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第三节 曲面及其方程

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第三节 曲面及其方程8-3

第三节 曲面及其方程8-3

解 设M( x, y, z)是曲面上任一点，
根据题意有 | MO | 1 , | MM0 | 2
x2 y2 z2
1,
x 22 y 32 z 42 2
所求方程为

x

22

y
12

z

42

116 .
3
3 9
第八章 第三节
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
第八章 第三节
8
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面）
（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论柱面、二次曲面）
第八章 第三节
9
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第八章 第三节
10
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第八章 第三节
11
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
第八章 第三节
12
5
例 3 已知A(1,2,3)，B(2,1,4)，求线段AB 的
垂直平分面的方程.
解 设M( x, y, z)是所求平面上任一点， 根据题意有 | MA || MB |,
x 12 y 22 z 32
x 22 y 12 z 42 ,

高数 曲面方程

高数 曲面方程

f ( x y , z ) 0
• 柱面 如,曲面F ( x , y ) 0 表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
目录 上页 下页 返回 结束
2
2
2. 二次曲面
• 椭球面 • 抛物面:
三元二次方程
椭圆抛物面
双曲抛物面
x2 y2 z 2 p 2q • 双曲面: 单叶双曲面 双叶双曲面 2 2 x2 y2 x y 2 2 1 1 2 2 a b a b x2 y2 2 • 椭圆锥面: z a2 b2
2
2
2
2
z
M0
x2 y2 z 2 R2
表示上(下)球面 .
目录
M
x
O
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y
结束
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例2. 研究方程
的曲面. 解: 配方得 可见此方程表示一个球面
表示怎样
球心为 M 0 (1, 2, 0 ) , 半径为 5
说明:如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是
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结束
2. P30 题3 , 10
题10 答案: 在 xOy 面上
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结束
z
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到 M ( x, y, z ) , 则有
C
M ( x, y , z )
M 1 (0, y1 , z1 )
z z1 ,
x y y1
2 2
2
2
O
y
故旋转曲面方程为
x

高等数学同济版第8章：第5课 Newest

高等数学同济版第8章：第5课 Newest

o
x x
y y
在平面 x＝0 或 y＝0 上的截痕为过原点的两直线 . 可以证明, 椭圆①上任一点与原点的连线均在曲面上. （椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到）
内容小结
1. 空间曲面
2
三元方程 F(x, y , z) = 0
2 2 2
• 球面 (x − x0 ) + ( y − y0 ) + (z − z0 ) = R • 旋转曲面
例4. 求坐标面 xoz 上的双曲线 轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
分别绕 x
x2 y2 + z2 − =1 2 2 a c
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x +y z − 2 =1 2 a c 这两种曲面都叫做旋转双曲面.
2 2 2
x
y
z
三、柱面
引例. 引例 分析方程 表示怎样的曲面 . 解:在 xoy 面上，
2 2
2 2 2 2
= (x − 2) + ( y +1) + (z − 4) 化简得 2x − 6y + 2z − 7 = 0
说明: 说明 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
定义1. 定义 若曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程 方程, 曲面 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形 图形. 图形 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, x 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 ).

高等数学第七章：曲面及其方程

高等数学第七章：曲面及其方程
这条定直线叫旋 转曲面的轴．
4/21
旋转过程中的特征：
如图 设 M (x, y, z),
(1) z z1
（2）点M 到z 轴的距离
z
d M1(0, y1, z1)
M f ( y,z) 0
o
y
d x2 y2 | y1 | x
将 z z1 6; 7 ;
（1）双曲线
x2 a2

z2 c2

1分别绕 x轴和z轴；
绕x 轴旋转
x2 a2

y2 c2
z2
1
旋 转
双
绕z 轴旋转
x2 a2
y2

z2 c2

1
曲 面
x
y z
y2
（2）椭圆

a
2

z2 c2

1绕 y 轴和z轴；
x 0
绕 y 轴旋转
y2 a2

x2 c2
z2

1

0



2

叫圆锥面的
半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z 轴，
半顶角为 的圆锥面方程． z
解 yoz面上直线方程为 z y cot
圆锥面方程
z x2 y2 cot x
M1(0, y1, z1 )

o
y
M( x, y, z)
例6 将下列各曲线绕对应的轴旋转一周， 求生成的旋转曲面的方程．
4/21
二、旋转曲面
定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面. 这条定直线叫旋转 曲面的轴．
4/21

