最新第三节-曲面及其方程课件幻灯片

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03曲面及其方程、二次曲面27851 共34页PPT文档

（2）
x2 a2

z2 c2

1
表示什么曲面？
回顾
1. 三元方程 F(x,y,z)=0表示空间的一张曲面S。
2. A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0 表示一张球面。
3. A xB yC zD 0表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
曲面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角。
12.08.2019
7
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
C
:

面的方程。
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊平面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
高等数学（下）主讲杨益民
第三节曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足：（1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ；（2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
两个基本问题：
（1）已知曲面S，求曲面方程F(x, y, z) = 0 ？

7-3(马鞍面)ppt课件

4/21
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
4/21
二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面. 这条定直线叫旋转曲面的轴．
观察柱面的形成过程:
10/21
三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线叫L 柱面的母线.
观察柱面的形成过程:
10/21
三、柱面
定义平行于定直线并沿定曲线 C 移动的直线 L 所形成的曲面称为柱面.
这条定曲线 C 叫柱面的准线，动直线叫L 柱面的母线.
z 1 平面 // x轴、//y 轴
13/21
四、二次曲面
三元二次方程的图形曲面称为二次曲面．
了解(画)曲面的形状的一种方法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，通
过考察其交线（即截痕）的形状来了解曲面的形状 ——截痕法。
几种特殊的二次方程的曲面：
14/21
1、方程
x2 a2

y2 b2

5/21
yOz 上曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴旋转的旋转曲面方程
f x2 y2 , z 0.
同理：绕 y 轴旋转的旋转曲面方程
f y, x2 z2 0.
问：曲线C : f ( x, y) 0 xOy绕x轴的旋转曲面

2.1.曲面及其方程ppt课件

z
圆
柱
l
面
oo
y
x
注意：在空间直角坐标系，缺项方程〔不完全方程〕的图形是柱面.
:
18
z
(1) y 2 2 x 表示抛物柱面,
母线平行于 z 轴;
准线为xoy 面上的抛物线.
o
(2) x y 0表示母线平行于
z 轴的平面.
x
z
(且 z 轴在平面上)
注意：描述柱面只须指出
其准线及母线.
o
x
准线
:
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截, 考察其交线(即截痕)的形状, 然后加以综合, 从而了解曲面的全貌．
以下用截痕法讨论几种常见的二次曲面．
:
23
(1) 椭球面
z
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
O y
1 用坐标面z = 0 , x = 0
x
和y = 0去截割,分别得椭圆
x 2 a2
三元二次方程
椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
抛物面
椭圆抛物面
双曲抛物面
(p,q同号) x 2 y 2 z 2 p 2q
x2 y2 z
2 p 2q
双曲面单叶双曲面
双叶双曲面
椭圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 a2
y2 b2
z2
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
dx2y2 |y1|
将 z z1 , y 1 x 2y2代入 f(y1,z1)0
:
10
将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 f( x2y2, z)0.

03曲面及其方程、二次曲面

C:
f ( y, z) 0

x

0
绕oz轴旋转得旋转曲面
f( x2y2,z)0
2. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0

x

0
绕oy轴旋转得旋转曲面
f(y, x2z2)0
3.
xoy平面上的母线
C:
f (x,

z

0
y)

0
绕ox轴旋转得旋转曲面
x2 y2 z 2p 2q
( p与q同号 )
用截痕法讨论：设 p0,q0
z
2019/10/17
o x
y
19
高等数学（下）主讲杨益民
（三）双曲面
（1）
x2 a2
by22
cz22
1
单叶双曲面
z
z
o
y
o
y
x x
.
2019/10/17
20
高等数学（下）主讲杨益民
（2）
x2 a2
by22
f(x, y2z2)0
2019/10/17
7
高等数学（下）主讲杨益民
例6
求xoz坐标面的上双曲线C：
x2 a2

z2 c2

1
分别绕x轴和z轴
一周生成的旋转曲面的方程。 y 0
解：
绕 x轴旋转 x2 a2

y2 z2 c2
1
旋转
双
绕 z轴旋转x2a2y2 cz22 1
曲面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫圆锥面的半顶角。

高等数学第八章第三节曲面及其方程课件.ppt

3) y1 b时, 截痕为双曲线:
x2 a2
z2 c2
1
y12 b2
0
y y1
(实轴平行于z 轴;
虚轴平行于x 轴）
z
x
y
z
x
y
(2) 双叶双曲面
z
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
( a, b, c 为正数)
平面 y y1 上的截痕为曲线 x 平面 z z1 ( z1 c)上的截痕为椭圆
故所求方程为
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
z 特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2
表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例2. 研究方程的曲面.
表示怎样
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转轴.
例如 :
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
一、曲面方程的概念
引例: 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的轨迹方程.
解:设轨迹上的动点为 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2
化简得 2x 6 y 2z 7 0

