材料力学课件4.(剪力弯矩图,微分关系)

若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定扭矩为正，反之为负。
上一讲主要内容回顾
1.平面弯曲
受力特点：
垂直于轴线的所有外力（载荷和 支座反力）作用在纵向对称面内。
变形特点：
轴线由直线变成了在纵向对称面 内的平面曲线。
上一讲主要内容回顾
工程中，常见的三种静定梁的计算简图：
简支梁
一端是固定铰支约束 另一端可动铰支约束
2 3
F
RB
=
1 3
F
2)分段列剪力与弯矩方程
A Fs M 0 x l
RA x
3
M x
l xl 3
Fs lx
AC段
：
Fs
(
x
)
2 3
F
(0 x l ) 3
M ( x ) 2 Fx ( 0 x l )
3
3
BC段 ：
RB
Fs
(
x
)
1 3
F
(l xl) 3
M( x ) F ( l x) ( l x l )
横截面的位置用梁的轴线坐标 x表示
各横截面上的剪力和弯矩就可以表示成 x的函数
F s
=
F (x) s
剪力方程
M = M(x) 弯矩方程
F
l
F Fs M F (x) = -F
x
s
M(x) = -Fx
§2.6 内力图——剪力和弯矩图
2.剪力图和弯矩图
以横坐标 x表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值
x 剪力图--正的剪力画在 轴上方，负的剪力图画在下方
弯矩图
（两种做法）
x 土木工程:负弯矩画在 轴上方 x 机械工程:正弯矩画在 轴上方
F
l
F Fs M Fs ( x ) F
x
M ( x ) Fx
F
F s 0
§2.6 内力图——剪力和弯矩图
F Fs M Fs ( x ) F
l
x
M ( x ) Fx
悬臂梁
一端为固定端 另一端自由
外伸梁
绞支座支撑 梁的一端或两端伸
于支座之外
上一讲主要内容回顾
Fs M
剪力和弯矩的正负号规则：
Fs
Fs 左上右下为正 Fs
Fs
上压下拉为正
M
M 向下凸出为正M
M
哈尔滨工业大学本科生课
§2.6 内力图——剪力图和弯矩图
§2.6 内力图——剪力和弯矩图
1. 剪力方程和弯矩方程
3 出现转折（斜率不同的点）
M
2 Fl 9
§2.6 内力图——剪力和弯矩图
例3
m
C
A
a
b
l
RA
A Fs M 0 x a
RA x
M x
a xl
Fs lx
B 解：1)求支座反力
RA
m l
RB
m l
RB
2)分段列内力方程
AC段 ( 0 x a )
Fs
(
x
)
m l
M( x ) m x l
B CB段 (a x l)
3
3
BC段 ：
Fs
(
x
)
1 3
F
(l xl) 3
M( x ) F ( l x) ( l x l )
3
3
§2.6 内力图——剪力和弯矩图 例2
l / 3 F 2l / 3
A
B
C
RA
RB
3）作剪力图与弯矩图
在集中力作用处，
2F
剪力图发生突变，其突变
3
量就等于集中力的数值；
Fs
1 F 弯矩连续，但弯矩图在此
M0
A D
1m 1m
FA y
q
B
FBy
2m
1m
F
E C
1m
哈尔滨工业大学本科生课
§2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间 的微分关系
§2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系
设梁上作用有任意载荷
分布载荷集度为 q(x)
q(x) 方向规定:向上为正 M ( x) q(x)
q(x)
M (x) dM (x)
x
Fs (x) y Fs (x) dFs (x)
§2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系
Mc 0
M
(
x
)
Fs
(
x
)dx
1 2
q(
x
)dx
2
=M
(
x
)
dM
(
x
)
忽略高阶小量 1 q( x )dx2
q(x)
2
M ( x)
M (x) dM (x)
Fs
(
x)
m l
M
z
(
x
)
l
x
m l
=m m x l
§2.6 内力图——剪力和弯矩图
例3
m
C A
B
a
b
l
在集中力偶作用处，
RA
RB
3）作剪力图与弯矩图
m
Fs
am
l
剪力连续，
弯矩发生突变，其突 变量就等于集中力偶 矩的值。
l
M
bm l
§2.6 内力图——剪力和弯矩图
控制截面
——外力规律发生变化的截面 1.集中力、集中力偶作用点； 2.分布载荷的起点和终点处的横截面。
RB
Fs
(
x
)
m l
M
z
(
x
)
l
x
m l
=m m x l
§2.6 内力图——剪力和弯矩图
例3
m
C
A
a
b
l
RA
3）作剪力图与弯矩图
B 解：1)求支座反力
RA
m l
RB
m l
RB
2)分段列内力方程
AC段 ( 0 x a )
Fs
am
l
Mbm lຫໍສະໝຸດ mFs(x
)
m l
M( x ) m x l
l
CB段 (a x l)
3
3
§2.6 内力图——剪力和弯矩图
例2
l / 3 F 2l / 3
A C
RA
解:1)求支座反力,并验算
B
RB
RA
2 3
F
RB
1 3
F
3）作剪力图与弯矩图
2)分段列剪力与弯矩方程
2F 3
Fs
M
2 Fl 9
AC段 ：
Fs (
x
)
2 3
F
(0 x l ) 3
1F 3
M ( x ) 2 Fx ( 0 x l )
RA
ql 2
B
R = R = ql / 2
A
B
q RB
M
RA x Fs
Fs l / 2
ql 2
剪力方程 Fs ql / 2 qx
弯矩方程 M ql x 1 qx 2
M
22
ql 2
8
§2.6 内力图——剪力和弯矩图
例2
l / 3 F 2l / 3
A C
RA
解:1)求约束反力,并验算
B
RB
RA
=
x
dx
Fs (x) Fs (x) dFs (x)
dx
§2.7 弯矩、剪力与载荷集度之间的 微分关系
Fy 0 Fs (x) q(x)dx Fs (x) dFs (x)
dFs ( x ) q( x ) dx
剪力函数的一阶导数 等于分布载荷集度
q(x)
M ( x)
M (x) dM (x)
剪力图
弯矩图
Fl
x
x
0
F
2.剪力图和弯矩图
M
以横坐标 x表示梁的截面位置，纵坐标表示剪力和弯矩的数值
x 剪力图--正的剪力画在 轴上方，负的剪力图画在下方
弯矩图
（两种做法）
x 土木工程:负弯矩画在 轴上方
机械工程:正弯矩画在 x轴上方
§2.6 内力图——剪力和弯矩图
例1
q
解：利用对称性,支反力
A
l
哈尔滨工业大学本科生课
第2章 内力及内力图
§2.6 内力图——剪力图与弯矩图 §2.7 弯矩、剪力和分布荷载之间的关系 §2.8 利用弯矩、剪力和载荷的关系作剪力图
和弯矩图
上一讲主要内容回顾
5.扭矩的符号规定—右手螺旋法则
扭
I
I
Me
矩
T
的
符 号 规
T
I
T
I
I
I
Me
定
T
：
T
T
I
I
右手法则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向表示 扭矩矢的方向，