曲面及其方程、二次曲面

曲面及其方程、二次曲面

例5 证明以oz轴为旋转轴，yoz坐标面上的已知曲线
C:
f ( y, z)
x
0
0
为母线所产生的旋转曲面S的方程为：f ( x2 y2 , z) 0
证明： 旋转曲面如图
z
设M(x, y, z)为旋转曲面S上任意一点， (0, 0, z)
显然，M一定是由母线C上某点 M1(0, y1, z1)旋转得到， 即
C:
z
0
母线平行于 z 轴的柱面方程为：f ( x, y) 0
注意：方程 f ( x, y) 0 中缺z，表示z可以任意取值，所以 方程 f ( x, y) 0 表示母线平行于z轴的柱面。
一般地，在空间直角坐标下
f ( x, y) 0（缺z）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
f ( x, z) 0（缺y）， 表示母线∥？，准线为？的柱面。
高等数学（下）主讲杨益民
第三节 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
一般地，若曲面S与三元方程 F(x,y,z)=0 满足： （1）曲面S上任一点的坐标都满足方程 F(x,y,z)=0 ； （2）不在曲面S上的点的坐标都不满足方程 F(x,y,z)=0 ；
则称：方程F(x,y,z)=0是曲面S的方程，而曲面S就叫做方程 F(x,y,z)=0的图像。
3. Ax By Cz D 0 表示空间的一张平面。
4. yoz平面上的母线
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
2020年6月15日星期一
12
高等数学（下）主讲杨益民
f 线方程
C:
f (x, z 0
y)
0
母线平行于
z
轴的

第八章 第3节 曲面及其方程

第八章 第3节 曲面及其方程

11
旋转曲面
12
旋转曲面
13
旋转曲面
14
旋转曲面
15
旋转曲面
16
旋转曲面
17
旋转曲面
18
旋转曲面
19
旋转曲面
20
旋转曲面
21
旋转曲面
22
旋转曲面
23
旋转曲面
重播
24
建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程: 母线: f ( y , z ) 0 ， x 0，
2
2
z1
y 轴 、//
思考题
指出下列方程在平面解析几何中和空 间解析几何中分别表示什么图形？
(1) x 2;
( 3) y x 1.
(2) x 2 y 2 4;
51
思考题解答
方程
x2
x2 y2 4
y x 1
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) ，
y
x2 y2 2 2 1 a b z 0
y2 z2 x2 z2 2 2 1 2 2 1 . , a b c c y 0 x 0
54
(1) 椭球面
z
x y z 2 2 1 2 a b c
x
2
2
2
O
y
2、 用平面z = k去截割(要求 |k | c), 得椭圆
(2) a b c ,
x2 y2 z2 2 2 1 球面 2 a a a
球面方程可写为
x y z a .
2 2 2 2
57
(2) 椭圆抛物面

.3曲面及其方程

.3曲面及其方程

表示上(下)球面 . o x
M0
M
y
例2. 研究方程 的曲面.
表示怎样
解: 配方得
此方程表示: 球心为 M0(1, 2, 0), 半径为 5 的球面.
说明: 如下形式的三元二次方程 ( A≠ 0 )
都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
二、柱面
z
引例. 分析方程
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
定义3. 平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成 的轨迹叫做柱面. C 叫做准线, l 叫做母线.
• 球面 ( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
• 柱面 如,曲面F ( x , y) 0表示母线平行 z 轴的柱面. 又如,椭圆柱面, 双曲柱面, 抛物柱面等 .
• 旋转曲面
如,
曲线

f ( y,z) x0

0
绕
z
轴的旋转曲面:
f ( x2 y2 , z) 0
距离为 R 的轨迹
方程. 解: 设轨迹上动点为
依题意
即
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R
故所求方程为
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2 z
特别,当M0在原点时,球面方程为
x2 y2 z2 R2

