顶点在坐标原点O ，旋转轴为z 轴，半顶角为a 的圆锥面（如图）的方程。
解 在yOz 坐标面上，直线L 的方程为a y z cot =，因为旋转轴为z 轴，所以只要将上式中的y 改成22y x +±
，便得到这圆锥面的方程a y x z cot 22+±=
例4 P.313.例5将xOz 坐标面上的双曲线122
22=-c
z a x 分别绕z 轴和x 轴旋转一周，求所生
成的旋转曲面的方程。
解 绕z 轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转单叶双曲面，如图，它的方程为122
2
22=-+c z a y x 绕x 轴旋转所成的旋转曲面叫做旋转双叶双曲面，如图，它的方程为12
2
222=+-
c z y a x 。 3．柱面──直线L 沿定曲线C 平行移动所形成的曲面，定曲线C 称为柱面的准线，动直线
L 称为柱面的母线。 图
这里只讨论准线在坐标面上，母线垂直于该坐标面的柱面。 现来建立以xoy 面上的曲线C ：0),(=y x f 为准线，平行于z 轴的直线L 为母线的柱面方程。 设),,(z y x M 为柱面上任一点，过M 作平行于z 轴的直线交xoy 面于点)0,,(1y x M ,由柱面定
义知1M 必在准线C 上，所以1M 满足方程0),(=y x f 。由于0),(=y x f 不含z ，所以M 也满足 0),(=y x f ，而不在柱面上的点必不满足0),(=y x f ，所以0),(=y x f 为所求柱面方程。
类似有：面）
面）xz z x f yz z y f (0),(;(0),(== 例：1322
2=+y x 是以xoy 面上的椭圆为准线，母线平行于z 轴的椭圆柱面。 三．二次曲面
用一系列平行于坐标面的平面去截曲面，求得一系列的交线，对为些交线进行分析，就可看出曲面的轮廓，这种方法称为截痕法。
若0),,(=z y x F 是一次方程，则它的图形是一个平面，平面也称为一次曲面；若它是二次方
程，则它的图形称为二次曲面。下面用截痕法讨论几个常见的二次方程所表示的二次曲面的形状。
1．椭圆锥面 2
2222z b
y a x =+
2．椭球面 ⑻)
0,0,0(122
2222>>>=++c b a c
z b y a x
所表示的曲面称为椭球面，c b a ,,称为椭球面的半轴。
由⑻知：c z b y a x c
z b y a x ≤≤≤≤≤≤,,1,1,122
2222，即：
。曲面包含在 c z b y a x ±=±=±=,,这六个平面所围成的长方体内，下面用截痕法来讨论这曲面的形状。
用xoy 面z=0和平行于xoy 面的平面)(c h h z ≤=去截曲面，交线方程分别为：
??
???=-=+?????==+h z c h b y a x z b
y a x 22222222
221,01
同样有zox 面与平行于zox 面的平面去截曲面，用yoz 面和与yoz 面平行的平面去截曲面，与上述结果类同。
曲面形状如图： 图
当a=b 时，⑻化为
122
222=++c
z a y x 是一个椭圆绕z 轴旋转而成的， 旋转椭球面，当a=b=c 时，为球面。
3．单叶双曲面 122
2222=-+c z b y a x
4．双叶双曲面 122
2222=--c
z b y a x
5．椭圆抛物面 z b
y a x =+22
22
6．双曲抛物面 z b
y a x =-22
22
双曲抛物面又称鞍面。
7．椭圆柱面 122
22=+b y a x
8．双曲柱面 122
22=-b
y a x
9．抛物柱面 ay x =2
（以上几种曲面书上P.315有介绍，可请同学们看书）
课堂练习P.318.习题7-3中8-11题。 小结：
作业：P.318.2,4,7
4.5常见曲面的参数方程
§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为
8.3《实际问题与二元一次方程组》第3课时教学设计
8.3 实际问题与二元一次方程组（3）教学设计 【教学目标】 知识与技能： 会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组. 过程与方法： 进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 情感态度与价值观： 培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值. 【教学重难点】 教学重点：用列表的方式分析题目中的各个量的关系. 教学难点：借助列表分问题中所蕴含的数量关系. 教具准备：小黑板 教法：讲授 学法：合作交流 课时：第3课时 课型：新授课 授课时间： 【教学过程】 一、创设情境 一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车，已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 问（1）每辆甲种货车能装货多少吨？ 每辆乙种货车可装货多少吨？ （２）这批货物需租用5辆甲种货车、2辆乙种货车刚好一次运完，如果每
吨付20元运费，货主应付运费多少元？（学生独立思考，容易解答）回顾本题：收获所得 1、在这道题目中，有部分条件是以表格的形式给出的， 这就要求同学们 在审题时要真正读懂表中的信息，这样才能找到解题的方向。 2、本题中的单位运价是每吨 20元，有时单位运价还可以以下面的形式 出现。 二、探索分析，解决问题 （出示例题）如图，长青化工厂与 A ， B 两地有公路、铁路相连．这家工厂 从A 地购买一批每吨 1 000元的原料运回工厂，制成每吨 8 000元的产品运到B 地．公路运价为 1. 5元/（吨·千米），铁路运价为 1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？（图见教材 100页，图8.3-2） 设问1.如何设未知数？ 销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重 x 吨，原料重y 吨． 设问2.如何确定题中数量关系？列表分析 产品x 吨 原料y 吨 合计 公路运费（元）铁路运费（元）价值（元）由上表可列方程组97200 1201102 .11500010205.1y x y x 解这个方程组，得400 300y x 因为毛利润=销售款－原料费－运输费所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多 1887800元.
