04 第四节 曲面及其方程

第四节曲面及其方程
分布图示
★曲面的定义★例1★例2
★例3★例4★例5
★研究空间曲面的两个基本问题
★旋转曲面★例6★例7
★柱面★常用柱面
★内容小结★课堂练习
★习题7-4
★返回
内容要点
空间曲面研究的两个基本问题是：
1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;
2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.
一、曲面方程的概念
二、旋转曲面
三、柱面
例题选讲
曲面方程的概念
例1 (E01) 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解 设),,(z y x M 是球面上任一点，根据题意有
,||0R MM =R z z y y x x =-+-+-202020)()()(
⇓
2202020)()()(R z z y y x x =-+-+-
特别地:球心在原点时方程为
.2222R z y x =++
例2 (E02) 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程.
解 设),,(z y x M 是曲面上任一点，根据题意有
,2
1||||0=MM MO 即,21)4()3()2(222222=-+-+-++z y x z y x 所求方程为().911634132222=⎪⎭
⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+z y x
例3 已知),3,2,1(A ),4,1,2(-B 求线段AB 的垂直平分面的方程. 解 设),,(z y x M 是所求平面上任一点，根据题意有|,|||MB MA =
222)3()2()1(-+-+-z y x ,)4()1()2(222-+++-=z y x
化简得所求方程
.07262=-+-z y x
例4 (E03) 方程042222=+-++y x z y x 表示怎样的曲面？ 解 对原方程配方，得 ,5)2()1(222=+++-z y x
所以，原方程表示的球心在、)0,2,1(0-M 半径为5=
R 的球面方程.
例5 方程1)2()1(22--+-=y x z 的图形是怎样的?
解 根据题意有,1-≥z 用平面c z =去截图形得圆:
),1(1)2()1(22-≥+=-+-c c y x
当平面c z =上下移动时，得到一系列圆，圆心在),,2,1(c 半径为,1c + 半径随c 的增大而增大.图形上不封锁，下封底.
旋转曲面
例6 (E04) 将xOz 坐标面上的曲线12222=-c
z a x 分别绕x 轴和z 轴旋转一周，求所生
成的旋转曲面的方程.
解 绕z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为
,122
222=-+c
z a y x 这个旋转曲面称为旋转单页双曲面. 绕x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为
.12
2
222=+-c z y a x 这个旋转曲面称为旋转双页双曲面.
例7 (E05) 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面.
两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆
锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程.
解 yOz 面上直线方程为,cot :αy z L =注意到旋转轴为z 轴，有
,22y x d +±=
锥面方程为
αcot 22y x z +±= 或 ).cot ()(2222α=+=a y x a z
课堂练习
1.求与z 轴和点)1,3,1(-A 等距离的点的轨迹方程.
2.指出方程⎪⎩
⎪⎨⎧=-=-031492
2x z y 所表示的曲线.。