空间曲面及其方程 ppt课件

空间曲线ppt课件
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目录
• 空间曲线的基本概念 • 空间曲线的方程 • 空间曲线的几何性质 • 空间曲线在几何图形中的应用 • 空间曲线在现实生活中的应用 • 空间曲线的发展前景与展望
01
CATALOGUE
空间曲线的基本概念
定义与特性
定义
空间曲线是由三维空间中的点的 集合构成，这些点通过连续的参 数变化而形成一条连续的轨迹。
02
CATALOGUE
空间曲线的方程
参数方程
参数方程
通过选择合适的参数t，将空间曲线 上的点与参数t关联起来，形成参数 方程。
参数方程的优缺点
参数方程可以直观地表达曲线的形状 和方向，但有时候参数的选择可能较 为复杂。
直角坐标方程
直角坐标方程
利用三维空间中的三个互相垂直的坐标轴，将空间曲线上的点与三个坐标轴上的 值关联起来，形成直角坐标方程。
空间曲线在几何学中的地位和作用
地位
空间曲线是几何学中的重要概念之一，它是连接点与点之间 的桥梁，也是描述三维空间中物体运动和变化的重要工具。
作用
空间曲线在几何学中有着广泛的应用，如在解析几何、微积 分、线性代数等领域中都有重要的应用。此外，空间曲线还 在工程、建筑、艺术等领域中有着广泛的应用，如建筑设计 、机械设计、动画制作等。
直角坐标方程的应用
直角坐标方程广泛应用于解析几何、微积分等领域。
极坐标方程
极坐标方程
利用极径和极角来描述空间曲线上的 点，形成极坐标方程。
极坐标方程的特点
极坐标方程可以方便地描述旋转对称 的曲线，但在处理复杂曲线时可能不 够直观。
球坐标方程
球坐标方程
利用球径和球角来描述空间曲线上的点，形成球坐标方程。

磨璞见玉 砺剑生辉
祝同学们在新学期 取得更好的成绩
1
内容与学时
第八章 空间解析几何 6学时
第九章 多元函数微分法及其应用 20学时
第十章 重积分 12学时
第十一章 曲线积分与曲面积分 14学时
第十二章 无穷级数 18学时
第七章 微分方程 14学时
总复习 4学时
总计 88学时
2
第3节 曲面及其方程
40
习题8 3 P31
1,2，3，5，6，8（1，3）,9(1,3),10(1,4),11(3)
x
33
（三）双曲面
x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
单叶双曲面
（1）用坐标面 xoy (z 0) 与曲面相截
截得中心在原点 O(0,0,0) 的椭圆.

x2 a2

y2 b2

1
z 0
34
与平面 z z1 的交线为椭圆.
x2

a
2

y2 b2

1
z12 c2
25
椭球面的几种特殊情况：
(1) a b,
x2 a2

y2 a2

z2 c2

1
旋转椭球c2
1绕
z 轴旋转而成．
方程可写为
x2 y2 a2

z2 c2
1
旋转椭球面与椭球面的区别：
与平面 z z1 ( | z1 | c)的交线为圆.
26
截面上圆的方程

（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
10

这里的t , .
x a sin , 例如：圆 y 0, 绕z轴旋转一周所得的球面 方程 z a cos
Page 20
x a sin cos x a sin cos z a cos
8.4.5二次曲面
三元二次方程 F x, y, z 0所表示的曲面称为二次 曲面， 而把平面称为一次曲面 .
4
以上表明作为点的几何轨迹的曲面都可以 用它的点的坐标方程来表示.反之，变量x,y,z 之间的方程通常表示一个曲面，因此，在空间 解析几何中关于曲面的研究，主要有下列两个 基本问题：
（1）已知一空间曲面，建立其方程； （2）已知坐标x,y,z之间的一个方程， 研究这个方程表示的曲面形状。
5
练习： 8-4 题1； 题3
Page 23
24
25
26
27
六 双叶双曲面
x y z 2 1 2 2 a b c
2 2 2
28
作业：8-4 题2，题6，题9（1）（3）
29
2 2 2
表示球面 .
6ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
8.4.2 旋转曲面
7
8
9
例题3. 将下列各曲线绕对应的 轴旋转一周，求 生成的旋转曲面的方程 .
x2 z 2 1xoz面上的双曲线 2 2 1分别绕x轴 a c 和z轴；
10
11
例题4 直线L绕另一条与 L相交的直线旋转一周 所得的旋转曲面叫圆锥 面，两直线的交点为圆
下面我们一块来看看常见的二次曲面的标准方程.
Page 21
Page 22
x2 z2 椭球面是xoz面上的椭圆 2 2 1绕z轴旋转一周， a b x2 y2 z2 所得的曲面为旋转椭球 面 2 1, 2 a c b x2 y2 z2 再沿着y轴方向伸缩 倍，得到 2 2 2 1. a a b c

旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
C
o
y
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
.
绕 z轴
C
o
y
x
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程.
z
L
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为

M (0, y, z )
y
两边平方
x
z2 a2 ( x2 y2 )
正圆锥面：
x2 y2 z2
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面 成为切平面，该点称为切点。
例 求过点 (1,2,5) 且与3个坐标面相切的球面方 程。
解： 显然整个球面在同一卦限， 又由于(1,2,5)在第一卦限，故该球面在 第一卦限。
设球心为 ( u, v , w )，则球面到3个坐标面的距离 为 u, v , w .由条件知 uvw
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴的曲面方程为： 2 1 2 b c x y z 2 1 绕 z 轴的曲面方程为： 2 b c
2 2 2
3 锥面 以直线通过一定点， 一条固定曲线移动所
z
产生的曲面成为锥面。
动直线 定点 固定线 母线 顶点
x 顶点 0 y
准线
准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。