第三节 曲面及其方程
第三节 曲面及其方程 ㈠本课的基本要求 理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程 ㈡本课的重点、难点 常用二次曲面的方程及其图形为重点，求以坐标轴为旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程为难点 ㈢教学内容 一．曲面方程的概念 曲面是空间上按照一定规律运动的点的轨迹。 定义：如果曲面S 上每一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F 。而不在曲面S 上的点的坐标都不满足这个方程，则称0),,(=z y x F 为曲面S 的方程，而称曲面S 为此方程的图形。 例1 求两定点),,(),,,(22221111z y x M z y x M 等距离的点的轨迹方程。 解：设),,(z y x M = 即：222222212121)()()()()()(z z y y x x z z y y x x -+-+-=-+-+- 化简有：0)]([2 1 )()()(2 22222212121121212=++-+++-+-+-z y x z y x z z z y y y x x x 二．常见的二次曲面及其方程 1．球面（空间中与某个定点等距离的点的轨迹） 设定点的坐标为),,(000z y x ，则点),,(z y x M 在以0M 为球心，以R 为球半径的球面上的充 R = 即：2202020)()()(R z z y y x x =-+-+- 此即为以0M 为球心，R 为半径的球面方程。 当0M 是原点时，为 特点：⑴是x 、y 、z 的二次方程，且222,,z y x 系数相等，符号相同； ⑵方程中不出现xy 、yz 、xz 等乘积项。 满足上述两个特点的三元二次方程0222=++++++D Cz By Ax z y x 一般为球面方程，变形：)4(4 1 )2()2()2(222222D C B A C z B y A x -++=+++++ 可见，当04222>?=-++D C B A 时，为球面，0=?为点，0
人教版七年级数学下册第3课时 实际问题与二元一次方程组(3)(教案)
第3课时实际问题与二元一次方程组（3） 【知识与技能】 图文信息问题、行程问题、方案设计问题、其他问题. 【过程与方法】 先独立作业，再交流成果. 【情感态度】 加强应用能力训练，提高数学兴趣. 【教学重点】 行程问题、方案设计问题. 【教学难点】 分析题目中的两个等量关系. 一、情境导入，初步认识 问题1如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连，这家工厂从A 地购买一批每吨1000元的原料运回工厂，制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），且这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 解：设产品重x吨，原料重y吨，根据题意填表
题目所求数值是______，为此需先解出_____与_____.由上表，列方程组_________________._________________.???解得__________. x y =??=?，因此，这批产品的销售款比原料费与运输费的和多_____元. 问题2 某电脑公司现有A ，B ，C 三种型号的甲品牌电脑和 D ， E 两种型号的乙品牌电脑.希望中学要从甲、乙两种品牌电 脑中各选购一种型号的电脑.现知希望中学购买甲、乙两种品牌 电脑共36台（价格如图所示），恰好用了10万元人民币，其中， 甲品牌电脑为A 型号电脑，求购买的A 型号电脑有几台？ 解：选择A 型号的电脑后，另外一种只能从D 、E 当中选，所以可分情况讨论.本题中存在的两个等量关系是 ______,_______________________. A D E A +=??+=?型号电脑数量或型号电脑数量型号电脑价格 （1）当选用方案（A ，D ）时，设购买A 型号、D 型号电脑分别为x 台，y 台.根据题意， 得_________________._________________.??? 解得__________. x y =??=?，经检验，_______________. （2）当选用方案（A ，E ）时，设购买A 型号、E 型号电脑分别为x 台，y 台. 根据题意，得_________________._________________. ??? 解得__________.x y =??=? ，经检验，_______________. 答：希望中学购买了台A 型号电脑. 问题3 （吉林中考）如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度是28cm ，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224cm ，设演员的身高为x cm ，高跷的长度为y cm ，求x,y 的值 .