《曲面及其方程》PPT课件

x2 y2 z2 Ax By Cz D 0 () 其特点是：平方项系数相等，交叉项系数为零．
方程 (*) 称为球面的一般式方程，经配方后可化为球面的标准方程．
中值定理与导数的应用
4
特别地：球心在坐标原点时，球面方程为 x2 y2 z2 R2
中值定理与导数的应用
5
例2 求与原点O 及点 M0(2,3,4)的距离之比为1 : 2 的点的全体所组成的曲面方程．
1
双曲柱面母线//z
轴
其在 xoy 面上的准线为
x2
a
2
y2 b2
1.
z 0
x2 2 pz 抛物柱面母线//y 轴
其在 zox 面上的准线为
x2 2 pz
.
y 0 中值定理与导数的应用
19
椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
z
母线 // z 轴，
其在 xoy 面上的
准线是椭圆
x2
母线平行于 y 轴的柱面，
其在
zox
面上的准线方程是
H ( x, z) y0
0 .
注意 x2 y2 0的图形是什么？ z 轴．
中值定理与导数的应用
18
例如
y2 z2 b2 c2 1
椭圆柱面
母线 //x 轴
其在 yoz 面上的准线为
y2
b2
z2 c2
1.
x 0
x2 a2
y2 b2
而生成的旋转面方程 f ( y, x2 z2 ) 0.
例如 yoz 面上的圆 y2 z2 R2 绕 z 轴旋转生成
球面 ( x2 y2 )2 z2 R2，即 x2 y2 z2 R2 .
一般地 xoy 面上的曲线 g( x, y) 0绕 x 轴旋转一周

《曲面及其方程》课件

02
常见曲面及其方程
平面
总结词：二维平面
详细描述：平面是一种常见的曲面，它在三维空间中表现为一个无限延展且没有厚度的二维表面。平面的方程通常可以表示为 Ax + By + Cz = D。
球面
总结词
三维球体表面
详细描述
球面是三维空间中球体的表面，它可以由球心和球面上任意两点之间的距离来确定。球面的方程通常可以表示为 x^2 + y^2 + z^2 = R^2。
03
曲面的参数方程
参数方程的定义与特点
总结词
参数方程是描述曲面的重要方式，它通过引入参数来表达曲面上点的坐标。
详细描述
参数方程通常由两个或三个参数变量和对应的坐标表达式组成，例如，平面上的圆心为 $(h, k)$，半径为$r$的圆的参数方程为$(xh)^2+(y-k)^2=r^2$。参数方程能够清晰地表达曲面的形状和大小，并且可以通过调整参数来改变曲面的形状。
《曲面及其方程》 ppt课件
目录
CONTENTS
• 曲面及其方程概述 • 常见曲面及其方程 • 曲面的参数方程 • 曲面的性质与变换 • 曲面方程的求解方法 • 曲面在几何与工程中的应用
01
曲面及其方程概述
曲面的定义与分类
总结词
曲面的定义、分类
详细描述
曲面是三维空间中弯曲的二维表面，它可以由多种方式形成，如旋转、平移、拉伸等。根据形成方式的不同，曲面可以分为多种类型，如球面、锥面、柱面等。
性。
曲面的参数方程
曲面可以用参数方程表示，其中两个参数（u和v）用于描述曲面上的点。通过参数方程，可以方便地研究曲面的几何性质和变换
方法。

《曲面及方程》课件

7. 曲面的切向量与切线方程
⇢⇠
8. 曲面的法向向量与法线方程⇑⇓
9. 曲面的曲率及主曲率
10. 可视化表示曲面
11. 曲面的翻转与旋转
12. 曲面的投影与裁剪⇩⇧
13. 三维曲面的交点⚡
14. 曲面的梯度、散度、旋度⚙️
15. 曲面的高斯曲率与平均曲率⚖️
16. 曲面的最小曲面与最小旋
转曲面
17. 曲面的拓扑结构
18. 曲面的曲线包络与曲面包络⭕
19. 曲面的偏微分方程
20. 曲面的应用与发展趋势
《曲面及方程》PPT课件
从曲面的定义和特点开始，逐步深入探讨曲面的方程表示、参数化曲面以及
其切平面、法向量等概念，包括曲面的曲率、可视化表示以及应用与发展趋
势。
1. 什么是曲面？
2. 曲面的分类及特点✨
3. 曲面的方程表示
4. 参数化曲面的定义及优点
ห้องสมุดไป่ตู้
5. 常见的参数化曲面
6. 曲面的切平面与法向量⏩⏪

