+=-B.22()x y xy xy x y -=-D.22()()x y x y x y -=-+ 9、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A.46-bB.64b -C.46+bD.46--b10、下列多项式的分解因式，正确的是（ ）A 、)34(391222xyz xyz y x xyz -=-B 、)2(363322+-=+-a a y y ay y aC 、)(22z y x x xz xy x -+-=-+-D 、)5(522a a b b ab b a +=-+11、下列各式不能．．继续因式分解的是 ( ) A 、41x - B 、22x y - C 、2()x y - D 、22a a +二、填空题12、要在二次三项式x 2+□x -6的□中填上一个整数，然后按x 2＋（a ＋b ）x ＋a b 型分解为（x ＋a ）（x ＋b ）的形式，那么这个数是___________.13、如果=+=+-==+2222,3,5y x xy y x xy y x ，则.14、如果2a +3b =1,那么3-4a -6b = ．15、若＝，，则b a b b a ==+-+-01222.16、若A y x y x y x ⋅-=+--)(22，则A =___________.17、若a 2+2a +b 2-6b +10=0， 则a = ，b = .18、把3222x x y xy -+分解因式，结果是___________.19、因式分解：224a a -=___________.（x +3）2 - (x +3) =___________.20、已知正方形的面积是9x 2+6xy +y 2平方单位，则正方形的边长是___________.三、计算题21、因式分解（1）22105m mn + （2）222120x x ++（3）x x x 2718323+- （4）()()3224x y y x ---（5）()222164x x -+ （6）122222++--+a b ab b a（7）()()()()14321+++++x x x x （8）()()ab b a 41122---22、先分解因式，再求值：21,34,412922-==++y x y xy x 其中.23、先分解因式，再求值：已知22==+ab b a ，，求32232121ab b a b a ++的值。