常见的空间曲面与方程
常见的空间曲面与方程 常见的空间曲面有平面、柱面、锥面、旋转曲面和二次曲面。 1. 平面 空间中平面的一般方程为 0a x b y c z d +++= 其中,,a b c 均为常数，且,,a b c 不全为零。 例如，1x y z ++=（图8-6（a ）），0x =（图8-6（b ））均表示空间中的平面， z yoz 平面（x =0） y y x 图8-6（a ） 图8-6 (b) 图8-6 2. 柱面 与给定直线L 平行的动直线l 沿着某给定的曲线C 移动所得到空间曲面，称为柱面， l 为母线，C 为准线。 如图8-7所示 图8-7 图8-8
例如，222x y R +=表示空间中母线平行于z 轴，准线是xoy 平面上的圆222x y R +=的 圆柱面的方程，简称圆柱面图（8-8）。 3. 二次曲面 三元二次方程 222 1231 2 31230a x a y a z b x y b y z b z x c x c y c z d +++ ++++++= 所表示的曲面称为二次曲面，其中,,(1,2,3),i i i a b c i d =均为常数，且,,i i i a b c 不全为0. 二次曲面有以下几种标准形式，它们分别为： 球面： 图8-9 椭球面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c ++=>图8-10 图8-9 图8-10 单叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c -+=>图8-11 双叶双曲面：222 2221(,,0)x y z a b c a b c +-=->图8-12 2222(0)x y z R R + += >x z
(完整版)第三节曲面及其方程教案
重庆科创职业学院授课教案 课名：高等数学（工本0023）教研窒：数理教研室班级：编写时间：
课题： 第四节 空间曲面及其方程 教学目的及要求： 知道旋转曲面、柱面，了解常见的二次曲面的方程及图形。介绍空间曲线的各种表示形式。是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。 教学重点： 1.旋转曲面、柱面 2.空间曲线的一般表示形式 3.空间曲线在坐标面上的投影 教学难点：空间曲线在坐标面上的投影 教学步骤及内容 ： 一、 曲面方程的概念 曲面S 和三元方程F(x,y,z)=0满足： （1）曲面S 上的任意一点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0； （2）不在曲面S 上的点的坐标不满足方程F(x,y,z)=0； 那么称方程F(x,y,z)=0为曲面S 的方程，曲面S 称为方程F(x,y,z)=0的图形（见课本P159页图9.23） 我们通常知道平面方程式关于x,y,z 的三元一次方程，所以平面是曲面的特殊情形，本节讨论一些常见的含x,y,z 的二次方程所表示的曲面，称之为二次曲面。 二、 球面 建立以),,(0000z y x M 为球心，R 为半径的球面方程。 设M(x,y,z)是球面上的任意一点（见图9.24），则有R M M 0 旁批栏：
而2020200)()()(z z y y x x M M -+-+-= 所以 2 202020)()()(R z z y y x x =-+-+- 这就是以点),,(0000z y x M 为球心，R 为半径的球面方程。 当0000===z y x 时，得球心在原点，半径为R 的球面方程为 2222R z y x =++ 三、柱面 动直线l 沿给定曲线C 平行移动所形成的曲面，称为柱面。直线l 称为柱面的母线，定曲线C 称为柱面的准线。 我们只讨论准线在坐标面内，母线平行于坐标轴的柱面。建立以xoy 面上的曲线C ；f(x,y)=0为准线，母线平行于z 轴的柱面方程。 设M(x,y,x)是柱面上的任意一点，过点M 的母线与xoy 面的交点N 一定在准线C 上（见图9.26）。点N 的坐标为（x,y,0）;不论点M 的竖坐标z 取何值，它的横坐标x 和纵坐标y 都满足方程f(x,y)=0,因此所求柱面方程为 f(x,y)=0 在平面直角坐标系中，方程f(x,y)=0表示一条平面曲线，在空间直角坐 旁批栏：
二元一次方程组的解法(第三课时)
9．2二元一次方程组的解法（第三课时） 学习目标： 1、理解“消元”思想，掌握用加减消元法解二元一次方程组的基本思路． 2、会用加减法解二元一次方程组． 学习重点、难点： 根据二元一次方程组的具体情况选准要消的未知量和加（或减）法． 预习导航：（预习课本P 67 —P 70 回答下列问题） 1．什么叫做加减消元法？ 2． 用加减消元法解二元一次方程组的条件是什么？ 学习过程 一、问题引入 分析方程组 [深入思考]怎么解这个方程组呢？ 1．这个方程组中两个未知数的系数有什么特点？ 2．根据你发现的特点，试着解这个方程组并与同学交流。 （温馨提示：如果你没有找到解题思路，可以借鉴小亮、小红的想法．） 二、合作交流 将解方程组的过程整理一下： 解： 小组合作，解方程组： 5x +3y =16 2x -3y = _2 ① ② 3x +2y =7 3x +y =5 ① ②