表示抛物柱面,
z
母线平行于 z 轴;

G8_3曲面方程

G8_3曲面方程

例6 :xoz平面上的直线
z 1 x
2 2
绕z轴旋转得旋转曲面: S : z 1 x y 是以z轴为轴,顶点(0,0,1), 半顶角 4
的圆锥面.
25
例7. 求坐标面 xoz 上的双曲线
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
分别绕 x
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
旋转曲面 . 建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z ) 0 若点 M1 (0, y1 , z1 ) C , 则有
z
C
M 1 (0, y1 , z1 )
f ( y1 , z1 ) 0
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M ( x, y, z )
2 2 2
2 2
2
化简得
2x 6 y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
2
定义1. 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
(1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,
2
2
b倍 沿y轴方向伸缩 x y z a 2 1 2
2 2 2
a
c
z
2
x y z 2 2 1 2 a b c
2
2
y
x
46
2. 抛物面
(1) 椭圆抛物面
x y 2 z 2 a b
把xOz面上的抛物线
2
2
x y 绕z轴旋转,得到旋转抛物面 z 2 a

第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程

第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程

第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。

三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。

四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。

例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。

例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。

例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。

第三节 曲面及其方程学习资料

第三节 曲面及其方程学习资料

M (x,y,z)的坐标也满足方程 x2 y2 R2 ,
沿曲线C, 平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点
的坐标都满足此方程
19
此曲面称为圆柱面.
z
M•
在空间, x2y2R2就是圆柱面方程.
•
C
因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线, x
OM1
• •
• •
y
•
母线平行于z轴的柱面.
L
20
z
第三节 曲面及其方程
z
一、曲面方程的概念
F(x, y,z) 0
S
曲面方程的定义
O
y
如果曲面S与三元方程 F (x ,y ,z) x0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;
那么, 方 F (x 程 ,y ,z ) 0就叫做曲面S的方程,
而曲面S就叫做方程的图形.
13
圆锥面方程 zx2y2cot
即 z 2 a 2 (x 2 y 2 )( a co ) t
a1时, cot1
4
即 圆锥面方程 z2x2y2
(用得较多)
14
yOz面上直线方程为 yzcot
绕y轴旋转所得曲面方程及图形.
y x2z2cot
即 y 2 c2 o (x 2 t z2 )
绕 y轴 旋 转 ay22x2c2z21
旋 转
椭
绕 z轴 旋 转 x2a2y2cz22 1
球 面
(3) yO坐 z 标面上的抛y2物 2线 pz绕z轴.
x2y22pz 旋转抛物面
17
三、柱面 (cylindrical surface )

第三节 空间曲面及方程

第三节 空间曲面及方程

即
( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
x2+y2+z2=R2
故球面方程为: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 特别,当M0在原点时,球面方程为: 球面方程的一般式为: x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0 其特征为: (1) x2, y2, z2系数相同； (2)无 xy , xz, yz项。 例: x2+y2+z2 -2x+4z -4=0 配方得(x-1)2+y2+(z+2)2=32
缺谁,母线平行谁
a
o
b y
y a o
x
x
14
柱面
z
(3) 抛物柱面: y2 =2x
母线平行于z 轴,
o x y z
准线为xoy 面上的抛物线:
(4) 平面: y-2z=0 母线平行于x 轴,
y2 =2x
。
y-2z=0
•
准线为yoz 面上的直线: y-2z=0 。
x
y
o
x2 y2 ——— =1 (1) 椭圆柱面: ——— + a2 b2
M•
任取曲面S上点M(x, y, z), 其点必是由曲线L上点M0(x0, y0, z0) 绕 z 轴转旋转而来. 则有: z=z0; x2+ y2 =y0; 因为f (y0, z0)=0, x
• M0
S
L
y
所以f ( x2+ y2 , z)=0.
6
旋转曲面
2、设yoz面上曲线 L: f (y, z)=0 绕 z 轴旋转一周, 所成曲面的方程为:

7-3第三节 曲面及其方程

7-3第三节 曲面及其方程

学 数
高 等 数 学 电 子 教 案
以平面y=y1,(y1<b)或x=x1,(x1<a)去截椭球面,可得到类似的 结果. 特例:(10)
x2 y 2 z 2 a = b, a > c.变成 2 + 2 + 2 = 1.是绕z轴旋转所得到的旋转 a a c
椭球面
(20)a=b=c,变成球面方程 x2 + y2 + z 2 = a2
( x 2 − 2 x + 1) + ( y 2 + 4 y + 4) + ( z 2 + 2 z + 1) − 6 = 0.
( x − 1) 2 + ( y + 2) 2 + ( z + 1) 2 = ( 6) 2
曲面代表圆心为(1,-2,-1),半径为 R = 6 的球面.
学 数
一般二次方程Ax2+Ay2+Az2+Bx+cy+Dz+E=0表示球面. 特点是①平方项系数相等.②不含交叉项.
学 数
下面,我们举例说明.
高 等 数 学 电 子 教 案
z s 例1 建立球心在点M0(x0,y0,z0), 半径为R的球面方程. F(x,y,z)=0
y x
学 数
①在所求的曲面上任找一动点M(x,y,z) ②以动点所满足的条件得到等式. ③把坐标代入,转化为方程.
高 等 数 学 电 子 教 案
x 2 y + 2 b a z = z 1
学 数
2 2
= 1 +
z c
2 2
它的两个半轴分别为 a c 2 + z 2 和 b c 2 + z 2 1 1 c c

第三节 曲面及其方程

第三节 曲面及其方程

( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 )2 R
所求方程为
( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 ) R
2 2 2
2
特殊 球心在原点的球面方程
x 2 y 2 z 2 R2
4
曲面及其方程
例 求与原点O及M0 (2,3,4)的距离之比为 1： 2的点 的全体所组成的曲面方程. 解 设M ( x , y , z )是曲面上任一点, | MO | 1 | MM 0 | 2 1 x2 y2 z2 2 2 2 x 2 y 3 z 4 2 所求方程
绕z轴旋转
2 z x y 2 1 2 c a
2
2
旋 转 双 曲 面
13
曲面及其方程
y z (2) yOz坐标面上的椭圆 2 2 1 绕y轴和z轴; a c
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴旋转 2 1 2 a c x2 y2 z2 绕 z 轴旋转 2 1 2 a c
2 4 116 2 x y 1 z 3 3 9
5
2
2
曲面及其方程
研究空间曲面有两个基本问题 (1)已知曲面, 求方程; (讨论旋转曲面) (2)已知方程, 研究图形. (讨论柱面, 二次曲面)
6
曲面及其方程
二、旋转曲面 (surface of revolution)
F ( x , y , z ) 0 有下述关系:
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程;
x
O
S
y
(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程; 那么, 方程F ( x , y, z ) 0 就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程的图形.

曲面曲线方程

曲面曲线方程
xoy 面上的投影曲线所围之域 . 二者交线
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
2.画出图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
y 5x 1 (4) y x3
z
y 5x 1 y x3
o
y
z
x2 y2 1 (5) 4 9 y3
及 x 1.
z
(1,1)
x
y2 x
o 1
(1,1)
y
x2 y2 z
x 1 z0
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c