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x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 z2 绕x轴 a2 c2 1
沿y轴伸缩 b
c
x2 y2 a2
z2 c2
1
扬州环境资源职业技术学院基础部
（5）椭圆抛物面:
x2 a2
y2 b2
z
b
z
沿y轴伸缩
a
x2 a2 z
绕z轴
x2 y2 a2 a2 z
旋转抛物面
xo
y
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第三节-曲面及其方程课件
一、曲面方程的概念
曲面的实例：水桶的表面、台灯的罩子面等．曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹．曲面方程的定义：
如果曲面S 与三元方程F ( x, y, z) 0有下述关系：（1）曲面 S 上任一点的坐标都满足方程；（2）不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程；那么，方程F( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而曲面 S 就叫做方程的图形．
叫圆锥面的半顶角．试建立顶点在
坐标原点，旋转轴为z 轴，半顶角为的圆锥面方程．
解 yoz 面上直线方程为
zyco t
圆锥面方程
zx2y2co t x
z
M 1(0,y1,z1)
o
y
M (x,y,z)
扬州环境资源职业技术学院基础部
例5
将xOz坐标面上的双曲线
x2 a2
z2 c2
1分别绕 x轴和z 轴
z z1
(2 ) abc,
x2 a2
ay22
az22
1
球面
方程可写为 x2y2z2a2.
扬州环境资源职业技术学院基础部
(3)单叶双曲面:
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 z2 绕z轴 a2 c2 1
沿y轴伸缩 b a
x2 y2 z2 a2 c2 1
扬州环境资源职业技术学院基础部
(4)双叶双曲面：
旋转一周，求生成的旋转曲面的方程．
解绕z轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面:
x2 y2 z2 a2 c2 1
绕x轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面:
x2 a2
y2 z2 c2
1
扬州环境资源职业技术学院基础部
zz
y
z
y
o
o
x
x
单叶双曲面图形
双叶双曲面图形
扬州环境资源职业技术学院基础部
柱面举例
(6)双曲抛物面（马鞍面）:
x2 y2 a2 b2 z
用截痕法讨论图形如下：
zy
o
x
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还有三种二次曲面是以二次曲面为准线的柱面：
x2 a2
y2 b2
1
椭圆柱面
x2 y2 a2 b2 1
双曲柱面
x2 ay
抛物柱面
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第四章房地产交易流程与合同
设 M(x,y,z),
(1) zz1 （2）点M 到 z 轴的距离
dx2y2 |y1| 将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入
f(y1,z1)0
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将 z z 1 , y 1 x 2 y 2代入 f(y1,z1)0
得方程 fx 2 y 2 ,z 0 ,
yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 z 轴旋
特殊地：球心在原点时方程为 x2y2z2R2
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二、旋转曲面
定义以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.
这条定直线叫旋转曲面的轴．
z
d M 1(0,y1,z1)
M f(y,z)0
o
y
x
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旋转过程中的特征：
转一周的旋转曲面方程.
同理：yoz 坐标面上的已知曲线 f ( y, z) 0绕 y
轴旋转一周的旋转曲面方程为
fy , x 2 z 2 0 .
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例 4 直线 L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋
转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线
的夹角
0
2
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z (1) 椭圆锥面:
x2 a2
y2 b2
z2
O
y
x
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(2)椭球面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
x2 z2 a2 c2 1 x2 y2 z2 a2 c2 1
z y
o x
旋转椭球面
扬州环境资源职业技术学院基础部
椭球面的几种特殊情况：
扬州环境资源职业技术学院基础部
以下给出几例常见的曲面.
例 1 建立球心在点 M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为R 的
球面方程.
解设 M ( x, y, z)是球面上任一点，
根据题意有 |M0M |R
x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 所求方程为 x x 0 2 y y 0 2 z z 0 2 R 2
z
z
y2 2x
平面
o
y
o
y
x
x
抛物柱面
yx
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z
z
F (x, y)=0
x -z=0
O
y
C
O
y
x
x
扬州环境资源职业技术学院基础部
从柱面方程看柱面的特征：
只含 x, y 而缺 z 的方程F ( x, y) 0，在空间直角
坐标系中表示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为
xoy面上曲线 C . （其他类推）
(1) ab,
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
旋转椭球面
由椭圆
x2 a2
z2 c2
1
绕 z轴旋转而成．
方程可写为
x2 a2
y2
cz22
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 (|z1|c) 的交线为圆.
扬州环境资源职业技术学院基础部
Hale Waihona Puke 截面上圆的方程x2
y2
a2 c2
(c2
z12).
• 第一节房地产转让流程与合同 • 一、房地产转让的基本流程 • 房地产转让是指房地产权利人通过买
卖、赠与或其他合法方式将其房地产转移给他人的行为。 • 有六种方式
第一节房地产转让流程与合同
• （一）房地产买卖的基本流程 • 1、商品房预售基本流程 • 2、商品房预售合同转让基本流程 • 3、房屋在建工程转移基本流程 • 4、商品房销售基本流程 • 5、二手房买卖基本流程
实例
y2 b2
z2 c2
1
椭圆柱面 //x轴
x2 a2
y2 b2
1
双曲柱面
// z轴
x2 2pz 抛物柱面 // y轴
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四、二次曲面
二次曲面的定义：三元二次方程所表示的曲面称之．相应地平面被称为一次曲面．讨论二次曲面性状的截痕法：用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌．以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面．