归纳结论：当两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数时，可以通 过将两个 方程 或 来达到“消元”的目的． 三、深入探究 解方程组 （温馨提示：在这个方程组中，未知数x 或y 的系数的绝对值不相等，可以通过对方程进行适当的变形来达到相加或相减消元的目的．） 谈一谈： 1．解这个方程组的过程中，每一步的目的是什么？ 2．这个方程组还有其它的解法吗？如果有，哪一种更简单？ 四、探究模仿 用上述方法解方程组： 通过将方程组中两个方程相加（或相减）消去一个未知数，得到一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做 ，简称 ． 五、当堂检测 1．下列方程组中，消去哪个未知数比较合理？方程两边同乘以什么数？怎样消？ （1） 2x －3y ＝8 （2）2x ＝3－3y (3) 3x ＋5y ＝25 7x －5y ＝－5 3x ＝4－5y 4x ＋3y ＝15 5x +6y =7 2x +3y =4 ① ② 4x +3y =17 2x +4y =16 ① ②
第三章 常见曲面球面和旋转面
第三章 常 见 曲 面 §3.1 球面和旋转面 1.1球面的普通方程 球面方程的建立 首先建立球心在点()0000,,z y x M ，半径为0R ≥的球面方程。根据以下充分必要条件 (,,)M x y z 在球面上0M M R ?=， 得 ()()()2 2 2 2 000x x y y z z R -+-+-=， （3.1） 展开得 2221232220,x y z b x b y b z c ++++++= （3.2） 其中， 2222102030,000,,b x b y b z c x y z R =-=-=-=++-。 (3.1)或(3.2)就是所求球面方程，它是一个三元二次方程，没有交叉项(yz xz xy ,,项),平方项的系数相同。反之，任一形如（3.2）的方程经过配方后可写成： ()()(),0232221232221=---++++++b b b c b z b y b x 当c b b b >++2 32 22 1时，它表示一个球心在()321,,b b b ---，半径为c b b b -++2 32 22 1的 球面；当c b b b =++2 32221时，它表示一个点() 32,1,b b b ---；当c b b b <++2 32221时，它没有轨迹(或者说它表示一个虚球面）。 1.2球面的参数方程，点的球面坐标 如果球心在原点，半径为R ，在球面上任取一点()z y x M ,,,从M 作xOy 面的垂线，垂
足为N N ，连,O M O N 。设x 轴到ON 的角度为?，ON 到OM 的角度为θ(M 在xOy 面上方时，θ为正，反之为负)，则有 cos cos ,cos sin ,02,.2 2 sin ,x R y R z R θ?π π θ??πθθ=?? =≤<- ≤≤ ??=? （3.3） (3.3)称为球心在原点，半径为R 的球面的参数方程，有两个参数θ?,，其中?称为经度，θ称为纬度。 球面上的每一个点(除去它与z 轴的交点)对应唯一的对实数()?θ,，因此()?θ,称为球面上点的曲纹坐标。 因为空间中任一点()z y x M ,,必在以原点为球心，以R OM =为半径的球面上，而球面上点（除去它与z 轴的交点外）又由它的曲纹坐标()?θ,唯一确定，因此，除去z 轴外，空间中的点M 由有序三元实数组()?θ,,R 唯一确定。我们把()?θ,,R 称为空间中点M 的球面坐标（或空间极坐标），其中0R ≥，,022 2 π π θ?π-≤≤ ≤≤。 点M 的球面坐标()?θ,,R 与M 的直角坐标()z y x ,,的关系为 cos cos , 0,cos sin , - ,22 sin , 02x R R y R z R θ?π π θ?θθ?π =≥??? =≤≤ ??=≤≤?? （3.4） 1.3曲面和曲线的普通方程、参数方程 从球面的方程（3.2）和球面的参数方程（3.3）看到，一般来说，曲面的普通方程是一个三元方程()z y x F ,,=0，曲面的参数方程是含有两个参数的方程： (,),(,), ,,(,),x x u v y y u v a u b c v d z z u v =?? =≤≤≤≤??=? （3.5） 其中，对于()v u ,的每一对值，由（3.5）确定的点()z y x ,,在此曲面上；而此曲面上任一点的坐标都可由()v u ,的某一对值（3.5）表示。于是通过曲面的参数方程（3.5），曲面上的
沪科版-数学-七年级上册- -3.3 二元一次方程组及其解法第三课时 导学案
第三课时 加减法解二元一次方程组 学前温故 1．适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的解． 2．使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 新课早知 1．把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2．二元一次方程组????? x ＋y ＝2，x －y ＝0 的解是( )． A ．? ???? x ＝0，y ＝2 B ．????? x ＝2，y ＝0 C ．????? x ＝1，y ＝1 D ．????? x ＝－1，y ＝－1 答案：C 3．用加减法解方程组? ???? 3x －5y ＝21，①12 x ＋y ＝－2 ②时，要消去x ，需( )． A ．①－②×3 B ．①－②×6 C ．①＋②×5 D ．①－②×5 答案：B 4．用加减法解方程组????? 3x －2y ＝10，4x －2y ＝15时，应将两个方程__________，消去未知数__________． 答案：相减 y 5．解方程组????? 3m ＋2n ＝16，3m －n ＝1. ①② 解：①－②，得3n ＝15，n ＝5. 把n ＝5代入②，得m ＝2. 所以???? ? m ＝2，n ＝5.