空间曲面的研究方法
解析几何方法
空间曲面的表示：参数方程、隐式方程、显式方程 空间曲面的性质：光滑性、连续性、可微性 空间曲面的变换：旋转、平移、缩放 空间曲面的分类：球面、柱面、锥面、扭面等
微积分方法
微积分的基本概念：极限、导数、积分等 空间曲面的微分几何：曲面的切平面、法线、曲率等 空间曲面的积分方程：高斯公式、斯托克斯公式等 空间曲面的微分方程：拉普拉斯方程、热传导方程等
汽车工业：空间 曲面在汽车工业 中的应用，如汽 车车身设计、汽 车内饰设计等。
船舶工业：空间 曲面在船舶工业 中的应用，如船 舶设计、船舶内 饰设计等。
物理中的应用
光学：空间曲面在光学系统中的应用，如透镜、反射镜等 力学：空间曲面在力学系统中的应用，如弹性曲面、塑性曲面等 电磁学：空间曲面在电磁学中的应用，如电磁波传播、电磁场模拟等 量子力学：空间曲面在量子力学中的应用，如量子纠缠、量子信息处理等
圆锥面：所有点与原点距离 相等，且平行于某个平面， 且与某个平面相交
双曲面：所有点与原点距离 相等，且平行于某个平面， 且与两个平面相交
抛物面：所有点与原点距离 相等，且平行于某个平面， 且与一个平面相交
旋转曲面：所有点与原点距 离相等，且平行于某个平面， 且与一个平面相交，且绕某 个轴旋转
曲面的方向
代数几何方法
空间曲面的代数表 示：通过方程来描 述空间曲面
空间曲面的代数性 质：研究空间曲面 的代数性质，如光 滑性、正则性等
空间曲面的代数变 换：通过代数变换 来研究空间曲面的 性质
空间曲面的代数分 类：根据代数性质 对空间曲面进行分 类
THNK YOU
汇报人：XX
空间曲面的应用
几何学中的应用

即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。 例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:

椭球面也可由下面方法伸缩变形而来
（1）将球面 x2 y2 z2 a2
沿 z 轴方向伸缩 c 倍：z a z, 得旋转椭球面：
a
c
x2
y2
a2 c2
z2
a2,
或
x2 a2
y2向伸缩 b 倍： y a y,
a
b
即得椭球面：
x2 a2
y2 b2
z2 c2
x2 a2
y2 b2
z
其图形不可由旋转曲面伸缩变形而来
可用截痕法讨论其图形的形状。
（三）双曲面
（1）单叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
可由旋转单叶双曲面伸缩变形得到
（2）双叶双曲面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
可由旋转双叶双曲 面伸缩变形得到
（四）椭圆锥面
x2 a2
y2 b2
z2
又称二次锥面
倍而得到平面曲线 C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
F(x, y) 0
结论1：将平面曲线 C ：F ( x , y ) = 0 沿 y 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
F(x, y) 0
结论2：将平面曲线C ：F ( x , y ) = 0 沿 x 轴方向伸缩
倍而得到平面曲线C´ ， 则 C´ 的平面方程为：
第五节 曲面及其方程（2）
四、二次曲面
了解一般空间曲面形状的两种常用方法： （1）截痕法
用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面 相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后 加以综合，从而了解曲面的全貌．
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？

空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线可视为两曲面的交线,
其一般方程为方程组
G
(
x,
y,
S2
z)
0
L
F
S1
(x,y,Fra bibliotekz)0
例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线C.
z
2C
o 1y
x
又如,方程组 z
表示上半球面与圆柱面的交线C.
ay x
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t的函数:
0
例如
C
:
x
2
x2 (y
y2 1) 2
z2 1 (z 1)2
1
在xoy面上的投影曲线方程为
x
2
2
y2 2 z0
y
0
又如
z
C
o
1y
x z
在xoy面上的投影曲线方程为
Co 1 y
x
空间曲线及其方程
一、空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影
空间曲线C的一般方程
z
C
消去z
y
H
(x, y) z0
0
投影柱面
x C
C在xoy面上的投影曲线
消去x得C在yoz面上的投影曲线方程

x
0
同理，xo面z 上的投影曲线,
y o z 面上
的投影曲线
T(x, z) 0
y
0
高等数学(下册)
如图:投影曲线的研究过程.
空间曲线
投影柱面
投影曲线
高等数学(下册)
x2 y2 z2 1
例4
求曲线
z
1 2
在坐标面上的投影.
解 （1）消去变量z后得
x2 y2 3, 4
在 xoy面上的投影为
t
oM
xaco ts
yasi nt
zvt
x A M y 螺旋线的参数方程
高等数学(下册)
螺旋线的参数方程还可以写为
x a cos
y
a
sin
z b
(t, bv)
螺旋线的重要性质：
上升的高度与转过的角度成正比．
即 :0 0 , z:b0 b0 b,
2 , 上升的高度 h2b称螺距
部 点.
高等数学(下册)
例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x2 y2 a2上以
角速度 绕z轴旋转，同时又以线速度v沿平行于z 轴的正方向上升（其中 、v都是常数），那么点
M 构成的图形叫做螺旋线．试建立其参数方程．
解
z
取时间t为参数，动点从A点出
发，经过t时间，运动到M点
M 在 x面 o 的 投 y影 M (x ,y ,0 )
x2 y2 1,
一个圆,
z 0.
所求立x体 o面 y在 上的投影为
x2y21.
高等数学(下册)
z
C
1
.
x2 y2 1
. .
o
x
y
高等数学(下册)