D83曲面方程27587

D83曲面方程27587

都可通过配方研究它的图形. 其图形可能是 一个球面 , 或点 , 或虚轨迹.
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二、旋转曲面
定义2. 一条平面曲线 绕其平面上一条定直线旋转 一周 所形成的曲面叫做旋转曲面. 该定直线称为旋转 轴.
例如 :
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建立yoz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:
的截痕
也为椭圆.
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
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2. 抛物面
z
(1) 椭圆抛物面
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
特别,当 p = q 时为绕 z 轴的旋转抛物面. x
y
(2) 双曲抛物面（鞍形曲面）
z
x2 y2 z ( p , q 同号) 2p 2q
给定 yoz 面上曲线 C: f ( y, z) 0
若点 M1(0, y1, z1) C, 则有
z
f ( y1, z1) 0
C
当绕 z 轴旋转时, 该点转到
M (x, y, z) , 则有
z z1, x2 y2 y1
故旋转曲面方程为
M (x, y, z)
o x
M1(0, y1, z1)

z2 c2
1
y 0
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x2 a2

y2 b2

z2 c2
1
( a,b,c为正数)
(3) 截痕:与 z z1 ( z1 c)的交线为椭圆：
a2 c2
x2 (c2
z12
)
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第三节 曲面及其方程 ㈠本课的基本要求 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 ㈡本课的重点、难点
常用二次曲面的方程及其图形为重点，求以坐标轴为旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程为难点 ㈢教学内容
一．曲面方程的概念
曲面是空间上按照一定规律运动的点的轨迹。

定义：如果曲面S 上每一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F 。

而不在曲面S 上的点的坐标都不满足这个方程，则称0),,(=z y x F 为曲面S 的方程，而称曲面S 为此方程的图形。

例1 求两定点),,(),,,(22221111z y x M z y x M 等距离的点的轨迹方程。

解：设),,(z y x M =
即：222222212121)()()()()()(z z y y x x z z y y x x -+-+-=-+-+-
化简有：0)]([2
1
)()()(2
22222212121121212=++-+++-+-+-z y x z y x z z z y y y x x x
二．常见的二次曲面及其方程
1．球面（空间中与某个定点等距离的点的轨迹）
设定点的坐标为),,(000z y x ，则点),,(z y x M 在以0M 为球心，以R 为球半径的球面上的充
R =
即：2202020)()()(R z z y y x x =-+-+- 此即为以0M 为球心，R 为半径的球面方程。

当0M 是原点时，为
特点：⑴是x 、y 、z 的二次方程，且222,,z y x 系数相等，符号相同； ⑵方程中不出现xy 、yz 、xz 等乘积项。

满足上述两个特点的三元二次方程0222=++++++D Cz By Ax z y x 一般为球面方程，变形：)4(4
1
)2()2()2(222222D C B A C z B y A x -++=+++++
可见，当04222>∆=-++D C B A 时，为球面，0=∆为点，0<∆为虚轨迹。

作为点的几何轨迹的曲面可以用它的点的坐标间的方程来表示。

反之，变量y x ,和z 间的方程通常表示一个曲面。

因此在空间解析几何中关于曲面的研究，有下列两个基本问题：
⑴已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程；
⑵已知坐标y x ,和z 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状。

如方程0242222=+-+++z y x z y x 表示什么曲面？（略）
2．转曲面
一平面曲线C 绕同一平面上的一条直线l 旋转所形成的曲面称为旋转曲面，曲线C 称为面的母线，直线l 称为旋转曲面的轴。

这里只讨论以坐标为轴的旋转曲面方程。

建立yoz 面上以曲线C ：0),(=z y f 绕z 轴旋转所成的曲面方程。

设),,(z y x M 为旋转曲面上任一点，过M 作平面垂直于z 轴，交z 轴于点),0,0(z P ，交曲线C 于点),,0(000z y M ，因此有： 图
2200220
,y x y y y x z z +±=∴=+==
又∵0M 在曲线C 上，∴0),(00=z y f ，即得旋转曲面方程：0),(22=+±z y x f 同理，曲线C 绕y 轴得：0),(22=+±z x y f
例2 求旋转曲面⎪⎩⎪⎨⎧==+
014
32
2y z x 绕x 轴及z 轴旋转得曲面方程。