用加减消元法解二元一次方程组 【例题】 解方程组????? x 2－y ＋13＝1，3x ＋2y ＝10. ①② 解：①×6，得3x －2y －2＝6，即3x －2y ＝8.③ ②＋③，得6x ＝18，所以x ＝3. ②－③，得4y ＝2，所以y ＝12.所以????? x ＝3，y ＝12. 点拨：对于非整系数的方程组，应将其化简整理为整系数的方程组，再视其系数特点选择适当解法．若两方程中同一个未知数的系数相同或相反或成整数倍比例，适宜用加减法． 1．方程组? ???? x ＋y ＝1，2x －y ＝5的解是( )． A ．? ???? x ＝－1，y ＝2 B ．????? x ＝－2，y ＝3 C ．????? x ＝2，y ＝1 D ．????? x ＝2，y ＝－1 答案：D 2．若????? x ＝2，y ＝1是关于x ，y 的方程组????? mx －ny ＝1，nx ＋my ＝8的解，则m 和n 的值分别是( )． A ．m ＝2，n ＝1 B ．m ＝2，n ＝3 C ．m ＝1，n ＝8 D ．m ＝8，n ＝1 解析：把 x ＝2，,y ＝1代入方程组，得????? 2m －n ＝1，2n ＋m ＝8.解得????? m ＝2，n ＝3. 答案：B 3．方程组????? x －2y ＝－5，x ＋2y ＝11 的解是________． 答案：????? x ＝3，y ＝4
5常见曲面的参数方程
§ 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((112 1212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ??? ????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ???? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线
4.5常见曲面的参数方程
§4.5 常见曲面的参数方程 本节重点：掌握空间中的三种坐标系：直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面的参数方程的建立。 掌握直纹面的参数方程。 本节难点：旋转曲面的参数方程。直纹面的参数方程。 在第二章中，我们已经引进一般曲面与曲线的参数方程的概念、并给出简单曲面与曲线的参数表示，例如球面与圆柱螺旋线，直线的参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面的参数方程，同时给出空间中另外两种坐标系：球坐标系与柱坐标系。 （一）旋转曲面的参数方程，球坐标与柱坐标 设旋转曲面的轴为Z 轴，母线Γ的参数方程是 )()()()(b t a t h Z t g Y t f X ≤≤=== 则此旋转曲面可由Γ上每一点生成的纬圆所构成的。由于这纬圆上动点),,(Z Y X P 与它在坐标面XOY 上的投影' P 具有相同的Y X ,坐标，所以Γ上任一点),,(1111Z Y X P 生成的纬圆的参数方程是 ??? ????=+=+=121212121sin cos Z Z Y X Y Y X X θθ )20(πθ<≤ 其中2121Y X +是纬圆半径，即1P 到Z 轴的距离，而参数θ是X 轴到1OP 的转角。设1P 对应的参数是1t ，则 )())(())((1121212121t h Z t g t f Y X =+=+ 再让1t 在其取值范围内变动，即得这旋转曲面的参数方程 ???????=+=+=)(sin ))(())((cos ))(())((2222t h Z t g t f Y t g t f X θθ ??? ? ??<≤≤≤πθ20b t a （4.5.1） 特别地，当母线P 为坐标面XOZ 上的径线 )(0) (t h Z Y t f X === 时,（4.5.1）成为
常见曲面的参数方程
§４、5 常见曲面得参数方程 本节重点:掌握空间中得三种坐标系:直角坐标系、球坐标系、柱坐标系。 掌握旋转曲面得参数方程得建立。 掌握直纹面得参数方程、 本节难点:旋转曲面得参数方程。直纹面得参数方程。 在第二章中,我们已经引进一般曲面与曲线得参数方程得概念、并给出简单曲面与曲线得参数表示,例如球面与圆柱螺旋线,直线得参数方程。现在再介绍旋转曲面、直纹面得参数方程,同时给出空间中另外两种坐标系:球坐标系与柱坐标系。 (一)旋转曲面得参数方程,球坐标与柱坐标 设旋转曲面得轴为轴,母线得参数方程就是 则此旋转曲面可由上每一点生成得纬圆所构成得、由于这纬圆上动点与它在坐标面上得投影具有相同得坐标,所以上任一点生成得纬圆得参数方程就是 其中就是纬圆半径,即到轴得距离,而参数就是轴到得转角、设对应得参数就是,则 再让在其取值范围内变动,即得这旋转曲面得参数方程 (4、5.1) 特别地,当母线为坐标面上得径线 时,(4。５、１)成为 (4.5.２) 例１、如图,以原点为中心,为半径得球面可瞧作就是由坐标面上得半圆, ()绕轴旋转所生成得,由(4.5。２)得其参数方程为 (4、5。3) 它与§2。１中得球面参数方程得形式就是相同得。 (４、５、3)中得参数分别叫做经度与纬度,序对叫做地理坐标、显然,除两极外,球面上得点与序对一一对应。这种利用曲面参数方程中得两个参数来表示曲面上得点得坐标叫做曲纹坐标,它对于曲面理论得进一步研究有着重要得作用。 利用球面得这种曲纹坐标还可以引入空间得另一种坐标系。设为空间任意一点,它到原点得距离为,过作以原点为中心,以为半径得球面,则在这球面上具有地理坐标,可令点Ｐ对应有序数组;反之,由非负实数可确定所在得球面,再由在这球面上确定点。空间中点得这种坐标叫做球坐标。显然,轴上点得球坐标可取任意值、 把(４.5。3)中得常数换为变数,就成为球坐标与直角坐标得变换式,即 (4、5。４) 反之,有 (4。5.５) 当时,＝0,于就是,对坐标面上得点,只需序对即可确定、这里不就是别得,正就是大家熟知得极坐标。这时原点就是极点,轴就是极轴,因此,球坐标可以瞧作就是平面极坐标在空间中得一种推广。 例2、如图4-17,以轴为对称轴,半径为得圆柱面可瞧作就是由坐标面上得直线: ,
浙教版初中数学七年级下册 2.4 二元一次方程组的应用(第3课时)教案
浙教版初中数学 重点知识精选 掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！浙教版初中数学和你一起共同进步学业有成！
二元一次方程组的应用（第3课时） 教学内容分析：本节课一方面在列方程（组）的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和能力，另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决中，进一步提高学生解方程组的能力.本节课也是上册一元一次方程的应用的延续和发展，进一步培养学生初步的抽象、想象、逻辑思维能力；同时，利用列表、画线段图等手段能帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，而这些能力的形成，无疑是拿到了解决实际问题的“金钥匙”. 教学目标： 1、了解列二元一次方程组与列一元一次方程组的异同. 2、经历和体验方程组解决实际问题的过程，了解应用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤. 3、学会用二元一次方程组解决实际问题. 4、会用列表、画线段图等手段帮助分析理解实际问题. 教学重点：让学生经历和体验二元一次方程组解决实际问题的过程，会用列方程组解决实际问题. 教学难点：在实际问题中找等量关系、列方程组. 教学准备：多媒体显示游泳池中的数学问题的情境、例题及步骤的归纳等. 教学过程： 一、创设情景，合作学习，引入课题 合作学习：游泳池中的数学问题. 1、出示情景（多媒体显示实际情景）. 2、复习解决问题的常用手段，用算术方法求解与列一元一次方程来求解.讨论得出用以上两种方法解这个问题，很难求解. 3、合作学习、解决问题（展示学生的解题过程）. 4、讨论：（1）本题用什么知识来解决问题？（引出课题） （2）列二元一次方程解决问题与列一元一次方程解决问题，有什么异同，有什么优点？ 归纳：列二元一次方程解决问题，能使问题变得简单，比较容易找出等量关系， 但必须设两个未知数，找出两条等量关系，列两条不同的方程. 二、分析问题 解决问题 归纳步骤 （一）典型例题，例1的教学 1、能不能用刚才合作学习中得来的知识解决实际问题？（出示例1） 2、让学生分析题中的已知与未知，并问：如何找等量关系. 3、给学生提供表格（书中的分析）帮助学生分析数量关系，让学生自觉地得出两条等量关系：盖式纸盒中正方形的张数＋横式纸盒中正方形的张数＝1000张，竖式纸盒中长方形的张数＋横式纸盒中长方形的张数＝2000张.
苏教版七年级数学下册10.5用二元一次方程组解决问题(第3课时)(优秀教学设计)
10.5用二元一次方程组解决问题 第3课时 一、教学目标： 知识与技能： 1．能通过画示意图的方法分析较复杂的实际问题的数量关系，列出二元一次方程组解决问题。 2．加强学生列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略。 过程与方法： 进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程组解决现实问题的意识和能力。 情感、态度与价值观： 使学生在数学活动中感受探索的乐趣，获得成功的喜悦，并培养学生良好的学习习惯和严谨、负责的科学态度，鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神。 二、教学重点和难点： 重点：能通过画示意图的方法分析较复杂的实际问题的数量关系，列出二元一次方程组解决问题。 难点：将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型。 三、教学过程 师生活动个人主页（一）创设情境导入新课 学生在手工实践课中，遇到这样一个问题：要用20张白卡纸制作包装 盒，每张白卡纸可以做盒身2个，或者做盒盖3个，如果1个盒身和2个 盒盖可以做成一个包装纸盒，那么能否将这些白卡纸分成两部分，一部分 做盒身，一部分做盒盖，使做成的盒身和盒盖正好配套？请你设计一种方 法。 （二）合作交流解读探究 用方程组解决问题 1．出示课本问题5 用正方形和长方形两种硬纸片制作甲、乙两种无盖的长方形纸盒（如 图所示），如果长方形的宽与正方形的边长相等，150张正方形和300张长
方形硬纸片可以制作甲、乙两种纸盒各多少个？ [想一想]从图中可获得哪些信息？ 每个甲种纸盒要正方形、长方形硬纸片各几张？ 每个乙种纸盒要正方形、长方形硬纸片各几张？ 每个甲种纸盒用正方形纸片1张，长方形纸片4张；每个乙种纸盒用正方形纸片2张，长方形纸片3张。 [议一议]可列表分析吗？ 2．出示课本问题6 某铁路桥长1000m，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min，整列火车完全在桥上的时间共40s，求火车的速度和长度。 [探索]（1）可画怎样的示意图，怎样通过示意图分析问题中的相等关系？ （2）从图中可发现两个相等关系是什么？ （三）应用迁移巩固提高 类型之一应用方程组解决实际问题 例1 用8块相同的长方形地砖拼成一块矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽。 类型之二行程问题 例2 A、B两地之间的路程为20千米，甲从A地，乙从B地同时出发，相向而行，2小时后在C点相遇，相遇后甲原速返回A地，乙仍向A地前进，甲回到A地时，乙离A地还有2千米，求甲、乙两人的时速。 类型之三市场营销问题 例3 商场购进甲乙两种服装后，都加价40%标价出售。“春节”时期商
《实际问题与二元一次方程组》第3课时参考教案
8.3 实际问题与二元一次方程组（3） 【教学目标】 知识与技能： 会用列表的方式分析问题中所蕴涵的数量关系，列出二元一次方程组. 过程与方法： 进一步经历用方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型. 情感态度与价值观： 培养分析问题、解决问题的能力，进一步体会二元一次方程组的应用价值. 【教学重难点】 教学重点：用列表的方式分析题目中的各个量的关系. 教学难点：借助列表分问题中所蕴含的数量关系. 教具准备：小黑板 教法：讲授 学法：合作交流 课时：第3课时 课型：新授课 授课时间： 【教学过程】 一、创设情境 最近几年，全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面，为疏导电价矛盾，促进居民节约用电、合理用电，各地出台了峰谷电价试点方案． 电力行业中峰谷的含义是用山峰和山谷来形象地比喻用电负荷特性的变化幅度一般白天的用电比较集中、用电功率比较大，而夜里人们休息时用电比较小，所以通常白天的用电称为是高峰用电，即8:00～22:00，深夜的用电是低谷用电即22:00～次日8:00.若某地的高峰电价为每千瓦时0.56元；低谷电价为每千瓦时28元．八月份小彬家的总用电量为125千瓦时，总电费为49元，你知道他家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦时吗？（学生独立思考，容易解答） 二、探索分析，解决问题