（该曲面称为旋转椭球面） 解：14
31432222
22=++=++
z y x z z y x x 轴：，绕轴：绕 例3 P.313.例4直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫做圆锥面。

两
直线的交点叫做圆锥面的顶点，两直线的夹角)2
0(π
<
<a a 叫做圆锥面的半顶角。

试建立
顶点在坐标原点O ，旋转轴为z 轴，半顶角为a 的圆锥面（如图）的方程。

解 在yOz 坐标面上，直线L 的方程为a y z cot =，因为旋转轴为z 轴，所以只要将上式中的y 改成22y x +±
，便得到这圆锥面的方程a y x z cot 22+±=
例4 P.313.例5将xOz 坐标面上的双曲线122
22=-c
z a x 分别绕z 轴和x 轴旋转一周，求所生
成的旋转曲面的方程。

解 绕z 轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，如图，它的方程为122
2
22=-+c z a y x 绕x 轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，如图，它的方程为12
2
222=+-
c z y a x 。

3．柱面──直线L 沿定曲线C 平行移动所形成的曲面，定曲线C 称为柱面的准线，动直线
L 称为柱面的母线。

图
这里只讨论准线在坐标面上，母线垂直于该坐标面的柱面。

现来建立以xoy 面上的曲线C ：0),(=y x f 为准线，平行于z 轴的直线L 为母线的柱面方程。

设),,(z y x M 为柱面上任一点，过M 作平行于z 轴的直线交xoy 面于点)0,,(1y x M ,由柱面定
义知1M 必在准线C 上，所以1M 满足方程0),(=y x f 。

由于0),(=y x f 不含z ，所以M 也满足 0),(=y x f ，而不在柱面上的点必不满足0),(=y x f ，所以0),(=y x f 为所求柱面方程。

类似有：面）
面）xz z x f yz z y f (0),(;(0),(== 例：1322
2=+y x 是以xoy 面上的椭圆为准线，母线平行于z 轴的椭圆柱面。

三．二次曲面
用一系列平行于坐标面的平面去截曲面，求得一系列的交线，对为些交线进行分析，就可看出曲面的轮廓，这种方法称为截痕法。

若0),,(=z y x F 是一次方程，则它的图形是一个平面，平面也称为一次曲面；若它是二次方
程，则它的图形称为二次曲面。

下面用截痕法讨论几个常见的二次方程所表示的二次曲面的形状。

1．椭圆锥面 2
2222z b
y a x =+
2．椭球面 ⑻)
0,0,0(122
2222>>>=++c b a c
z b y a x
所表示的曲面称为椭球面，c b a ,,称为椭球面的半轴。

由⑻知：c z b y a x c
z b y a x ≤≤≤≤≤≤,,1,1,122
2222，即：。

曲面包含在 c z b y a x ±=±=±=,,这六个平面所围成的长方体内，下面用截痕法来讨论这曲面的形状。

用xoy 面z=0和平行于xoy 面的平面)(c h h z ≤=去截曲面，交线方程分别为：
⎪⎩
⎪⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧==+h z c h b y a x z b
y a x 22222222
221,01
同样有zox 面与平行于zox 面的平面去截曲面，用yoz 面和与yoz 面平行的平面去截曲面，与上述结果类同。

曲面形状如图： 图
当a=b 时，⑻化为
122
222=++c
z a y x 是一个椭圆绕z 轴旋转而成的， 旋转椭球面，当a=b=c 时，为球面。

3．单叶双曲面 122
2222=-+c z b y a x
4．双叶双曲面 122
2222=--c
z b y a x
5．椭圆抛物面 z b
y a x =+22
22
6．双曲抛物面 z b
y a x =-22
22
双曲抛物面又称鞍面。

7．椭圆柱面 122
22=+b y a x
8．双曲柱面 122
22=-b
y a x
9．抛物柱面 ay x =2
（以上几种曲面书上P.315有介绍，可请同学们看书）
课堂练习P.318.习题7-3中8-11题。

小结：
作业：P.318.2,4,7。