（出示例题）如图，长青化工厂与A ，B 两地有公路、铁路相连．这家工厂从A 地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B 地．公路运价为1. 5元/（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次运输共支出公路运费15000元，铁路运费97200元．这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？（图见教材100页，图8.3-2） 设问1.如何设未知数？ 销售款与产品数量有关，原料费与原料数量有关，而公路运费和铁路运费与产品数量和原料数量都有关．因此设产品重x 吨，原料重y 吨． 设问2.如何确定题中数量关系？列表分析 由上表可列方程组 ()()? ? ?=+?=+?972001201102.115000 10205.1y x y x 解这个方程组，得 ? ? ?==400300y x 因为毛利润=销售款－原料费－运输费 所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多1887800元. 引导学生讨论以上列方程组解决实际问题的思路. 学生讨论、分析：合理设定未知数，找出相等关系. 三、课堂练习 某瓜果基地生产一种特色水果，若在市场上每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润增为4500元；经精加工后销售，每吨利润可达7500元。一食品公司购到这种水果140吨，准备加工后上市销售．该公司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨，但两种加工方式不能同时进行．受季节等条件限制，公司必须将这批水果全部销售或加工完毕，为此公司研制二种可行的方
第二章第二节曲面的参数方程
第二章 曲面论 第二节 曲面的参数方程 一、 曲面的参数方程 设曲面∑是由显式 D y x y x f z ∈=),(),,( 所表示。 设),,(z y x 是曲面∑上的点，记向量),,(z y x r = ，则它们可构成一一对应。 于是曲面∑上的点可以用向量值函数 D y x y x f y x r ∈=),()),,(,,( 来表示， 也可以写为参数形式 ?????===),(, ,y x f z y y x x D y x ∈),(。
一般地，设3),(R v u r r ∈= ，其中参 数?∈),(v u ，这里?是2R 中的一 个区域。 我们称由3),(R v u r r ∈= ， ?∈),(v u ，所构成的3R 中点集∑为一张参数曲面，（即曲面∑，可以表示为参数方程表示的点集。） 记为?∈=∑),(),,(:v u v u r r ，（1） 把（1）用分量表示出来，就是 ?? ???===),(),(),,(v u z z v u y y v u x x ，?∈),(v u （2） 通常，我们称（1）是曲面∑的向量方程，而（2）是曲面∑的参数方程。 显然方程（1）和（2）之间的转换是直截了当的，所以我们可以认为（1）与（2）是一回事。
二、 几个用参数方程表示的常见 曲面 例1 平面的参数方程， 设30000),,(R z y x p ∈= 是一个固定的点， ),,(321a a a a = 与),,(321b b b b = 是自0p 出发的两个不平行的向量。这时，由a 与b 张成的平面可以用向量方程， 20),(,R v u b v a u p r ∈++= 来表示； 写成分量表示为 v b u a x x 110++=， v b u a y y 220++=， v b u a z z 330++=，
第三节--曲面及其方程
第三节 曲面及其方程 一 曲面方程的概念 若一个三元方程 (, , )0F x y z = (1) 和曲面S 之间满足: (1) S 上的任意点的坐标(, , )x y z 都满足(1)式; (2) 如果一点P 的坐标(, , )x y z 满足(1)式, 则P 在S 上, 则称(1)式为S 的方程, 称S 为(1)式的图形. 例1 (球面的标准方程) 球心在点()0000, , M x y z 且半径为R 的球面的方程为 ()()() 222 2000x x y y z z R -+-+-=. 若球心在原点, 则球面方程为 2222x y z R ++=. 例2 设有点()1, 2, 3A 和()2, 1, 4B -, 求线段AB 的垂直平分面的方程. 解 设点(), , M x y z 为所求平面上的任一点, 则AM BM =, 即 ()()() ()()() 222 222 123214x y z x y z -+-+-= -+++-, 于是得26270x y z -+-=, 此即所求. 例3 (球面的一般式) 方程
2220x y z Dx Ey Fz G ++++++= 表示一个球面, 球心为, , 2 22D E F P ??- -- ???, 半径为 2221 42 r D E F G = ++-. 当2 2 2 40D E F G ++->时, 该球面为实球. 当2 2 2 40D E F G ++-=时, 该球面为点球, 即原方程表示一点 , , 2 22D E F P ??--- ???. 当222 40D E F G ++-<时, 该球面为虚球, 即原方程无实轨迹. 例如, 在2 2 2 240x y z x y ++-+=中, 2D =-, 4E =, 0F =, 0G =. 于是球心为()1, 2, 0P -,半径为5r = . 二 旋转曲面 平面上的一条曲线C 绕该平面上的一条直线l 旋转一周所形成的曲面S 叫做旋转曲面. 在yz 平面上的曲线(): , 0C f y z =绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为 () 22, 0f x y z ±+=. C 绕y 轴旋转所成的旋转面的方程为 ()22, 0f y x z ±+=. 在zx 平面上的曲线(): , 0C f z x =绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为 ( ) 22, 0f z x y ±+=. C 绕x 轴旋转所成的旋转面的方程为 () 22, 0f y z x ±+=. 在xy 平面上的曲线(): , 0C f x y =绕x 轴旋转所得的旋转曲面的方程为
《消元—解二元一次方程组》第3课时导学案
8.2 消元—解二元一次方程组第3课时 一、学习内容：教材课题P99-100 加减消元 二、学习目标： 1、掌握用加减法解二元一次方程组； 2、理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法； 3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立信心． 三、自学探究： 1、复习旧知 解方程组 10 2 x y x y += ? ? + = ? 有没有其它方法来解呢？ 2、思考：这个方程组的两个方程中，y的系数有什么关系？?利用这种关系你能发现新的消元方法吗？ 两个方程中未知数y的系数相同，②－①可消去未知数y，得- =16-10 即x=6,把x=6代入①得y=4。 另外，由①－②也能消去未知数y，得- =10-16 即-x=-6,x=6,把x=6代入①得y=4. 3、探究想一想：联系上面的解法，想一想应怎样解方程组 310 2.8 15108 x y x y += ? ? -=? 这两个方程中未知数y的系数，?因此由①＋②可消去未知数y，从而求出未知数x的值。 4、归纳：加减消元法的概念 从上面两个方程组的解法可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加或者相减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程。 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。 5、拓展应用： 用加减法解方程组 3416 5633 x y x y += ? ? -= ? 1 / 2
分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，试一试，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。 ①×3,得9x+12y=48 ③ ②×2,得10x-12y=66 ④ 这时候y的系数互为相反数，③＋④就可以消去y， 思考：用加减法消去x应如何解？解得结果与上面一样吗？ 四、自我检测： 教材p96 练习第1题1）、2）、3）、4） 五、学习小结： 用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？ 这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样的？ 2 / 2
《消元—解二元一次方程组》第3课时参考教案
8.2 消元—解二元一次方程组（3） 【教学目标】 知识与技能： 掌握用加减法解二元一次方程组. 过程与方法： 使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法. 情感态度与价值观： 体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心. 【教学重难点】 教学重点：学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组. 教学难点：用“加减法“解二元一次方程组. 教具准备：小黑板 教法：引导-讲授 学法：探究 课时：第3课时 课型：新授课 授课时间： 【教学过程】 一、创设情境 王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快． 最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元． 二、探究新知 1.解方程组 ???=--=+7 52132y x y x （由学生自主探究，并给出不同的解法） 解法一：由①得：x= 231y --y 代人方程②，消去x.
解法二：把2x 看作一个整体，由①得2z=－1－3y,代入方程②，消去2x. 肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高． 有没有更简洁的解法呢？教师可做以下启发： 问题1.观察上述方程组，未知数z 的系数有什么点？（相等） 问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x 吗？ （两个方程的两边分别对应相减，就可消去x ，得到一个一元一次方程． 解法三：①－②得：8y=－8,所以y=－1 Y=－1代人①或②，得到x=1 所以原方程组的解为???-==1 1y x 2.变式一 ? ??=--=+-752132y x y x 问题1.观察上述方程组，未知数x 的系数有什么特点？（互为相反数） 问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去x 吗？（两个方程的两边分别对应相加，就可消去x ，得到一个一元一次方程．） 从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？ 两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等. 3.变式二：? ??=-=+752134y x y x 观察：本例可以用加减消元法来做吗？启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x 的系数成整数倍数关系． 因此：②×2，得4x －10y=14③ 由①－③即可消去x ，从而使问题得解．（追问：③－①可以吗？怎样更好？） 4.变式三：?? ?=--=+-753132y x y x
